Вероятности случайных событий и величин

                ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ВЕЛИЧИН




     Учебник для академического бакалавриата











Москва Издательство «ФЛИНТА» 2023

Авторы:


Логинова Валерия Валерьевна — кандидат педагогических наук, доцент кафедры информационных технологий в бизнесе Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»;

Плотникова Евгения Григорьевна — доктор педагогических наук, профессор кафедры информационных технологий в бизнесе Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»;

Радионова Марина Владимировна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий в бизнесе Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»;

Скорнякова Анна Юрьевна — кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики и методики обучения математике Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета.

УДК 519.2
ББК 22.17 В35


Рецензенты:
кафедра высшей математики и методики обучения математике Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета
(зав. кафедрой, кандидат педагогических наук, доцент Е. Л. Черемных);
доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика» Пермского национального исследовательского политехнического университета А. Р. Абдуллаев

            Вероятности случайных событий и величин: учебник В35 для академического бакалавриата / В. В. Логинова, Е. Г. Плотникова, М. В. Радионова, А. Ю. Скорнякова. — Москва : ФЛИНТА, 2023. — 375 с. — ISBN 978-5-97655318-7. — Текст : электронный.

           В учебнике представлен теоретический материал, задания для самостоятельного решения и тесты для систематизации знаний по основным разделам академического курса «Теория вероятностей». Цель издания — углубить знания студентов по теории вероятностей, продемонстрировать возможность практического применения случайных событий и величин в реальной жизни. Учебник подготовлен на основе опыта преподавания дисциплин «Теория вероятностей» и «Методы статистических исследований в экономике» студентам Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (Пермь), Пермского государственного национального исследовательского университета и Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета.
           Издание адресовано как студентам, желающим освоить терминологический аппарат, оперировать им, научиться применять теорию к практическим приложениям, так и преподавателям теории вероятностей.
УДК 519.2
ББК 22.17

ISBN 978-5-9765-5318-7       © Логинова В. В., Плотникова Е. Г.,
                               Радионова М. В., Скорнякова А. Ю., 2023
© Издательство «ФЛИНТА», 2023

        ОГЛАВЛЕНИЕ




Предисловие ........................................6
Введение .......................................... 8
Раздел I. Вероятность случайного события .......... 9
Глава 1. Начальные понятия теории вероятностей ... 10
   1.1. Испытание и событие ...................... 10
   1.2. Действия над событиями ................... 16
Задачи для самостоятельного решения .............. 21
Тест для систематизации знаний ....................26
Глава 2. Основные правила и формулы комбинаторики .. 34
   2.1. Факториал и его свойства ..................34
   2.2. Правила сложения и умножения ............. 37
   2.3. Перестановки ..............................39
   2.4. Размещения ................................42
   2.5. Сочетания ................................ 44
Задачи для самостоятельного решения .............. 49
Тест для систематизации знаний ....................54
Глава 3. Определение вероятности случайного события ... 59
   3.1. Классическая вероятность ..................59
   3.2. Статистическая вероятность ................69
   3.3. Геометрическая вероятность ............... 71
Задачи для самостоятельного решения .............. 77
Тест для систематизации знаний ....................83
Глава 4. Основные теоремы теории вероятностей .....90
   4.1. Теорема сложения вероятностей..............90
   4.2. Теорема умножения вероятностей ........... 97
   4.3. Формулы полной вероятности и Байеса ..... 101
Задачи для самостоятельного решения ............. 105
Тест для систематизации знаний .................. 112

4

Оглавление

Глава 5. Независимые повторные испытания (схема Бернулли) ............................... 118
   5.1. Формула Бернулли ....................... 118
   5.2. Наивероятнейшее число испытаний ........ 121
   5.3. Номер первого успешного испытания ...... 124
   5.4. Формула Пуассона для схемы Бернулли .... 126
   5.5. Локальная формула Муавра-Лапласа ....... 129
   5.6. Интегральная формула Муавра-Лапласа .... 130
   5.7. Независимые испытания с несколькими исходами. 133
Задачи для самостоятельного решения ............ 135
Тест для систематизации знаний ................. 140
Раздел II. Вероятность случайной величины ...... 146
Глава 6. Дискретные случайные величины.......... 147
   6.1. Закон распределения дискретной случайной величины .................................... 147
   6.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин ........................... 155
   6.3. Основные законы распределения дискретной случайной величины .......................... 162
Задачи для самостоятельного решения ............ 170
Тест для систематизации знаний ................. 176
Глава 7. Непрерывные случайные величины ........ 183
   7.1. Закон распределения непрерывной случайной величины .................................... 183
   7.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал ................ 186
   7.3. Числовые характеристики непрерывной случайной величины .......................... 187
   7.4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины .......................... 194
Задачи для самостоятельного решения ............ 209
Тест для систематизации знаний ................. 214
Глава 8. Случайные векторы ..................... 221
   8.1. Совместная функция распределения случайного вектора .......................... 221

