Теория электрических цепей и электромагнитного поля: сборник задач

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ: 
СБОРНИК ЗАДАЧ

Л.П. ГАВРИЛОВ

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 537(075.8)
ББК 22.33я73
 
Г12

Р е ц е н з е н т :
Майструк А.В., доктор технических наук, профессор, профессор 
кафедры эксплуатации ракетного вооружения Военной академии ракетных 
войск стратегического назначения имени Петра Великого, почетный 
работник высшего профессионального образования РФ

ISBN 978-5-16-017774-8 (print)
ISBN 978-5-16-110676-1 (online)
© Гаврилов Л.П., 2023

Гаврилов Л.П.
Г12 
 
Теория электрических цепей и электромагнитного поля: сборник задач : 
учебное пособие / Л.П. Гаврилов. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 
181 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/1874258.

ISBN 978-5-16-017774-8 (print)
ISBN 978-5-16-110676-1 (online)
Сборник задач по отдельным разделам дисциплины «Теоретические 
основы электротехники» предназначен для самостоятельного обучения 
студентов высших учебных заведений и тестирования знаний обучающихся 
при изучении теории электрических цепей и теории электромагнитного 
поля. Модульная структура сборника позволяет использовать 
каждый модуль отдельно, без связи с другими модулями.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных 
стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, изучающих курсы «Теория 
электрических цепей», «Численные методы расчета электрических цепей», 
«Теория электромагнитного поля», «Теоретические основы электротехники», «
Электротехника».

УДК 537(075.8)
ББК 22.33я73

Введение

Сборник задач по отдельным разделам дисциплины «Теоретические 
основы электротехники» предназначен для самостоятельного 
обучения и тестирования знаний по теории электрических 
цепей и теории электромагнитного поля. Сборник содержит 
семь глав. Из них первые три главы относятся к теории электрических 
цепей постоянного и переменного тока, в главе 4 рассматриваются 
численные методы расчета переходных процессов 
в элек трических цепях. Актуальность этой главы обусловлена 
тем, что в настоящее время возрождается интерес к автоматизированному 
проектированию электрических цепей и электронных 
схем, а также систем автоматизации численными методами. 
В главах 5–7 рассматриваются вопросы теории электромагнитного 
поля. В главе 5 изучены общие вопросы теории электромагнитного 
поля, в главе 6 рассмотрены законы электромагнитной 
индукции, падение и отражение волн, распространение 
электромагнитных волн, граничные условия, тема главы 7 — распространение 
электромагнитных волн с использованием направляющих 
систем: коаксиального кабеля, волноводов, соосных цилиндров, 
полосковой линии.
В приложении описана программа «Электронный сборник тестовых 
задач». Этот сборник (ЭСТЗ) содержит набор однотипных 
программ, число которых равно числу глав учебного пособия. 
Принцип работы каждой программы иллюстрируется на примере 
описания программы для главы 1. Программа для каждой главы 
включает управляющую программу, базу тестовых задач, базу правильных 
ответов на вопросы.
Электронный сборник тестовых задач позволит студенту самостоятельно, 
с использованием персо нального компьютера или планшета, 
изучить теорию электрических цепей и теорию электромагнитного 
поля, получить правильные ответы на поставленные в задачах 
сборника вопросы, а также протестировать знания.
Электронный сборник тестовых задач может применяться 
для любых обучающих курсов после незначительных изменений 
в управляющей программе и при использовании новой базы тестовых 
задач и ответов к ним.
Структура сборника позволяет исправить выявленные в процессе 
его использования недочеты, заменить неудачные задачи, дополнить 
сборник новыми главами, разделами и задачами.

Учебное пособие предназначено для студентов (магистров, специалистов), 
изучающих курсы «Теоретические основы электротехники», «
Электротехника», «Электротехника и электроника», 
а также дисциплины электротехнического профиля. К ним относятся 
дисциплины: «Силовая электроника и схемотехника», «Схе-
мотехника», «Промышленная электроника», «Энергоснабжение 
промышленных предприятий», «Электрические станции, сети 
и системы», «Основы электротехники и электроники» и др.
В результате изучения курса «Теоретические основы электротехники» 
с использованием настоящего сборника задач студент будет:
знать
 
• основные термины и определения теории электрических цепей 
и теории электромагнитного поля;
 
• топологические элемен ты электрических цепей;
 
• формирование систем уравнений электрической цепи в матрично-
векторной форме;
 
• методы расчета установившихся процессов в цепях постоянного 
и переменного синусоидального тока;
 
• численные методы расчета электрических цепей;
 
• основные законы теории электромагнитного поля;
 
