Прочность, устойчивость стержней и стержневых систем

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 

М. Н. Серазутдинов 

ПРОЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ
СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ  
СИСТЕМ 

Учебно-методическое пособие 

Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 

УДК 539.3/.6(075) 
ББК 30.121я7

С32

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. Р. А. Каюмов 
канд. физ.-мат. наук, доц. С. А. Луканкин 

С32 

Серазутдинов М. Н. 
Прочность, устойчивость стержней и стержневых систем : учебно-методическое 
пособие / М. Н. Серазутдинов; Минобрнауки России, Казан. 
нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 92 с. 

ISBN 978-5-7882-3120-4

Рассмотрены основные сведения из разделов дисциплины «Сопротивление 
материалов», относящихся к вопросам расчета на прочность и устойчивость 
статически определимых и статически неопределимых стержневых систем. 
Приведены решения задач и задания для самостоятельной работы. 
Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Сопротивление 
материалов», обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 13.03.01 
«Теплоэнергетика и теплотехника», 14.03.01 «Ядерная энергетика и теплофизика», 
15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 16.03.03 «Холодильная, 
криогенная техника и системы жизнеобеспечения». 
Подготовлено на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов. 


ISBN 978-5-7882-3120-4
© Серазутдинов М. Н., 2022
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2022

УДК 539.3/.6(075) 
ББК 30.121я7

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................... 4 

1. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ................................................ 7 

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ....................................................................................... 7 
1.2. КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА ДЛЯ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ .............................................. 8 
1.3. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА ......................................... 13 
1.4. РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТА 

СНИЖЕНИЯ ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ .......................................................... 15 

2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ ......................... 25 

2.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ ................................ 25 
2.2. ТЕОРЕМА КАСТИЛЬЯНО .................................................................................. 30 
2.3. МЕТОД МОРА ................................................................................................... 32 
2.4. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ ......................... 44 
2.5. МЕТОД СИЛ ...................................................................................................... 47 

3. ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ ....................................... 56 

3.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ .................................................................................... 56 
3.2. РАСЧЕТЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 

НА ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ........................................................................ 58 
3.3. ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНОЙ РАБОТЕ «ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ 

СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ» ....................................................................................... 87 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................... 92 

В В Е Д Е Н И Е  

В данной работе излагаются вопросы расчетов на прочность, 
устойчивость стержней и стержневых систем. Представлены основные 
сведения из разделов дисциплины сопротивления материалов «Устойчивость 
сжатых стержней», «Энергетические методы определения перемещений», «
Статически неопределимые системы». Приведены примеры 
решения типовых задач. Приводятся задание для выполнения самостоятельной 
работы (расчет плоской статически неопределимой стержневой 
системы на прочность и устойчивость) и примеры его выполнения.  
Для освоения представленного материала необходимо знание 
разделов сопротивления материалов, в которых излагаются сведения об 
элементарных видах деформаций. Приведем краткие сведения о расчетах 
на прочность стержней при растяжении-сжатии изгибе и кручении. 
Расчет на прочность при растяжении и сжатии. В поперечных 
сечениях стержня при растяжении и сжатии возникают равномерно 
распределенные по сечению нормальные напряжения  

, 

где 
 – продольная сила; 
 – площадь поперечного сечения. 
Условие прочности имеет вид 

, 

где 
 – допускаемое напряжение. 
Расчет на прочность при кручении. При кручении стержня 
с поперечным сечением в виде круга и кольца в его поперечных сечениях 
возникают касательные напряжения, которые вычисляются по формуле  

. 

Здесь Т – крутящий момент; Iр – полярный момент инерции сечения 
стержня; 
 – радиус-вектор точек сечения. 
Получается, что при кручении касательные напряжения прямо 
пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой 
точки (см. рисунок).  

A
N
=
s

N
A

[ ]
s
£
=
s
A

Nmax
max

[ ]
s

r
=
t

p
I
T

r

Получается, что при кручении касательные 
напряжения прямо пропорциональны 
расстоянию от центра тяжести сечения 
до рассматриваемой точки (см. рисунок).  

Наибольшие напряжения возникают 
в точках контура сечения при 
 = R: 

. 

Величина 

называется полярным моментом сопротивления сечения. 
Максимальные значения касательных напряжений в стержне 

. 

Для того чтобы материал вала не разрушался, величина 
 не 
должна превышать допускаемого напряжения 
.  
Условие прочности при кручении имеет вид 

. 

