Математика древняя и юная

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

Под редакцией доктора технических наук,
профессора В.С. Зарубина

Издание второе, исправленное

УДК 51
ББК 22.1
П16

Р е ц е н з е н т ы:

В.В. Блаженков — зав. кафедрой высшей математики Военной академии 
ракетных войск стратегического назначения им. Петра Великого,
д-р техн. наук, проф.;
С.Г. Шеховцов — директор Центра развития новой университетской
образовательной модели Российского государственного гуманитарного 
университета.

Панов В.Ф.
П16
Математика древняя и юная / Под ред. В.С. Зарубина. — 2-е изд.,
испр. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 648 с.: ил.
ISBN 5-7038-2890-2

Книга является дополнением к комплекcу учебников серии «Математика 
в техническом университете» и знакомит читателя с основными фрагментами 
истории становления современной математики. В ее основу положены
лекции по курсам «Введение в специальность» и «История математики», читаемым 
автором студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающимся по специальности «
Прикладная математика». В первой части книги основное внимание 
уделено биографиям творцов математики и тех мыслителей, чьи идеи
оказали решающее влияние на развитие этой науки. Во второй части изложена 
история некоторых основных математических понятий и идей.
Для студентов технических вузов и учителей математики, а также всех,
интересующихся историей науки.

УДК 51
ББК 22.1

ISBN 5-7038-2890-2

c⃝ В.Ф. Панов, 2004; 2006 с изменениями
c⃝ Оформление. МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2004; 2006 с изменениями

Посвящается моим внукам —
Ксении и Даниилу

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предисловие можно назвать громоотводом.
Г.К. Лихтенберг

В основе книги лежит курс лекций по истории математики,
читаемый автором в Московском государственном техническом
университете им. Н.Э. Баумана. Свою задачу автор видел в систематизации 
имеющегося материала и его изложении таким образом,
чтобы у читателя, практически не знакомого с историей математики, 
составилась более или менее цельная картина ее развития.
Автор не работал с архивными документами и содержание книги
фактически заимствовано из опубликованных исследований других
авторов. Иногда автор позволял себе включить в повествование без
изменения отдельные понравившиеся абзацы из литературных источников. 
Чаще других использовались книги Г. Вейля, М. Клайна,
Ф. Клейна, Н.Я. Виленкина, В.А. Никифоровского, В.А. Успенского,
В.М. Тихомирова, В.Д. Чистякова.
При подготовке книги автор постоянно помнил высказывание
великого француза Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько
серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным» [
57, с. 12]. С этой целью он старался отдавать предпочтение 
тем фактам из жизни творцов математики, которые характеризуют 
их личности, и не стремился скурпулезно перечислять
все полученные ими результаты. В предисловии к книге Линкольна 
Барнета «Вселенная и доктор Эйнштейн» в 1948 г. А. Эйнштейн
писал: «Всякий, кто хоть раз пытался популярно изложить какое-
либо научное положение, знает, какие огромные трудности стоят на