5

Оглавление

   8.2. Виды многомерных распределений ........... 223
   8.3. Независимость случайных величин .......... 236
   8.4. Числовые характеристики многомерных случайных величин ..............................238
 Задачи для самостоятельного решения ............. 256
 Тест для систематизации знаний ...................264
  Глава 9. Функции случайных величин ..............271
   9.1. Функции от одномерной случайной величины ..271
   9.2. Функции от многомерной случайной величины .278
   9.3. Основные распределения случайных величин, встречающиеся в статистике .....................280
 Задачи для самостоятельного решения ............. 284
 Тест для систематизации знаний ...................288
 Глава 10. Некоторые вероятностные неравенства и сходимость случайных последовательностей ...... 296
   10.1. Неравенство Маркова ......................296
   10.2. Неравенство Чебышёва .................... 299
   10.3. Виды сходимости случайных последовательностей ........................... 304
   10.4. Закон больших чисел ......................306
   10.5. Центральная предельная теорема ...........308
 Задачи для самостоятельного решения ............. 311
 Тест для систематизации знаний ...................316
Ответы к задачам для самостоятельного решения .....323
Ответы к тестам ...................................347
Литература ....................................... 348
Приложение А. Статистические таблицы ..............350

6

        ПРЕДИСЛОВИЕ





    Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений, позволяет моделировать случайные события и величины, отражая некоторые свойства реального мира. Цель настоящего учебника - помочь студентам, обучающимся по направлениям «Прикладная математика и информатика», «Бизнес-информатика», «Экономика», «Менеджмент», «Управление персоналом», «Торговое дело» и по специальностям «Экономическая безопасность», «Таможенное дело», в освоении материалов курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Издание будет полезно и преподавателям вузов для организации практических занятий и регулярного текущего контроля знаний студентов по указанному курсу.
    Ключевые понятия курса теории вероятностей в данном учебнике выделены полужирным курсивом, что способствует быстрому ориентированию читателя в тексте издания. Работая с учебником, следует обратить особое внимание на примеры решения тематических заданий, а также на разбор примеров использования теории вероятностей в области экономических приложений.
    Материал учебника отражает многолетний опыт преподавания курсов теории вероятностей и математической статистики студентам различных бакалаврских программ и прошел многолетнюю апробацию по текущему контролю знаний студентов в Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики» (Пермь), Пермском государственном национальном исследовательском университете и Пермском государственном гуманитарно-педагогическом университете.

7

Предисловие

     Некоторые главы будут полезны для чтения различных спецкурсов и курсов по выбору, связанных с прикладными вопросами теории вероятностей, как в бакалавриате, так и в магистратуре. Кроме того, материалы будут интересны учителям математики, в частности при реализации требований обновленного федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования и примерной рабочей программы по математике относительно изучения стохастической линии в школе.
     Учебник написан с учетом тематического плана изложения указанного предмета, принятой в западных странах, что облегчит проблему углубленного изучения теории вероятностей на основе широкого спектра иностранной литературы. Большое количество примеров носит прикладной характер и является весьма оригинальным.
     Материал учебника разбит на введение, два раздела (всего десять глав) и приложение, в котором приводятся статистические таблицы. В конце каждой главы даны задачи для самостоятельного решения, значимость которых различна: одни носят характер простых упражнений, в других предлагается доказать утверждения, сформулированные, но не доказанные в основном тексте, третьи должны дать дополнительные сведения к рассматриваемому кругу вопросов.
     Большое количество заданий для самостоятельного решения по каждой главе курса дает возможность преподавателям дисциплины «клонировать» задания для проведения контроля знаний студентов, а также использовать эти задания для оценки знаний как по каждому разделу курса, так и в виде итогового контроля. Каждый параграф учебника имеет свою нумерацию определений, теорем, примеров и соотношений.
     Авторы выражают благодарность рецензентам учебника, А. Р. Абдуллаеву и Е. Л. Черемных, работа которых позволила заметно его улучшить.

8

        ВВЕДЕНИЕ




    Теория вероятностей исследует методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные массовые явления и рассматривает соответствующие закономерности, позволяющие предвидеть, как случайные события будут протекать в реальном опыте. Предметом изучения теории вероятностей являются случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
    Возникновение теории вероятностей связывают с первыми попыткам математического анализа азартных игр и относят к средним векам. Первыми учеными, занимавшимися теорией вероятностей, являются П. Ферма (1601-1665), Б. Паскаль (16231662) и Х. Гюйгенс (1629-1695). «Математика случая» - так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей французский ученый Блез Паскаль, исследуя прогноз выигрыша в азартных играх.
    Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказали знаменитые ученые: Д. Бернулли (1654-1705), А. Муавр (1667-1754), Т. Байес (1702-1763), П. Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855), С. Пуассон (1781-1840). Так, Д. Бернулли впервые доказал одно из важнейших положений теории вероятностей - «закон больших чисел». Доказанная им теорема устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления. Развитие теории вероятностей тесно связано с традициями и достижениями русской науки. Фундаментальные результаты были получены П. Л. Чебышёвым (1821-1894), А. М. Ляпуновым (1857-1918), большой вклад в ее развитие внес Е. Е. Слуцкий (1903-1987) и др. Основателем теории вероятностей как строгой математической дисциплины является Колмогоров Андрей Николаевич (1903-1988). Работы этих ученых и сейчас являются основой теории информации, теории надежности, кибернетики, теории ошибок.

