Энергетическая релаксация в примесных металлах, двумерном электронном газе в AlGaAs-GaAs, сверхпроводниковых пленках NbN и детекторы субмиллиметрового и ИК излучения на их основе


Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский педагогический государственный университет»


Г. М. Чулкова, А. А. Корнеев, К. В. Смирнов, О. В. Окунев, А. В. Семенов, А. В. Дивочий, М. А. Тархов, В. М. Воронов, Н. С. Каурова, В. А. Селезнев, Г. Н. Гольцман




Энергетическая релаксация в примесных металлах, двумерном электронном газе в AlGaAs/GaAs, сверхпроводниковых пленках NbN и детекторы субмиллиметрового и ИК-излучения на их основе




Монография










МПГУ

Москва

2012

    УДК 537.311.322:621.315.592
    ББК 22.379.23
    Э651

Рецензенты:
    О. Н. Коротаев - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики факультета физики и информационных технологий МПГУ;
    И. А. Васильева - доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и экспериментальной физики факультета физики и информационных технологий МПГУ.

    Э651 Чулкова Г. М., Корнеев А. А., Смирнов К. В., Окунев О. В., Семенов А. В., Дивочий А. В., Тархов М. А., Воронов Б. М., Каурова Н. С., Селезнев В. А., Гольцман Г. Н. Энергетическая релаксация в примесных металлах, двумерном электронном газе в AlGaAs/GaAs, сверхпроводниковых пленках NbN, и детекторы субмиллиметрового и ИК-излучения на их основе: монография - М.: МПГУ, 2012. - 140 с.


    Монография посвящена обзору исследований влияния эффектов электронного беспорядка на электрон-фононное взаимодействие в металлах, сверхпроводниках, полупроводниках, а также в различных низкоразмерных структурах. Актуальность поднятых в монографии вопросов определяется интесивным развитием нанотехнологий, созданием новых наноструктурированных материалов и уникальных наноэлементов для электроники и фотоники. Упругое электронное рассеяние на границах наноструктур качественно меняет взаимодействие электронов с фононами, что, безусловно, должно учитываться при проектировании соответствующей элементной базы. Прикладная часть работы посвящена контролируемой модификации электронных процессов для оптимизации новых наносенсоров на основе электронного разогрева в сверхпроводниковых и полупроводниковых структурах.
    Монография предназначена для студентов старших курсов, аспирантов и начинающих следователей, работающих в области сверхпроводниковой наноэлектроники.







ISBN 978-5-4263-0118-4

© МПГУ, 2012
© Издательство «Прометей», 2012

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.......................................... 5
ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛЕНКАХ И ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
В ALGAAS/GAAS-ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ.................... 9
   1.1. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ..................................... 9
   1.2. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОН-ФОНОН-ПРИМЕСНОЙ
   ИНТЕРФЕРЕНЦИИ. ТЕОРИЯ......................... 13
   1.3. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИМЕСНЫХ МЕТАЛЛОВ. ЭКСПЕРИМЕНТ............... 17
   1.4. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ В ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ................. 20
   1.5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО
   ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ....... 25
   1.6. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
   ИССЛЕДОВАНИЙ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ............................ 31
ГЛАВА 2. РАЗОГРЕВ ЭЛЕКТРОНОВ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В ТОНКИХ СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ ПЛЕНКАХ. ОБЗОР............................................ 35
   2.1. МЕХАНИЗМ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТКЛИКА
   ПРИ ПОГЛОЩЕНИИ ОДИНОЧНЫХ ФОТОНОВ
   В СВЕРХПРОВОДНИКОВОЙ ТОНКОЙ ПЛЕНКЕ В УСЛОВИЯХ ПРОТЕКАНИЯ ТРАНСПОРТНОГО ТОКА...... 35
   2.2. О МЕХАНИЗМЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕМНОВЫХ ОТСЧЕТОВ СВЕРХПРОВОДНИКОВОГО ДЕТЕКТОРА................. 42
   2.3. ФОРМА И ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ИМПУЛЬСА НАПРЯЖЕНИЯ.....
   2.4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ КВАНТОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ....................... 45
ГЛАВА 3. ОБЪЕКТЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ........... 49
   3.1. МЕТОДИКА НИЗКОЧАСТОТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И
   ТЕХНОЛ ОГИЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ТОНКИХ ПЛЕНОК NB, AL, BE. 49
   3.2. ТЕХНОЛОГИЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ОБРАЗЦОВ СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ ОДНОФОТОННЫХ ДЕТЕКТОРОВ........ 54
   3.3. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ КВАНТОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ И СКОРОСТИ ТЕМНОВЫХ СРАБАТЫВАНИЙ................ 58
   3.4. МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ КВАНТОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ В ДИАПАЗОНЕ ДО 6 МКМ И ДИАПАЗОНЕ ТЕМПЕРАТУР 2-4,9 К.................. 67
   3.5. МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНОВ В 2Б-КАНАЛЕ ALGAAS/GAAS-ГЕТЕРОСТРУКТУР С ПОМОЩЬЮ СПЕКТРОМЕТРА-РЕЛАКСОМЕТРА НА ЛАМПАХ
   ОБРАТНОЙ ВОЛНЫ И ОПИСАНИЕ ИССЛЕДУЕМЫХ ОБРАЗЦОВ     68

