Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Задачи по теоретической физике

Покупка
Артикул: 602893.01.01
Доступ онлайн
550 ₽
В корзину
Книга содержит 460 задач различной степени сложности, которые в различное время предлагались студентам МФТИ, и охватывает все основные разделы теоретической физики: Теория поля, Квантовая механика и Статистическая физика. Задачи снабжены подробными решениями и пояснениями. Всем разделам предшествует краткое теоретическое введение, содержащее необходимые сведения для решения и понимания соответствующих задач. Книга предназначена студентам и аспирантам высших учебных заведений, изучающим теоретическую физику.
Белоусов, Ю. М. Задачи по теоретической физике: Учебное пособие/Ю.М.Белоусов, С.Н.Бурмистров, А.И.Тернов - Долгопрудный: Интеллект, 2013. - 584 с. ISBN 978-5-91559-134-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/510284 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Ю.М. БЕЛОУСОВ, С.Н. БУРМИСТРОВ, А.И. ТЕРНОВ

ЗАДАЧИ  
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ  
ФИЗИКЕ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации по образованию
в области прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия для студентов вузов
по направлению “Прикладные математика и физика”

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Ю.М. Белоусов, С.Н. Бурмистров, А.И. Тернов
Задачи по теоретической физике: Учебное пособие/ Ю.М. Белоусов,
С.Н. Бурмистров, А.И Тернов – Долгопрудный: Издательский Дом
«Интеллект», 2013. – 584 с.
ISBN 9785915591348

Книга содержит 460 задач различной степени сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ, и охватывает все основные разделы теоретической физики: Теория поля, Квантовая механика и Статистическая физика. Задачи снабжены подробными решениями и пояснениями. Всем
разделам предшествует краткое теоретическое введение, содержащее необходимые сведения для решения и понимания соответствующих задач.
Книга предназначена студентам и аспирантам высших учебных заведений,
изучающим теоретическую физику.

ISBN 9785915591348
© 2012, Ю.М. Белоусов,
С.Н. Бурмистров, А.И. Тернов
© 2013, ООО Издательский Дом «Интеллект»,
оригиналмакет, оформление

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Ч а с т ь I. Задачи

Глава 1. Теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1. Векторы и тензоры в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . .
40
1.2. Векторы и тензоры в пространстве Минковского . . . . . . . . . . . .
42
1.3. Релятивистская кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.4. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.5. Движение заряженной частицы во внешнем поле . . . . . . . . . . .
49
1.6. Статическое электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.7. Свободное электромагнитное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.8. Запаздывающие потенциалы, излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.9. Электромагнитное поле релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . .
57
1.10. Рассеяние электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Глава 2. Квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.1. Операторы и состояния в квантовой механике . . . . . . . . . . . . .
82
2.2. Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.3. Линейный гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.4. Угловой момент, спин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.5. Движение в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.6. Движение в центральном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.7. Квазиклассическое приближение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.8. Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Оглавление

2.9. Релятивистская квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.10. Сложение моментов. Тождественность частиц . . . . . . . . . . . . . .
97
2.11. Теория атомов и молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.12. Теория рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
2.13. Теория излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

Глава 3. Статистическая физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
3.1. Распределение Гиббса. Термодинамические величины и функции .
142
3.2. Квантовые идеальные газы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
3.2.1. Идеальный ферми-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
3.2.2. Идеальный бозе-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
3.2.3. Идеальный газ элементарных бозе-возбуждений . . . . . . . .
150
3.3. Неидеальные квантовые системы (жидкости). Основы теории конденсированных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
3.3.1. Нормальная (несверхтекучая) ферми-жидкость . . . . . . . . .
152
3.3.2. Сверхпроводимость. Теория БКШ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
3.3.3. Слабонеидеальный бозе-газ. Уравнение Гросса–Питаевского
156
3.3.4. Теория сверхтекучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
3.4. Фазовые переходы и критические явления . . . . . . . . . . . . . . . .
159
3.4.1. Приближение самосогласованного поля . . . . . . . . . . . . . .
159
3.4.2. Функционал Гинзбурга–Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3.4.3. Основы теории критических явлений. . . . . . . . . . . . . . . .
163

