Метод конечных элементов в задачах сопротивления материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Под редакцией В.П. Чиркова
 
Допущено Министерством образования и науки  
Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших 
учебных заведений, изучающих дисциплины 
 «Сопротивление материалов»,  
«Механика материалов и конструкций»

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121я73
С 17
С а м о г и н Ю. Н., Х р о м а т о в В. Е., Ч и р к о в В. П. Метод конечных
элементов в задачах сопротивления материалов / Под ред. В. П. Чиркова. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. — 200 с. — ISBN 978-5-9221-1380-9.
В пособии приведены основные понятия, определения метода конечных
элементов (МКЭ), вывод матриц жесткости, относящихся к расчету стержневых систем при растяжении–сжатии, кручении, изгибе, сложных видах
нагружения стержней. Приведены примеры решения соответствующих задач
курса сопротивления материалов методом конечных элементов и задачи для
самостоятельного решения.
Для студентов, аспирантов и специалистов машиностроительных и теплоэнергетических специальностей, изучающих дисциплины «Сопротивление
материалов», «Механика материалов и конструкций» и родственные им.

Р е ц е н з е н т ы:

д-р техн. наук, проф. С.С. Гаврюшин (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана); заслуженный деятель науки РФ,
д-р техн. наук, проф. Ф.Н. Шклярчук (Московский авиационный институт
(государственный технический университет)).
В оформлении обложки использована фотография с сайта /laifglobe.net/.

Учебное издание
САМОГИН Юрий Николаевич, ХРОМАТОВ Василий Ефимович,
ЧИРКОВ Виктор Петрович

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В ЗАДАЧАХ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Редактор Е.И. Ворошилова
Оригинал-макет: Е.В. Макеев
Оформление переплета: А.В. Андросов
Подписано в печать 19.04.12. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 13,75. Тираж 500 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано c электронных носителей издательства
в ООО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 978-5-9221-1380-9

ISBN 978-5-9221-1380-9

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2012

c⃝ Ю. Н. Самогин, В. Е. Хроматов,
В. П. Чирков, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
4

Г л а в а 1. Метод
конечных
элементов
в
статических
расчетах
стержневых систем. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
7
§ 1.1. Краевая задача и ее вариационная трактовка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
7
§ 1.2. Основные этапы метода конечных элементов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
11

Г л а в а 2. Растяжение–сжатие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
17
§ 2.1. Типичный конечный элемент . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
17
§ 2.2. Функция перемещений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
18
§ 2.3. Напряжения и деформации . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
20
§ 2.4. Матрица жесткости элемента. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
20
§ 2.5. Вектор узловых нагрузок. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
21
§ 2.6. Переход к глобальной системе координат. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
23
§ 2.7. Примеры . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
25

Г л а в а 3. Поперечный изгиб . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61
§ 3.1. Типичный конечный элемент при изгибе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61
§ 3.2. Функция перемещений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
63
§ 3.3. Напряжения и деформации . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
66
§ 3.4. Матрица жесткости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
67
§ 3.5. Вектор узловых нагрузок. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
68
§ 3.6. Переход от локальной системы координат к глобальной . .. .. .. .. .
71
§ 3.7. Примеры . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
72

Г л а в а 4. Кручение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
100
§ 4.1. Типичный конечный элемент при кручении . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
100
§ 4.2. Функция перемещений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
101
§ 4.3. Напряжения и деформации . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
102
§ 4.4. Матрица жесткости элемента. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
103
§ 4.5. Вектор узловых нагрузок. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
103
§ 4.6. Пример расчета допускаемого диаметра сечения стержня . .. .. .. .
104

Г л а в а 5. Cложные виды нагружения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
112
§ 5.1. Классификация видов нагружения стержня . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
112
§ 5.2. Растяжение–сжатие с кручением . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
113
§ 5.3. Косой изгиб . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
126
§ 5.4. Косой изгиб в сочетании с растяжением–сжатием . .. .. .. .. .. .. .. .. .
145
§ 5.5. Общий случай нагружения стержня . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
163

Г л а в а 6. Расчетные задания по сопротивлению материалов . .. .. .. .
181
Задача № 1. Расчет ступенчатого стержня при квазистатическом
нагружении. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
181
Задача № 2. Определение монтажных и температурных напряжений в стержневых системах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
183
Задача № 3. Кручение стержней кругового поперечного сечения
186
Задача № 4. Изгиб балки из пластичного материала . .. .. .. .. .. .. .
186
Задача № 5. Расчет плоской, статически определимой рамы . .. .
188
Задача № 6. Расчет балки на упругом основании . .. .. .. .. .. .. .. .. .
191
Задача № 7. Сложные виды нагружения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
191
Задача № 8. Расчет вращающегося вала на выносливость. .. .. .. .
193
Список обозначений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
196

