Вероятностные модели в микроэкономике и популяционной динамике

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

А. В. Михеев

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ 

В МИКРОЭКОНОМИКЕ 

И ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКЕ

Монография

Казань

Издательство КНИТУ

2021

УДК 519.86
ББК 22.18

М69

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. С. И. Филиппов
канд. физ.-мат. наук, доц. Е. А. Турилова

М69

Михеев А. В. 
Вероятностные модели в микроэкономике и популяционной динамике : 
монография / А. В. Михеев; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2021. – 108 с. 

ISBN 978-5-7882-2987-4

Рассмотрен новый подход к построению вероятностных моделей, применимых для опи-

сания состояний экономических (популяционных) систем. Показаны способы нахождения законов 
распределения случайных величин, характеризующих поведение экономических (популяционных) 
систем, и описания статических и динамических состояний этих систем с их помощью. 
Приведены примеры последовательно вероятностного объяснения хорошо известных 
экономических законов и явлений, а также сценариев динамики численности популяций. Примеры 
проиллюстрированы численными экспериментами. Проведено сопоставление теоретических 
результатов с эмпирическими данными.

Предназначена для бакалавров, обучающихся по направлениям 27.03.03 «Системный ана-

лиз и управление», 38.03.02 «Экономика», и магистров, проходящих подготовку по направлению 
38.04.01 «Экономика».

Подготовлена на кафедре высшей математики.

Подписано в печать 25.03.2021
Формат 6084 1/16 

Бумага офсетная 
Печать ризографическая 
6,27 усл. печ. л.

6,75 уч.-изд. л.
Тираж 100 экз. 
Заказ 15/21

Издательство Казанского национального исследовательского
технологического университета 

Отпечатано в офсетной лаборатории Казанского национального 

исследовательского технологического университета 

420015, Казань, К. Маркса,  68 

ISBN 978-5-7882-2987-4
© Михеев А. В., 2021 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2021 

УДК 519.86 
ББК 22.18 

Редактор Д. С. Аношкина

П р е д и с л о в и е

В современной экономической теории сосуществуют два основ-

ных конкурирующих научных направления – неоклассическая экономическая 
теория («мейнстрим») и экономическая физика («эконофи-
зика») [1]. Доминирующим в экономике направлением является «мей-
нстрим». Оно зародилось в конце XIX в. в результате так называемой 
«маржиналистской революции». Основоположниками маржинализма 
считаются У. С. Джевонс (1835–1882) и Л. Вальрас (1834–1910), 
а наиболее полное и систематическое изложение неоклассической экономической 
теории впервые было сделано Альфредом Маршаллом 
в книге «Принципы экономической науки» [2]. Работы представителей 
мейнстрима в минимальной степени математизированы и сосредоточены 
главным образом на качественном объяснении экономических явлений 
и процессов [1, 3, 4]. Математические модели, используемые 
в этих работах, как правило, выполняют не объяснительную, а иллюстративную 
функцию. Многие базовые понятия неоклассической экономической 
теории, например функция полезности, не поддаются точному 
количественному описанию, что делает невозможным построение
строгих математических моделей, опирающихся на эти понятия и объясняющих 
какие-то экономические явления [1, 3, 4]. В частности, это 
приводит к тому, что мейнстрим, как количественную экономическую 
теорию, практически невозможно верифицировать на огромном эмпирическом 
материале, имеющемся как в микроэкономике, так и в макроэкономике. 
В рамках мейнстрима нет работ, которые бы объясняли те 
или иные количественные эмпирические закономерности, давно обнаруженные 
при наблюдении за реальной экономикой.