3

этом пути. Можно преуспеть в доходчивости, уйдя от изложения
сущности проблемы и ограничившись лишь смутными намеками
на нее, и таким образом обмануть читателя, внушив ему иллюзию
понимания. Можно, наоборот, квалифицированно и точно изложить
проблему, но так, что неподготовленный читатель скоро потеряет
мысль автора и лишится возможности следовать за ней дальше» [57,
с. 128]. В предлагаемой книге сделана попытка найти «золотую середину» 
между доходчивостью и точностью изложения математических 
проблем, поэтому в ней мало формул.
Творцы математики были необычайно одаренными и широко
образованными людьми, автор хотел показать их вклад в мировую
культуру, а также проследить связь развития математики с общим
развитием нашей цивилизации. Чтобы это стремление не повредило 
чисто математическому аспекту книги, она разделена на две части. 
Первую часть составляют в основном биографии творцов математики 
и тех мыслителей, которые, не будучи математиками, оказали 
огромное влияние на ее историю, а вторую часть — история
некоторых разделов и идей математики. В первой части материал
изложен «по горизонтали», в хронологическом порядке, а во второй — «
по вертикали», от древних времен до наших дней.
Чтобы сделать более понятной связь развития математики
с состоянием общества, в первой части книги в начале некоторых
глав дана краткая характеристика соответствующего исторического
периода.
На уровень математических знаний часто оказывали влияние
организационные мероприятия внутри отдельных государств. Что-
бы читателю стало понятно, почему, например, в математике начала
XIX в. встречаются в основном французские фамилии, а в матема-
тике второй половины XIX в. — немецкие, в гл. 12 рассказано о По-
литехнической школе в Париже, а в гл. 16 — о системе обучения в
университетах Германии.
В настоящее время фактически отсутствует анализ развития
математики в ХХ в. В книге предпринята попытка восполнить
этот пробел с привлечением доступного автору материала. Этой
проблеме посвящены (полностью или частично), начиная с гл. 18,
почти все главы за исключением гл. 24 и 28.

4

Гл. 19 целиком посвящена Международным конгрессам матема-
тиков, так как, в частности, II Международный конгресс, состояв-
шийся в 1900 г. в Париже, оказал судьбоносное влияние на матема-
тику ХХ столетия.
В подготовке книги неоценимую помощь автору оказал профес-
сор Зарубин Владимир Степанович. Ему принадлежит идея созда-
ния книги. Рекомендации и советы В.С. Зарубина были учтены при
отборе материала, а замечания, сделанные при чтении рукописи, по-
могли исключить повторы и значительно улучшить содержание.
Автор благодарен доценту Канатникову Анатолию Николаеви-
чу, который внес много полезных предложений, способствовавших
улучшению изложения материала, а также редактору издательства
МГТУ им. Н.Э. Баумана Кошелевой Елене Константиновне, при-
ложившей немало усилий для устранения стилистических погреш-
ностей.

В.Ф. Панов

ВВЕДЕНИЕ

Вся история математики состоит из чередующихся процес-
сов «расширений» и «сокращений». Например, внимание
математиков
привлекает
какая-нибудь
задача,
пишутся
сотни статей, каждая из которых освещает лишь одну
сторону истины. Вопрос разрастается. Затем какой-нибудь
гений, опираясь на все данные, собранные с таким трудом,
заявляет: «Все, что мы знаем, станет почти очевидным, если
посмотреть на это вот с такой точки зрения». После этого
никому, кроме историков математики, нет уже необходимо-
сти изучать сотни отдельных статей. Разрозненные выводы
объединяются в одну простую доктрину, важные факты
отделяются от шелухи, и прямой путь к желаемому выводу
открыт для всех.
У.У. Сойер

Математика и познание окружающего мира

С момента появления первых цивилизаций человечество стре-
милось познать окружающий мир, понять происходящее в природе. 
Решающий, гигантский по своим масштабам и непреходящий
по своему значению шаг к расширению и приумножению нашего
знания о внешнем мире был сделан, когда для изучения его стали
применять математику. Отметим, что термина «математика» в древности 
не существовало. Вероятно, наука о количественных отношениях 
и пространственных формах действительного мира стала называться 
позднее, в средние века, когда европейцы ознакомились
с арабскими переводами трудов древнегреческих ученых. Поэтому, 
говоря о математике Древнего Мира, мы имеем в виду методы
накопления и систематизации научного материала по количественному 
изучению явлений природы. Математика не только уточнила

