Кратные интегралы
Покупка
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 64
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7038-3990-4
Артикул: 807625.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В методических указаниях дано описание предусмотренных учебным планом МГТУ им. Н Э. Баумана приемов и задач, связанных с вычислением кратных интегралов. Приведен справочный материал, содержащий основные определения и формулировки теорем. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предложены задачи для самопроверки. Рассмотрены приложения кратных интегралов к задачам механики.
Для студентов младших курсов МГТУ им. Н. Э. Баумана всех специальностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 09.03.01: Информатика и вычислительная техника
- 09.03.02: Информационные системы и технологии
- 11.03.02: Инфокоммуникационные технологии и системы связи
- 11.03.03: Конструирование и технология электронных средств
- 15.03.01: Машиностроение
- 22.03.01: Материаловедение и технологии материалов
- 27.03.01: Стандартизация и метрология
- 27.03.04: Управление в технических системах
- 28.03.02: Наноинженерия
- 38.03.01: Экономика
- 54.03.01: Дизайн
- ВО - Специалитет
- 10.05.01: Компьютерная безопасность
- 10.05.03: Информационная безопасность автоматизированных систем
- 15.05.01: Проектирование технологических машин и комплексов
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Н. В. Безверхний Кратные интегралы Методические указания к решению задач по дисциплине «Кратные интегралы и теория функций комплексного переменного» Москва 2014
УДК 517.37 ББК 22.161.1 Б39 Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book200.html Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н. Э. Баумана Рецензент : д-р физ.-мат. наук, профессор О. В. Пугачев Безверхний Н. В. Кратные интегралы : метод. указания / Н. В. Безверхний. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 64, [4] с. : ил. ISBN 978-5-7038-3990-4 В методических указаниях дано описание предусмотренных учебным планом МГТУ им. Н Э. Баумана приемов и задач, связанных с вычислением кратных интегралов. Приведен справочный материал, содержащий основные определения и формулировки теорем. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предложены задачи для самопроверки. Рассмотрены приложения кратных ин- тегралов к задачам механики. Для студентов младших курсов МГТУ им. Н. Э. Баумана всех спе- циальностей. УДК 517.37 ББК 22.161.1 © МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 © Оформление. Издательство ISBN 978-5-7038-3990-4 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 Б39
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие предназначено для студентов младших кур- сов всех специальностей, изучающих математический анализ и его раздел «Кратные интегралы». Цель пособия — помочь студентам в освоении практической составляющей раздела «Кратные интегра- лы», поэтому его основу составляют примеры и задачи. При этом рассмотрены не только примеры решения задач теоретического характера на вычисление объемов тел, площадей и т. п., но и при- ложение теории кратных интегралов к задачам механики. Теоретический материал изложен в объеме, необходимом для понимания рассматриваемых методов решения. Весь материал разбит на подразделы, соответствующие различным типам задач, таким как вычисление двойного интеграла в прямоугольных коор- динатах или замена переменных в двойном интеграле. Каждый раздел содержит основы теории, примеры с подроб- ными решениями и задачи для самостоятельной работы, которые можно использовать как на практических занятиях, так и в каче- стве вариантов домашних заданий. Прилагаемый в конце пособия список литературы рассчитан на углубленное изучение теоретического материала и рекомендуется для подготовки к экзамену. Кроме того, он поможет освежить зна- ния, полученные в предыдущих семестрах и необходимые для ре- шения задач текущего раздела. Автор выражает свою благодарность доценту кафедры ФН-2 «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана О.В. Пугачеву, давшему ряд полезных советов.
