Анализ оптимальных структур композитных стержней

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

А.А. Смердов

АНАЛИЗ
ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР
КОМПОЗИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Методические указания
к выполнению домашнего задания

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 624.04
ББК 38.112
C50

C50

Рецензент Б.С. Сарбаев

Смердов А.А.
Анализ оптимальных структур композитных стержней : ме-
тод. указания к выполнению домашнего задания / А.А. Смер-
дов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 42, [2] с. :
ил.

Рассмотрены анализ оптимальных перекрестно армирован-
ных структур композитных стержней и выбор оптимальных
параметров структуры исходя из требований к свойствам кон-
струкции. Изложены теоретические основы решения задачи
оптимального проектирования, методика выполнения домаш-
него задания и примеры его выполнения.
Для студентов 5-го и 6-го курсов факультета «Cпециальное
машиностроение» МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией факульте-
та СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 624.04
ББК 38.112

Учебное издание

Смердов Андрей Анатольевич

АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР КОМПОЗИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Редактор О.М. Королева
Корректор
Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 25.07.2011. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 2,56. Тираж 100 экз. Изд. № 154.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящего домашнего задания является отработка на-
выков проектных расчетов композитных элементов конструкций,
к свойствам (характеристикам) которых предъявляются различные
требования.
В процессе выполнения домашнего задания и подготовки его к
защите необходимо усвоить такие основные понятия, как управле-
ние свойствами композитных структур, жесткостные характе-
ристики, термоупругие характеристики, динамические и диссипа-
тивные характеристики, прочность, общая и местная устойчи-
вость, а также научиться ставить и решать задачи исследования
композитных элементов конструкций.
Задание заключается в определении параметров армирования
композитных стержней с заданными свойствами.
Исходными данными домашнего задания являются размеры
стержня, характеристики однонаправленного материала, из кото-
рого изготовлен стержень, тип структуры армирования, а также
несколько требований к свойствам проектируемой конструкции.
Стержень имеет тонкостенное трубчатое сечение; радиус, дли-
на и толщина стенки задаются.
Характеристики однонаправленного композита задаются в его
естественной системе координат [1], продольная ось которой связа-
на с направлением армирующих волокон, а поперечная направлена
по нормали к ним в касательной плоскости.
Тип структуры армирования — перекрестно армированный ма-
териал, который характеризуется одним варьируемым параметром:
углом ориентации слоев относительно продольной оси стержня
(углам армирования). Необходимо выбрать диапазон допустимых

3

углов армирования так, чтобы обеспечить значения нескольких ха-
рактеристик конструкции на уровне не ниже заданных.
Требования предъявляются к нескольким характеристикам кон-
струкции. В каждом варианте задания устанавливается по одному
требованию из каждой группы свойств:
• жесткостные характеристики (продольная жесткость, кру-
тильная жесткость, изгибная жесткость);
• характеристики термического деформирования (коэффициент
линейного термического расширения в направлении оси стержня,
смещения торца стержня при заданном изменении температуры);
• динамические характеристики (низшие частоты продольных,
крутильных и изгибных собственных колебаний);
• характеристики демпфирования (коэффициенты диссипации
при продольных и крутильных колебаниях, коэффициенты дисси-
пации и мощности диссипации при изгибных колебаниях на низ-
шей частоте).
Кроме того, во всех вариантах задания установлено требование
обеспечения несущей способности при заданной нагрузке. Это тре-
бование включает в себя три условия, суть которых заключается в
том, что заданное значение нагрузки не должно превышать:
• предельного значения по критерию прочности композитного
материала (композита);
• предельного
значения по критерию общей
(стержневой)
устойчивости;
• предельного значения
по
критерию
местной (оболочеч-
ной) устойчивости, включая осесимметричные и неосесимметрич-
ные формы потери устойчивости.
Каждое из исследуемых свойств может быть записано в ви-
де функции от единственного варьируемого параметра — угла ар-
мирования. При выполнении задания следует построить графики
всех требуемых функций и по этим графикам выбрать допусти-
мые диапазоны значения углов армирования, исходя из каждого
требования. Пересечение всех выбранных диапазонов даст ответ
к домашнему заданию: допустимый диапазон изменения углов ар-
мирования, обеспечивающий выполнение всех требований к ком-
позитной конструкции.
Все расчеты проводятся по формулам для тонкостенного
стержня.