Ч а с т ь II. Решения задач

Глава 1. Теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168

1.1. Векторы и тензоры в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . .
168
1.2. Векторы и тензоры в пространстве Минковского . . . . . . . . . . . .
171
1.3. Релятивистская кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
1.4. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
1.5. Движение заряженной частицы во внешнем поле . . . . . . . . . . .
204
1.6. Статическое электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
1.7. Свободное электромагнитное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
1.8. Запаздывающие потенциалы, излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
1.9. Электромагнитное поле релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . .
254
1.10. Рассеяние электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266

Оглавление
5

Глава 2. Квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278

2.1. Операторы и состояния в квантовой механике . . . . . . . . . . . . .
278
2.2. Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
2.3. Линейный гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
2.4. Угловой момент, спин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
2.5. Движение в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
2.6. Движение в центральном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321
2.7. Квазиклассическое приближение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332
2.8. Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337
2.9. Релятивистская квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352
2.10. Сложение моментов. Тождественность частиц . . . . . . . . . . . . . .
366
2.11. Теория атомов и молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
2.12. Теория рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392
2.13. Теория излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407

Глава 3. Статистическая физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
416

3.1. Распределение Гиббса. Термодинамические величины и функции .
416
3.2. Квантовые идеальные газы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
447
3.2.1. Идеальный ферми-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
447
3.2.2. Идеальный бозе-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
472
3.2.3. Идеальный газ элементарных бозе-возбуждений . . . . . . . .
485
3.3. Неидеальные квантовые системы (жидкости). Основы теории конденсированных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
491
3.3.1. Нормальная (несверхтекучая) ферми-жидкость . . . . . . . . .
491
3.3.2. Сверхпроводимость. Теория БКШ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
501
3.3.3. Слабонеидеальный бозе-газ. Уравнение Гросса–Питаевского
510
3.3.4. Теория сверхтекучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
3.4. Фазовые переходы и критические явления . . . . . . . . . . . . . . . .
527
3.4.1. Приближение самосогласованного поля . . . . . . . . . . . . . .
527
3.4.2. Функционал Гинзбурга–Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
532
3.4.3. Основы теории критических явлений. . . . . . . . . . . . . . . .
555

Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
573

1. Дельта-функция Дирака и другие обобщенные функции . . . . . .
573
2. Цилиндрические функции полуцелого индекса . . . . . . . . . . . . .
575
3. Вырожденная гипергеометрическая функция. Полиномы Лагерра .
577
4. Гамма-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
578

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
579

ПРЕДИСЛОВИЕ

Изучение теоретической физики невозможно представить себе без
освоения методов решения задач — это не гуманитарная наука. Именно при решении задач после изучения какого-либо раздела теоретической физики приходит как усвоение, так и понимание пройденного
материала. Перед Вами сборник задач по курсу теоретической физики,
снабженных подробными решениями и пояснениями, которые в том или
ином виде предлагались в различные годы студентам Московского физико-технического института на так называемом базовом уровне сложности. Последний термин появился не так давно, но он вполне адекватно отражает требования, которые предъявляются студентам-физикам,
не обязательно специализирующимся как будущие физики-теоретики.
Итак, в данной книге предложены задачи по трем основным курсам теоретический физики: теории поля, квантовой механике и статистической физике в соответствии с теми курсами, которые изучают
студенты Физтеха в бакалавриате (это вовсе не означает, что другие
разделы теоретической физики менее значимы, просто так сложилось со
времен основания МФТИ). Между различными разделами существует
неразрывная связь, которую мы постарались проследить, и поэтому все
задачи объединены в одном сборнике. В соответствии с этим задачник
состоит из трех разделов, каждому из которых предшествует краткое
введение, напоминающее читателю основные понятия, которые будут в
дальнейшем необходимы при решении предлагаемых задач. Это, если
угодно, своего рода теоретический минимум, который должны знать
студенты после изучения курса. Поэтому можно считать данную книгу
также и учебным пособием. Краткое введение не предполагает последовательного вывода формул. Если вывод какой-либо формулы сам по
себе представляет полезную задачу, мы старались сформулировать его
именно в виде задачи. Мы полагаем, что такой подход помогает студенту лучше понять и усвоить материал. В то же время мы не стремились составить как можно больше задач, а постарались предложить

