Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Кратные интегралы

Покупка
Артикул: 807625.01.99
Доступ онлайн
800 ₽
В корзину
В методических указаниях дано описание предусмотренных учебным планом МГТУ им. Н Э. Баумана приемов и задач, связанных с вычислением кратных интегралов. Приведен справочный материал, содержащий основные определения и формулировки теорем. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предложены задачи для самопроверки. Рассмотрены приложения кратных интегралов к задачам механики. Для студентов младших курсов МГТУ им. Н. Э. Баумана всех специальностей.
Безверхний, Н. В. Кратные интегралы : методические указания / Н. В. Безверхний. - Москва : Изд-во МГТУ им. Баумана, 2014. - 64 с. - ISBN 978-5-7038-3990-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/2053203 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

 
 
Н. В. Безверхний  
 
 
 

Кратные интегралы 

 
 
 
 
Методические указания к решению задач по дисциплине  
«Кратные интегралы и теория функций  
комплексного переменного» 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
Москва  

2014 

УДК 517.37 
ББК 22.161.1 
Б39 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book200.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 

Кафедра «Математическое моделирование» 

Рекомендовано Учебно-методической комиссией  
Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки»  
МГТУ им. Н. Э. Баумана 

Рецензент : д-р физ.-мат. наук, профессор О. В. Пугачев 

 
Безверхний Н. В. 
  
 
Кратные интегралы : метод. указания / Н. В. Безверхний. — 
М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 64, [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-3990-4 
 

В методических указаниях дано описание предусмотренных учебным 
планом МГТУ им. Н Э. Баумана приемов и задач, связанных с вычислением 
кратных интегралов. Приведен справочный материал, содержащий 
основные определения и формулировки теорем. Даны 
подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предложены 
задачи для самопроверки. Рассмотрены приложения кратных ин-
тегралов к задачам механики. 
Для студентов младших курсов МГТУ им. Н. Э. Баумана всех спе-
циальностей.  
 
УДК 517.37 
ББК 22.161.1 
 

 

 

 

 

 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3990-4 
 
 
       МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 

 Б39 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие предназначено для студентов младших кур-
сов всех специальностей, изучающих математический анализ и его 
раздел «Кратные интегралы». Цель пособия — помочь студентам в 
освоении практической составляющей раздела «Кратные интегра-
лы», поэтому его основу составляют примеры и задачи. При этом 
рассмотрены не только примеры решения задач теоретического 
характера на вычисление объемов тел, площадей и т. п., но и при-
ложение теории кратных интегралов к задачам механики.  
Теоретический материал изложен в объеме, необходимом для 
понимания рассматриваемых методов решения. Весь материал 
разбит на подразделы, соответствующие различным типам задач, 
таким как вычисление двойного интеграла в прямоугольных коор-
динатах или замена переменных в двойном интеграле.  
Каждый раздел содержит основы теории, примеры с подроб-
ными решениями и задачи для самостоятельной работы, которые 
можно использовать как на практических занятиях, так и в каче-
стве вариантов домашних заданий.  
Прилагаемый в конце пособия список литературы рассчитан на 
углубленное изучение теоретического материала и рекомендуется 
для подготовки к экзамену. Кроме того, он поможет освежить зна-
ния, полученные в предыдущих семестрах и необходимые для ре-
шения задач текущего раздела.  
Автор выражает свою благодарность доценту кафедры ФН-2 
«Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана О.В. Пугачеву, 
давшему ряд полезных советов. 

1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ  
В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 

1.1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла 

Пусть в области σ  плоскости xOy  определена функция 

 
=
( , ) =
( ),
z
f x y
f P   

где P  — точка плоскости xOy  с координатами ( , ).
x y  
Выполним следующие действия. 
1. Разобьем область σ на n малых областей 
1,
,
Δσ
Δσn
…
 так, 
чтобы сумма их площадей была равна площади всей области σ: 

1
=1
( ) =
(
)
n

i
S
S
σ
Δσ
∑
 и 
=1
=
.
n
i
i
σ
∪
Δσ  Совокупность таких областей 

назовем разбиением области σ и обозначим 
1
= {
,
,
}.
n
T
Δσ
Δσ
…
 
2. В каждой малой области 
i
Δσ  выберем произвольную точку 
( ,
).
i
i
i
P x y
 Множество 
1
{ ,
,
}
n
P
P
…
 таких точек назовем разметкой 
разбиения T  области σ и обозначим ξ. Разбиение T  вместе с размет-
кой ξ назовем размеченным разбиением области σ и обозначим 
.
Tξ  

3. Составим сумму  

 

=1
=1
(
) =
(
) (
) =
( ,
) (
).

n
n

f
i
i
i
i
i
i
i
S
T
f P S
f x y S
ξ
Δσ
Δσ
∑
∑
 
(1.1) 

Сумму вида (1.1) называют интегральной суммой, составлен-
ной для функции двух переменных 
=
( ) =
( , )
z
f P
f x y  по разме-
ченному разбиению 
.
Tξ  

4. Предположим, что существует предел интегральных сумм 
(
)
f
S
Tξ  при неограниченном увеличении числа n малых областей 