ГЛАВА 4. ВЛИЯНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО И ЭЛЕКТРОН-ПРИМЕСНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ НА ПРОВОДИМОСТЬ ПРИМЕСНЫХ МЕТАЛЛОВ................... 73
   4.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ................. 73
   4.2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ....................... 76
   4.3. КОНСТАНТЫ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.. 83
   4.4. СКОРОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ........... 84
   4.5. ВЫВОДЫ....................................... 88
ГЛАВА 5. ВРЕМЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ В ГЕТЕРОПЕРЕХОДАХ ALGAAS/GAAS ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ.............................. 89
   5.1. ВОЛЬТ-АМПЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ОСЦИЛЛЯЦИИ ШУБНИКОВА-ДЕ ГААЗА..................... 89
   5.2. ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ........ 92
   5.3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ....................... 96
   5.4. ВОЗМОЖНОСТИ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ ИССЛЕДОВАННЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУР ДЛЯ СОЗДАНИЯ ПРИЕМНИКОВ СУБМИЛЛИМЕТРОВОГО ДИАПАЗОНА........ 98
   5.5. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ.......................... 99
ГЛАВА 6. СВЕРХПРОВОДНИКОВЫЕ ОДНОФОТОННЫЕ ДЕТЕКТОРЫ НА ОСНОВЕ УЛЬТРАТОНКОЙ ПЛЕНКИ NBN......... 100
   6.1. ЭФФЕКТ ОДНОФОТОННОГО ДЕТЕКТИРОВАНИЯ В НАНОСТРУКТУРАХ ИЗ ТОНКОЙ СВЕРХПРОВОДНИКОВОЙ ПЛЕНКИ NBN....................................... 100
   6.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КВАНТОВОЙ
   ЭФФЕКТИВНОСТИ.................................... 105
   6.3. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ............................. 110
   6.4. ЗАВИСИМОСТЬ КВАНТОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОТ ТОЛЩИНЫ СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ ПЛЕНКИ................ 111
   6.5. ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ ТЕМНОВОГО СЧЕТА ОТ ТРАНСПОРТНОГО ТОКА............................ 114
   6.6. КВАНТОВАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ И МОЩНОСТЬ, ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ШУМУ NBN-ДЕТЕКТОРОВ НА ДЛИНАХ ВОЛН 1,26-6 МКМ И ДИАПАЗОНЕ ТЕМПЕРАТУР 2-4,9 К........ 117
   6.7. МОЩНОСТЬ, ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ШУМУ................ 121
   6.8. ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОФОТОННЫХ СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ ДЕТЕКТОРОВ....................................... 122
   6.9. ВЫВОДЫ...................................... 125
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................... 126
ПРИЛОЖЕНИЕ. РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ В ПРИМЕСНЫХ МЕТАЛЛАХ НА ПРИМЕРЕ NB С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРИРОВАННОЙ
СИСТЕМЫ MATHCAD..................................... 127
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРОВ........................... 129
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................... 131