Предисловие
7

и разобрать такое количество задач, которое мы считаем достаточным
для усвоения и понимания основных курсов теоретической физики.
Решение задач дает студенту возможность проверить свои реальные
знания, которые в идеале не должны быть только набором заученных
сведений. Для преподавателя самостоятельно решенная студентом задача — самый эффективный показатель глубины понимания изучаемого предмета. Самостоятельное решение задач развивает и воспитывает аналитическое и творческое научное мышление. Ответы и методы
решения задач приведены во второй части книги в той же последовательности, что и условия. В пояснениях к задачам и их решениях мы,
по мере возможности, старались избежать использования сложных математических методов или специального аппарата теоретической физики, чтобы изложение было доступно как можно более широкому кругу
студентов-физиков, а не только студентам, которые специализируются
в области теоретической физики. В качестве справочного материала в
конце книги приведены некоторые полезные сведения о специальных
функциях математической физики, часто используемых при решении
различных задач.
Теперь несколько слов о самих задачах. Специфика формулирования
задач часто состоит в том, что трудно найти их истинного автора, поэтому они носят, как правило, «фольклорный» характер. Действительно,
часть задач можно найти в замечательных сборниках задач по теории
поля [3], по квантовой механике [23–25], а также по статистической
физике [31] и, естественно, в соответствующих томах Курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, который составляет основу курса теоретической физики МФТИ. Как правило, эти задачи в различные годы включались (и включаются в настоящее время) в домашние задания студентов. Некоторые из этих задач вошли и в наш сборник, поскольку они стали классическими, и без них трудно представить
себе курс теоретической физики. Однако, наряду с такими задачами
читатель найдет в нашем сборнике и много оригинальных задач, учитывающих особенности курсов, читаемых на разных лекционных потоках. Поэтому нужно понимать, что данный сборник задач — продукт
коллективного творчества сотрудников кафедры теоретической физики
МФТИ, как работающих в настоящее время, так и и тех, кого уже, к сожалению, нет с нами. Особенно хотелось бы отметить роль В. П. Смилги и В. П. Кузнецова, которые работали на кафедре практически с первых лет ее существования и одними из первых начали заниматься составлением и подбором задач. Часть из этих задач уже вошла в «Катехизис» [45] и небольшую книгу «Практическая математика» [46].
Авторы выражают искреннюю благодарность всему коллективу преподавателей кафедры теоретической физики МФТИ, однако все-таки

Предисловие

хотелось бы особо отметить С. П. Аллилуева, С. Т. Беляева, С. С. Герштейна, Р. О. Зайцева, Л. А. Максимова, внесших большой вклад в становление курса теоретической физики и составление заданий, а также
ушедших от нас В. Б. Берестецкого, Б. Т. Гейликмана, В. Н. Горелкина
и И. А. Малкина. Авторы также выражают благодарность доценту кафедры М. Г. Иванову за помощь в подготовке раздела, посвященного
теории поля.

