Линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия


ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА



В. А. ЛОГИНОВ

к?

                                   КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ


    ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Курс лекций по дисциплине «Математика»для студентов инженерных и экономических специальностей МГАВТ

В. А. ЛОгИНиь

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов инженерных и экономических специальностей МГАВТ

                   Библиотека „ МГАВТ




                                                                                                         Москва 2006

                                    Москва 2006

УДК 514
ББК 22.143

Содержание

  Логинов В.А. Линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия. - М. Альтаир, 2006. - 125с.

  Курс лекций по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии подготовлен доцентом кафедры высшей математики Московской государственной академии водного транспорта, кандидатом технических наук В.А. Логиновым.
  Курс лекций предназначен для студентов МГАВТ и полностью соответствует учебной программе по дисциплине «Математика» для технических и экономических специальностей.
  Изложены теория определителей, матриц, методы решения систем линейных уравнений, основы векторной алгебры, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики
Протокол № 2 от 28 сентября 2005 г.
Рекомендовано к изданию на Учебно-методическом совете МГАВТ
Протокол № 3 от 8 декабря 2005 г.
Рецензент доцент, к. ф.-м. н. Филиппов В.П.

          УДК 514 ББК 22.143 © Логинов В.А., 2006. © МГАВТ, 2006.

Предисловие................................................⁰
1. Системы линейных уравнений. Определители................7
  1.1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители 2-го порядка................................7
  1.2. Свойства определителей второго порядка.............11
  1.3. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными. Определители третьего порядка и их свойства.............12
2. Определители n-го порядка и их свойства.................15
3. Матрицы..............................................  1°
  3.1. Определение..........................................18
  3.2. Действия с матрицами.................................19
  3.3. Ранг матрицы.........................................21
  3.4. Квадратные матрицы. Обратная матрица.................21
4. Система п линейных уравнений с п неизвестными. Правило Крамера...................................................24
5. Общая теория решения систем линейных уравнений (теория Кронекера -Капелли)........................................26
  5.1. Система п линейных уравнений с п неизвестными......26
  5.2. Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными.....................•.....................  20
  5.3. Система m линейных уравнений с п неизвестными......32
6. Метод Гаусса и модифицированный метод Жордана-Гаусса. Решение систем с помощью обратной матрицы..................34
  6.1. Элементарные преобразования матриц..................34
  6.2. Метод последовательных исключений Гаусса и модифициро     ванный метод Жордана - Гаусса .......................35
  6.3. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы................................................  41
7. Векторная алгебра......................................43
  7.1. Векторы в трехмерном пространстве..................43
  7.2. Проекции векторов и операции над ними. Скалярное произведение векторов...................................45
  7.3. Прямоугольная система координат....................47
  7.4. Деление отрезка в заданном отношении...............51
8. Ориентация системы координат. Векторное произведение двух векторов и его свойства...................................52

  8.1. Ориентация двумерной системы координат и векторов на плоскости................................................52

  8.2. Ориентация трехмерной системы координат и векторов в пространстве..............................................54
  8.3. Векторное произведение двух векторов и его свойства..................................................56
9. Смешанное произведение трех векторов.....................58
10. Прямая линия на плоскости...............................60
  10.1. Общее уравнение прямой............................. 60
  10.2. Частные случаи уравнения прямой.................... 62
      10.2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом к, проходящей через заданную точку (л£,.у₀)..............62
      10.2.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.................................................62
      10.2.3. Угол между прямыми, заданными своими угловыми коэффициентами.......................................62
      10.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях...........65
      10.2.5. Векторное уравнение прямой...................  65
      10.2.6. Уравнение в нормальном виде...................68
11. Плос кость в пространстве....,......................... 72
  11.1. У равнение плоскости в общем виде..................72
  11.2. Е екторное уравнение плоскости Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку..........................  73
  11.3. Нормальное уравнение плоскости.....................  74
  11.4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.....................................................74
12. Прямая в пространстве.................................. 75
  12.1. Уравнения прямой в каноническом виде...........;.....75
  12.2. У гол между двумя прямыми в пространстве...............77
  12.3. У равнения прямой, проходящей через две точки......78
  12.4. Точка пересечения прямой с плоскостью..............78
13. Критые второго порядка на плоскости....................80
  13.1. Общее уравнение кривой второго порядка..............80
  13.2 Канонические уравнения кривых второго порядка........80
  13.3. Эллипс............................................. 81
  13.4. Гипербола..............................'...........83
  13.5. Гарабола............................................85
  13.6. Классификация кривых второго порядка................86
14. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве..87

