Интегралы: в помощь студенту

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Казанский национальный исследовательский

технологический университет

Н. Н. Газизова, С. Р. Еникеева, Н. В. Никонова

ИНТЕГРАЛЫ: 

В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2022

УДК 517.3(075)
ББК 22.161.1я7

Г13

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. Д. В. Шевченко 

канд. техн. наук, доц. С. А. Лившиц

Г13

Газизова Н. Н.
Интегралы: в помощь студенту : учебно-методическое пособие / 
Н. Н. Газизова, С. Р. Еникеева, Н. В. Никонова; Минобрнауки 
России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 
2022. – 112 с.

ISBN 978-5-7882-3177-8

Содержит теоретические сведения и прикладные задачи по разделам: 

неопределенные и определенные интегралы и их приложения.

Предназначено для  студентов, изучающих дисциплины «Высшая мате-

матика» и «Математический анализ». 

Подготовлено на кафедре высшей математики.

ISBN 978-5-7882-3177-8
© Газизова Н. Н, Еникеева С. Р., 

Никонова Н. В., 2022

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2022

УДК 517.3(075)
ББК 22.161.1я7

2

О Г Л А В Л Е Н И Е

Предисловие................................................................................................4
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА.......................5

Определение первообразной и неопределенного интеграла................5
Свойства неопределенного интеграла....................................................5
Таблица интегралов .................................................................................5

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ................................................................7
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ...............................................................8

Метод разложения....................................................................................8
Метод замены переменной....................................................................11
Подведение функции под знак дифференциала..................................15
Интегрирование по частям....................................................................16

КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ..........................................22

Интегрирование рациональных функций............................................22
Алгоритм интегрирования рациональной функции R(x)...................23
Интегрирование тригонометрических функций .................................32
Интегрирование иррациональных функций........................................44

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ........................................................55
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА............................60

Площадь плоских фигур........................................................................60
Вычисление площадей в полярной системе координат .....................69

ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ...................................................................73
ДЛИНА ДУГИ ..........................................................................................76
Тесты..........................................................................................................80

Ответы...................................................................................................109

Список литературы.................................................................................110

3 

П Р Е Д И С Л О В И Е

Пособие содержит интегральное исчисление функции одной переменной, 
примеры решения типовых задач, тестовые задания и ответы 
к ним. Теоретическая часть включает в себя все необходимые сведения 
для подготовки к контрольным работам, коллоквиуму и экзамену 
в конце семестра. Текст иллюстрируется большим количеством примеров 
и рисунков. 
Помимо основных формул, определений, авторы предлагают подробный 
разбор тестовых заданий по указанным темам. Рассматриваются 
не только стандартные примеры, но и задачи повышенной трудности. 
Кроме того, предлагается набор тестовых заданий (15 вариантов), 
которые могут использовать как преподаватели для проведения 
практических занятий со студентами, организации аудиторных контрольных, 
зачетных и проверочных работ, так и студенты для самостоятельного 
изучения теоретического материала и индивидуальной подготовки 
к контрольным работам, коллоквиуму и экзамену. 

4 

Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й  И Н Т Е Г Р А Л

И Е Г О С В О Й С Т В А

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если 

F′(x) = f(x). Множество всех первообразных некоторой функции f(x)
называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается 
как 
( )
f x dx

.

Таким образом, если F(х) – некоторая частная первообразная, то 

справедливо выражение

( )
( )
f x dx
F x
C,
=
+


где C – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных формулах f(х) и g(х) – функции переменной x;

F(x) – первообразная функции f(x); k, C − постоянные величины.

1.
( )
( )
( )
( )
f x ±g x
dx=
f x dx± g x dx;








2.
( )
( )
kf x dx= k
f x dx;



3.
(
)
(
)
1
f kx dx=
F kx +C;
k


4.
(
)
(
)
1
f kx b dx=
F kx b +C.
k
+
+


Таблица интегралов

1)
dx
x
C;
=
+

2)

n+1
n
x
x dx=
+C
n+1

,  n −1;

3)
ln
dx=
|x|+C
x

; 
4)
x
x
e dx=e +C

; 

5) 

ln

x
x
a
a dx=
+C
a

(a > 0, a≠1); 
6)
sin  
cos 
x dx
x
C;
= −
+


7)
cos  
sin 
x dx
x
C;
=
+

8)
tg 
ln cos 
xdx
x
C;
= −
+


9)
  
ctg
ln sin 
xdx
x
C;
=
+

10)
tg
cos2
dx
=
x+C;
x


11)
ctg
sin2
dx
=
x+C;
x
−

12) 
2
2
1 arctg
;
dx
x
C
a
x
a
a
=
+
+


13) 
2
2
1 ln
;
2
dx
x
a
C
x
a
a
x
a
−
=
+
−
+

14) 
2
2
arcsin
;
dx
x
C
a
a
x
=
+
−

15) 

2
2

2
2
ln
;
dx
x
x
a
C
x
a
=
+

+


16) 
2
arcsin
arccos
;
1

dx
x
C
x
C
x
=
+
= −
+
−


17) 
2
arctg
arcctg
.
1

dx
x
C
x
C
x
=
+
= −
+
+


6 

О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й  И Н Т Е Г Р А Л

Определенным интегралом функции y = f(x) на [a, b] называется 

(
)
( )

=
→
→




n

i
i
i

n
x
x
f
i
1
0
maxlim

, если этот предел существует и не зависит от 

способа разбиений [a, b] на 
ix

и от выбора точек 
i . 

Определенный интеграл обозначается

( )
.

b

a
f x dx


Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пре-

делами интегрирования.