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
199

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сопротивление материалов является одной из первых инженерных
дисциплин, изучаемой студентами высших и средних специальных
учебных заведений на младших курсах, при освоении которой учащемуся приходится сталкиваться с реальными расчетами и элементами
проектирования деталей машин и конструкций. В настоящее время
в практике различных инженерных расчетов на прочность находит
широкое применение метод конечных элементов (МКЭ). Повышенное
внимание к МКЭ обусловлено еще и тем, что этот метод лежит в основе большинства современных программных комплексов, реализующих
численные методы расчета конструкций. Однако до сих пор не существует единого учебника, позволяющего студенту, не специализирующемуся в области расчетов по методу конечных элементов, реализовать
его вычислительный процесс на ЭВМ. При обучении студентов различные учебные пособия используют вполне удобные для ручных операций
классические методы, такие как метод сил и, в меньшей степени, метод
перемещений.
Кафедра динамики и прочности машин Московского энергетического института, а ныне Национального исследовательского университета
«МЭИ», ведет подготовку бакалавров и магистров по направлению
«Прикладная механика», читает курсы «Сопротивление материалов»,
«Механика материалов и конструкций» и других родственных дисциплин для большинства специальностей МЭИ; проводит большую
научную и учебно-методическую работу в области совершенствования
преподавания и издания учебной литературы по дисциплинам механики твердого тела (МТТ).
Основными учебниками и учебными пособиями, подготовленными
на кафедре ДПМ, являются издания [1–5], где изложены теоретические вопросы механики материалов, многочисленные примеры решения
задач МТТ и задачи для самостоятельного решения [2, 5]. Дальнейшее
совершенствования методики преподавания дисциплин МТТ позволило
авторам работ [6, 7] применить блочную структуру изложения курса
сопротивления материалов, что дало возможность сохранить идеологическое содержание курса и в то же время упростить его усвоение
и визуальное восприятие [7]. Также представляется целесообразным

Предисловие
5

включение в читаемые курсы исторических сведений о научной деятельности и жизни основоположников общеобразовательных и научных дисциплин [3, 6], изучаемых студентами. Многообразие и сложность расчетных схем элементов конструкций заставляет уже на ранних этапах расчетов на прочность применять математические пакеты
типа MathCad, MATLAB, Maple. В работах [2, 5, 8] приведены примеры решения задач МТТ в системе MathCad. Дальнейшее развитие
численных методов прикладной математики позволило примененить их
к расчету ответа сложных инженерных конструкций на динамические
и сейсмические воздействия [9–12], а результаты научных исследований, проводимых на кафедре ДПМ, изложить в соответствующих
учебных пособиях [13–15].
Первое упоминание процедуры представления конструкций в виде
набора конечных элементов дано в работе В. В. Болотина [9]. Классические монографии по применению МКЭ к расчету инженерных
конструкций [17–20] зачастую не могут быть использованы в учебном
процессе из-за сложности изложения.
Представляемое учебное пособие поможет студентам освоить технику применения метода конечных элементов в задачах статики сопротивления материалов при различных видах нагружения стержней;
анализ подобранных примеров даст возможность «почувствовать» основные особенности МКЭ и осмысленно использовать в своей практике
весь арсенал программных комплексов. С целью обеспечения минимальных ручных арифметических операций в МКЭ авторами впервые
предложено учитывать внеузловые нагрузки, позволяющие существенно сократить размерность разрешающих уравнений метода конечных
элементов.
Книга состоит из 6 глав. Первая глава посвящена теоретическим
основам метода конечных элементов в статических расчетах стержневых систем. Рассмотрен пример постановки краевой задачи и ее
вариационная трактовка. Сформулированы основные понятия и этапы
МКЭ: дискретизация стержневых систем; выбор основных узловых
неизвестных; аппроксимация искомого решения и построение основных
разрешающих уравнений МКЭ.
Главы 2–4 последовательно рассматривают применение метода конечных элементов в расчетах на прочность при растяжении–сжатии,
поперечном изгибе, кручении. Проводится определение внутренних
силовых факторов, напряжений и перемещений, построение соответствующих эпюр. Учитываются особенности работы стержневых систем,
состоящие в их комбинированном нагружении, например: силовое,
температурное и кинематическое воздействие при растяжении–сжатии.
В главе 5 проводятся расчеты на прочность стержневых систем при
сложных видах нагружения: растяжении–сжатии с кручением, косом