Ч А С Т Ь
I

ЗАДАЧИ

Г Л А В А
1

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

ВВЕДЕНИЕ

1.
Понятие тензора

Все физические явления описываются в теоретической физике с помощью различных математических моделей, в которых физическим объектам ставятся в соответствие математические объекты. Математические объекты описывают физические объекты в пространстве,
задавая их в различных системах координат. При этом любой точке
пространства ставится в соответствие набор координат, число которых
зависит от размерности пространства и которые принято обозначать
как xi, где индекс i принимает все возможные значения в соответствии
с нумерацией осей системы координат и называется свободным индексом. Совокупность координат называется радиус-вектором и обычно,
а в трехмерном случае всегда, обозначается как r.
Свойства физических объектов не могут зависеть от выбора системы координат, и это определяет свойства соответствующих им математических объектов. Например, законы сохранения в физике должны
описываться при помощи математических объектов, имеющих одинаковый вид в разных системах координат. Это — инварианты. Различные
системы координат могут быть связаны между собой с помощью определенного преобразования координат, которое с формально-математической точки зрения представляется некоторой заменой, записываемой
обычно в виде xi = xi(r′). Штрихом принято обозначать радиус-вектор в
преобразованной относительно исходной системе координат. Поскольку
при описании физических объектов необходимо использовать преобразования, имеющие обратные, то для замен координат следует применять
только непрерывные и невырожденные преобразования, т. е. такие преобразования, для которых J = det(∂xi/∂x′k) ̸= 0, где J — определитель
матрицы Якоби, т. е. якобиан данного преобразования.

Введение
11

Инвариантам соответствуют математические объекты, не изменяющиеся при всех заменах (преобразованиях) координат, и эти объекты
называются скалярами. Скаляр не может иметь свободных индексов,
поэтому его можно обозначить как ϕ. Если задан не просто скаляр, а
скалярное поле, т. е. скаляр ϕ(r) как функция точки пространства с
координатами r, то при замене координат r(r′) эта функция изменяется так, чтобы прежние значения соответствовали новым координатам
прежних точек:
ϕ(r(r′)) = ϕ′(r′).

Если преобразования координат линейны, элементы матрицы Якоби
есть просто числа, и выражение для радиус-вектора точки после преобразования системы координат может быть записано в следующем виде:

xi =
k

∂xi

∂x′k x′k ≡ ∂xi

∂x′k x′k.

По дважды повторяющемуся немому индексу принято всегда проводить
суммирование, поэтому знак суммы обычно опускается (правило сум-
мирования).
Если преобразование координат нелинейно, закон преобразования
справедлив не для радиус-вектора, а для его дифференциала:

dxi = ∂xi

∂x′k dx′k.

Вектором (или контравариантным вектором) называется совокупность
величин Ai, которые при преобразовании системы координат изменяются так же, как и компоненты радиус-вектора:

Ai = ∂xi

∂x′k A′k.

Производная скалярного поля по компонентам радиус-вектора — градиент — также будет многокомпонентной величиной, при этом ее вид
будет изменяться при преобразованиях системы координат с помощью
обратной матрицы преобразования. Такой объект принято называть
ковариантным вектором (ковектором) и обозначать буквой с индексом снизу:

∂ϕ
∂xi = ∂ϕ

∂x′k
∂x′k

∂xi ,
ui = ∂x′k

∂xi u′
k.

При ортогональных преобразованиях законы преобразования вектора и
ковектора совпадают, и в таком случае отпадает необходимость различать эти два объекта и вводить верхние и нижние индексы.

Глава 1. Теория поля

Если скалярное поле продифференцировать дважды по компонентам
радиус-вектора, возникнет совокупность величин, характеризующихся
уже двумя свободными индексами, которые преобразуются при замене
координат как произведение компонент двух ковариантных векторов:

Tik =
∂ 2ϕ

∂xi ∂xk = ∂x′l

∂xi
∂x′m

∂xk
∂ 2ϕ

∂x′l ∂x′m ≡ ∂x′l

∂xi
∂x′m

∂xk T′
lm.

