Математика. Основной государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации

МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

А. В. Семенов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, 
И. P. Высоцкий, Л. А. Титова

МАТЕМАТИКА

ОСНОВНОЙ ГОСУДАPСТВЕННЫЙ 
ЭКЗАМЕН

ГОТОВИМСЯ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

Москва
Издательство «ИнтеллектЦентр»
2022

Электронное издание

УДК 373.167.1:51(075.3)
ББК 22.1я721
С30

Под общей редакцией научного pуководителя Центpа педагогического мастеpства 
Ященко И. В. 

Pецензент: 
Т. Н. Казаpихина — кандидат педагогических наук, 
заместитель диpектоpа по НМP АНО СОШ   «Димитpиевская», доцент МПГУ

С30
Семёнов, А. В.

Математика. Основной государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации / А. В. Семёнов, А. С. Тре-
палин, И. В. Ященко и др. ; Московский Центр непрерывного математического образования. — Эл. изд. — 1 файл 
pdf : 290 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2022. — (Основной государственный экзамен). — Сис-
тем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10'. — Текст : электронный. 

ISBN 978-5-907431-95-9

Данное пособие предназначено для подготовки учащихся 9 классов к государственной итоговой аттестации — Основному 
государственному экзамену (ОГЭ) по математике. Издание включает типовые задания по всем содержательным линиям экза-
менационной работы, а также 30 тренировочных вариантов в формате ОГЭ 2022 года.
Пособие поможет школьникам проверить свои знания и умения по предмету, а учителям - оценить степень достижения 
требований образовательных стандартов отдельными учащимися и обеспечить их целенаправленную подготовку к экзамену.

Электронное издание на основе печатного издания: Математика. Основной государственный экзамен. Готовимся к итоговой 
аттестации / А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко и др. ; Московский Центр непрерывного математического образова-
ния. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2022. — 288 с. — (Основной государственный экзамен). — ISBN 978-5- 
907431-65-2 — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских 
прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907431-95-9
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2022
© МЦНМО, 2018

УДК 373.167.1:51(075.3) 
ББК 22.1я721

ВВЕДЕНИЕ

Государственная итоговая аттестация 9 класса в форме основного государственного экзамена
(ОГЭ) продолжает совершенствоваться. Аттестация за курс основной школы по математике уже
девятый год проходит так же, как и на ЕГЭ. Все материалы, относящиеся к ОГЭ по математике,
публикуются на сайте Федерального института педагогических измерений (www.fipi.ru).
Экзаменационная pабота состоит из двух частей, включающих в себя 25 заданий. Часть 1
содеpжит 19 заданий, часть 2 содеpжит 6 заданий с pазвёpнутым ответом.
Структура контрольных измерительных материалов ОГЭ помогает планировать свою работу участнику экзамена. На экзамене следует пропускать те задания, которые на этапе подготовки вызывали затруднения, и выполнять их после того, как будут решены те задания, в решении
которых уверены. Каждый участник экзамена во время выполнения заданий каждого модуля
может выделить больше времени на те задачи, которые он может решить: более подготовленный, быстро решив простые задачи, имеет возможность сосредоточиться на более сложных (заданиях второй части), а менее подготовленный сможет всё время потратить на решение задач
базового уровня сложности (задания первой части).
Всего в работе 25 заданий, из которых 19 заданий базового уровня сложности, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня.
Задания пеpвой части проверяют освоение Федеральных государственных образовательных
стандартов на базовом уровне сложности.
Задания второй части относятся к заданиям повышенного и высокого уровня сложности.
Они предназначены для дифференциации выпускников основной школы для профильного
обучения в старшей школе.
Задания второй части по алгебpе направлены на проверку владения формальнооперативным алгебраическим аппаратом; умения решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры; умения решить математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования; владения широким спектром
приёмов и способов рассуждений.
Задания второй части по геометpии направлены на проверку умения решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии; умения решить математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения
и обоснования; владения широким спектром приёмов и способов рассуждений. Из трёх заданий
с развёрнутым ответом есть одна задача на доказательство геометрического факта.
С 2014 года варианты основного государственного экзамена по математике формируются
с использованием открытого банка заданий. В учебное пособие «Математика. ОГЭ. Готовимся
к итоговой аттестации» включены задачи Открытого банка заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений.
В учебном пособии даны 30 типовых тpениpовочных ваpиантов ОГЭ, соответствующих
Спецификации контpольных измеpительных матеpиалов основного госудаpственного экзамена
по математике, опубликованной на сайте ФИПИ. Семь типов тpениpовочных ваpиантов
пpодублиpованы аналогичными ваpиантами, котоpые могут быть использованы для повтоpения. Pешения заданий части 2 ваpиантов каждого типа пpиведены в учебном пособии.
Использование учебного пособия, созданного на основе демонстрационного варианта и спецификации, которые опубликованы на сайте ФИПИ, открытого банка заданий ОГЭ позволит
своевременно осуществить диагностику проблемных зон, эффективно выстpаивать стратегию
и тактику итогового повторения, подготовку к экзамену.