• распространение электромагнитных волн в диэлектриках и проводящих 
средах;
уметь
 
• составлять системы уравнений электрической цепи в матрично-
векторной форме;
 
• составлять схемы замещения для расчета процессов в электрических 
цепях численными методами;
 
• составлять уравнения для расчета электромагнитных полей;
 
• анализировать процессы распространения электромагнитных 
волн в диэлектриках и проводящих средах;
 
• использовать направляющие системы для передачи и распространения 
электромагнитных волн;
владеть
 
• теоретическими знаниями и навыками работы для анализа процессов 
в электрических цепях;
 
• теоретическими знаниями и навыками работы для анализа электромагнитных 
процессов в различных средах;
 
• навыками применения направляющих систем для передачи 
электромагнитных волн;
 
• навыками применения нормативных докумен тов (ГОСТов, ведомственных 
стандартов, положений) при работе с электротехнической 
документацией.

Глава 1. 

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И МАТРИЦЫ. 
МАТРИЧНО-ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

1.1.1. Геометрический образ схемы — это:
а) совокупность узлов и ветвей, касающихся всех узлов схемы;
б) граф или графическое изображение совокупности точек, 
представляющих узлы схемы, и отрезков линий, соединяющих эти 
точки так, что каждый отрезок линии представляет ветвь схемы;
в) совокупность точек, представляющих узлы схемы, и отрезков 
линий, соединяющих эти точки так, чтобы при этом не образовывались 
контуры.
1.1.2. Независимый контур — это:
а) контур, образованный узлами и ветвями для части схемы, 
изолированной от основной схемы;
б) контур, содержащий новую ветвь, не входящую в ранее выбранные 
контуры;
в) контур, образованный ветвями, расположенными по периферии 
схемы.
1.1.3. Схема содержит m ветвей и n узлов. Чему равно число независимых 
контуров?
Варианты ответа:
а) m – n; б) m – n + 1; в) m + n.
1.1.4. Схема содержит m ветвей и n узлов. Чему равно число независимых 
узлов?
Варианты ответа:
а) m – n + 1; б) n + 1; в) n – 1.
1.1.5. Схема содержит m = 6 ветвей и n = 4 узлов. Сколько 
в схеме ребер и хорд?
Варианты ответа:
а) три ребра, две хорды; б) три ребра, три хорды; в) три ребра, 
четыре хорды.
1.1.6. Дерево графа схемы — это:
а) совокупность всех ветвей графа (геометрического образа) 
схемы;

б) совокупность ветвей графа схемы, касающихся всех узлов 
графа схемы и не образующая ни одного контура;
в) совокупность ветвей графа схемы, образующая контуры.
1.1.7. Хорда в теории графов — это:
а) совокупность ветвей схемы, не образующих дерево;
б) ветвь, не вошедшая в дерево и дополняющая дерево графа 
схемы до независимого контура;
в) ветвь, отнесенная к ребрам графа схемы.

1.2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ

1.2.1. Запишите связь между вектором напряжений на резисторах 
U и вектором протекающих через них токов I, используя 
диаго нальную матрицу сопротивлений [R], где вектор напряжения 
U с элементами Uk, k = 1…m, вектор токов ветвей I с элементами Ik, 
k = 1…m, диаго нальная матрица сопротивлений [R] с диагональными 
элементами Rkk.
Варианты ответа:
а) U = [R]I; б) U = I[R]; в) U = RI.
1.2.2. Используя матрицу соединений [C], запишите связь 
между вектором потенциалов узлов схемы ϕ с элементами 
k
ϕ , 
k = 1…m и вектором напряжений на ветвях схемы Uв c элементами 
Uвк, k = 1…m.
Варианты ответа:
а) ϕ = [С]Uв; б) Uв = [С]T · ϕ; в) Uв = [С]T(–ϕ); г) ϕ = [C]TUв.
1.2.3. В матрице соединений 
0
[
]
C
 сумма элемен тов столбцов 
равна:
а) 1; б) 0; в) –1.
1.2.4. Получить матрицу [ ]
C  из матрицы соединений 
0
[
]
C
 можно:
а) вычеркиванием в матрице 
0
[
]
C
 любой из строк;
б) исключением в матрице 
0
[
]
C
 строки и столбца с одинаковыми 
номерами;
в) вычеркиванием в матрице 
0
[
]
C
 любого столбца.
1.2.5. Схема содержит m ветвей и n узлов. Какова размерность 
матрицы соединений [C] для записи независимых уравнений 
по первому закону Кирхгофа?
В записи размерности матрицы m × n число m соответствует 
числу столбцов матрицы, число n соответствует числу строк матрицы.