15. п - мерное векторное пространство, п - мерное евклидово пространство................................................99
  15.1. п - мерное векторное пространство.................  99
  15.2. Скалярное произведение в R„. п - мерное евклидово пространство..............................................100
  15.3. Неравенства Буняковского. Угол между векторами......101
  15.4 Линейно независимая система векторов. Базис.........102
  15.5 Переход из одного базиса в другой...................107
16. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.................................110
17. Квадратичная форма........................................119

4

Предисловие

      Настоящий курс лекций соответствует утвержденным рабочим программам по дисциплине «Математика» для студентов МГАВТ инженерных и экономических специальностей.
      13 лекциях отражены стандартные разделы высшей математики, изучаемые студентами в I семестре: теория определителей и матриц, методы решения систем линейных уравнений, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
      В качестве задачников для практических занятий автор рекомендует «Сборник задач по математике для втузов», часть I, под редакцией А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича, задачник П. Е. Лднко, А. Г. Попова, Г. Я. Кожевниковой «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть I, а также «Сборник задач по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии», изданный автором совместно с В.А. Буреевым и предназначенный для студентов факультета экономики и управления.

   1. Системы линейных уравнений. Определители

1.1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители 2-го порядка
      Общий вид системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными выглядит так:
       а,;х + а₎₂у = ^,
       a₂ₗx + a₂₂y = b₂.
Здесь х и у - неизвестные; они входят в уравнения в первой степени, а их произведение отсутствует. Коэффициенты aᵢₖ (i,k = l,2) и свободные члены уравнений й, (i = 1,2) - любые действительные числа. Индексы у коэффициентов aᵢₖ и свободных членов />. используется исключительно из соображений удобства; особенно хорошо это станет понятным, когда число неизвестных будет больше двух. Часто и сами неизвестные содержат индексы. Например, вместо (1.1.1) можно записать систему:
       а„х,+а/₂х, =/>,,
       a₂ₗx,+a₂₂x₂=b₂,
в которой неизвестными являются х; и х₂. При такой записи становится ясной роль индексов: первый индекс в коэффициентах aᵢₖ соответствует номеру уравнения, а второй - номеру неизвестной, к которой относится коэффициент. Индексы свободных членов соответствуют номерам уравнений.
      Решением системы (1.1.2) называется пара чисел (a; fl), которая при подстановке вместо неизвестных (xₜ - а, х₂ = (3) обращает оба уравнения в тождественные числовые равенства.
      П. 1. а) Система уравнений:
       х, + 5х, = 11,
       5х, + х: =7
имеет решение (1;2), что легко проверяется непосредственной подстановкой.
            б) Система уравнений:
       fx; + х; - I,
       [2х. + 2х, =3 решений не имеет.

