Эконометрика

В. А. Валентинов

ЭКОНОМЕТРИКА

Практикум

3-е издание

Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
2016

УДК 330.115
ББК 65В6
          В15

Рецензенты:
З. В. Алферова — доктор экономических наук, профессор;
В. Ф. Тулинов — доктор физико-математических наук, профессор.

Валентинов В. А.
Эконометрика: Практикум / В. А. Валентинов. — 
3-е изд. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2016. — 436 с.

ISBN 978-5-394-02111-4

Практикум составлен на основании учебника (В. А. Валентинов) 
и электронного модульного мультимедийного обучающего комплекса 
Есоn3. В нем рассматриваются модели прогнозирования экономических 
процессов при условии соблюдения и нарушения предпосылок метода 
наименьших квадратов. Раскрываются свойства экономических объектов и их воспроизведение с помощью математических моделей. Отражены методы определения оценок параметров модели с использованием 
метода наименьших квадратов, обобщенного метода наименьших квадратов, двухшагового метода наименьших квадратов и косвенного метода 
наименьших квадратов. 
По каждой лабораторной работе приведены целевые установки, 
вопросы для самостоятельной подготовки, даны задания четырех уровней сложности, приведены примеры решения задачи, даны варианты 
выполнения самостоятельной работы студентов, даны дополнительные 
задания, приведены биографии ведущих ученых в области эконометрики, приведены примеры выполнения расчетов с помощью пакетов прикладных программ, дан список рекомендованной литературы. 
Для студентов специальностей «Прикладная информатика в экономике», «Бухгалтерский учет и аудит» и других экономических специальностей.

ISBN 978-5-394-02111-4 
© Валентинов В. А., 2009

В15

СОДЕРЖАНИЕ

 
Введение ..................................................................................................................5

1. 
Визуальные средства расчета характеристик 
 
линейной модели ............................................................................................ 15

2. 
Метод наименьших квадратов ............................................................ 38

3. 
Расчет характеристик линейной регрессии ............................ 67

4. 
Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.
 
Спецификация модели .............................................................................. 99

5. 
Обобщенная линейная модель 
 
множественной регрессии. Мультиколлинеарность .......142

6. 
Обобщенный метод наименьших квадратов. 
 
Выполнение матричных операций ................................................181

7. 
Линейные регрессионные модели 
 
с гетероскедастичными остатками ................................................202

8. 
Регрессионные модели с переменной структурой ............229

9. 
Временные ряды. 
 
Характеристики временных рядов ...............................................242

10. Линейные регрессионные модели 
 
с автокоррелированными остатками ...........................................261

11. Методы преобразования нестационарных 
 
временных рядов в стационарные. Аналитические 
 
и алгоритмические методы выделения неслучайной
 
составляющей временного ряда ......................................................306

12. Модели стационарных временных рядов 
 
и их идентификация ..................................................................................328

13. Система одновременных уравнений. 
 
Понятие о косвенном, двухшаговом методе 
 
наименьших квадратов для решения систем 
 
одновременных уравнений ..................................................................338

14. Адаптивные модели прогнозирования  .........................................356

15. Проведение расчетов с помощью программы 
 
МДиплом .............................................................................................................376

 
Литература .......................................................................................................434

ВВЕДЕНИЕ

Эконометрику можно рассматривать как:
— науку;
— алгоритмы решения экономических задач;
— средство реализации алгоритмов;
— примеры решения типичных экономических задач. 
Эконометрика как наука должна содержать теоретическое 
обоснование эконометрических моделей, с помощью которых 
можно решать экономические задачи. Теоретическое обоснование моделей имеется в учебниках по эконометрике.
Эконометрика как алгоритмы решения экономических задач должна содержать формулы, позволяющие рассчитать все 
характеристики модели и решить поставленные задачи.
Эконометрика как средство реализации алгоритмов должна предложить различные средства проведения расчетов.
Средствами проведения расчетов могут быть такими:
— визуальные;
— средства калькулятора;
— средства вычислительных процессоров Ехсеl, Маt-Lab, 
Mat-Cad;
— пакеты прикладных программ.
Каждое средство имеет свои сильные и слабые стороны, 
возможности и угрозы, описание которых можно предложить 
студентам в виде реферата по эконометрике.
Эконометрика позволяет получить навыки решения аналогичных задач последующем обучении и в производственной 
деятельности выпускника. 
В практикуме рассматривается теоретическая основа эконометрики в виде ответов на вопросы самостоятельной работы 
при входном тестировании, алгоритмы решения типичных эко