Варианты ответа:
а) m × (n – 1); б) m × n; в) n × m.
1.2.6. Схема содержит m = 6 ветвей и n = 4 узлов. В каждой 
ветви находится резистор с сопротивлением Rk, k = 1…m, в неко-

торых ветвях могут находиться источники ЭДС. В одной из ветвей 
последовательно с резистором включен источник тока J. Сколько 
уравнений нужно составить по закону Ома, а также по первому 
и второму законам Кирхгофа для нахождения токов во всех ветвях 
схемы?
Варианты ответа:
а) по закону Ома — шесть уравнений, по первому закону 
Кирхгофа — три уравнения, по второму закону Кирхгофа — три 
уравнения;
б) по закону Ома — пять уравнений, по первому закону 
Кирхгофа — три уравнения, по второму закону Кирхгофа — два 
уравнения;
в) по закону Ома — шесть уравнений, по первому закону 
Кирхгофа — три уравнения, по второму закону Кирхгофа — два 
уравнения.
1.2.7. Элемент Ci, j, i = 1…n, j = 1…m матрицы соединений (инци-
денций) [C0] равен единице, если:
а) ток ветви с номером i входит в узел с номером j;
б) ток ветви с номером i выходит из узла с номером j;
в) ветвь с номером i не подходит к узлу с номером j.
1.2.8. Схема содержит m ветвей и n узлов. Чему равно число независимых 
уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа?
Варианты ответа:
а) m – n; б) n – 1; в) n + 1.
1.2.9. Схема содержит m ветвей и n узлов. Чему равно число независимых 
уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа?
Варианты ответа:
а) m; б) m – n – 1; в) m – n + 1.
1.2.10. Схема содержит m ветвей и n узлов. Чему равно число 
строк и число столбцов в матрице контуров [ ]
K ?
Варианты ответа:
а) (m – n + 1) ⋅ (m – 1); б) (m – n + 1) ⋅ m; в) (m – n + 1) ⋅ (m + 1).
1.2.11. Схема содержит m ветвей и n узлов. Чему равно число 
ребер геометрического образа схемы?
Варианты ответа:
а) m; б) n; в) n – 1.
1.2.12. Схема содержит m ветвей и n узлов. Чему равно число 
хорд геометрического образа схемы?
Варианты ответа:
а) m; б) n – 1; в) m – n + 1.
1.2.13. Какая формулировка второго закона Кирхгофа является 
правильной?

Варианты ответа:
а) в каждом контуре алгебраическая сумма напряжений на пассивных 
элементах схемы равна алгебраической сумме ЭДС, действующих 
в этом контуре;
б) в каждом контуре алгебраическая сумма напряжений 
на ветвях, входящих в контур, равна нулю;
в) в каждом контуре алгебраическая сумма токов ветвей, входящих 
в контур, равна нулю.
1.2.14. Схема содержит m ветвей и n узлов. При записи матрицы 
контуров количество строк и столбцов матрицы равно:
а) m строк, n столбцов;
б) m – n + 1 строк, m столбцов;
в) m – n + 1 строк, n – 1 столбцов.
1.2.15. Как формируется вектор ЭДС контуров Ek при записи 
системы уравнений по второму закону Кирхгофа в матрично-векторной 
форме [K]U = Ek?
Варианты ответа:
а) элемент вектора с номером s равен алгебраической сумме 
ЭДС, входящих в контур с номером s;
б) элемент вектора с номером s равен сумме ЭДС, входящих 
в контур с номером s;
в) элемент вектора с номером s равен ЭДС, расположенной 
в хорде, замыкающей контур с номером s.
1.2.16. Схема содержит m = 6 ветвей и n = 4 узлов. В каждой 
ветви находится резистор с сопротивлением Rk, k = 1…m, в некоторых 
ветвях могут находиться источники ЭДС. Чему равна размерность 
матрицы сопротивлений [R], которая связывает по закону 
Ома вектор токов, протекающих в ветвях, и вектор напряжений 
на резисторах?
Варианты ответа:
а) 5; б) 4; в) 6.
1.2.17. Схема содержит m = 6 ветвей и n = 4 узлов. Чему равна 
размерность матрицы контуров [K]?
Варианты ответа:
а) 6 × 4; б) 6 × 3; в) 6 × 6.
1.2.18. Чему равна сумма элемен тов каждого из столбцов матрицы 
соединений [C], получаемой в результате исключения одной 
из строк расширенной матрицы соединений [C0]?
Варианты ответа:
а) 0; б) 1; в) ±1 или 0?
1.2.19. Чтобы получить матрицу соединений [C] из расширенной 
матрицы соединений [C0], нужно:

а) исключить в матрице [C0] одну из строк;
б) исключить в матрице [C0] один из столбцов;
в) исключить в матрице [C0] одну из строк и один из столбцов.
1.2.20. Используя матрицу соединений, запишите систему уравнений 
по первому закону Кирхгофа в матрично-векторной форме.
Варианты ответа:
а) [C]I = 0; б) CI = 0; в) I[C] = 0.

