Физика в ключевых задачах. Механика. Колебания. Акустика

А.Н. ПАРШАКОВ

ФИЗИКА В КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧАХ

МЕХАНИКА. КОЛЕБАНИЯ 
АКУСТИКА

А.Н. Паршаков
Физика в ключевых задачах. Механика. Колебания. Акустика:
Учебное пособие / А.Н. Паршаков – Долгопрудный: Издательский
Дом «Интеллект», 2013. – 240 с.
ISBN 9785915591331

Учебное пособие является первой частью книги «Физика в ключевых задачах». Рассмотрены принципы и практика решения задач по разделам: механика
(включая специальную теорию относительности), колебания и акустика. Оригинальный подбор задач обусловлен в первую очередь возможностью их использования для иллюстрации фундаментальных законов физики и ее методологических принципов (симметрии, относительности и др.), истинный смысл
которых проявляется именно при решении задач. Рассмотрены не только способы решения конкретных задач, но и, самое главное, с чего начать решение,
какие физические законы и соотношения окажутся полезными в данной ситуации. Приводится анализ возможных путей решения с обоснованием оптимального варианта. Многие задачи сопровождаются обсуждением полученного решения и возможных путей его практического использования.
Предназначено для студентов и преподавателей общей физики инженерных
и физических факультетов университетов, физикоматематических классов
школ и лицеев.

                        © 2013, А.Н. Паршаков
                         © 2013, ООО «Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN 9785915591331

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие издательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Предисловие автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1. Общие принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

1.1. Метод анализа размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Дискретизация временных и пространственных моделей . .
10

Глава 2. Механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

2.1. Системы отсчета в кинематике . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2. Основное уравнение динамики материальной точки и твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3. Законы сохранения в механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.4. Движение в поле тяготения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.5. Неинерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
2.6. Специальная теория относительности. . . . . . . . . . . . . . .
123
2.7. Механика жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152

Глава 3. Колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169

3.1. Методы исследования собственных колебаний. . . . . . . . .
169
3.2. Период, частота и амплитуда собственных колебаний . . .
178
3.3. Гармоническое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
3.4. Колебания при внешнем воздействии . . . . . . . . . . . . . . .
196

Глава 4. Упругие волны. Акустика . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211

4.1. Волновое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
4.2. Акустика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239

ПРЕДИСЛОВИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Перед вами — первый выпуск серии книг «Физика в ключевых задачах».
По замыслу автора и издательства, следующие выпуски будут посвящены электромагнетизму, основам статистической физики и тепловым явлениям, оптике и квантовой физике.
В совокупности они образуют единую книгу, наилучшим образом
дополняющую различные учебники физики и сборники задач. Основное
отличие от известных пособий в обоих этих жанрах — упор на методологические принципы, подробный разбор тем, которым меньше «повезло» в сложившихся программах курса общей физики — а это наиболее
трудные для освоения и интересные разделы физики (например, СТО,
упругие волны).
Уровень изложения во всех задачах заставляет вспомнить лучшие
образцы физико-математической литературы, советской и мировой.
Книга написана чрезвычайно правильным и доходчивым языком,
чего так не хватает нынешним студентам.
Большинство задач доведены «до числа», что особенно необходимо
физикам и инженерам.
В ближайших планах еще и «Современное введение в физику колебаний» того же автора.
В целом, книги А. Н. Паршакова сыграют, надеюсь, заметную роль
в возрождении уровня образования в российских технических университетах.
Предлагаемое учебное пособие не в меньшей мере будет востребовано для углубленного изучения предмета и на всех естественнонаучных
и физических факультетах.