7

6

       Приведенные примеры говорят о том, что вопрос о разрешимости системы линейных уравнений не так прост, как может показаться с первого взгляда.
       Давайте проведем исследование и выясним, при каких условиях система (1.1.2) имеет решения и сколько таких решений может быть. При этом воспользуемся следующим элементарным приемом: исключим из системы неизвестную х₂, для чего первое уравнение умножим на а₂₂, второе на -а/₂н сложим:
       ( а иа₂₂ - а₁₂а₂₁ )х, = а,,Ь, - а,₂Ь₂. (*).
       Получили уравнение первой степени (*) относительно хг Теперь попробуем исключить из системы неизвестную х,. Действуя аналоги тно, получим уравнение для х₂;
       ( апа22 ~ а12а2! )Х2 ⁼ а 11^2 ~ а21^1 ‘
       Е»ведем такие обозначения: Д = аиа₂₂-а!₂а₂₁, Д, =a₂₂bₛ -а₎₂Ь;, Д₂ = aₙb₂ -a₂Ib,. Тогда уравнения примут вид:
       Л-х₁-Д₁, Д х₂~А₂.        (***).
       Становится очевидным, что возможны следующие три случая. 1) Если А * 0, то легко находим:




Системе имеет единственное решение.
2) Если Л = А, = Д₂ = 0, то уравнения (***), а следовательно, и наша система, имеют бесконечное число решений, т.к. уравнения (*♦*) принимают вид:
           Ох, = 0,
           О ■ х₂ = 0.
и справедливы при любых х, и х₂.
3) Если же А = 0, а хотя бы одно из чисел А, и Д₂ отлично от нуля, то уравнения (***) и наша система решений не имеют.
       Существует очень простая геометрическая трактовка полученных результатов. Если изобразить графически связь между х, и (или х г у) в прямоугольной системе координат, то каждому уравнению первой степени, входящему в нашу систему, соответствует график в виде прямой линии.

1)

Прямые пересекаются; система имеет единственное решение, определяемое координатами точки пересечения.


2)

Прямые сливаются; система имеет бесконечное количество решений: координаты любой точки на прямой являются решением системы.



9

Прямые параллельны и не пересекаются. Система не имеет решений.
      Наше исследование показало, что три числа Д, и zJ,, составленные из коэффициентов системы (1.1.2), определяют, есть ли решения и сколько их. В математике эти числа называются определителями (детерминантами) второго порядка', их принято записывать в виде:



а::
а 22

^11^22   @!2@2>'

Дополнительные определители Д (i = 1,2) составляются так: столбец при неизвестной xₜ в определителе Д заменяется столбцом сво


°!2

° 22

а11а22   а!2а2!

\ап

бодных членов:

а!2
а22.

= 0^,-0,^',

а,2
а22

- сг??й;   a ₜ!b₂,

аи^2 " а21^1 •

Вообще определителем 2 
а
с

= ad-be.

го порядка называется число:

Числа а и d образуют главную диагональ, b и с -побочную (вспомогательную) диагональ. Таким образом, чтобы вычислить определитель второго порядка, надо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов его вспомогательной диагонали.

2
4

= J-4~2-3 = 4-6

б)

соя а
-sina

sin а
cos а

= cos' а + sin² а = 1.

Е определителе различают строки и столбцы. В первом: приме
ре первая строка имеет вид:/ 2, вторая 3 4. Первый столбец 2
второй Аналогично можно выделить строки и столбцы в любом

определ ггеле.
Вернемся еще раз к системе уравнений:
\а..х, + я,,х, = Ь.,
   ¹¹ '  '■ ²   '   (1.1.2)
[а₂₁х, + а,:х, = Ь:.
       Определителем Д этой системы называют определитель, со ставленный из коэффициентов перед неизвестными;

4 =

ь, Ь2

⁼ аП^2 а21^1'

Если определитель системы то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера (по фамилии математика, который впервые их вывел):

       х, = — , i = 7,2. Д
Если же Д - 0, то возможны две ситуации.
а) если Д, = Д = 0, система имеет бесконечное число решений (неопределенная система);
б) если хотя бы один из дополнительных определителей (или оба сразу) отличен от нуля, система решений не имеет (несовместная система).