1.3. ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА КОНТУРНЫХ ТОКОВ 
В МАТРИЧНО-ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ

1.3.1. В методе контурных токов (МКТ) для схемы, содержащей 
m ветвей и n узлов, при выборе в качестве независимых контуров 
элементарных ячеек и одинаковом направлении контурных токов 
элементы матрицы контурных сопротивлений [
]
k
R  записываются:
а) все диаго нальные элемен ты Rii, i = 1…m – n + 1, положительны, 
остальные элемен ты отрицательны или равны нулю;
б) все диаго нальные элемен ты Rii, i = 1…m – n + 1, положительны 
и равны единице;
в) все элемен ты матрицы [
]
k
R  положительны.
1.3.2. В методе контурных токов при выборе контуров в виде 
элементарных ячеек и одинаковом направлении контурных 
токов все диаго нальные элемен ты матрицы контурных сопротивлений [
]

k
R :
а) будут положительными и равными сумме сопротивлений 
ветвей контура;
б) будут отрицательными и равными сумме сопротивлений 
ветвей контура;
в) могут быть как положительными, так и отрицательными.
1.3.3. В методе контурных токов матрица контурных сопротивлений [
]

k
R  для схемы, содержащей m ветвей и n узлов, имеет размерность:

а) (m – n + 1) ⋅ (m – n + 1); б) (m) ⋅ (m – n + 1); в) (m – n + 1) ×
× (m).
1.3.4. В методе контурных токов токи ветвей схемы выражаются 
через контурные токи так, что:
1) ток каждого ребра равен алгебраической сумме контурных 
токов, протекающих через рассматриваемое ребро;
2) ток каждого ребра равен контурному току, протекающему 
через ребро со знаком «+» или «–» в зависимости от принятых направлений 
контурных токов и токов ветвей;

3) ток каждой хорды равен контурному току, протекающему 
через ветвь, со знаком «+» или «–» в зависимости от принятых направлений 
контурных токов и токов ветвей.
Варианты ответа:
а) 1 и 2; б) 1 и 3; в) 3 и 2.
1.3.5. Вектор токов ветвей I выражается через вектор контурных 
токов с помощью соотношения:
а) 
[ ] k
I
K I
=
; б) 
[ ]T
k
I
K
I
=
; в) 
k
I
I
=
.

1.4. ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 
В МАТРИЧНО-ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ

1.4.1. В методе узловых потенциалов (МУП) вектор потенциалов 
узлов схемы ϕ выражается через вектор токов короткого 
замыкания узлов Ik и матрицу узловых проводимостей [
]
y
g
 с помощью 
соотношения:
а) 
1
[
]−
ϕ =
y
k
g
I ; б) ϕ = [
]
y
k
g
I ; в) ϕ = kI [
]
y
g
.
1.4.2. В МУП в схеме, содержащей n узлов, матрица узловых 
проводимостей [
]
y
g
 имеет размерность:
а) (n – 1) × (n – 1); б) n × (n – 1); в) (n – 1) × n.
1.4.3. В методе узловых потенциалов в матрице узловых потенциалов [
]

y
g
:
а) диаго нальные элемен ты всегда положительны и элемент gii, 
i = 1…n – 1, равен сумме проводимостей ветвей, сходящихся в узле 
с номером i;
б) элемент gii может принимать любые значения;
в) элемент gii может принимать как положительные, так и отрицательные 
значения.
1.4.4. В методе узловых потенциалов вектор напряжений 
на ветвях схемы Uв, элементами которого являются Uвi, i = 1…m, 
выражается через вектор потенциалов узлов ϕ с элементами ϕk, 
k = 1…n – 1, и матрицу соединений [ ]
C  с помощью соотношения:
а) 
T
в
[ ] (
)
=
−ϕ
U
C
; б) 
в
[ ](
)
=
−ϕ
U
C
; в) 
T
в
[ ] ( )
=
ϕ
U
C
.

1.5. УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

1.5.1. Для двух схем (далее индексы I и II) соотношения 

I II
II I

1
1
0
=
=
=
=
∑
∑

m
m

k k
k k
k
k
u i
u i
 будут справедливы при условии:

1) схемы должны быть с одинаковой топологией;
2) схемы должны обладать одинаковыми матрицами соединений [ ]

C ;