Л. Ф. Соловейчик

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Данное пособие занимает промежуточное положение между вузовским учебником по общей физике и сборником задач. В нем отражен многолетний опыт преподавания автором курса физики на кафедре
общей физики Пермского государственного технического университета
и в физико-математических классах лицея № 1 при ПГТУ. При этом
предполагается, что читатель уже знаком с основными законами физики.
Высокая степень понимания физики определяется не только умением
использовать при решении задач фундаментальные физические законы,
но и методологические принципы физики (симметрии, относительности
и др.), истинный смысл которых проявляется именно при решении
задач. Кроме того, существует и обратная связь между практикой решения конкретных задач и более глубоким пониманием законов физики.
В каждом параграфе, насколько это соответствует логике изложения, за сравнительно простыми задачами следуют более трудные и чаще всего более интересные. Подбор задач обусловлен в первую очередь
их возможностью проиллюстрировать известные физические законы и
общие принципы. Ряд задач посвящен рассмотрению физических парадоксов (например, «парадокс близнецов» в теории относительности).
Наибольшую пользу могут принести задачи, развивающие способность
самостоятельно мыслить и приучающие быть готовым к нестандартной
постановке вопроса. В таком виде книга может служить независимым
учебным пособием по общей физике.
Автор выражает искреннюю благодарность главному редактору ИД
«Интеллект» Л. Ф. Соловейчику за помощь в подборе тематики задач
и обсуждение их результатов.
Пособие предназначено в основном для студентов технических вузов
и будет полезным также преподавателям кафедр общей физики. Однако
изложение построено так, что, опуская отдельные места, связанные с
применением высшей математики, его можно использовать и в классах
физико-математического профиля школ и лицеев.

Г Л А В А
1

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ

1.1.
МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ

Что мы обычно понимаем под решением какой-либо физической задачи? Необходимо, опираясь на физические законы, методологические принципы физики и определения физических величин, в рамках адекватной модели получить выражение в виде формулы, отражающее связь между искомой величиной и какими-либо данными задачи.
Есть и более сложные задачи, в которых необходимо самостоятельно
выбрать исходные данные. Но в любом варианте в основе решения
лежат физические принципы.
Существует и другой подход к установлению связи между физическими величинами, в котором не заложены никакие физические законы,
основанный на теории подобия и размерности.
Понятие размерности возникает в связи с построением систем единиц. В принципе для каждой физической величины можно установить
свою единицу, никак не связанную с единицами других величин. Но тогда в уравнения, выражающие физические законы, вошло бы множество
численных коэффициентов. Во избежание этого некоторые физические
величины условно принимаются за основные. Так, например, в международной системе единиц (СИ) за основные приняты шесть величин:
длина (L), масса (M), время (T), температура, сила электрического
тока и сила света. Величины, не являющиеся основными, называются
производными. Например, размерность силы равна размерности массы,
умноженной на размерность ускорения: [F] = [ma] = MLT−2. Размерность физической величины дает правило, позволяющее определить,
как меняется единица производной физической величины при изменении масштаба основных величин.

1.1. Метод анализа размерностей
7

Понятие размерности возникает в связи с требованием, чтобы в одной и той же системе единиц количественные соотношения между различными физическими величинами выражались одними и теми же формулами, независимо от того, как велики единицы основных физических
величин. На этом основан так называемый метод анализа размерностей.
Суть его заключается в следующем.
Пусть какая либо физическая величина yзависит от нескольких основных физических величин x, например, от длины (L), массы (M) и
времени (T). Тогда требование независимости функциональной связи
между y и x от выбора масштаба единиц основных физических величин
может быть удовлетворено только тогда, когда размерность выражается
формулой степенного вида:

[y] = LαMβT γ,

где α, β и γ — некоторые постоянные числа (доказательство этого
утверждения можно найти, например, в [1]).
Если посмотреть на размерности физических величин, фактически
встречающихся в физике, то можно заметить, что во всех случаях числа α, β и γ оказываются рациональными. Это не обязательно с точки
зрения теории размерности, а является результатом соответствующих
определений физических величин.
Другая теорема утверждает, что во всяком физическом законе типа
A = B размерности обеих частей равенства должны быть одинаковы
(правило размерностей). В равенство типа A = B могут входить в качестве множителей либо постоянные коэффициенты, либо безразмерные комбинации физических величин. Над размерными величинами
правило размерности допускает выполнение только степенных математических операций. Все прочие математические операции (sin x, ex,
ln x и т. д.) могут выполняться только над безразмерными величинами.
Правило размерности очень полезно для проверки полученных формул. Если вычисления проводятся в какой-то одной системе единиц,
то размерности обеих частей всех полученных равенств должны быть
одинаковы.
Метод анализа размерностей сам по себе, т. е. без использования
каких-либо физических допущений, не может привести к каким-либо
конкретным физическим выводам, поскольку в его основе не заложены
никакие физические законы. Для того чтобы извлечь из этой теории
конкретные выводы, нужно установить, между какими физическими
величинами существуют количественные связи. В этом смысле теория
размерностей не может дать никаких указаний. Это можно сделать,
опираясь на физические законы, интуицию и опыт.