      1.2. Свойства определителей второго порядка
      Из формулы (1.1.3), определяющей способ вычисления определителей 2-го порядка, легко углядеть следующие свойства.
а) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами, т. е.:
      \ail a!2 _ ail a2l
      ,21  a22  a/2  a22
б) определитель меняет знак, если изменить местами его строки (столбцы):
      Q//       _a2l Я22
      a2i Й.'.Ч ail a!2
      Iй n ° c j _ _ao ati °:; I a22 a2!
в) определитель увеличивается в k раз, если элементы какого-нибудь его столбца (строки) увеличить в к раз:

10

11

                    kaₜ, ₌ₖaₜₗ aₗ₂

            ,J21      °22 a2l a22

Это свойство можно сформулировать по-другому, общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя:
        4 8    I/ 2       I/ 2
             = 4     = 4-3      = 12(1-3-1-2) = 12.
        3 9    |3 9       )/ 3
г) определитель равен 0, если все элементы строки (столбца) равны 0: t) О
                = 0-а,, -0-а» =0.


д) определитель равен 0, если элементы двух строк (столбцов) соот

ветственно равны (пропорциональны):

а И ' а21      ' а2! ~ @ •

»2!

                 3 ⁵ -2³ ⁵
                 6 103 5


1.3. Системы линейных уравнений с тремя неиззестными. Определители третьего порядна и их свойства
       Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:
        aHXl ⁺ ° 12Х 2 ⁺ а/3Х3 ⁼ ^1’
       ‘ a21Xt + a22X2 "*■ &23Х3 ⁼ ^2’ (1-3.1)
        a₃ₗxₜ + а , ,х, + a₃₃x₃ - b₃.
      При решении этой системы можно действовать так: сначала исключит! неизвестную х, из первого и второго уравнений; для этого первое сравнение надо умножить на а₂,, а второе на -а₁}. В результате получим одно уравнение, содержащее неизвестные х, и х₂. Точно так же можно исключить х₃ из второго и третьего уравнений; получим еде одно уравнение, содержащее х, и х.. Таким образом, все сводится к решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными, которую мы решать умеем. Можно показать, что система (1.3.1) в конечной счете будет сведена к уравнениям;
       х, - Л = Д,
      <х₁-Д = Л₂,    (1.3.2)
       л j ■ А ~ Л,,
где A, Д, Д, Д, - так называемые определители третьего порядка. Д

12

называется определителем системы и составляется из коэффициентов aᵢₖ (i,.к = 1,2.3);

    «и  а1г а13                                  
Д = а21 а22 °23 = аиа3!а33 + а12а,}а„ ¥а21а32а13
Q33

(1.3.3)

       — a3ta22aU ~а21а12а33 ~ а32а23а!Г
Выражение (1.3.3) дает форму записи определителя третьего порядка и способ его вычисления. Структура выражения (1.3.3) довольно проста: это есть число, вычисляемое по элементам определителя aₗₜ по следующему наглядному правилу (правилу Саррюса). Составим таблицу Саррюса, полученную из элементов определителя, если справа приписать к ним первый и второй столбцы определителя (рис. 1.1).



Рис. 1.1 .

Мы видим, что надо взять шесть произведений из трех элементов каждое: гри из них, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали (т.е. диагонали ап -а₂₂ -а^), берутся со знаком плюс; три остальные, соответствующие прямым, параллельным побочной диагонали - со знаком минус.
       Дополнительные определители Д (i = 1.2,3) получаются заменой i - го столбца на столбец, составленный из свободных членов системы (1.3.1):



13

=

b,


bₛ

al2 “/3

a22   a23 >

a32   a33

«//

b, a,}
1'2 <h₃ b} aᵢ}

a!2 bₜ a22 Ьг
aJ₂ b,

a



       Е^ернемся к системе (1.3.2) , эквивалентной исходной системе. Если A tO, то имеется единственное решение нашей системы, вычисляемое по формулам Крамера:
       х. = А, i = 1,2.3.  (1.3.4)


Если А -0 и А.=0 (i = 1,2,3), то система имеет бесконечное число

решений, т.е. является неопределенной. В случае же, когда А = 0, а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, система несовместна (не имеет решений).
      Мы видим, что при решении системы трех уравнении с тремя неизвестными мы естественным образом пришли к понятию определителя .1-го порядка. Надо заметить, что все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Вместе с тем возникает ряд новых понятий.
      Рассмотрим произвольный определитель 3 - го порядка:
            a I₂  а₁₃

       Я 21 а22   й23 .