Введение


     Монография посвящена экспериментальному исследованию особенностей энергетической релаксации в тонких неупорядоченных металлических пленках, гетероструктурах с двумерным электронным газом на границе, сверхпроводниковых пленках и разработке детекторов субмиллиметрового и инфракрасного диапазонов. В работе отражены результаты исследований авторов, проведенных в 1994-2010 гг.
     Одним из базовых элементов современной электроники является тонкий слой (субмикронной или нанометровой толщины) проводящего материала, в котором носители тока находятся в неравновесных условиях. Это может быть слой металла, полупроводника или сверхпроводника. Неравновесность создается внешним воздействием - излучением, током, ультразвуком, - что диктуется принципами работы того или иного электронного устройства, в состав которого входит подобный тонкослойный элемент. Для разработки адекватных моделей таких устройств (например, сверхвысокочувствительных приемников излучения) чрезвычайно важно понимание механизмов энергетической релаксации носителей тока в таких структурах.
     При низких температурах и в условиях интенсивного электрон-электронного взаимодействия определяющим каналом энергетической релаксации является электрон-фононное взаимодействие. Изменение времени энергетической релаксации, определяемое процессом электрон-фононного взаимодействия, можно осуществлять путем варьирования рабочей температуры, количества примесей, размерности и т.д. Использование этих возможностей позволяет получать параметры устройств, оптимальные для тех или иных практических применений.
     Исследование энергетической релаксации является фундаментальной проблемой как для многих разделов физики конденсированного состояния, так и для большого числа приложений. Процесс энергетической релаксации зависит от различных факторов: наличия примесей, дефектов решетки, границ, флуктуаций удерживающего потенциала. Многочисленные исследования показывают, что электрон-фононное взаимодействие значительно изменяется в неупорядоченных и низкоразмерных проводниках. Скорость энергетической релаксации электронов и температурная зависимость сопротивления в примесных металлах, тонких пленках и полупроводниковых низкоразмерных структурах существенным образом отличаются от тех же величин в чистых объемных материалах.
    С одной стороны, это связано с тем, что в неупорядоченных тонких пленках металлов и квантовых ямах спектр фононов может быть сильно модифицирован по сравнению с чистыми объемными металлами и в зависимости от условий фононы могут быть либо двумерными, либо трехмерными.
    С другой стороны, в неупорядоченных проводниках возникают дополнительные каналы рассеяния. Кроме процесса «чистого» электрон-фононного рассеяния, которое имеет место в чистых металлах, существует дополнительный процесс: неупругое рассеяние электронов на колеблющихся примесях, дефектах или колеблющихся границах и удерживающем электронном потенциале. Совместно с упругим рассеянием электронов и чистым электрон-фононным рассеянием этот механизм порождает широкое разнообразие интерференционных процессов.
    В теоретических работах [107, 111] показано, что в неупорядоченных металлах (q£ < 1, q - волновой вектор теплового фонона, £ - длина свободного пробега электронов) электрон-фононное взаимодействие должно ослабляться и скорость энергетической релаксации те ₋ph⁻¹ оказывается пропорциональной (q£)то⁻¹ (то⁻¹ ~ T - скорость релаксации в чистом металле). В противоположность этому выводу многие авторы