1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 1.1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла Пусть в области σ плоскости xOy определена функция = ( , ) = ( ), z f x y f P где P — точка плоскости xOy с координатами ( , ). x y Выполним следующие действия. 1. Разобьем область σ на n малых областей 1, , Δσ Δσn … так, чтобы сумма их площадей была равна площади всей области σ: 1 =1 ( ) = ( ) n i S S σ Δσ ∑ и =1 = . n i i σ ∪ Δσ Совокупность таких областей назовем разбиением области σ и обозначим 1 = { , , }. n T Δσ Δσ … 2. В каждой малой области i Δσ выберем произвольную точку ( , ). i i i P x y Множество 1 { , , } n P P … таких точек назовем разметкой разбиения T области σ и обозначим ξ. Разбиение T вместе с размет- кой ξ назовем размеченным разбиением области σ и обозначим . Tξ 3. Составим сумму =1 =1 ( ) = ( ) ( ) = ( , ) ( ). n n f i i i i i i i S T f P S f x y S ξ Δσ Δσ ∑ ∑ (1.1) Сумму вида (1.1) называют интегральной суммой, составлен- ной для функции двух переменных = ( ) = ( , ) z f P f x y по разме- ченному разбиению . Tξ
4. Предположим, что существует предел интегральных сумм ( ) f S Tξ при неограниченном увеличении числа n малых областей и стягивании каждой из них в точку и что этот предел не зависит от способа разбиения области σ на малые области i Δσ и от выбо- ра в каждой из них точек ( , ). i i i P x y Этот предел называют двойным интегралом от функции = ( ) = ( , ) z f P f x y по области σ и обо- значают ( ) = ( , ) , f P d f x y dxdy σ σ σ ∫∫ ∫∫ а функцию ( , ) f x y называют интегрируемой в области . σ Итак, =1 ( , ) = ( , ) . lim n i i i n i f x y dxdy f x y →∞ σ Δσ ∑ ∫∫ Область σ называют областью интегрирования, функцию ( , ) f x y — подынтегральной функцией, ( , ) f x y dxdy — подынте- гральным выражением. Любая непрерывная в ограниченной области σ функция инте- грируема в ней. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только непрерывных функций. Двойной интеграл обладает следующими свойствами: 1) для любой действительной константы C и интегрируемой функции ( ) f P функция 1( ) = ( ) f P Cf P тоже интегрируема, и вер- но равенство ( ) = ( ) ; f P dxdy C f P dxdy σ σ ∫∫ ∫∫ 2) если для интегрируемых функций 1 2 ( ), ( ) f P f P определить новую функцию 1 2 ( ) = ( ) ( ), f P f P f P ± то она тоже будет интегри- руема, и 1 2 ( ) = ( ) ( ) ; f P dxdy f P dxdy f P dxdy σ σ σ ± ∫∫ ∫∫ ∫∫
3) если область σ состоит из двух областей 1 σ и 2, σ то 1 2 ( ) = ( ) ( ) . σ σ σ + ∫∫ ∫∫ ∫∫ f P dxdy f P dxdy f P dxdy Свойства 1 и 2 называют свойствами линейности интеграла, а свойство 3 — свойством аддитивности. 1.2. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах Область σ на плоскости xOy назовем простой областью: 1) относительно оси Ox, если она ограничена справа графиком непрерывной функции 2 = ( ), x y ψ слева — графиком непрерывной функции 1 = ( ), x y ψ а сверху и снизу отрезками прямых = , y c = , y d каждый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.1); 2) относительно оси Oy, если она ограничена сверху графиком непрерывной функции 2 = ( ), y x ϕ снизу — графиком непрерывной функции 1 = ( ), y x ϕ а с боков отрезками прямых = , = , x a x b каж- дый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.2). Рис. 1.1 Рис. 1.2 Следует заметить, что если область σ не является простой, то ее разбивают на конечное число простых областей 1, , σ σn … и при