       а31  а32   а33
Вычеркнем из него i - ю строку и к - й столбец, например i = 1, к = 2.
Получим определитель второго порядка, который называется минором элемента aᵢₖ (а₁₂) и обозначается (М/₂):


1-4,^

а21  а23

аз, азз
Величина Aᵢₜ = (-l)l⁺t называется алгебраическим дополнением элемента aⱼₜ (адъюнктом а,к).
       Теперь сформулируем еще одно свойство определителей третьего порядка (которое, впрочем, справедливо и для определителей второго порядка):
е) Сумма произведений элементов а₁к некоторой строки (или столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна величине определителя:

         =                        (1-3.5)
           i=i      к = !

В первой сумме суммирование ведется по первому индексу, т. е. по элементам столбца; во второй суммирование ведется по элементам строки.
     Формула (1.3.5) легко доказывается непосредственным выписыванием всех алгебраических дополнений и сравнением с выражением (1.3.3).
      П. 1. Дан определитель:
      1 2 3|
      4 5 (5.
      7 8 р|
Вычислить минор М₂₃ и алгебраическое дополнение Л₂₃. Вычислить определитель, разложив его по элементам первой строки.


                             Азз = (-7 )мА/зз = —1(~6) = 6.



6     И   5
  + 3 ’ 1
9     \7   8

= 45-48-2(36-42) + 3(32 -35) =

= -3 + 12-9 = 0.

    2. Определители п-го порядка и их свойства
  Определителем п -го порядка называется число вида




          а1) "ац"‘ г

             ап1 ~"апк '”апл
где а:₁ - действительные ( или комплексные) числа, называемые элементами определителя (7 - номер строки, j- номер столбца), п называется порядком определителя.
      Обычно вычисление определителей n-го порядка (при п >3) основано на их свойствах. Для определителей п - го порядка справедливы все свойства а) е), сформулированные для определителей 2 -го и 3 - го порядков.
      П. 1. Вычислить определитель 4 - го порядка


14

15

2 1

del A =

4 0 2
10 6

0 2 3 5

  используя разложение по элементам какой-либо строки или столбца.
       Удобнее раскладывать по элементам того ряда (строки или столбца ) в котором наибольшее число нулевых элементов, т. к. соответствующие алгебраические дополнения вычислять нет необходимо
сти. В нашем примере таким рядом является третий столбец. Поэтому:

      = 4 (-7 - 8)-6 (11-17+1) = -60 + 30 = -30 .
      В заключение сформулируем еще несколько свойств определителей (справедливые для определителей любого порядка); доказательство предполагается самостоятельным.
ж)  Сумма произведений элементов aᵢₖ i - той строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения другой, j - той строки

равна нулю:

            г
                                                    (2.1'1 ы

Это свойство можно сформулировать и для столбцов. aik⁺au’"ai*                                       an"'arn

              anl'"anji~l anₖ⁺ank"'arm ant'"an.ₖ-l ank'"anr.,
з)

аи"'а1п\

Таким образом, если какой-либо ряд (столбец или строка) определителя представлен в виде пар слагаемых, то такой определитель равен

элементам какого
мы воспользовались свойством з) (справа налево).
и) Величина определителя нс изменится, если к

либо ряда прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на произвольное число.
      Доказательство. Пусть дан определитель




    К"'Vя* '”Я«


          '"ап]"'апк ’*’Япл|
Прибавим к элементам j - го столбца соответствующие элементы к - го














Во втором определителе имеется два одинаковых столбца, т. е. он равен нулю. Поэтому определитель не изменит своей величины, что и требовалось доказать.