Такие математические объекты называются ковариантными тензорами второго ранга. Соответственно, тензор (контравариантный тензор)
второго ранга — это совокупность величин с двумя верхними индексами, которые преобразуются при замене системы координат как произведения соответствующих компонент двух векторов. Ранг тензора определяется числом индексов. В общем случае тензор может быть любого
ранга и содержать как верхние, так и нижние индексы. При этом позиция индекса имеет значение:

Tij...
kl... = T′pq...
rs...
∂xi

∂x′p
∂xj

∂x′q · · · ∂x′r

∂xk
∂x′s

∂xl · · · .

В частности: скаляр — тензор без индексов, вектор — тензор с одним
верхним индексом, ковариантный вектор — тензор с одним нижним
индексом.
Для тензоров определены следующие операции.
Свертка — суммирование по паре повторяющихся индексов, причем
один из них — верхний, а другой — нижний: Tij...il.... При свертке по
одной паре индексов ранг тензора понижается на два. Свертка также
определена для двух тензоров, при этом число пар одинаковых индексов
может быть любым, например: Tij...kl...Skq...mj.... Заметим, что, вообще
говоря,
Tij...
kl...Skq...
mj... ̸= Tij...
kl...Sqk...
jm....

Свертка двух тензоров первого ранга есть не что иное, как их скалярное
произведение: AiBi = (AB).
Тензорное или кронекеровское произведение — поэлементное произведение компонент тензоров, нумеруемых наборами различных индексов: Tij...kl...Spq...mn.... При этом получается тензор, ранг которого равен
сумме рангов тензоров произведения.
Тензорное равенство — два тензора с одинаковым набором верхних
и нижних индексов равны

Tij...
kl... = Sij...
kl...,

если в любой системе координат разность соответствующих компонент
этих тензоров равна нулю. Таким образом, равенство двух тензоров

Введение
13

означает в N-мерном пространстве наличие системы Ns уравнений, где
s — ранг тензора. Отсюда следует, что векторы и тензоры позволяют
записывать физические соотношения в форме, которая не зависит от
выбора системы координат. Это достигается благодаря тому, что обе
части тензорного равенства при замене координат преобразуются по
одному правилу.
Правильно построенная комбинация тензоров автоматически дает
тензор, но для этого должны выполняться следующие правила баланса
индексов.
• Каждое слагаемое и каждая часть равенства должны иметь одинаковые наборы свободных индексов: индексы с одними и теми же
именами должны стоять в одинаковых (верхних или нижних) позициях, причем в каждом члене имя каждого свободного индекса
встречается ровно один раз.
• В каждом слагаемом и каждой части равенства могут быть (или отсутствовать) также немые индексы: каждый немой индекс в каждом
члене либо отсутствует, либо встречается ровно два раза (один раз
сверху и один раз снизу).
• Если в одном слагаемом какой-либо индекс встречается три раза
или более, то в формуле присутствует ошибка.
• Если в одном слагаемом какой-либо индекс встречается два раза сверху, или два раза снизу, то в формуле присутствует ошибка. (Либо мы
работаем с тензорами относительно ортогональных преобразований.)
• Мы можем переименовать какой-либо свободный индекс, если мы
одинаково изменяем его имя во всех слагаемых. При этом надо следить, чтобы новое имя индекса не совпало с именем других индексов, используемых в каждом слагаемом. Аналогично мы можем
подставить вместо свободного индекса его численное значение.
• Мы можем переименовать любой немой индекс в каком-либо слагаемом, одновременно заменяя имя обоих его вхождений. При этом
надо следить, чтобы новое имя индекса не совпало с именем других
индексов, используемых в слагаемом.
Можно получить тензор второго ранга, продифференцировав компоненты радиус-вектора по своим собственным компонентам, и при этом
получится симметричный тензор, компоненты которого инвариантны относительно любых преобразований координат:

δi
k = ∂xi

∂xk =

1,
i = k,
0,
i ̸= k.

Тензор δi
k обычно называют символом Кронекера.

Доступ онлайн
550 ₽
В корзину