вычислении двойного интеграла по области σ используют третье свойство двойного интеграла. Если область σ является простой относительно оси Ox , то двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле 2 1 ( ) ( ) ( , ) = ( , ) . ψ σ ψ ∫∫ ∫ ∫ y d c y f x y dxdy dy f x y dx (1.2) Здесь внутренний интеграл 2 1 ( ) ( ) ( , ) ψ ψ∫ y y f x y dx берут по x при фикси- рованном, но произвольном в отрезке [ , ] c d значении y от левой границы области σ до правой. В результате получается некоторая функция от ,y которую интегрируют затем по отрезку [ , ]. c d В случае простой относительно оси Oy области σ двойной интеграл по этой области вычисляют по формуле 2( ) ( ) 1 ( , ) = ( , ) . x b a x f x y dxdy dx f x y dy ϕ σ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (1.3) Наиболее простой вид формулы (1.2), (1.3) принимают в случае прямоугольной области , σ ограниченной прямыми = , x a = , x b = , y c = : y d ( , ) = ( , ) = ( , ) . b d d b a c c a f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx σ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (1.4) Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл 3 ( ) x y dxdy σ + ∫∫ по прямоугольной области , σ ограниченной прямыми =1, x = 2, x = 0, y = 2 y (рис. 1.3). Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (1.4): 2 2 3 3 1 0 ( ) = ( ) . x y dxdy dx x y dy σ + + ∫∫ ∫ ∫
Внутренний интеграл вычисляем, считая x постоянным: 2 2 4 3 0 0 4 ( ) = = 4 2 2 = 2 4. 4 y x y dy xy x x ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + + ∫ Полученную функцию от x интегрируем по отрезку [1; 2]: 2 2 2 3 1 1 ( ) = (2 4) = 2 4 = 7. 2 x x y dxdy x dx x σ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ Замечание. Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не выполняют, а все выкладки записывают в виде цепочки равенств следующим образом: 2 2 2 2 4 3 3 1 0 1 0 ( ) = ( ) = = 4 σ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ ∫ ∫ y x y dxdy dx x y dy xy dx 2 2 2 1 1 = (2 4) = ( 4 ) = 7. x dx x x + + ∫ Такой записью мы и будем пользоваться в дальнейшем. Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл , x dxdy y σ∫∫ если область σ ограничена параболами 2 2 = , = y x x y и прямой =1/ 2. x Решение. Область σ простая относительно оси . Oy Она имеет нижнюю границу 2 = y x и верхнюю границу 2 = . x y Причем Рис. 1.3
верхняя граница может быть задана уравнением = , y x так как область σ находится в первом квадранте, где > 0. y Заметим, что параболы пересекаются в точках (0; 0) O и (1;1) A (рис. 1.4). При любом фиксированном значении x из отрезка [1/ 2;1] y меняется от 2 = y x до = . y x Поэтому по формуле (1.3) имеем: 2 2 1 1 1 2 1/2 1/2 1/2 = = (ln ) = (ln ln ) x x x x x x dxdy dx dy x y dx x x x dx y y σ − = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 2 2 1/2 1/2 1/2 1/2 1 3 3 1 1 = ln 2ln = ln = ln = 2 2 2 2 2 dx x x x dx x xdx x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 2 1 1/2 3 1 1 1 1 3 9 = ln = ln 2 . 2 2 4 2 2 2 16 32 x ⎛ ⎞ − − − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Замечание. Интеграл ln x xdx ∫ берется методом интегрирования по частям. Пример 1.3. Вычислить двойной интеграл , 2 x dxdy σ∫∫ если область σ ограничена кривой = 2 sin x y + и прямыми = 0, x = 0, y = 2 . y π Решение. Область σ является простой относительно оси . Ox Ее левая граница является графиком функции = 0, x а правая — графиком = 2 sin . x y + При любом фиксированном значении y из Рис. 1.4
отрезка [0; 2 ] π x меняется от = 0 x до = 2 sin x y + (рис. 1.5). Поэтому по формуле (1.2) имеем 2 sin 2 0 0 2 sin 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 = = 2 2 1 = 4 1 (2 sin ) = 4 1 = (4 4sin ) = sin 4 y y x x dxdy dy dx x dy y dy y y dy + π σ + π π π = = + + + ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 0 1 1 cos2 1 9 1 = 4 4sin = 4sin cos2 4 2 4 2 2 y y dy y y dy π π − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 2 0 1 9 1 1 9 = 4cos sin 2 = (9 4 4) = . 4 2 4 4 4 y y y π π ⎛ ⎞ − − π − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Пример 1.4. Вычислить двойной интеграл ln , D y xdxdy ∫∫ если область D ограничена линиями =1, = , = 2. xy y x x Решение. Область D является правильной относительно оси Oy и ограничена сверху графиком функции = , y x снизу — графиком функции =1/ , y x справа — отрезком прямой = 2 x (рис. 1.6). Она проектируется в отрезок [ ; ] a b оси , Ox где = 2, b а число a находит- ся из уравнения =1/ : a a =1. a По формуле (1.3) имеем Рис. 1.5
Доступ онлайн
В корзину