17

16

      Надо заметить, что свойство и) имеет ключевое значение для вычисления определителей высоких порядков. Обычно в каком-либо ряду ог ределителя искусственно формируют нулевые элементы ((л-/) штук, где п — порядок определителя) и сводят вычисление одного спределитсля п - го порядка к вычислению одного определителя (л-7) - го порядка (а не п таких определителей, как следует из обычногэ разложения по элементам какого-либо ряда).
      П. 2. Вычислить определитель
      2 3-34
      2 1-12
      6 2    10'
      2 3   0 -5
В третьем столбце имеется один нуль и удобные для сложения и умножения цифры. Поэтому сформируем в нем еще два нулевых элемента. Для этого прибавим третью строку ко второй, а утроенную третью строку к первой; получим:
      20  9  0 4
      8   3  0 2
      6   2  1 О'
      2  3   0 -5

состоящая из т строк и п столбцов (матрица размерности да хи); числа называются ее элементами. Если т - п, матрица называется квадратной.
       П. 1.

(1 -1 2

Матрица В-3    5 7

1 имеет т-3 строки и п = 4 столбца.

1 еперь р азложим определитель по элементам третьего столбца: из-за

наличия грех нулевых элементов наш определитель равен: \20 9                    4\      \10 3 4|

1(-1)м-8 3

2=2-3-4 1 2

Теперь вычтем третью строку из второй, а утроенную третью строку -из перво г:

2-3-3

19
  7 =2-31-(-1)^² ■
-5

7 19
3 7

= -6 (49-57)^=48.

3. Матрицы

               3.1. Определение
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида:

!8

Матрица X - -1

имеет т = 3 строки и п = 1 столбец.

Такая матрица иногда называется просто столбцом.
Матрица Y = (3 4 7) представляет собой одну строку.

3.2. Действия с матрицами
      1.      Две матрицы равны, А = В, только в том случае, если их размерности т х п совпадают и совпадают их элементы, т. е.
aij^b,, (ⁱ ⁼ ¹.m;j = l..п).
      2.      Матрицы одной размерности тхи можно складывать (вычитать): С = А±В, при этом cₜₖ-aₗₖ±bᵢₜ, i = 1,...,т; к = 1,...,п. Очевидно, А + В = В + А.
      3.      Произведением матрицы А размерности т*п на число a называется матрица С размерности т х п, при этом:
      С = aA, cᵢₜ = a aₜᵢ, i = 1,...,т;к - 1.....п.
          1(1 2) (/2 ¹
Например, — ■     =
          2 (З 4)    3/ ₂
      4.      Произведение матрицы А размерности mxn на матрицу В размерности пхр называется матрица С размерности тхр, при этом:
i = l.m.j-I....р.

19

      Записывают так: С = А • В = АВ.
Сразу заметим, что порядок матриц в произведении важен. Более того, иногда произведение АВ можно определить, а В А - нет (очевидно, что перемножить можно только такие матрицы, у которых число столбцов первой равно числу строк второй).
      П. 2. Вычислить АВ и В А, если:

А =

1 2 П
4 5 6)

4

6

1-1 + 2-3 + 3-5
4-1 + 5-3 + 6-5

1-2 + 2-4+3 6 А 4-2 + 5-4 + 6-6J

 Некоторые свойства матриц:
 Если операция произведения трех матриц А,В,С выполнима, то она ассоциативна:
      ( АВ)-С = А -(ВС).
 Справедливы также соотношения:
      ( А +В)-С = АС + ВС,   D(A + B) = DA + DB.
 Для транспонированной матрицы справедливы равенства:
      (А')'=А; (аА)’=аА'; (А + В)'= А'+В'; (АВ)'=В'-А'.