Предисловие

изгибе, косом изгибе в сочетании с растяжением–сжатием, косом изгибе с растяжением–сжатием и кручением. Показаны алгоритмы формирования матриц жесткости и вектора узловых нагрузок для сложных
видов нагружения, которые используют соответствующие результаты
для простых видов нагружения.
В главе 6 приведены типовые расчетные задания по сопротивлению
материалов: расчет ступенчатого стержня при квазистатическом нагружении; определение монтажных и температурных напряжений в стержневых системах; кручение стержней кругового поперечного сечения;
изгиб балки из пластичного материала; расчет плоской статически
определимой рамы; расчет балки на упругом основании; сложные виды
нагружения стержневых систем; расчет вращающегося вала на выносливость.
Данная книга, несомненно, окажется полезной при выполнении
расчетных и других заданий по сопротивлению материалов, откроет
новые возможности в изучении курса с использованием современных
программных средств и даст еще раз возможность подтвердить необходимость совмещения прикладных методов вычислительной математики
с фундаментальными общеобразовательными дисциплинами, что всегда было присуще отечественному образованию и о чем пишет академик РАН, ректор МГУ им. М. В. Ломоносова В. А. Садовничий: «Главное — сохранить традиционное для России глубокое фундаментальное образование. Школа основное обучение должна сосредоточить
на трех дисциплинах — русский язык, математика и история.
Большинство остальных укладывается в эти три фундаментальные дисциплины.»

Г л а в а 1

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В СТАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

§ 1.1. Краевая задача и ее вариационная трактовка

Покажем эквивалентность вариационного принципа виртуальных
перемещений
краевой
задаче
на
примере
стержня,
работающего
на растяжение–сжатие.
Рассмотрим участок стержня длиной a, жесткостью на растяжение EF, находящийся в равновесии под действием распределенной
нагрузки q(z) и сосредоточенной силы P (рис. 1.1).

y

q z( )

u z( )

P
z

z

a

Рис. 1.1

Используем принцип виртуальных перемещений: для того, чтобы
данная стержневая система находилась в равновесии, необходимо
и достаточно, чтобы виртуальная работа внешних сил была равна
вариации потенциальной энергии упругой деформации, т. е.

δA = δU,
(1.1)

где A — работа внешних сил на соответствующих обобщенных перемещениях, U — потенциальная энергия стержня при растяжении–сжатии.

Гл. 1. Метод конечных элементов

Потенциальную энергию упругой деформации представим в виде

U = 1

2

a0

F
εz (z) σz (z)dFdz = 1

2

a0

EF
du

dz

2
dz.
(1.2)

Здесь учтено, что деформация εz связана с продольным перемещением
u (z) соотношением Коши, εz = du/dz, а напряжение σz, в свою очередь, связано с деформацией законом Гука,

σz = Eεz = E du

dz .

Работа внешних сил равна

A =

a0

q (z) u (z) dz + Pu (a) .
(1.3)

При вычислениях вариации в формуле (1.1) смежное состояние определяется только варьированием перемещения u (z). Внешние силы и вызываемый этими силами внутренний силовой фактор Nz (z) (продольное усилие Nz = EFdu/dz) при этом не варьируются. Подставляя (1.2)
и (1.3) в (1.1), имеем

a0

q (z) δu (z) dz + Pδu (a) =

a0

Nz (z) dδu (z)

dz
dz.
(1.4)

При этом учтено, что

δ
du

dz

2
= 2du

dz δ
du

dz

,
δ
du

dz

= dδu

dz .

С учетом формулы

Nz
dδu
dz = d (Nzδu)

dz
− dNz

dz δu

после интегрирования в (1.4) получим

a0

q (z) δu (z) dz + Pδu (a) =

= Nz (a) δu (a) − Nz (0) δu (0) −

a0

dNz (z)

dz
δu (z) dz.
(1.5)

§ 1.1. Краевая задача и ее вариационная трактовка
9

Перепишем полученное уравнение в виде

[Nz (a) − P] δu (a) − Nz (0) δu (0) −

a0

dNz (z)

dz
+ q (z)
δu (z) dz = 0.

(1.6)
Так как вариации δu (z)и δu (a) являются произвольными, а δu (0) = 0
в силу кинематического граничного условия u (0) = 0, то согласно основной лемме вариационного исчисления выполнение условия (1.6) возможно, когда коэффициенты при этих вариациях обращаются в нуль,
т. е.
dNz (z)

dz
= −q (z) ,
(1.7)

Nz (a) = P.
(1.8)

Уравнение (1.7) справедливо при любых значениях z ∈ (0, a), а выражение (1.8) представляет собой статическое граничное условие.
Для определения функции u(z) вместо совместного рассмотрения
уравнений (1.7) и (1.8) можно воспользоваться условием стационарности некоторого функционала Э(u), переписав уравнение (1.6) в виде

Э [u (z)] = 1

2

a0

εz (z) σz (z) Fdz −

a0

q (z) u (z) dz −
i
Qi (zi)u (zi) .