5

[40, 41, 99, 133] утверждали, что неупругое рассеяние электронов на примесях должно усиливать электрон-фононное взаимодействие и соответствующая скорость релаксации есть тe_ph⁻¹ ~ (q£)⁻¹то⁻¹. Разногласие между этими двумя концепциями было разрешено в работе Рейзера и Сергеева [33], где было продемонстрировано, что корректные расчеты подтверждают справедливость первой концепции [107, 111]. В частности, было показано, что благодаря квантовой интерференции при условии q£ < 1 вклад неупругого электрон-примесного рассеяния в энергетическую релаксацию электронов отсутствует, поэтому результат работ [40, 41, 99, 133] ошибочен. Диффузное движение электронов в области рассеивающего потенциала удлиняет время взаимодействия и увеличивает электрон-фононную связь. Однако большой вклад диффузионно усиленного чистого электрон-фононного взаимодействия компенсируется диффузионно усиленным неупругим рассеянием электронов на примесях.
    Поправки к остаточному сопротивлению, обусловленные неупругим электрон-примесным рассеянием, рассчитывались многими теоретиками [23, 54, 82, 83, 137]. Значительные расхождения в теоретических результатах связаны с интерференционным характером рассматриваемых явлений, когда пренебрежение частью процессов приводит не только к изменению численного коэффициента при вычисляемой величине, но и к изменению знака эффекта. Все интерференционные процессы были рассмотрены в статье Рейзера и Сергеева [32], где были учтены все возможные каналы рассеяния и с помощью различных методов (линейный отклик, квантовое кинетическое уравнение) было показано, что, когда q£ > 1, имеется существенная квадратичная по температуре поправка к сопротивлению, определяемая электрон-фонон-примесной интерференцией. Вклад продольных фононов становится отрицательным и существенно меньшим, чем положительный вклад поперечных фононов.
    Температурные зависимости сопротивления примесных металлов и тонких пленок измерялись во многих работах, и квадратичный по температуре вклад в сопротивление, который наблюдался в [27, 39, 47], мог быть как промежуточной асимптотикой к вкладу чистого электрон-фононного взаимодействия (Блоха-Грюнайзена), так и непосредственно вкладом электрон-фонон-примесной интерференции. Для окончательного решения вопроса о природе квадратичного по температуре вклада в сопротивление примесных металлов необходимо исследовать его зависимость от степени разупорядоченности, то есть от длины свободного пробега электронов. Кроме того, важную информацию позволят получить эксперименты с различными материалами, и особенно с имеющими высокую температуру Дебая, где вклад электрон-фонон-примесного взаимодействия должен оказаться существенным в очень широкой области температур, вплоть до T = 300 K.
    В низкоразмерных структурах (квантовых ямах, гетероструктурах) модификация электрон-фононного взаимодействия в основном связана с изменением энергетического спектра электронов: в частности, в вырожденных структурах благодаря меньшей по сравнению с металлами энергии Ферми становится существенным размерное квантование плотности состояний. В то же время фононы, по крайней мере в гетероструктурах, остаются трехмерными, так как для фононов отсутствует граница между двумерным слоем и объемным материалом. Примеси и дефекты в двумерных структурах, так же как и в металле, порождают дополнительные каналы рассеяния.
    В вопросе о величине и температурной зависимости вклада чистого электрон-фононного взаимодействия в различных материалах пока нет полной ясности. Эта проблема в числе прочего тесно связана с нахождением предельной подвижности при низких температурах, которая определяется рассеянием на акустических фононах. В настоящее время даже в лучших структурах, полученных благодаря последовательному

6

усовершенствованию процессов роста гетероструктур в течение ряда лет, измеренная подвижность электронов (большая, чем 10⁷ см²/В-с при гелиевых температурах) обусловлена примесным рассеянием, и предельные, ограниченные фононным рассеянием, величины подвижности вряд ли могут быть достигнуты. До сих пор значение предельной подвижности при низких температурах можно было оценить из измерений мощности энергетических потерь, приходящихся на один электрон, в условиях сильного разогрева. Прямые измерения времени энергетической релаксации в квазиравновесных условиях, которое определяется только неупругим взаимодействием электронов с фононами и не зависит от упругого рассеяния на примесях, позволяют в конечном итоге определить предельные значения подвижности с большей точностью. Прямые измерения времени энергетической релаксации в полупроводниковых гетероструктурах при низких температурах позволят существенно расширить понимание процессов электрон-фононного взаимодействия в них.
    Исследование процессов энергетической релаксации в сверхпроводниковых тонкопленочных наноструктурах в присутствии тока, близкого к критическому, является одним из самых актуальных вопросов физики сверхпроводников и обсуждается во многих работах последнего времени [10-12, 16, 21, 36, 49, 57]. Изучение деталей процесса установления равновесия позволяет выработать более адекватные теоретические представления. Кроме того, многие устройства криогенной электроники функционируют в условиях, далеких от равновесия, и поэтому изучение неравновесных процессов в сверхпроводниковых наноструктурах имеет большое фундаментальное и прикладное значение.
    Например, для создания ультрачувствительных приемных устройств электромагнитного излучения важен наибольший квантовый выход, то есть количество квазичастиц, образующееся после поглощения фотона сверхпроводящей пленкой. Таким свойством обладают приборы, в которых тее < те, где тее - время электрон-электронного неупругого рассеяния, а те - время релаксации энергии электронов. При этом вся энергия поглощенного излучения сначала распределится только по электронной подсистеме.
    В достаточно тонких пленках наблюдается явление электронного разогрева, когда между электронной и фононной подсистемами не устанавливается термодинамического равновесия [10-12, 16, 21, 36, 49, 57]. Это происходит, если тes < тр^е, где тes - время ухода неравновесных фононов из пленки, а тphe - время неупругого рассеяния фононов на электронах. При электронном разогреве отсутствуют энергетические потери на болометрический нагрев пленки в целом и быстродействие прибора полностью определяет величина тeph. Реализация обоих из перечисленных условий приводит к высокой чувствительности приемников с одновременным повышением их быстродействия [9, 14, 15, 56, 58, 59, 113].
Структура монографии
    Монография состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.
      В главе 1 представлен обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию электрон-фононного взаимодействия в металлических пленках, содержащих примеси. В этой главе также представлен обзор теоретических и экспериментальных работ по исследованию электрон-фононного взаимодействия в двумерном электронном газе в гетеропереходах AlGaAs/GaAs.
      Во главе 2 приведен обзор моделей механизмов возникновения отклика при поглощении одиночных фотонов в сверхпроводниковой тонкой пленке в условиях протекания транспортного тока, близкого к критическому значению.
      Глава 3 посвящена объектам и методам исследования и применяемым в данной работе экспериментальным методикам.