нометрических задач, средства их реализации и примеры построения моделей экономических процессов. 
Целями книги заключаются в том, чтобы студент смог быстро решить эконометрическую задачу, при этом он должен 
знать, какие требования предъявляются к выбранной модели, 
какие данные нужно собрать и каким требованиям они должны 
удовлетворять, куда ввести данные, с помощью каких средств 
и как можно быстро выполнить расчеты, как провести анализ 
полученных расчетов, какие выводы можно сделать.
Быстрота решения задачи обеспечивается двумя способами: визуальным и с использованием ПВМ.
Первый способ состоит в том, что студент должен визуально быстро приблизительно вычислить коэффициенты модели и 
ее характеристики, точечный и интервальный прогноз. 
Второй способ заключается в быстром и точном проведении расчетов коэффициентов и характеристик модели с помощью вычислительных средств ПВМ.
Практикум составлен на основе учебника [3] и модульного электронного мультимедийного обучающего комплекса по 
эконометрике Econ3, который можно использовать для дистанционного обучения и имеющего нелинейную структуру, реализованного в Ехсеl. Описание комплекса имеется в учебнике. 
Темы комплекса трансформировались в отдельные лабораторные работы. Нелинейная структура комплекса превращалась в 
линейную с потерей анимации. Были добавлены новые лабораторные работы в соответствии с учебником.
Для получения возможности работы с Econ3 можно обратиться по адресу http://www.kbfcenter.da.ru.
Практикум предназначен для изучения основных моделей 
эконометрики.
Для выполнения лабораторных работ студент должен 
иметь знания по следующим дисциплинам: информатика, теория вероятности, математическая статистика и уметь выполнять расчеты в среде Ехсеl. 
Практикум содержит задания разного уровня сложности 
в зависимости от целей, которые ставит перед собой студент. 

Чем выше сложность задания, тем в большем объеме студент 
сможет изучить эконометрику.
Логическим продолжением практикума является работа 
[2], в которой приводятся примеры построения моделей экономических процессов таких как: модель ценообразования на 
основной капитал; анализ факторов, влияющих на заработную 
плату; прогнозирование совокупных инвестиционных расходов; модель спроса на электроэнергию; модель зависимости 
объем продаж от рекламы; моделирование взаимосвязанного 
спроса на факторы производства и др. 
Для выполнения заданий по углубленному изучению теории эконометрики можно рекомендовать литературу: [6].
Использование в эконометрике средств и методов системы 
качества планируется изложить в отдельном издании.
Условные обозначения и расчетные формулы полностью 
соответствуют учебнику [3].

Условные обозначения
Обозначим выборочные наблюдения через
Х1, Х2, …, Хn;
У1, У2, …, Уn
и введем их арифметические средние

где X — фактор, объясняемая переменная, влияющая на 
следствие У;
У — следствие, зависимая переменная. 
Греческими буквами обозначают параметры модели для 
генеральной совокупности. 
Например, 0, 1 — параметры линейной модели 
У = 0 + 1X+
для генеральной совокупности, 

где  — случайное возмущение или ошибка модели, которая состоит из ошибки уравнения и ошибки измерения.
Латинскими буквами обозначают коэффициенты уравнения регрессии для выборочной совокупности. 
Например, а0, а1 — коэффициенты уравнения регрессии 
У = а0+а1Х+е 
для выборочной совокупности, 
где е = У — (а0 + а1Х) = У — Уp — отклонение или остаток (Гаусс называл его убытком, В эконометрической литературе принято е называть остатком), учитывающий влияние всех факторов, не включенных в модель;
У — фактические значения зависимой переменной;
Уp = а0+а1Х — расчетные значения У;
Х — фактор.
 — белый шум.
m — число степеней свободы.
n — объем выборки.
Т — период периодического колебания.
k — количество всех коэффициентов в модели (включая 
свободный коэффициент).
Например, уравнение регрессии 
У = а0+а1Х + е
имеет два коэффициента: а0 и а1, следовательно k = 2.
t — индекс времени в моделях временных рядов. 
Например, Уt = a0+a1Xt +et, t — индекс времени.
ta1 — фактическое значение критерий Стьюдента для коэффициента а1. 
Например, tа1 = a1/Sa1, 
где Sa1 — среднее квадратическое отклонение коэффициента а1 
от своего математического ожидания 1, или ошибка коэффициента а1.
t/2( = 0,05, m = n — 1) или t/2 — двухстороннее (критическое) табличное значение критерия Стьюдента. 
t( = 0,05, m = n — 1) или t — одностороннее (критическое) табличное значение критерия Стьюдента,