(1.9)
Первое слагаемое в (1.9) описывает потенциальную энергию упругой деформации стержня, второе и третье — работу внешних сил
на соответствующих перемещениях u (z). При этом суммирование распространяется на все сечения, где приложены сосредоточенные силы Qi (zi).
В общем случае связь между деформациями εz и перемещениями
u (z) дается соотношениями Коши. В матричной форме эта связь имеет
вид
εεεεεεεεεz (z) = Bu (z) ,
(1.10)

где матрица В называется матрицей деформаций. Матрица В составлена из операторов дифференцирования, которые для простых видов
нагружения стержня представлены в табл. 1.1.
Напряжения связаны c деформацией законом Гука, который в матричной форме имеет вид

σσσσσσσσσz (z) = Dεεεεεεεεεz (z) ,
(1.11)

где матрица D называется матрицей упругости и зависит от упругих
постоянных: E — модуля Юнга, µ — коэффициента Пуассона, G —

Гл. 1. Метод конечных элементов

Т а б л и ц а 1.1

Вид нагружения
стержня

Операторы дифференцирования
Деформация εz

Центральное
растяжение–сжатие

d/dz
du (z)/dz

Поперечный изгиб
y d2/dz2
y d2u (z)/dz2

Кручение
ρ d/dz (ρ — полярный радиус)
ρ du (z)/dz

Т а б л и ц а 1.2

Вид нагружения
Матрица упругости
Напряжения

Центральное
растяжение–сжатие

E
σz = E du (z)/dz

Поперечный изгиб
E
σz = Ey d2u (z)/dz2

Кручение
G
τ = Gρ du (z)/dz

модуля сдвига. Подставляя (1.10) в (1.11), получим связь между вектором напряжений и вектором перемещений в виде

σσσσσσσσσz (z) = DBu (z) .
(1.12)

В таблице 1.2 представлена матрица упругости и формула для напряжений при простых видах нагружения стержня.
Перепишем выражение (1.9) с учетом (1.10), (1.11) и (1.12) в матричной форме:

Э [u (z)] = 1

2

a0

uT (z) BT DBu (z) Fdz −

−

a0

uT (z) q (z) dz −
i
uT (zi) Qi (zi).
(1.13)

Здесь верхний индекс «T» означает транспонирование вектора или
матрицы.
В табл. 1.3 для простых видов нагружения стержня приведены
примеры постановки краевой задачи и ее вариационной трактовки.
Как видно, существенное различие дифференциальной и интегральной
формулировок заключается в том, что функционал Э [u (z)] содержит
производные от функции до 2-го порядка вместо производных до 4-го
порядка в краевой задаче.

§ 1.2. Основные этапы метода конечных элементов
11

Т а б л и ц а 1.3

Вид и схема
нагружения

Краевая
задача

Вариационная
трактовка

Центральное растяжение–
сжатие

y

z

a EF
,

u z q z
( ) ( )

u z( ) – продольное
смещение

d
dz

EF du

dz

= q

Краевые условия
u (0) = 0, u (a) = 0

Э [u (z)] =

= 1

2

a0
EF
du

dz

2
dz−

−
a0
q (z) u (z) dz

Поперечный изгиб

y

z

a E
,

u z( )
q z( )

Jx

u z( ) – прогиб

d2

dz2

EJx
d2u

dz2

= q

Краевые условия
u (0) = u (a) = 0,
du (z)

dz

z=0 =

= du (z)

dz

z=a = 0

Э [u (z)] =

= 1

2

a0
EJx

d2u

dz2

2
dz−

−
a0
q (z) u (z) dz

Кручение

a G
, Jz

y

z

m z( )

u z( ) – угол
поворота

d
dz

GJz
du
dz

= m

Краевые условия
u (0) = 0, u (a) = 0

Э [u (z)] =

= 1

2

a0
GJz
du

dz

2
dz−

−
a0
m (z) u (z) dz

§ 1.2. Основные этапы метода конечных элементов

1.2.1. Дискретизация стержневых систем.
При расчете стержневых конструкций методом конечных элементов стержневая система
разбивается на совокупность изолированных простых балок (конечных
элементов), взаимосвязанных между собой в узлах. Выбор вида деформации балки и числа узловых переменных зависит от характера
рассматриваемой задачи и от точности решения, которую требуется