7

       В главе 4 представлены экспериментальные результаты по исследованию влияния интерференции электрон-фононного и электрон-примесного взаимодействий на проводимость примесных металлов.
       В главе 5 представлены результаты измерения времени энергетической релаксации двумерных электронов тг в гетеропереходах AlGaAs/GaAs.
       В главе 6 описан эффект однофотонного детектирования оптического излучения в тонких сверхпроводящих пленках NbN и исследованы условия его наблюдения. Изложены экспериментальные результаты исследования зависимости квантовой эффективности от величины транспортного тока, толщины сверхпроводящей пленки и спектральной зависимости. Приведен краткий обзор практического применения сверхпроводникового однофотонного детектора.

8

Глава 1. Электрон-фононное взаимодействие в неупорядоченных металлических пленках и двумерном электронном газе в AlGaAs/GaAs-гетероструктурах

    В данной главе представлен обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию электрон-фононного взаимодействия в металлических пленках, содержащих примеси. Основное внимание уделяется интерференции электрон-фононного и электрон-примесного рассеяния. В этой главе также представлен обзор теоретических и экспериментальных работ по исследованию электрон-фононного взаимодействия в двумерном электронном газе (2Э-газ). Из обширного материала по этому вопросу мы выделим работы, связанные с электрон-фононным взаимодействием в вырожденном 2Э-газе, возникающем на границе гетероперехода GaAs и AlGaAs. Этот материал с технологической точки зрения наиболее совершенный, и в лучших структурах в настоящее время получены наиболее высокие подвижности (>10⁶ см²/В-с). Наши исследования также выполнены на этом материале.

1.1. Основные механизмы рассеяния электронов в металлах

    Известно, что квазиимпульс электрона не изменяется в поле идеальной периодической кристаллической решетки. Изменение квазиимпульса может иметь место только под влиянием непериодической части потенциального поля. Это означает, что рассеяние электронов происходит на любых нарушениях идеальной структуры решетки кристалла. Такими нарушениями являются тепловые колебания (фононы), дефекты решетки (дислокации, вакансии и примесные атомы), а также отклонение от периодичности самосогласованного потенциала электронов Uee, связанное с взаимодействием электронов друг с другом [2, 22].
     Рассеяние электронов на фононах определяется эффективностью элементарного акта взаимодействия и числом фононов, с которыми электрон может взаимодействовать. В чистом металле эффективность взаимодействия электронов с фононами уменьшается при увеличении длины волны фонона Xq. Этот эффект связан с тем, что при увеличении Xq растут размеры областей сжатия и разрежения в решетке, при одной и той же амплитуде колебаний уменьшается градиент потенциала, а следовательно, и силы, действующие на электроны. Таким образом, при Xq ^ ю эффективность электрон-фононного взаимодействия должна стремиться к нулю. Наиболее эффективно электроны рассеиваются на продольных фононах. Взаимодействие электронов с поперечными фононами малоэффективно, так как сдвиговые волны, которым соответствуют поперечные колебания, создают лишь слабую модуляцию плотности и, следовательно, потенциала в решетке. Изменение элементарного объема при сдвиговых деформациях возникает только во втором порядке по малому вектору смещения иона. Вследствие этого взаимодействие электронов с поперечными фононами проявляется только во втором порядке теории возмущений, тогда как взаимодействие с продольными фононами является эффектом первого порядка.
     В зависимости от соотношения волновых векторов электрона и фонона рассеяние может происходить или в пределах одной зоны Бриллюэна (такие процесы называются нормальными, или N-процессами), или же волновой вектор электрона после взаимодействия с фононом (волновой вектор фонона q) попадает в соседние зоны (такие процессы называются процессами переброса, или U-процессами).