Из этого условия (2) можно определить величину полярного момента 
сопротивления сечения  

и найти размеры сечения. 
Для круглого сечения 

, 

где R – радиус круга. 
Для сечения в виде кольца 

, 

где 
 – внешний радиус кольца; с = r/R; r – внутренний радиус кольца. 

r

R
I
T

p
=
tmax

R

I
W
p
p =

p
W
Т
=
tmax

max
t

]
[t

]
[
max
max
t
£
=
t

p
W

T

]
[

max
t
= T
Wp

2

3
R
Wp
p
=

÷ø
ö
çè
æ -
p
=
4
3
1
2
c
R
Wp

R

Распределение  
касательных напряжений 

в сечении вала

Расчет на прочность при изгибе. При плоском изгибе в попе-

речных сечениях стержня возникают нормальные и касательные напряжения. 
Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня вычисляются 
по формуле 

. 

Здесь Mx – изгибающий момент в сечении балки; Ix – осевой момент 
инерции; y – координата точек поперечного сечения. 

Как видно из последней формулы, 
 пропорционально значе-

ниям координат точек у (по высоте сечения изменяется по линейному 
закону). Максимальное по модулю значение напряжения возникает 
в крайних слоях балки, в точках, наиболее удаленных от нейтральной 
линии поперечного сечения, при 
:  

. 

Здесь 
 – расстояние от оси Ох до наиболее удаленной точки сече-

ния балки. Последнюю формулу можно записать в виде 

, 

где 
 – осевой момент сопротивления сечения. Например, для 

прямоугольного сечения, ширина которого b, а высота – h,  

, 
. 

В большинстве случаев при расчете на прочность при изгибе 

определяющим является условие прочности для нормальных напряжений, 
которое формулируется следующим образом: максимальное значение 
нормального напряжения в балке не должно превышать допускаемого 
напряжения. Следовательно, должно выполняться неравенство 

. 

y
I
M

x

x
=
s

s

max
y
y =

max
max
y
I
M

x

x
=
s

max
y

x

x

W

M
=
smax

max
y
I
W
x

x =

12

3
bh
Ix =
2

max

h
y
=

[ ]
s
£
=
s

x

x

W

M

max

max

1 .  У С Т О Й Ч И В О С Т Ь  С Ж А Т Ы Х  С Т Е Р Ж Н Е Й  

1.1. Основные понятия 

Многие механические системы могут находиться в устойчивом 

и неустойчивом состояниях. Состояние системы называется устойчивым, 
если малые возмущающие силы не приводят к существенному изменению 
ее исходного положения. Состояние системы будет неустойчивым, 
если малые возмущения приводят к существенному изменению 
ее исходного положения. 

На рис. 1.1 представлен простейший пример устойчивого и не-

устойчивого состояния равновесия системы. Шар, расположенный на 
дне вогнутой сферы (рис. 1.1а), находится в устойчивом положении 
равновесия, так как при любом малом отклонении от него он возвращается 
в исходное положение. Шар на рис. 1.1б, находящийся на вершине 
выпуклой поверхности, находится в неустойчивом состоянии равновесия, 
так как любое малое отклонение его от этого положения равновесия 
приведет к значительному отклонению от начального состояния.  

 

 

Рис. 1.1. Положение шара: а – устойчивое, б – неустойчивое 

 

Практика эксплуатации конструкций показала, что в некоторых 

случаях выполнения расчетов на прочность и жесткость оказывается 
недостаточно для обеспечения надежности конструкции. Это связано 
с тем, что многие элементы конструкций могут терять устойчивость. 
Так, например, при сжатии стержень может изогнуться (рис. 1.2а), 
а при плоском изгибе направление прогиба балки может существенно 
отклониться от линии действия нагрузки (рис. 1.2б). 

В рассмотренных случаях стержень при деформировании зани-

мает новое положение равновесия, которое существенно отличалось от 
исходного. Такое явление перехода от одного равновесного состояния 
к другому называется потерей устойчивости. 

 

 

Рис. 1.2. Стержни при потере устойчивости 

 

Следовательно, явление потери устойчивости может возникать 

и для сжатого стержня. Если величина сжимающей силы F меньше некоторого 
значения Fкр, то стержень сохранит свое прямолинейное положение. 
В случае 
 стержень изогнется, потеряет устойчивость. 

Сила 
, при которой сжатый стержень теряет устойчивость, называ-

ется критической силой. 