С другой стороны, экономическая физика реализует последова-

тельно количественный подход к описанию и объяснению экономических 
явлений [1, 3–5]. Основу математического аппарата, используемого 
в эконофизике, составляет теория динамических систем. Таким 
образом, математическая модель в эконофизике – это дифференциальное 
уравнение или система дифференциальных уравнений на такие экономические 
величины, которые имеют простое количественное определение: 
количество товара, потребляемого в единицу времени (функция 
интенсивности спроса); оборотные средства предприятия; производительность 
труда и др. [1, 5]. Результатом решения этих дифференциальных 
уравнений являются зависимости исследуемых экономических 

величин от таких параметров, как цена на товар, текущее время, себестоимость 
товара, количество денег, имеющихся у потребителя и др.
Все эти зависимости легко могут быть верифицированы с помощью 
сравнения с соответствующими эмпирическими зависимостями, 
наблюдаемыми в реальной экономике. В этом состоит главное преимущество 
эконофизики по сравнению с мейнстримом: эконофизика «заточена» 
на количественное объяснение эмпирических закономерностей, 
существующих в реальной экономике [1, 3, 4]. Отчасти эконофизике 
удается найти такие объяснения. Наибольший интерес представляют
простейшие, базовые экономико-математические модели, разработанные 
эконофизикой: модель борьбы условных информаций, модель
скрытого банкротства, модель фазового перехода из высокопроизводительного 
состояния в низкопроизводительное, модель отрыва финансового 
сектора от реального производства [5]. Кроме того, эконофизика 
оказалась успешной при анализе свойств биржевых рядов [6, 7].

Однако эконофизика имеет и ряд существенных недостатков, от-

мечаемых, в частности, представителями мейнстрима [4]:

1. Как правило, дифференциальные уравнения, используемые

в эконофизике для описания экономических явлений, практически без 
изменений были позаимствованы из различных областей физики, где 
они успешно объясняли те или иные физические явления. Физические 
теории, основанные на этих дифференциальных уравнениях, как и любые 
другие теории, содержат в себе множество приближений и допущений, 
которые иногда существенно ограничивают их применимость.
Очевидно, что приближения, которые были вполне разумными при 
описании физических явлений, могут оказаться необоснованными и 
слишком грубыми при рассмотрении экономических явлений. Именно 
поэтому простой перенос математических моделей из физики в экономику 
часто создает излишне упрощенные экономические модели, в которых 
не отражена вся сложность описываемых ими явлений.

2. Экономические законы не обладают таким уровнем всеобщно-

сти и не являются настолько же незыблемыми, как физические законы. 
Например, физический закон: «Энергия покоя тела равна произведению 
массы покоя тела на квадрат скорости света», справедлив во всей 
наблюдаемой Вселенной. В то же время экономический закон: «Спрос 
убывает с ростом цены на товар» для некоторых видов товаров и потребителей 
нарушается. Соответствующее явление называется аномальным 
спросом и встречается не так уж и редко. Но даже если этот закон 
справедлив для всех интересующих экономиста ситуаций,

функциональная зависимость, реализующая его, может быть разной для 
разных рынков и даже может меняться со временем в пределах одного 
рынка товара. С точки зрения неоклассического подхода, все эти отклонения 
от экономического закона должны быть составной частью математической 
модели, претендующей на объяснение этого закона. Это 
своеобразное условие полноты экономико-математической модели на 
практике очень трудно выполнить, если при построении модели использовать 
математический аппарат дифференциальных уравнений.

Все эти трудности, с которыми сталкивается экономическая тео-

рия при построении математических моделей, привели многих современных 
экономистов к мысли, что экономические законы в принципе 
не могут быть описаны математически строго. Не стоит даже пытаться 
строить такие модели, поскольку практическая польза от них будет незначительной 
в силу их неизбежной неполноты. По мнению этих экономистов, 
на практике можно довольствоваться эмпирическими закономерностями, 
а в теории достаточно качественных объяснений [3].

Столь прагматичный подход к построению экономической тео-

рии, пронизанный пессимизмом по отношению к возможностям математики, 
хотя и не лишен смысла, но все-таки не верен. Корректное и полное 
математическое описание экономических законов возможно. Все, 
что для этого требуется, – математический аппарат, адекватный природе 
и сущности затрагиваемых в этих законах экономических явлений.