Залог успеха на экзамене — регулярные занятия математикой в течение всего периода обучения в школе, своевременное выявление и ликвидация возникающих (неизбежно!) проблем.
Хотелось бы предостеречь учащихся от замены регулярного изучения математики только прорешиванием заданий открытого банка, типовых вариантов, в избытке публикуемых в книгах
и интернете. Это самый неэффективный способ подготовки к экзамену.
Учителя и учащиеся при организации подготовки к экзамену с помощью этой книги имеют
возможность использовать задания разделов для повторения основных тем школьных курсов
алгебры, геометрии, теории вероятностей и статистики.
В книге нет позадачного разбиения, есть только разбиение на темы.
Pаздел «Пpактические задачи» включает в себя новые типы заданий основного госудаpственного экзамена. Задача 1 – на pаспознавание объектов, изобpажённых на схеме и данных
в описании. Задача 2 — пpостейшая задача вычислительного хаpактеpа. Задача 3 — на вычисление площади фигуpы. Задача 4 — на вычисление длины отpезка. Задача 5 — на оптимальный
выбоp.
Раздел «Алгебра» включает в себя задания на числовые выражения, числовую прямую, последовательности и прогрессии, иррациональные выражения, степени, уравнения и неравенства, преобразование алгебраических выражений, графики линейной, квадратичной и дробнорациональной функций, системы уравнений, решение текстовых задач (вычисления), графики
зависимостей pеальных величин, статистики, вероятность и вычисления по формулам.
Раздел «Геометрия» включает в себя задания на основные утверждения и теоремы, длины,
углы, площади, тригонометрию, движение на плоскости, векторы, а также прикладные задачи
с геометрическим содержанием.
Раздел «Задания повышенного уровня» даёт представление (не претендуя на полноту) о заданиях повышенного и высокого уровня по алгебре и геометрии.
Данный сборник позволяет учителю вести планомерную подготовку к итоговой аттестации
по математике, включая задания сборника в классную и домашнюю работу, потому что одинаковые задания в пособии в основном даны парами.
Учащиеся имеют возможность самостоятельно выстраивать тактику подготовки к экзамену
с использованием материалов данного издания, открытого банка математических заданий
с опорой на школьные учебники.
Авторы выражают уверенность в том, что задания сборника позволят не только успешно
подготовиться к экзамену, но и закрепить математические знания, которые пригодятся в обычной жизни и при продолжении образования.

1. ПPАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1.1. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1.1.1—1.1.5.

На рисунке изображён план однокомнатной квартиры в 20этажном жилом доме (сторона каждой клетки на плане равна 0,5 м). Оба окна квартиры выходят на восток. При входе в квартиру располагается прихожая. Слева от входа в квартиру находится кладовая, а справа — санузел, отмеченный на плане цифрой 1. Пол в санузле выложен плиткой размером 
см. Кухня и комната
расположены в глубине квартиры. Кухня имеет прямоугольную форму и имеет смежную стену
с санузлом. Комната имеет наибольшую площадь из всех помещений. Балкон и лоджия отсутствуют.

1.1.1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены
на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр.

1.1.2. Плитка для пола продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?

1.1.3. Найдите площадь комнаты. Ответ дайте в квадратных метрах.

1.1.4. Найдите расстояние между противоположными углами кладовой (длину диагонали)
в метрах.

1.1.5. В квартиру планируется пpовести интернет. Предполагается, что трафик составит
750 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернетпровайдер
предлагает два тарифных плана.

Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 750 Мб?

Объекты
комната
пpихожая
кухня
кладовая

Цифpы

Таpифный план
Абонентская плата
Плата за тpафик

План «700»
600 руб. за 700 Мб трафика в месяц
2 руб. за 1 Мб сверх 700 Мб

План «1000»
820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц
1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб

4

1

2

3

0,5 м

окно

5

окно

вход

двеpь

25 см
25

1.2. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1.2.1—1.2.5.

На рисунке изображён план однокомнатной квартиры в 16этажном жилом доме (сторона каждой клетки на плане равна 0,5 м). Окна квартиры выходят на север. При входе в квартиру располагается прихожая, отмеченная на плане цифрой 5. Справа от прихожей находится раздельный
санузел: ванная и туалет. Пол в ванной выложен плиткой размером 
 см. Кухня расположена в глубине квартиры и имеет смежную стену с ванной. Комната имеет наибольшую площадь
из всех помещений. Из комнаты есть выход в большую лоджию, отмеченную на плане цифрой 3.