9

Нормальные процессы рассеяния, при которых электрон из состояния с волновым вектором k переходит в состояние с волновым вектором k', удовлетворяют законам сохранения энергии и квазиимпульса в следующем виде: ——                                 —»
                          Е( k' ) = Е( k )±Й® q, й k' = й k ±й q.                                (1.1)

      Рассеяние, сопровождающееся процессами переброса, принципиально отличается от нормального рассеяния (рис. 1.1). Процесс переброса открывает дополнительный канал рассеяния, который не описывается условием (1.1). В процессах переброса электрон в дополнение к волновому вектору фонона может приобрести или потерять волновой вектор 2л g, где g - вектор обратной решетки. Поэтому рассеяние с перебросом удовлетворяет законам сохранения энергии и квазиимпульса в виде: ——                                   ——
Е( k' ) = E( k )±Й® q,
Й k' = Й k ±Й q ±2лй g.                     (1.2)


Рис. 1.1. Схематическая иллюстрация: а) нормальных процессов и б) процессов расеяния с перебросом для металлов со сферической поверхностью Ферми, полностью

расположенной в первой зоне Бриллюэна [3]


      При процессах переброса избыточный квазиимпульс передается кристаллу как целому. Процессы переброса можно рассматривать как процессы, сопровождающиеся рождением или поглощением фонона электроном с одновременным брэгговским отражением. Чем ближе друг к другу расположены поверхности Ферми в соседних зонах Бриллюэна, тем при более низких температурах процессы переброса дают заметный вклад в рассеяние электронов. Однако обычно относительная роль этого рассеяния оказывается малой при Т < 0d, где 0d - температура Дебая.
     При высоких температурах Т >> 0d, когда все фононы вовлечены во взаимодействие, вероятность рассеяния пропорциональна квадрату амплитуды

10

смещений ионов из положений равновесия и рl ~ Т,, где рl — удельное сопротивление. При низких температурах законы сохранения приводят к тому, что с электронами могут взаимодействовать не все фононы, а лишь те, у которых q порядка pp. При температурах ниже дебаевской следует учесть изменение числа фононов с температурой и кинетику электрон-фононного взаимодействия. Скорость энергетической релаксации пропорциональна Т: 1/тe_ph ~ Т [2]. Рассматривая релаксацию импульса, следует учесть, что значение q мало по сравнению с волновым вектором Ферми кр, то есть электроны в

металле могут рассеиваться только на малые углы, и отдельный акт рассеяния на малый угол малоэффективен. Таким образом, электрон совершает диффузионное движение по поверхности Ферми с шагом q и изменение импульса Aq достигается после примерно Pf/ q процессов рассеяния. В результате сопротивление изменяется по закону рl ~ Т. Формально процессы, приводящие к обмену энергией и квазиимпульсом между электронной и фононной подсистемами, влияют на функцию распределения электронов, фигурирующую в кинетическом уравнении. Из решения кинетического уравнения с учетом электрон-фононного взаимодействия можно получить формулу, которая будет описывать зависимость сопротивления от температуры и показывать, какие свойства металла определяют величину рl. Это было выполнено Блохом и Грюнайзеном [64]. Формула Блоха-Грюнайзена была получена для случая сферической поверхности Ферми без учета процессов переброса (считается также, что система фононов находится в тепловом равновесии, а ее спектр является дебаевским):
. (T \⁵ Г® Л
Рl (T) — ⁴РеШ Д I,                              (I.³)


—    3Й q о G (0)
Р® 161² к₀ ⁴ vP ² к 0D
0 F D


(1.4)

х
;5 ⁽Х⁾ —f
0

( eZ

z⁵ dz
1) • (1 - e ⁻ z )



(1.5)


    х-д.