Экономические явления по своей природе являются социаль-

ными. Следовательно, они представляют собой результат взаимодействия 
большого количества индивидуумов, например, потребителей на 
рынке или работников на предприятии. Такие важнейшие экономические 
величины, используемые для описания этого взаимодействия, как 
цена на товар, доходы потребителя, себестоимость товара и т. д. с математической 
точки зрения являются случайными, так как случайными 
являются процессы, определяющие их частные значения. Отсюда следует 
неизбежный вывод: математическая природа экономических явлений 
сугубо вероятностная и для корректного и полного описания экономических 
законов необходим математический аппарат теории вероятностей.


В настоящее время существуют три подхода к учету случайности 

при математическом моделировании экономических явлений и процессов. 
Первый основан на том, что любая экономическая система представляет 
собой сложную нелинейную динамическую систему. Дифференциальные (
разностные) уравнения, входящие в систему уравнений, 

описывающую процессы в такой системе, также являются нелинейными. 
Хорошо известно, что при определенных значениях параметров 
нелинейные динамические системы обнаруживают хаотическое поведение. 
Возникает явление детерминированного хаоса. Экономическая 
система ничем не отличается от других сложных динамических систем 
и при определенных условиях должна демонстрировать непредсказуемое 
хаотическое поведение [8]. Однако такой подход противоречит истинной 
вероятностной природе экономических явлений, так как предполагает, 
что хаотическое поведение экономической системы является 
исключительной ситуацией, свидетельствующей о том, что параметры 
этой системы достигли некоторых вполне определенных критических 
значений. В то время как в реальности, стохастическое поведение экономической 
системы является нормой, а не исключением.

Во втором подходе предполагается, что в математической мо-

дели экономического явления или процесса невозможно учесть все факторы, 
влияющие на значения интересующих исследователя экономических 
величин. Воздействие неучтенных факторов на поведение экономической 
системы является непредсказуемым для исследователя и,
чтобы описать это воздействие, в дифференциальные уравнения, моделирующие 
поведение экономической системы, или непосредственно 
в функциональные зависимости одних экономических величин от других 
вводятся случайные параметры [9, 10]. Далее, как правило, с помощью 
численных экспериментов исследуется влияние случайных параметров 
на решение дифференциальных уравнений или непосредственно 
на характер функциональных зависимостей одних экономических 
величин от других. При этом, в частности, используется математический 
аппарат теории вероятностей.

Такой подход по-прежнему предполагает, что экономические ве-

личины по своей математической природе не являются случайными. Их 
истинное поведение является детерминированным. Как говорил А. Эйнштейн: «
Бог не играет в кости». Если при каких-то условиях некоторая 
экономическая величина с точки зрения исследователя хаотично меняет 
свое значение, то это является следствием неучтенности в модели всех
факторов, оказывающих влияние на значение этой величины. Для объяснения 
нерегулярного поведения экономической величины достаточно
учесть в модели все эти факторы. При этом отпадет необходимость вводить 
в математическую модель случайные параметры.

В свое время в физике существовала теория скрытых парамет-

ров [11]. Она похожим образом объясняла случайное поведение 

микрообъектов (например, элементарных частиц): любая измеримая 
система имеет скрытые внутренние параметры, изменение значений которых 
ответственно за кажущееся случайным поведение этой системы.
Впоследствии экспериментально и теоретически было доказано, что существование 
скрытых параметров противоречит исходным принципам 
квантовой механики. Вследствие этого в современной физике полагают, 
что случайность в поведении микрообъектов не является кажущейся, 
она присуща этому поведению изначально. 