6

и расширила наше восприятие окружающего мира с помощью органов 
чувств, но и позволила открыть весьма важные явления, не
воспринимаемые нами, но от того не менее реальные по их воздействию 
на человека. Нам, живущим в начале 3-го тысячелетия,
природа и «земные» приложения математики хорошо известны, и
потому воспринимаются они как нечто само собой разумеющееся. 
Уже цивилизации, в недрах которых математика зарождалась, а
именно цивилизации Древнего Египта и Древнего Вавилона, более
5 тыс. лет назад создали набор полезных, но не связанных между со-
бой правил и формул для решения практических задач, с которыми
люди сталкивались в повседневной жизни. Вавилоняне и египтяне
не осознавали, что математика способна распространить их знание
природы за пределы, доступные чувственному опыту.
Как единое связное целое и средство познания природы мате-
матика есть творение древних греков. Они начали заниматься этим
примерно за шесть веков до нашей эры. Не сохранилось никаких
документов VI—V вв. до н. э., способных рассказать нам, что за-
ставило греков прийти к новому пониманию математики и ее роли.
Мы располагаем лишь более или менее правдоподобными догадка-
ми историков, один из которых утверждает, что греки обнаружили
противоречия в результатах, полученных древними вавилонянами
при определении площади круга, и вознамерились выяснить, какой
из результатов верен. В качестве еще одного объяснения историки
ссылаются на философские интересы греков, но это только догадки.
По-видимому, нам остается лишь констатировать, что у греков
начиная с VI в. до н. э. сложилось определенное миропонимание,
сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена ра-
ционально, а все явления протекают по точному и неизменному пла-
ну, который в конечном счете является математическим. Человече-
ский разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изу-
чению природы, то лежащий в основе мироздания математический
план удастся раскрыть и познать [43].
Разработанная пифагорейцами программа выявления рацио-
нального плана, лежащего в основе природы, предполагала исполь-
зование математики. Они усматривали сущность вещей и явлений
в числах и числовых соотношениях. Число для них было первым
принципом в описании природы, и оно же считалось выражением

7

материи и формы мира. Пифагорейцы полагали, что «все вещи суть
числа». К числовым соотношениям они сводили и музыку, и астро-
номию. По их представлениям, тела, перемещаясь в пространстве,
производят звуки, причем быстро движущееся тело издает более
высокий звук, чем движущееся медленно. Такая «музыка сфер»
может быть сведена к чисто числовым отношениям. Но тогда к
числовым отношениям можно свести и движения планет.
Первым из греков, кому мы обязаны наиболее существенным
шагом в математическом исследовании природы, был Платон. Он
не только воспринял некоторые стороны учения пифагорейцев, но
и был выдающимся философом, чьи идеи во многом определили
развитие мысли в Древней Греции. Согласно Платону, то, что вос-
принимают наши органы чувств, не более чем несовершенное пред-
ставление реального мира. Реальность и рациональность физиче-
ского мира могут быть постигнуты только с помощью математики.
Платон заложил также основы дедуктивно-аксиоматического мето-
да, являющегося в настоящее время основным при построении ма-
тематического знания.
Началом современного периода развития математики принято
считать конец XV — начало XVI в. Что касается XVI в., то его часто
называют эпохой Возрождения (Ренессанса) — возрождения грече-
ской мысли. Примерно к 1500 г. европейские умы ознакомились с
основной идеей мыслителей античности о необходимости прило-
жения разума к исследованию природы и поиска математического
плана, лежащего в основе мироздания. Но если греки не сомнева-
лись, что природа устроена на математических принципах, неиз-
менно и неуклонно следует некоему идеальному плану, то мыслите-
ли конца Средневековья приписывали весь план и все действие хри-
стианскому Богу. Именно Бог был, по их представлениям, творцом
и создателем плана мироздания, и все явления природы неукосни-
тельно следовали предначертаниям Творца, беспрекословно подчи-
няясь его воле. Математики и естествоиспытатели эпохи Возрожде-
ния, будучи правоверными христианами, разделяли эту доктрину.
К уже существующим учениям был добавлен новый тезис о том,
что Бог сотворил мир на математической основе.
Математики XVI—XVIII вв. были уверены в существовании ма-
тематических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и

8

настойчиво стремились найти их, ибо исходили из убеждения, что
Бог и эти законы включил в общую схему мироздания.
Галилео Галилей предложил план изучения природы, включав-
ший четыре пункта [43]:
1) получить количественные описания физических явлений и
облечь их в математические формулы;
2) выделить и измерить наиболее фундаментальные свойства
явлений (свойства — переменные в формулах);
3) построить физику на основе фундаментальных физических
принципов, используя дедуктивный метод;
4) при изучении явлений непременно прибегать к идеализации.