4

Прочность композита рассчитывается по первому разрушению
[1, 2]. Это означает, что при нагружении стержня необратимое
деформирование не допускается.
Алгоритмы расчета характеристик армированных трубчатых
стержней приведены в разд. 1. Там же представлены типичные
графики свойств в зависимости от структурных параметров; по-
добные графики должны быть построены каждым студентом при
выполнении домашнего задания.
В разделе 2 описана методика выполнения и оформления до-
машнего задания, а в разделе 3 приведен пример его выполнения.

1.
ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

1.1. Объект проектирования

Схема объекта проектирования показана на рис. 1. Стержень
радиусом R, длиной L и толщиной h выполнен в виде тонко-
стенной трубы и закреплен по торцам (при расчете могут быть

Рис. 1. Объект проектиро-
вания

приняты граничные условия свободного
опирания). Труба образована намоткой
одного семейства перекрестно армиро-
ванных слоев. Конструкция нагружена
осевой сжимающей силой N. Считается,
что заданное значение N соответствует
расчетной нагрузке, определенной с уче-
том коэффициента безопасности [2].
Общий вид многослойного компо-
зита (многослойного пакета) изображен
на рис. 2, а. Композит включает в себя
набор слоев, каждый из которых отли-
чается от остальных либо свойствами
материала, либо направлением ориента-
ции. Всего в пакете содержится n различных слоев. Каждый слой
представляет собой однонаправленный материал, свойства которо-
го считаются заданными, — монослой [2], показанный на рис. 2, б.
Считается, что свойства монослоя не изменяются при изменении
структурных параметров многослойного пакета. Этими структур-
ными параметрами являются толщины отдельных слоев hi и углы
их ориентации ϕi.
На рис. 2, б показаны две системы координат: система коорди-
нат конструкции x, y, в которой ось x направлена по образующей

6

Рис. 2. Многослойный пакет (а) и его слои в различных системах координат (
б); ортотропный перекрестно армированный слой (в)

цилиндра, а ось y — по касательной к окружности поперечного
сечения, и система координат однонаправленного слоя 1i, 2i (естественная 
система координат слоя), где i — номер текущего слоя.
Оси естественной системы координат однонаправленного слоя 1i
и 2i направлены по направлению армирующих волокон и по нормали 
к слою в его плоскости. Угол ϕi между осью x и осью 1i
определяет ориентацию i-го слоя в системе координат пакета.
Обычно в конструкциях используют ортотропные материалы [
2], для которых оси координат x, y являются осями симметрии. 
Такие материалы содержат перекрестно армированные слои,
в которых половина волокон ориентирована под углом +ϕi к направлению 
оси x, а вторая половина — под углом −ϕi (рис. 2, в).
Перекрестно армированные слои образуются, например, при спиральной 
намотке однонаправленной ленты. Если многослойный
материал получен выкладкой однонаправленных слоев, то в качестве 
перекрестно армированного слоя может быть принята пара
слоев с углами +ϕi и −ϕi, расположенных рядом (если число слоев
в пакете достаточно велико). Каждый слой пакета характеризует-
ся толщиной hi. Относительные толщины ˜hi представляют собой
отношение толщины данного слоя к толщине пакета. Во всех фор-
мулах, приведенных в указаниях, верхним индексом i обозначены
характеристики i-го слоя; символы без верхнего индекса обознача-
ют свойства многослойного пакета.
Одной из самых популярных композитных структур является
перекрестно армированная структура, для которой n = 1 (одна
группа слоев с одинаковым углом армирования). Для такой струк-
туры имеется единственный варьируемый параметр — угол ±ϕ.

7

Большим преимуществом перекрестно армированной структуры
является то, что решение задачи выбора оптимальных параметров
и исследования возможностей компромиссного сочетания требова-
ний, предъявляемых к структуре, может быть получено методами
параметрического анализа [3].