Так же как и поведение микрообъектов в физических системах, 

поведение элементарных составляющих экономических систем изначально 
является случайным. Не существует таких способов управления
поведением индивидуумов в реальной экономике, с помощью которых 
это поведение можно было бы сделать полностью детерминированным. 
Поэтому экономические величины, значения которых формируются 
в результате взаимодействия индивидуумов в экономических системах,
являются случайными. Следовательно, единственно верным способом 
математического описания экономических величин является задание
законов распределения этих величин любым приемлемым с точки зрения 
теории вероятностей способом, например с помощью плотности 
распределения вероятностей или характеристической функции. Никакими 
неучтенными в модели параметрами (скрытыми параметрами) 
объяснить случайный характер экономических величин невозможно.

Таким образом, два из существующих в настоящее время подхо-

дов к учету случайности в экономической теории не являются последовательно 
вероятностными. В силу этого использующие их математические 
модели имеют ограниченные объяснительные возможности при 
интерпретации экономических явлений и законов.

Третий подход к учету стохастичности в экономических моделях 

основан на теории марковских процессов [10]. Так же как и два предыдущих 
подхода, он использует дифференциальные (разностные) уравнения 
в качестве главного инструмента построения математической модели.
Однако в теории марковских процессов дифференциальные (разностные)
уравнения записываются не на средние значения наблюдаемых экономических 
величин, а на вероятности перехода экономической системы из 
одного состояния в другое. Если вероятности переходов известны, то вычислить 
с их помощью математическое ожидание экономической величины, 
фиксирующей состояние системы, не составляет труда.

Несмотря на то что такой подход является последовательно веро-

ятностным, он обладает одним существенным недостатком. При записи 

дифференциальных (разностных) уравнений на вероятности перехода 
невозможно явно учесть все особенности взаимодействия элементов 
экономической системы. Поскольку именно это взаимодействие и формирует 
в экономической системе процессы, приводящие к смене ее состояний, 
без его детального описания на этапе построения модели 
нельзя объяснить наблюдаемое поведение экономической системы. 
Вследствие этого в экономике математические модели, основанные на 
теории марковских процессов, носят скорее описательный, нежели объяснительный 
характер. С их помощью легко ответить на вопрос «Как 
происходит смена состояний экономической системы?», но ответить на 
вопрос «Почему смена состояний происходит именно так, а не как-то 
по-другому?» такие модели не могут.

Популяционная динамика, как и эконофизика, при построении ма-

тематических моделей в основном опирается на математический аппарат 
теории динамических систем: зависимость от времени численности популяции 
является решением дифференциального (разностного) уравнения 
либо системы таких уравнений [12]. Поэтому, как правило, численность 
популяции в исследованиях по популяционной динамике – это детерминированная 
величина. Считается, что ее значение однозначно может 
быть вычислено в произвольный момент времени, если известны
начальная численность популяции, средняя продолжительность жизни 
особей, динамика рождаемости, миграции и др. Однако, как и в случае 
динамики экономических величин, динамика численности популяции 
изначально является стохастической. Это особенно просто проиллюстрировать 
на примере человеческих популяций, таких как население городов 
и стран. Динамика численности человеческой популяции формируется 
в результате взаимодействия тех же самых индивидуумов, которые 
являются элементарными составляющими экономических систем. 
Как уже говорилось выше, поведение индивидуумов в человеческой популяции 
не может быть вполне контролируемым. Поэтому, так же как и 
экономические величины, численность популяции и влияющие на ее
значение факторы – это случайные величины по своей математической 
природе. В то же время учет стохастичности в популяционной динамике 
производится так же, как и в эконофизике [12]:

1) посредством детерминированного хаоса;
2) с помощью использования в дифференциальных (разностных)

уравнениях случайных параметров, отражающих влияние на динамику 
численности популяции всех неучтенных факторов;

3) с помощью теории марковских процессов.

Вследствие этого, как и в экономической физике, снижаются объ-

яснительные и предсказательные возможности математических моделей, 
используемых в популяционной динамике.