и стягивании каждой из них в точку и что этот предел не зависит 
от способа разбиения области σ  на малые области 
i
Δσ  и от выбо-
ра в каждой из них точек 
( ,
).
i
i
i
P x y
 Этот предел называют двойным 
интегралом от функции 
=
( ) =
( , )
z
f P
f x y  по области σ  и обо-
значают  

 
( )
=
( , )
,
f P d
f x y dxdy

σ
σ
σ
∫∫
∫∫
 

а функцию 
( , )
f x y  называют интегрируемой в области .
σ  
Итак,  

 

=1
( , )
=
( ,
)
.
lim

n

i
i
i
n
i
f x y dxdy
f x y
→∞
σ
Δσ
∑
∫∫
 

Область σ  называют областью интегрирования, функцию 
( , )
f x y  — подынтегральной функцией, 
( , )
f x y dxdy  — подынте-
гральным выражением. 
Любая непрерывная в ограниченной области σ  функция инте-
грируема в ней. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением 
только непрерывных функций. 
Двойной интеграл обладает следующими свойствами: 
1) для любой действительной константы C  и интегрируемой 
функции 
( )
f P  функция 
1( ) =
( )
f P
Cf P  тоже интегрируема, и вер-
но равенство 

 
( )
=
( )
;
f P dxdy
C
f P dxdy

σ
σ
∫∫
∫∫
 

2) если для интегрируемых функций 
1
2
( ),
( )
f P
f
P  определить 
новую функцию 
1
2
( ) =
( )
( ),
f P
f P
f
P
±
 то она тоже будет интегри-
руема, и  

 
1
2
( )
=
( )
( )
;
f P dxdy
f P dxdy
f
P dxdy

σ
σ
σ
±
∫∫
∫∫
∫∫
 

3) если область σ  состоит из двух областей 
1
σ  и 
2,
σ
 то  

 

1
2
( )
=
( )
( )
.

σ
σ
σ
+
∫∫
∫∫
∫∫
f P dxdy
f P dxdy
f P dxdy  

Свойства 1 и 2 называют свойствами линейности интеграла, а 
свойство 3 — свойством аддитивности. 

1.2. Вычисление двойного интеграла  
в прямоугольных координатах 

Область σ  на плоскости xOy  назовем простой областью: 
1) относительно оси Ox, если она ограничена справа графиком 
непрерывной функции 
2
=
( ),
x
y
ψ
 слева — графиком непрерывной 
функции 
1
=
( ),
x
y
ψ
 а сверху и снизу отрезками прямых 
= ,
y
c  
=
,
y
d  каждый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.1); 
2) относительно оси Oy, если она ограничена сверху графиком 
непрерывной функции 
2
=
( ),
y
x
ϕ
 снизу — графиком непрерывной 
функции 
1
=
( ),
y
x
ϕ
 а с боков отрезками прямых 
=
, = ,
x
a x
b  каж-
дый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.2). 
 

 

Рис. 1.1 
Рис. 1.2 
 
Следует заметить, что если область σ  не является простой, то 
ее разбивают на конечное число простых областей 
1,
,
σ
σn
…
 и при 

вычислении двойного интеграла по области σ  используют третье 
свойство двойного интеграла. 
Если область σ  является простой относительно оси Ox , то 
двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле 

 

2

1

( )

( )
( , )
=
( , )
.

ψ

σ
ψ
∫∫
∫
∫

y
d

c
y
f x y dxdy
dy
f x y dx  
(1.2) 

Здесь внутренний интеграл 

2

1

( )

( )
( , )

ψ

ψ∫

y

y
f x y dx  берут по x  при фикси-

рованном, но произвольном в отрезке [ , ]
c d  значении y  от левой 
границы области σ  до правой. В результате получается некоторая 
функция от ,y  которую интегрируют затем по отрезку [ , ].
c d
 
В случае простой относительно оси Oy  области σ  двойной 
интеграл по этой области вычисляют по формуле 

 

2( )

( )
1
( , )
=
( , )
.

x
b

a
x
f x y dxdy
dx
f x y dy

ϕ

σ
ϕ
∫∫
∫
∫
 
(1.3) 

Наиболее простой вид формулы (1.2), (1.3) принимают в случае 
прямоугольной области 
,
σ  ограниченной прямыми 
= ,
x
a  
= ,
x
b  
= ,
y
c  
=
:
y
d  

 
( , )
=
( , )
=
( , )
.

b
d
d
b

a
c
c
a
f x y dxdy
dx f x y dy
dy f x y dx

σ∫∫
∫ ∫
∫ ∫
 
(1.4) 

Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл 
3
(
)
x
y
dxdy

σ
+
∫∫
 по 

прямоугольной области 
,
σ  ограниченной прямыми 
=1,
x
 
= 2,
x
 
= 0,
y
 
= 2
y
 (рис. 1.3). 
Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (1.4): 

 

2
2
3
3

1
0
(
)
=
(
)
.
x
y
dxdy
dx
x
y
dy

σ
+
+
∫∫
∫ ∫
 

Внутренний интеграл вычисляем, 
считая x  постоянным: 