где  — уровень значимости критерия или вероятность 
ошибки при отклонении верной нулевой гипотезы или вероятность совершить ошибку первого рода;
ошибка первого рода — неправильное отклонение нулевой 
гипотезы;
m = n — 1 — число степеней свободы для критерия Стьюдента.
Например, в уравнении регрессии У = а0+а1Х+е, У — зависимая переменная, Х — фактор.
В системах одновременных уравнений У может выступать 
как объясняемая переменная.

{
 У1 = а0+а1Х1+а2У2+ е1, 
  У2 = b0+b1X2 +b2У1 + е2 
В первом уравнении: У1 — зависимая переменная, Х1 — 
фактор, У2 — объясняемая переменная.
Во втором уравнении: У2 — зависимая переменная, Х2 — 
фактор, У1 — объясняемая переменная.
Введем обозначения уравнения регрессии для трех переменных.
Предположим, мы имеем три связанные между собой переменные, которые обозначим через X1, X2, У. Переменная У 
может, например, отражать количество покупок некоторого 
товара в домашнем хозяйстве семьи, Х1 — цена товара, Х2 — 
доход семьи. Произведем выборку объемом n из генеральной 
совокупности, составляющей N семей. Численные значения 
переменных выборки мы будем записывать в таблице.
 
Таблица
Исходные значения выборочной совокупности

i
X1i
X2i
Уi
1
X11
X21
У1
2
X12
X22
У2

i
X1i
X2i
Уi
…
…
…
…

n
X1n
X2n
Уn

Здесь Х1i обозначает величину переменных Хd для i-го домашнего хозяйства. Гипотеза о линейной зависимости У от Х1 и 
Х2 может быть записана в виде
Уi = 0 + 1X1i + 2X2i + i, i = 1, 2, …, n.
Примечание. Большинство статистических пакетов предполагает предложенную схему размещения переменных в таблице базы данных: сначала размещают столбцы факторов Хd, 
последним ставят столбец зависимой переменной У.
Е — ошибка модели.
F — фактическое значение критерия Фишера.
Fкр(α = 0,05; m1 = k — 1; m2 = n — k) — критическое значение критерия Фишера на уровне значимости α и числе степеней свободы m1, m2.
S — среднее квадратическое отклонение для выборочной 
совокупности.
S2 — дисперсия для выборочной совокупности.
 — среднее квадратическое отклонение для генеральной 
совокупности.
2 — дисперсия для генеральной совокупности.
М — условное обозначение математического ожидания.
Например. М(i) = 0 при всех i = 1, 2, …, n.
r — коэффициент корреляции.
r2 — коэффициент детерминации.
R — множественный коэффициент корреляции.
R2 — множественный коэффициент детерминации.
Буквы в формулах, выделенные полужирным шрифтом, 
означают матрицу.
Например. В формуле
А = (Х'Х)-1 Х'У
А, Х, У — матрицы.
Расчетные формулы. Расчет коэффициентов регрессионного уравнения
У = а0 + а1Х + е

А = (Х'Х)-1 Х'У,
где А — матрица коэффициентов модели; 
Х и У — матрицы соответственно факторов и зависимой 
переменной. 
Ошибка модели:

где Урi = а0 + а1Хi .
Основное вариационное уравнение

где = 
 — вариация общая;

 = Сост — вариация остатков;

 = Срег = Собщ — Сост — вариация регрессии.

 
Sобщ
2 = — дисперсия общая.

 
Sоcт
2 = — дисперсия остатков.

 
Sрег
2 = — дисперсия регрессии.

общ
С

рег
C
2
R
=
 — коэффициент детерминации.

Множественный коэффициент детерминации:

Критерий Фишера:

Ошибка коэффициента а0:

Ошибка коэффициента а1:

Критерий Стьюдента для коэффициента а1:

Частный коэффициент детерминации для фактора Х1:

где ti — критерий Стьюдента для фактора Хi

Точечный прогноз:
Упр = а0+а1Хож,
где Хож — ожидаемое значение Х.
95%-ный интервальный прогноз для математического ожидания У:

Расчет коэффициентов модели методом Эйткена:
B = (ХН'ХН)-1 ХН'УН = (Х'V-1Х)-1Х'V-1