Предлагаемая монография посвящена изложению нового после-

довательно вероятностного подхода к построению математических моделей 
в микроэкономике и популяционной динамике. Последовательно 
вероятностный подход предполагает, что входящие в модель величины 
являются случайными, а следовательно, их необходимо задавать с помощью 
законов распределения вероятности, например плотностью распределения 
вероятности или характеристической функцией. Поскольку 
индивидуумы в экономических системах и особи в популяциях непрерывно 
взаимодействуют между собой, случайные величины, применяемые 
для описания этого взаимодействия, оказываются взаимосвязанными. 
Используя разумные приближения к действительности, всегда 
можно установить функциональную зависимость между этими величинами, 
а затем с ее помощью найти взаимосвязь между их законами распределения. 
Благодаря этому можно выразить законы распределения 
интересующих нас случайных величин через законы распределения 
всех остальных величин, использованных в модели. Поскольку при 
найденном законе распределения случайная величина является полностью 
определенной, на этом построение вероятностной модели заканчивается. 
При необходимости далее можно найти такие числовые характеристики 
распределения исследуемых случайных величин, как математическое 
ожидание и дисперсия. Как правило, зависимость этих 
числовых характеристик от параметров функций распределения случайных 
величин, задействованных в модели, позволяет объяснить математическую 
природу закономерностей, наблюдаемых в реальной экономике 
и популяционной динамике. Например, можно установить, почему 
и при каких условиях математическое ожидание спроса является 
убывающей функцией средней цены на товар. Таково существо предлагаемого 
в монографии вероятностного подхода.

Монография основана на нескольких ранее опубликованных ра-

ботах автора [13–19]. Она состоит из трех глав, предисловия и послесловия. 
Главы разбиты на разделы, каждый из которых представляет 
собой относительно самостоятельное научное исследование и по этой 
причине имеет свои собственные введение и заключение. Для понимания 
материала, изложенного в монографии, в основном требуется математическая 
подготовка в объеме курса высшей математики, читаемого
в технических вузах. Однако в некоторых случаях необходимы более 

глубокие познания в математике. В частности, необходимо знать, как 
в теории вероятностей определяется характеристическая функция, каковы 
ее свойства и как с ее помощью найти моменты случайной величины. 
Кроме того, нужно иметь представление об определении и свойствах 
некоторых обобщенных и специальных функций таких, например, 
как дельта-функция Дирака, бета-функция, гамма-функция, гипергеометрическая 
функция, полиномы Бернштейна и др. Значения практически 
всех интегралов и сумм, встречающихся в монографии, были 
найдены с помощью справочников [20–22].

Первая глава посвящена простейшим вероятностным моделям 

экономической статики. Основное внимание уделено получению соотношений, 
связывающих законы распределения базовых экономических
величин: спроса, предложения, выручки, излишков потребителя и производителя 
с законами распределения цены на товар, покупательской 
способности и себестоимости товара. Предполагается, что законы распределения 
всех случайных величин, учитываемых в базовых моделях, 
не зависят от времени. Подробно исследуются зависимости математических 
ожиданий базовых экономических величин от средней цены на 
товар, так как эти зависимости позволяют объяснить многие хорошо известные 
закономерности реальной экономики, например убывание 
спроса с ростом цены на товар. При этом используется численное моделирование 
этих зависимостей для некоторых конкретных экономически 
обоснованных законов распределения цены на товар, покупательской 
способности и себестоимости товара. Кроме того, обсуждается 
проблема определения и существования равновесной рыночной цены 
на товар в случае, когда спрос и предложение – случайные величины. 
Методы получения аналитических результатов, использованные в этой 
главе, служат основой для построения вероятностных моделей в последующих 
главах.

Во второй главе рассмотрены вероятностные модели динамики 

математических ожиданий спроса, предложения и равновесной цены на 
товар. Как и в первой главе, полученные аналитические результаты ис-
следуются в численных экспериментах, сравниваются с экспериментальными 
данными, а также интерпретируются с позиций экономической 
теории.

Наконец, в третьей главе, с помощью математической техники, 

разработанной и апробированной в первых двух главах, построена вероятностная 
модель динамики численности популяции. Показано, при 
каких условиях в рамках последовательно вероятностного описания