Особенности математического метода

Первая отличительная особенность математического метода —
введение основных понятий. Некоторые из таких понятий (напри-
мер, точка, линия, целое число) подсказаны непосредственно мате-
риальным, или физическим, миром. Помимо элементарных поня-
тий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные
человеческим разумом. Их примерами могут служить понятия от-
рицательного числа, комплексного числа, функции, математическо-
го анализа, буквенные обозначения классов чисел, всевозможные
кривые, бесконечные ряды, дифференциальные уравнения, матри-
цы и группы, многомерные пространства.
Некоторые из перечисленных понятий полностью лишены ин-
туитивной основы. Другие, например понятие производной (мгно-
венной скорости движения), имеют под собой некую основу в фи-
зических явлениях. Но и производную в гораздо большей степени
можно рассматривать как конструкцию, созданную разумом, при-
чем на качественно совершенно новом уровне, нежели, скажем, по-
нятие математического треугольника.
Вторая отличительная особенность математики — ее абстракт-
ность. В одном абстрактном математическом понятии должны
быть отражены существенные особенности всех физических про-
явлений этого понятия. Например, математическая прямая должна
заключать в себе все наиболее значительные особенности туго натя-
нутых веревок, краев линеек, границ полей и траекторий световых
лучей.

9

Третья отличительная особенность математики — идеализация.
Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины мело-
вой линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при ре-
шении некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе идеали-
зация не является серьезным отступлением от реальности, но при
любой попытке приложить ее к реальности возникает вопрос, до-
статочно ли близок исследуемый объект (например, реальная части-
ца или траектория) к его идеальному образу.
Четвертой отличительной особенностью математики является
использование специальных обозначений. Хотя страница, испещрен-
ная математическими символами, способна отпугнуть непосвящен-
ного, нельзя не признать, что без специальных обозначений матема-
тики погрязли бы в неразберихе слов.
Наиболее поразительной, пятой, отличительной особенностью
математики является используемый ею метод рассуждения. Осно-
ву его составляет набор аксиом с применением к ним дедуктивного
доказательства (вывода). Слово «аксиома» происходит от грече-
ского выражения «мыслить подобающим образом». Само понятие
аксиомы — истины столь самоочевидной, что она ни у кого не вы-
зывает сомнения, — введено греками. Аристотель во «Второй ана-
литике» упоминает об общих положениях, называемых им аксио-
мами, из которых выводится доказательство и истинность которых
постигается безошибочной интуицией. Хотя Эрик Т. Белл в шутку
сказал, что «аксиома — это предрассудок, освященный тысячелети-
ями» [43, с. 168], а Альберт Эйнштейн заметил, что «здравый смысл
— это толща предрассудков, успевших отложиться в нашем созна-
нии к восемнадцати годам» [93, с. 192], без аксиом нам не обойтись.
Если бы в доказательстве использовались какие-то факты, не из-
вестные нам как истины, то потребовалось бы дополнительное до-
казательство, которое устанавливало бы эти факты, и этот процесс
пришлось бы повторять бесконечно. Аристотель указывал также на
то, что некоторые понятия должны оставаться неопределяемыми,
ибо в противном случае доказательство не будет иметь начала.
В наше время такие понятия, как точка и прямая, остаются
неопределяемыми, их значение и свойства зависят от аксиом, пред-
писывающих свойства точек и прямых. Аксиоматизация новых

10