Глава 1. Общие принципы

Проиллюстрируем сказанное выше на определении зависимости периода колебаний математического маятника от его параметров и внешних условий. Период колебаний T может зависеть от длины нити l, массы m, ускорения свободного падения g, угловой амплитуды колебаний θ
и коэффициента вязкости воздуха η. Пренебрегая вязкостью воздуха,
в соответствии с методом анализа размерностей мы должны считать,
что зависимость периода колебаний T от параметров l, m, θ и g должна
иметь вид:
T = Cϕ(θ)lαmβgγ,

где C — безразмерная постоянная, α, β и γ — показатели степени,
которые нужно определить. Вид безразмерной функции ϕ(θ) из теории
размерности установить нельзя. Запишем формулу размерности для
периода:
[T] = [L]α[M]β[LT−2]γ.

После упрощений получаем:

[T] = [L]α+γ[M]β[T]−2γ.

Для согласования размерностей в обеих частях последнего равенства необходимо приравнять показатели степени при соответствующих
величинах:
1 = −2γ,
0 = α + γ,
0 = β.

Решение данной системы уравнений имеет вид:

α = 1/2,
β = 0,
γ = −1/2.

Таким образом, зависимость периода колебаний математического маятника от его параметров должна иметь вид:

T = Cϕ(θ)
l
g.

Значение постоянного множителя C не определяется из теории размерности. Точный анализ, основанный на законах Ньютона, дает для
него значение, равное 2π. Значение ϕ(θ) при малых колебаниях приближенно равно единице.
При недостаточном числе основных физических величин (базисе) некоторые величины, имеющие различную физическую природу,
обладают одинаковой размерностью. Обратимся, например, к понятию момента силы ⃗M = [⃗r⃗F]. При анализе размерности момента силы

1.1. Метод анализа размерностей
9

[M] = [r] · [F] = L · LMT−2 не делается различия между символами
размерности длины L. И хотя величины ⃗r и ⃗F имеют разные направления, размерности этих величин представлены с применением одного и
того же символа L.
Для уменьшения числа совпадений размерностей у неоднородных
величин необходимо учитывать векторный характер физических величин. То есть в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть векторные
свойства физических величин, размерность длины L должна быть «разложена» по трем взаимноперпендикулярным направлениям Lx, Ly и Lz.
Эти основные величины можно назвать «векторными единицами длины». При использовании размерностей Lx, Ly и Lz многие формулы
размерностей становятся информативнее. Например, в случае движения
тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, тело обладает
постоянной горизонтальной скоростью vx и вертикальным ускорением
свободного падения g. Обычно размерности величин vx и g записывают
соответственно в виде LT−1 и LT−2. В случае использования «векторных единиц длины» размерность этих величин становится более информативной: LxT−1 и LyT−2.
Для иллюстрации данного подхода рассмотрим задачу об определении дальности полета пули S, выпущенной горизонтально с начальной
скоростью v на высоте h от земли. При отсутствии сопротивления воздуха дальность полета S может зависеть от величин v, h и g. Представим искомую зависимость в виде:

S = Cvαhβgγ,

где C — безразмерная постоянная. В соответствии со сказанным ранее
размерности S, v, h и g будут равны

[S] = Lx,
[v] = LxT−1,
[h] = Ly,
[g] = LyT−2.

Запишем формулу размерности для дальности полета пули:

[S] = [v]α[h]β[g]γ.

После приравнивания соответствующих размерностей в обеих частях
последнего равенства, находим значения коэффициентов α, β, γ:

α = 1,
β = 1/2,
γ = −1/2,

и тогда с точностью до постоянного множителя C выражение для дальности полета пули будет иметь вид:

S = Cv
h
g.