9

    Раздел I.

        ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ




     Изучение закономерностей в случайных экспериментах должно начинаться с построения математической модели этих экспериментов. В теории вероятностей любая модель начинается с задания вероятностного пространства.
     Сначала следует выяснить, каково множество всех возможных результатов данного эксперимента. Затем решить, какие подмножества этого множества интересуют нас в качестве событий и как мы будем определять степень возможности этих событий. Рассмотрим подробнее эти этапы.

10

Раздел I. Вероятность случайного события


    Глава 1. Начальные понятия теории вероятностей

    В данной главе вводятся отправные понятия теории вероятностей: испытание, элементарный исход, пространство элементарных исходов, событие. Рассматриваются виды событий и действия над ними.


1.1. Испытание и событие

    Основные определения. Испытанием (опытом, экспериментом) называется выполнение какого-либо комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление. Например: подбрасывание монеты, подбрасывание кубика, разыгрывание лотереи, доход, полученный от продажи акций, оценка за ЕГЭ по математике.
    Элементарный исход — это наиболее простой результат испытания. Обычно элементарный исход обозначается Ю. Например, выпадение решки при бросании монеты, выпадение какой-либо цифры при подбрасывании игрального кубика, выигрыш автомобиля в лотерее и др.
    Несмотря на то что испытание — это реализация определенного комплекса условий, ему можно поставить в соответствие различные множества элементарных исходов, но с обязательным ограничением: выбор какого угодно элементарного исхода исключает выбор другого.
    Множество всевозможных элементарных исходов в одном испытании называется пространством элементарных исходов. Обозначается Q.
    Пример 1.1. Описать пространство элементарных исходов при однократном подкидывании симметричной монеты.
    Решение. По условию: опыт — подкидывание симметричной монеты один раз; элементарные исходы — выпал «Орел», выпала «Решка».


11

Раздел I. Вероятность случайного события

    Пространство элементарных исходов состоит из n = 2

исходов:
Q = {«Орел», «Решка»}. ►
    Пример 1.2. Описать пространство элементарных исходов при подкидывании симметричной монеты дважды.
    Решение. По условию: опыт — подкидывание симметричной монеты 2 раза; элементарные исходы — «оба раза выпал “Орел”», «оба раза выпала “Решка”», «первый раз выпал “Орел”, второй — “Решка”», «первый раз выпала “Решка”, второй — “Орел”».
    Пространство элементарных исходов состоит из n = 4

исходов:

                     «Орел» - «Орел»

                     «Решка» - «Решка»
                     «Орел» - «Решка»

к ►

                     «Решка» - «Орел»

    Пример 1.3. Описать пространство элементарных исходов при однократном подкидывании игрального кубика.
    Решение. По условию: опыт — подкидывание кубика один раз, элементарные исходы — выпала 1, выпала 2, выпала 3, ..., выпала 6. Элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.
    Пространство элементарных исходов состоит из n = 6

исходов:
Q= {1,2,3,4,5,6}. ►
     Пример 1.4. Описать пространство элементарных исходов при подкидывании двух игральных кубиков.
     Решение. По условию опыт — подбрасываются два игральных кубика один раз. Будем считать кубики различимыми и назовем один из них первым, другой — вторым. Поскольку на каждом кубике с равными шансами может выпасть число от 1 до 6, то элементарные исходы — (1,1), (1,2), ., (1,6), .,

12

Глава 1. Начальные понятия теории вероятностей

(6,6). Пространством элементарных исходов является множество из n = 6 х 6 = 36 элементарных исходов:

      '1,1   1,2   1,3  1,4   1,5   1,6'     
      2,1  2,2  2,3 2,4  2,5  2,6            
      3,1  3,2  3,3 3,4  3,5  3,6            
Q = -       ,    ,    ,,    ,    ,       -. ►
      4,1  4,2  4,3  4,4  4,5  4,6           
      5,1  5,2  5,3  5,4  5,5  5,6           
      6,1  6,2  6,3  6,4  6,5  6,6           

    Любое явление окружающего нас мира, происходящее в результате испытания, называется событием. События подразделяются на три вида: достоверные, невозможные и случайные.
    Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате определенного испытания. Достоверному событию благоприятствуют все элементарные исходы, поэтому его обозначают Q.
    Например, достоверными являются следующие события:
    1)     вода в сосуде закипает, если она содержится при нормальном атмосферном давлении и будет нагрета до температуры 100° С;
    2)     из ящика с белыми шарами наугад вытаскивают белый шар;
    3)     выпадение меньше семи очков на игральном кубике.
    Невозможным называется событие, которое никогда не произойдет в результате определенного испытания. Невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода, т.е. представляет собой пустое множество и обозначается как 0.
    Например, невозможными являются следующие события:


13