1.2. Критическая сила для сжатого стержня 

Определим величину Fкр для сжатого стержня с шарнирно за-

крепленными концами. После потери устойчивости стержень изогнется 

кр
F
F ³

кр
F

и займет положение, показанное на рис. 1.3 штриховой линией. Изогнутое 
положение стержня будет определяться прогибом 
. Величину 

прогиба балки 
 при изгибе можно определить, решая дифференци-

альное уравнение изгиба балки 

.                                      (1.1) 

 

Рис. 1.3. Сжатый стержень при потере устойчивости  

 

Как видно из рисунка, величина изгибающего момента в сече-

ниях стержня 

. 

Подставляя это выражение для Мх в дифференциальное уравне-

ние изгиба (1.1), получим 

, 

где  

. 

Общее решение этого уравнения 

.                           (1.2) 

Здесь С и D – постоянные интегрирования. Величина прогиба 

балки зависит и от того, как она закреплена. Поэтому константы С и D 
определяются из условий закрепления стержня (граничных условий). 

)
(z
v

)
(z
v

x

x

EI
M

dz

v
d
-
=
2

2

)
(z
v
F
M
кр
x =

0
2

2

2

=
+
v
k

dz

v
d

x

кр

EI

F
k =
2

( )
( )
( )
kz
D
kz
C
z
v
sin
cos
+
=

Как видно из рис. 1.3, по концам стержень шарнирно закреплен, 

поэтому прогиб на опорах должен быть равен нулю. Граничные условия 
имеют вид 

1) при 
, 
;       

2) при 
, 
. 

Подставляя выражение (1.2) в первое граничное условие, полу-

чаем 

. 

С учетом того, что 
, из последнего уравнения полу-

чается 
. Следовательно, формула (1.2) принимает следующий 

вид: 

. 

Подставляя это выражение во второе граничное условие, полу-

чим 

. 

Последнее уравнение выполняется при 
, а также при 
, 

, где n = 1, 2,… .  

Случай 
 не будем рассматривать, так как при 
 полу-

чается 
. В этом случае стержень остается прямолинейным и не 

теряет устойчивости.   

Рассмотрим случай 
, n = 1, 2,… . С учетом принятого ра-

нее обозначения  

 

и из равенства  

 

получается 

. 

Следовательно,  

0
=
z
0
)
0
(
=
v

l
z =
0
)
(
=
l
v

( )
( )
0
0
sin
0
cos
=
+ D
C

( )
( )
0
0
sin
,1
0
cos
=
=

0
=
С

( )
( )
kz
D
z
v
sin
=

(
)
0
sin
=
l
k
D

0
=
D
(
)
0
sin
=
l
k

n
l
k
p
=

0
=
D
0
=
D

( )
0
º
z
v

n
l
k
p
=

x

кр

EI

F
k =
2

n
l
k
p
=

n
l
EI

F

х

кр
p
=

, n = 1, 2,… . 

При n = 1 получается минимальное значение критической силы  

.                                        (1.3) 

Эта формула используется для определения критической силы, 

при действии которой шарнирно закрепленный по концам стержень теряет 
устойчивость. 

Отметим, величина D что в полученном выражении для прогиба 

 

осталась неопределенной. В случае потери устойчивости стержня это 
не является существенным. После потери устойчивости сжатый стержень 
изгибается и теряет свою несущую способность. Поэтому в большинстве 
случаев расчетов на устойчивость не имеет смысла исследовать 
состояние стержня после потери устойчивости. Важно установить 
сам факт потери устойчивости и определить силу Fкр. 

Формула (1.3) получена для шарнирного закрепления концов 

стержня. Можно показать, что при других способах закрепления 
концов стержня формула для определения критической силы, при которой 
стержень теряет устойчивость, имеет вид 

,                                         (1.4) 

где μ – коэффициент приведенной длины, зависящий от способа закрепления 
концов стержня.  Формула (1.4) называется формулой Эйлера.  

Значения коэффициента μ для различных случаев закрепления 

стержня представлены на рис. 1.4.  

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что потеря устой-

чивости стержня происходит в плоскости Оуz (см. рис. 1.3). Поэтому 
в формулы (1.3), (1.4) входит величина осевого момента инерции Ix. Потеря 
устойчивости стержня может произойти и в плоскости, перпендикулярной 
к Оyz. В этом случае в формулы (1.3), (1.4) вместо Ix должна 
входить величина Iу. В общем случае потеря устойчивости стержня 

(
)

2

2

l

EI
n
F
x

кр

p
=

2

2

l
EI
F
x

кр

p
=

( )
( )
kz
D
z
v
sin
=

2

2

)
( l

EI
F
х

кр
µ

p
=