где T . Здесь р@ - сопротивление металла при температуре, равной температуре Дебая, q о - максимальный волновой вектор фонона для N-процессов. Несмотря на все аппроксимации, формула Блоха-Грюнайзена описывает температурную зависимость удельного сопротивления многих металлов с очень хорошей точностью.
      При высоких температурах Т >> 0, функция 3 = 1/T • (0DT) , тогда рр = р0 • T/0d, то есть сопротивление пропорционально среднему квадрату амплитуды теплового смещения атомов из положения равновесия, который пропорционален абсолютной температуре.
      При низких температурах верхний предел интеграла практически бесконечен и 3>>)
функция v ⁷ стремится к пределу
3₅(») - 5!С(5) -124,4

где С,

да
     дзета-функция Римана ^(х) — ^ n х , а удельное сопротивление n—1

11

                                           пропорционально пятой степени температуры.
      В формуле Блоха-Грюнайзена не учитываются процессы переброса. Займан учел U-процессы и получил выражение для рL весьма похожим на формулу Блоха-Грюнайзена с заменой температуры Дебая другим параметром - 0 r, который несколько меньше 0d, определенной из данных по теплоемкости. И тем не менее, как показал Грюнайзен [64], экспериментальные данные для большего числа металлов неплохо описываются законом (1.3) (рис. 1.2 из [2]), количественное согласие хуже. Значения сопротивлений одновалентных металлов [2, 3] в высокотемпературном приближении отличаются от расчета в 3—4 раза; для поливалентных металлов расчеты по формуле Блоха-Грюнайзена дают менее надежные результаты.
      Электрон-электронное взаимодействие. Хотя между свободными электронами металла имеется кулоновское отталкивание, их поле на больших расстояниях экранируется коллективным движением электронного газа, в результате чего остается лишь короткодействующий потенциал вида
2    -/
                           U (-) = ² • е -r / r
                                  r .                                  (1.6)
     Потенциал (1.6) должен приводить к электрон-электронному рассеянию. Электрон-электронное рассеяние N-типа, однако, не может дать вклада в сопротивление вследствие того, что полный заряд и полный импульс при таких столкновениях должны сохраняться. Однако могут иметь место электрон-электронные процессы с перебросом, —в результате которых суммарный квазиимпульс изменяется на 2лЙ g. Благодаря таким

электрон-электронным столкновениям импульс может передаваться решетке как целому, и такие столкновения начинают давать вклад в сопротивление. Величина этого вклада, однако, сильно подавлена благодаря действию принципа Паули.
     Акт электрон-электронного рассеяния N- или U-типа может иметь место, только если оба начальных состояния заняты и оба конечных - свободны. А это значит, что начальные и конечные состояния обоих электронов должны отличаться от энергии Ферми на величину порядка kpT. Это приводит к появлению множителя (kpT./Ер)², уменьшающего вероятность перехода, этот множитель определяет температурную

зависимость электрон-электронного вклада в сопротивление.
    Согласно [64] электрон-электронная часть сопротивления

квадрату температуры:

Р ее ~

m Ef I kT
F
ⁿe² ” ( Ef

пропорциональна

(1.7)

где n - плотность электронов.
     Для всех металлов электрон-электронную часть сопротивления можно наблюдать только в области очень низких температур, да и то если она полностью не маскируется остаточным сопротивлением, обусловленным наличием примесей.
     Рассеяние электронов статическими дефектами обычно (и вполне обоснованно) рассматривается как вполне упругий процесс. Примесный ион, создающий возмущение кристаллического поля, примерно в 10⁴ раз тяжелее рассеиваемого электрона. Кроме того, рассеивающий центр привязан к своему равновесному положению в решетке довольно большими упругими силами. Поэтому изменение энергии электрона при рассеянии мало. Возмущающий потенциал, создаваемый любым из точечных дефектов в металле, в первом приближении сферически симметричен.
     При этом, если рассеяние упругое, то квазиимпульс электрона изменяется, а энергия сохраняется. Так как Ер >> kT даже при комнатных температурах, примесное

12