(22 28
1/Р 64

'9   12 15'
19 26 33
29 40 5Е

Таким образом, матрица ность 3x3. Ясно, что АВ *

Ч-1 + 2-4 31+4-4 ,51 + 6-4

3-2 + 4-5
5 • 2 + 6 ■ 5

1-3 + 2-6
3 • 3 + 4 ■ 6 5-3 + 6-6,

АВ имеет размерность 2x2, а ВЛ размер-ВА.

      Если в матрице А размерности тихи поменять столбцы на строки с теми же номерами, то получим матрицу А', транспонированную к матрице А:

а//

ац—а,

А'=

а^---чтп)

Иногда для транспонированной матрицы используют символ А т Г.З.

3.3. Ранг матрицы
      Будем считать, что матрица А - прямоугольная, размерности т х п . Выбирая произвольно к ее строк и к столбцов (при этом, разумеется к <min(m;n)), можно получить из этих элементов определитель, порождаемый матрицей А. Это, очевидно, определитель к -го порядка.
      Рангом матрицы А называется наибольшее натуральное число г, для которого существует отличный от нуля определитель порядка г, порождаемый матрицей А. Очевидно, что всегда r<min(m;n). Используется также обозначения: г = г( А) = гл = rang) А).

      3.4. Квадратные матрицы. Обратная матрица
      Мы уже знаем, что матрица размерности ихи, имеющая и строк и п столбцов, называется квадратной.
      Совокупность элементов aᵣₜ (i = l,...,n) называется главной диагональю, а соответствующие элементы - диагональными.
      Если aᵢ} — 0 (i,J = т. е. все элементы матрицы - нули, матрица называется нулевой и обозначается символом 0. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не находящиеся на ее главной диагонали, нулевые, т. е. от ~0, (i * J). Диагональная квадратная матрица с единичными диагональными элементами называется единичной и обозначается Е или 1.
      Нулевая квадратная матрица 0 и единичная матрица Е обладают свойствами:

21

20

      СА = А-О = О,

      ЕА=АЕ = А, где А - произвольная квадратная матрица той же размерности, что и матрицы 0 и Е (убедиться в справедливости этих результатов самостоятельно).
      Отметим еще одно свойство квадратных матриц: если А’ -матрица, транспонированная к матрице А, то det A'— det А, г, = rang( А)-га. = rang( А').
      Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется квадратная матрица В, для которой АВ = Е. Обратная матрица обозначается А~''. Матрица А и обратная к ней матрица /Г' перестановочны'.
      г1А~' = А~'А = Е.

3 2

Вычислим определитель А - |Л| 
-2    1
-10 -7

= 24.

2 1

Л 3 2 = -2 4\ -10

Найдем все алгебраические дополнения:

2 /
1 О
-7 О

Обратная матрица А ¹ существует только для невырожденной матрицы А, т. е. для такой матрицы, для которой |Л| = det А? О.
Порядок вычисления обратной матрицы.
1) Пусть дана матрица:
        Чг'-Лы '
     А = ..... .
            ' ’Ялл х
2) Вычислим
     A = detA*0.

3) Найдем транспонированную матрицу

      Л'= ...........


             \а!п ‘ ' 'апп


4)  Заменим в этой матрице каждый элемент ак₁ на .—, где Аи - ал                                                 21

гебраическое дополнение ак₁. Полученная таким образом матрица и является обратной матрице А •.
Пункты 1) т 4) можно заменить единой формулой для элементов обратной матрицы:
             А
       с~к                       (3.4.1)
              А
       П. 1. Найти матрицу, обратную :к матрице

Элементы обратной матрицы находятся по формуле (3.4.1):


-1 __Ai.
" А 4’

а^~ д 2' ²² А 12

  аз'⁼~А⁼~4’             йп А 24

Следовательно,

Обычно после нахождения обратной матрицы осуществляют проверку АА"’ = .4 ' А = Е (проведите проверку самостоятельно).

22

23