1.2. Жесткостные характеристики

Основными
жесткостными
характеристиками
трубчатого
стержня являются:

• продольная жесткость (или жесткость при растяжении-
сжатии) EF;

• крутильная жесткость GIp;

• изгибная жесткость EI;

• сдвиговая жесткость GF.

Для расчета этих характеристик тонкостенного стержня не-
обходимо определить четыре технические константы упругости
многослойного ортотропного материала (пакета): Ex, Ey, Gxy и
νxy (Exνyx = Ey νxy). Для этого нужно знать технические кон-
станты жесткости материала каждого слоя: E(i)
1 , E(i)
2 , G(i)
12, ν(i)
12
E(i)
1 ν(i)
21 = E(i)
2 ν(i)
12
.

Сначала по известным значениям технических констант жест-
кости вычисляются коэффициенты матрицы жесткости каждого
слоя в его естественной системе координат:

g(i)
11 =
E(i)

1
1 − ν(i)
12 ν(i)
21
; g(i)
22 =
E(i)

2
1 − ν(i)
12 ν(i)
21
;

g(i)
12 = ν(i)
12g(i)
22 = ν(i)
21g(i)
11 ; g(i)
66 = G(i)
12.

(1)

Затем определяются коэффициенты матриц жесткости слоев в

8

системе координат многослойного материала:

g(i)
xx = g(i)
11 cos4 ϕi + g(i)
22 sin4 ϕi +
2g(i)
12 + 4g(i)
66
sin2 ϕi cos2 ϕi;

g(i)
xy =
g(i)
11 + g(i)
22 − 4g(i)
66
sin2 ϕi cos2 ϕi +

+ g(i)
12
sin4 ϕi + cos4 ϕi
;

g(i)
yy = g(i)
11 sin4 ϕi + g(i)
22 cos4 ϕi +
2g(i)
12 + 4g(i)
66
sin2 ϕi cos2 ϕi;

g(i)
ss =
g(i)
11 + g(i)
22 − 2g(i)
12
sin2 ϕi cos2 ϕi+

+ g(i)
66
sin2 ϕi − cos2 ϕi
2.

(2)

Следующий шаг — вычисление коэффициентов матрицы жест-
кости многослойного ортотропного пакета:

gxx =

n
i=1
g(i)
xx ˜hi;

gxy =

n
i=1
g(i)
xy ˜hi;

gyy =

n
i=1
g(i)
yy ˜hi;

gss =

n
i=1
g(i)
ss ˜hi.

(3)

Технические константы упругости многослойного ортотропно-
го пакета:

Ex = gxx − g2
xy/gyy; Ey = gyy − g2
xy/gxx;

νxy = gxy/gyy;
νyx = gxy/gxx; Gxy = gss.
(4)

Следует подчеркнуть, что формулы (2)—(4) справедливы только
для многослойных ортотропных пакетов; если в пакете имеются
слои общего вида (см. рис. 2, б), следует использовать более общие
зависимости [2].
Формулы для расчета характеристик перекрестно армирован-
ных материалов могут быть получены как частный случай алгорит-
ма (1)—(4), в котором отсутствует суммирование (3): n = 1, ˜h1 = 1.

9

Продольная жесткость тонкостенного трубчатого стержня

EF = 2πRhEx.
(5)

Крутильная жесткость тонкостенного трубчатого стержня

GIp = 2πR3Gxy.
(6)

Изгибная жесткость тонкостенного трубчатого стержня

EI = πR3hEx.
(7)

Сдвиговая жесткость тонкостенного трубчатого стержня

GF = πRhGxy.
(8)

Требования к продольной, крутильной и изгибной жесткости
устанавливаются в домашнем задании; сдвиговая жесткость необ-
ходима для расчета устойчивости и частот собственных колебаний
конструкции.
Как следует из формул (5)—(7), при заданных размерах трубча-
того стержня продольная и изгибная жесткости пропорциональны
продольному модулю упругости материала стержня, а крутильная
жесткость — модулю сдвига. Типичные графики изменения соот-
ветствующих величин перекрестно армированных материалов по-
казаны на рис. 3.

Рис. 3. Типичные зависимости жесткостных характеристик перекрестно
армированных стержней из углепластика от угла армирования:
а — продольной и изгибной жесткости; б — крутильной жесткости

10