Условно непосредственное интегрирование в определенном ин-

теграле можно разделить на два этапа:

1. Интегрирование.
2. Подстановка пределов по формуле Ньютона–Лейбница.
На первом этапе, как и при неопределенном интегрировании, ис-

пользуются только свойства интегралов и таблица интегралов. Различие 
лишь в том, что на каждом шаге проставляются пределы интегрирования 
и в результате константа не ставится.

На втором этапе выполняется подстановка пределов интегриро-

вания по формуле Ньютона–Лейбница. Она выглядит следующим образом:

,


где F(x) – первообразная от функции f(x). В результате вычисления любого 
определенного интеграла получается некоторое число или числовое 
выражение.

( )
(
)
( )
( )

−
=
=

b

a

b

a
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
)
(

7 

М Е Т О Д Ы  И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Я

Метод разложения

Метод разложения основан на свойстве 1 неопределенного инте-

грала.

Примеры. Вычислить интегралы:
1. (
)
2
3
4
7
.
x
x
dx
+
+


Решение. Используя свойство 1, разложим интеграл на сумму ин-

тегралов:

(
)
=
+
+
=
+
+




dx
dx
x
dx
x
dx
x
x
7
4
3
7
4
3
2
2

Затем, используя свойство 2, вынесем константу в каждом инте-

грале за знак интеграла:

2
3
4
7
x dx
xdx
dx
=
+
+
=




Применяя таблицу интегралов – формулы (1) и (2), получим

3
2
3
2
x
x
= 3
+4
+7x+C = x +2x +7x+C.
3
2



В дальнейшем не будем так подробно останавливаться на приме-

нении свойств 1 и 2.

2. 

3
2
3
7
6
8
.
x
dx
x
x


+
+






Решение.
Воспользуемся 
свойствами 
степенной 
функции

1
,
k
k
x
x

−
=
,

m
n
n
m
x
x
=
а также свойствами интегралов 1 и 2 и форму-

лой (2) таблицы интегралов, получим



=













+
+

=








+
+
−
dx
x
x
x
dx
x
x
x
3
2
3
3
2
3
8
6
1
7
8
6
7

=
+
+
−
=
+

+

−


+
=
−

−

C
x
x
x
C
x
x
x
3

5

2
3

5

2

5
24
3
ln
7

3
5
8

2

6
ln
7

3
5

2
3
24
7ln
.
5
x
x
C
x
=
−
+
+

3. 

3
2

3

9
2
3cos
9
2
3cos

x
x
x dx
x
x dx

x

−




+
+
=
+
+
=











Воспользуемся формулами (2), (5) и (7) таблицы интегралов:

2
2
18
2
9
3sin
3sin
.
1
ln 2
ln 2

2

x
x
x
x
C
x
C

x

=
+
+
+
= −
+
+
+

−

4. 
2
2
sin
5tg 
cos
5ln cos
.
3
3
x
x dx
x
x
C


−
+
=
−
+






5. 
2
4
4ctg
4tg 
4ln sin
.
cos
x dx
x
x
C
x



−
=
−
+






6. 
2

5
5
3
3
2
ctg 
2
.
2sin
2
ln3

x

x
x
x
e
dx
x
e
C
x



−
+
+
=
+
+
+






7. 
(
)

2
2

4
6
6
4arcsin
arctg 
.

5
5 1
1

dx
x
x
C

x
x




+
=
+
+


+
−




8. 

2

2
2

3
11
3ln
5

5
9

dx
x
x

x
x



−
=
+
+
−




+
+


2
11ln
9
.
x
x
C
−
+
+
+

9. 
dx

x

x
x
x
x

−
−
−

2

2
3
4
6
6
2

.

Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель, пользу-

ясь свойствами 1 и 2 и формулами (1), (2), находим

(
)

6
4
3
2

4
2

2

2
6
2
6
1
x
x
x
x dx
x
x
x
dx
x

−
−
−
=
−
−
−
=



C
x
x
x
x
+
−
−
−
=
2
3
5

3
3

2

5
.

10. 

6
2

3
4
4

3
3
2

6
1
1
6
1,5
1,5

2
2

x
dx
x
dx
x dx
x
C
x
C

x
x
x

−
+
=
+
=
+
+
=
−
+

−



.

11. 

2
1 3
4
1
3
4
x
x dx
x dx
x
x

−
+


=
− +
=






C
x
x
x
+
+
−
2
2
3
|
|
ln
.

12.
(2
3 )(4
)
(8
2
12
3
)
x
x dx
x
x
x x dx
−
+
=
+
−
−
=



3
5

2
2

2
4
6
8
6
.
3
5

x
x
x
x
C
=
+
−
−
+

13.
2

2

1
2
arcsin
.
2
3
9
9
4
2 4

dx
dx
x
С

x
x

=
=
+

−
−



Для вычисления определенных интегралов воспользуемся фор-

мулой Ньютона–Лейбница:

14. 
=



















+
=















+
=
+



−

4

1

2
1

2
3

4

1

2
1

2
1
4

1

2
1
2

2
3
2
2
x
x
dx
x
x
dx

x

x

4

1

2
1
2
3

4

3

2

















+
=
x
x

=
=






+
−







+

4
3
2
2
4
8
3
2

3
26

3
14
4
4
3
2
8
3
16
=
+
=
−
−
+
=
.

Метод замены переменной

Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод замены 

переменной заключается во введении новой переменной интегрирования. 
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования 
позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного 
интеграла.

Теорема. Пусть функция x = φ(t) определена и дифференцируема 

на некотором промежутке Т, и пусть Х – множество значений этой 
функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве 
Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива 
формула





=
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
))
(
(
)
(


.
(1)