2
2
4
3

0
0

4

(
)
=
=
4

2
                   
2
= 2
4.
4

y
x
y
dy
xy

x
x

⎛
⎞
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠

=
+
+

∫
 

Полученную функцию от x  
интегрируем по отрезку [1; 2]:  

 

2
2
2
3

1
1
(
)
= (2
4)
= 2
4
= 7.
2
x
x
y
dxdy
x
dx
x

σ

⎛
⎞
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∫∫
∫
 

Замечание. Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно 
не выполняют, а все выкладки записывают в виде цепочки 
равенств следующим образом: 

2
2
2
2
4
3
3

1
0
1
0
(
)
=
(
)
=
=
4
σ

⎛
⎞
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∫∫
∫ ∫
∫
y
x
y
dxdy
dx
x
y
dy
xy
dx
 

2
2
2

1
1
= (2
4)
= (
4 )
= 7.
x
dx
x
x
+
+
∫
 

Такой записью мы и будем пользоваться в дальнейшем. 
Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл  

 
,
x dxdy
y
σ∫∫
  

если область σ  ограничена параболами 
2
2
=
, =
y
x
x
y  и прямой 
=1/ 2.
x
 
Решение. Область σ  простая относительно оси 
.
Oy  Она имеет 

нижнюю   границу  
2
=
y
x   и  верхнюю  границу  
2
=
.
x
y
  Причем  

Рис. 1.3 

верхняя граница может быть задана 
уравнением 
=
,
y
x  так как область 
σ находится в первом квадранте, где 
> 0.
y
 Заметим, что параболы пересекаются 
в точках 
(0; 0)
O
 и 
(1;1)
A
 
(рис. 1.4). 
При любом фиксированном значении 
x  из отрезка [1/ 2;1]  y  меняется 
от 
2
=
y
x  до 
=
.
y
x  Поэтому 
по формуле (1.3) имеем: 

2
2

1
1
1
2

1/2
1/2
1/2
=
=
(ln )
=
(ln
ln
)

x
x

x
x

x
x
dxdy
dx
dy
x
y
dx
x
x
x
dx
y
y
σ
−
=
∫∫
∫
∫
∫
∫
 

1
1
1
1
2
2

1/2
1/2
1/2
1/2

1
3
3 1
1
=
ln
2ln
=
ln
=
ln
=
2
2
2 2
2
dx
x
x
x dx
x
xdx
x
x
x
x

⎛
⎞
⎛
⎞
−
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
∫
∫
 

2
1

1/2
3
1 1
1
1
3
9
=
ln
=
ln 2
.
2
2 4
2
2 2
16
32
x
⎛
⎞
−
−
−
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Замечание. Интеграл 
ln
x
xdx
∫
 берется методом интегрирования 
по частям. 
Пример 1.3. Вычислить двойной интеграл  

 
,
2
x dxdy

σ∫∫
 

если область σ  ограничена кривой 
= 2
sin
x
y
+
 и прямыми 
= 0,
x
 
= 0,
y
 
= 2 .
y
π  
Решение. Область σ  является простой относительно оси 
.
Ox  
Ее левая граница является графиком функции 
= 0,
x
 а правая — 
графиком 
= 2
sin .
x
y
+
 При любом фиксированном значении y  из 

 

Рис. 1.4 

отрезка [0; 2 ]
π  x  меняется от 
= 0
x
 до 
= 2
sin
x
y
+
 (рис. 1.5). Поэтому 
по формуле (1.2) имеем 

2 sin
2

0
0

2 sin
2
2

0
0

2
2

0

2
2

0

=
=
2
2

1
=
4

1
(2
sin )
=
4

1
=
(4
4sin
)
=
sin
4

y

y

x
x
dxdy
dy
dx

x
dy

y
dy

y
y dy

+
π

σ

+
π

π

π

=

=
+

+
+

∫∫
∫
∫

∫

∫

∫

 

 

2
2

0
0

1
1
cos2
1
9
1
=
4
4sin
=
4sin
cos2
4
2
4
2
2
y
y
dy
y
y dy

π
π
−
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
+
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
∫
 

2

0

1 9
1
1
9
=
4cos
sin 2
=
(9
4
4) =
.
4 2
4
4
4
y
y
y

π
π
⎛
⎞
−
−
π −
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Пример 1.4. Вычислить двойной интеграл  

 
ln
,

D

y
xdxdy
∫∫
  

если область D  ограничена линиями 
=1,
=
,
= 2.
xy
y
x x
 
Решение. Область D  является правильной относительно оси Oy  

и ограничена сверху графиком функции 
=
,
y
x  снизу — графиком 
функции 
=1/ ,
y
x  справа — отрезком прямой 
= 2
x
 (рис. 1.6). Она 
проектируется в отрезок [ ; ]
a b  оси 
,
Ox  где 
= 2,
b
 а число a находит-

ся из уравнения 
=1/
:
a
a  
=1.
a
 
По формуле (1.3) имеем 

Рис. 1.5 

Доступ онлайн
800 ₽
В корзину