Глава 1. Общие принципы

Нетрудно убедиться, что без использования «векторных единиц
длины» нам не удалось бы получить этот результат (для согласования размерностей получилась бы система из двух уравнений с тремя
неизвестными).
Метод анализа размерности эффективно применять в сложных задачах, например, в гидродинамике, где полная теоретическая трактовка
весьма затруднительна.
В качестве примера рассмотрим задачу о сбросе воды через широкую плотину. Во время паводка высота уровня воды h над кромкой
плотины выросла в два раза. Во сколько раз увеличится водосброс? Так
как ширина плотины остается неизменной, то в качестве меры водосброса можно взять массу воды, сбрасываемой через единицу ширины
плотины за единицу времени — µ ([µ] = кг/(м · с)). Эта величина может зависеть от высоты уровня воды h, ускорения свободного падения g
и плотности воды ρ. В соответствие с методом анализа размерностей
нетрудно получить:
µ = Cραgβhγ,

где C — некоторая константа, α = 1, β = 1/2, γ = 3/2.
Таким образом, водосброс оказывается пропорциональным высоте
уровня воды над кромкой плотины в степени 3/2 и увеличивается
в 2
√

2 раз. Этот результат можно понять и из чисто физических соображений. Увеличение уровня воды, во-первых, пропорционально увеличивает площадь сечения сброса. Во-вторых, в соответствии с формулой
Торричелли (v =
2gh) возрастает и скорость истечения.
Рассмотренный пример наглядно показывает насколько осторожно
нужно подходить к выбору модели задачи и параметров, влияющих на
ее поведение. Если мы искали бы не массу воды, сбрасываемой через
единицу ширины плотины за единицу времени, а зависимость сбрасываемой массы за единицу времени от высоты превышения воды над
плотиной h, то получили бы следующий результат

µ = Cρg1/2h5/2,

что не имеет никакого физического обоснования.

1.2.
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МОДЕЛЕЙ

Любая физическая задача начинается с выбора модели реальной ситуации. С одной стороны выбранная модель не должна быть
слишком сложной, что просто не позволит получить хотя бы какое-то

1.2. Дискретизация временных и пространственных моделей
11

решение. Самый наглядный пример: попытаться, используя законы механики, описать поведение молекул в газах. Бессмысленная попытка,
если учесть гигантское число молекул! С другой стороны принятая
модель должна отражать в соответствие с поставленной задачей все
характерные особенности рассматриваемого явления. Иногда этап выбора модели пропускается, так как по условию задачи уже указано в
рамках какой модели требуется получить решение.
На следующем этапе необходимо определиться с теми физическими законами или утверждениями, которые можно применить в данной
задаче. Иногда эти законы можно сразу использовать в их первоначальном виде, если их область применения соответствует выбранной
модели. Так, если какие-либо два заряда можно принять за точечные,
например, два электрона, то для расчета их взаимодействия можно применять закон Кулона, который и сформулирован для точечных зарядов.
Если мы применим закон Кулона в его первоначальном виде к взаимодействию двух пластин плоского конденсатора, то получим просто
неверный результат. Правда это обнаружится только после решения
задачи. Если же эти пластины не параллельны друг другу, то еще до
решения задачи возникает проблема: а что же принять за расстояние
между пластинами?
В связи с этим возникает вопрос: как применять известные законы физики, которые зачастую сформулированы для идеализированных
объектов (точечные заряды, материальные точки и т. д.), к реальным
объектам? Для этого реальную систему с непрерывным пространственным распределением (массы, заряда...) разбивают на бесконечно малые
элементы, к которым и применяют известные законы. Затем проводится
суммирование (интегрирование) по всем бесконечно малым элементам.
Конечно, само разбиение на бесконечно малые элементы можно проводить различными способами, но при этом необходимо помнить следующее. Во-первых, эти элементы в сумме должны заполнить рассмат
Рис. 1.1

риваемую область без каких-либо
разрывов. Во-вторых, при выборе их
формы разумно учесть симметрию
исходной задачи.
Рассмотрим в качестве примера
задачу о гравитационном взаимодействии двух шаров массами m1 и m2,
центры которых находятся на расстоянии r, превышающем сумму их
радиусов (рис. 1.1). Но вначале решим более простую задачу о взаимодействии шарика массой m1 и материальной точки массой m2.