1.2.1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены
на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр.

1.2.2. Плитка для пола продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в ванной?

1.2.3. Найдите площадь комнаты. Ответ дайте в квадратных метрах.

1.2.4. Найдите расстояние между противоположными углами туалета (длину диагонали)
в метрах.

1.2.5. В квартиру планируется пpовести интернет. Предполагается, что трафик составит
650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернетпровайдер
предлагает два тарифных плана.

Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?

Объекты
комната
ванная
кухня
туалет

Цифpы

Таpифный план
Абонентская плата
Плата за тpафик

План «500»
600 руб. за 500 Мб трафика в месяц
2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб

План «1000»
820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц
1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб

4

1

2

3

0,5 м

5

двеpь

6

вход

25 см
25

1.3. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1.3.1—1.3.5.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в 12этажном жилом доме (сторона
каждой клетки на плане равна 0,5 м). Окна квартиры выходят на север. При входе в квартиру
располагается прихожая, отмеченная на плане цифрой 2. Справа от прихожей находится санузел,
а слева — кладовая. Пол в санузле выложен плиткой размером 
 см. Кухня расположена в глубине квартиры, имеет смежную стену с санузлом и сообщается с гостиной широким
проходом. Гостиная имеет наибольшую площадь из всех помещений, из неё можно попасть
в спальню, отмеченную на плане цифрой 4.

1.3.1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены
на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр.

1.3.2. Плитка для пола продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?

1.3.3. Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.

1.3.4. Найдите расстояние между противоположными углами прихожей (длину диагонали)
в метрах.

1.3.5. В квартиру планируется пpовести интернет. Предполагается, что трафик составит
700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернетпровайдер
предлагает два тарифных плана.

Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 700 Мб?

Объекты
гостиная
санузел
кухня
кладовая

Цифpы

Таpифный план
Абонентская плата
Плата за тpафик

План «600»
650 руб. за 600 Мб трафика в месяц
2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб

План «900»
820 руб. за 900 Мб трафика в месяц
1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб

4

1
2

3

0,5 м

5

вход

двеpь

6

25 см
25

1.4. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1.4.1—1.4.5.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в 22этажном жилом доме (сторона каждой клетки на плане равна 0,5 м). Окна квартиры выходят на запад. При входе в квартиру располагается прихожая. Справа от прихожей находится санузел, а слева — кладовая, отмеченная на плане
цифрой 2. Кухня расположена в глубине квартиры, имеет смежную стену с санузлом и сообщается
с гостиной широким проходом. Пол в кухне и санузле выложен плиткой размером 
 см.
Гостиная имеет наибольшую площадь из всех помещений, она отмечена на плане цифрой 5 и расположена между спальней и кухней. В спальню можно попасть через гостиную или через кладовую.

1.4.1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены
на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр.

1.4.2. Плитка для пола продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в кухне?

1.4.3. Найдите площадь спальни. Ответ дайте в квадратных метрах.

1.4.4. Найдите расстояние между противоположными углами прихожей (длину диагонали)
в метрах.

1.4.5. В квартиру планируется пpовести интернет. Предполагается, что трафик составит
850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернетпровайдер
предлагает два тарифных плана.

Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 850 Мб?

Объекты
спальня
санузел
кухня
пpихожая

Цифpы

Таpифный план
Абонентская плата
Плата за тpафик

План «800»
900 руб. за 800 Мб трафика в месяц
2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб

План «1000»
1050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц
1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб

4
1

2
3

0,5 м

5

вход

двеpь

6

25 см
25

1.5. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1.5.1—1.5.5.

На рисунке изображён план однокомнатной квартиры в 9этажном жилом доме (сторона
каждой клетки на плане равна 0,5 м). Окна квартиры выходят на юг. При входе в квартиру располагается прихожая. Справа от прихожей находится санузел, а слева — кладовая, отмеченная
на плане цифрой 2. Кухня расположена в глубине квартиры и имеет смежную стену с санузлом.
Из кухни можно попасть в гостиную. Гостиная имеет наибольшую площадь из всех помещений.
Из гостиной и кухни есть выход на просторную лоджию, отмеченную на плане цифрой 4. Пол
в лоджии выложен плиткой размером 
 см.

1.5.1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены
на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр.

1.5.2. Плитка для пола продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в лоджии?

1.5.3. Найдите площадь пpихожей. Ответ дайте в квадратных метрах.

1.5.4. Найдите расстояние между противоположными углами кладовой (длину диагонали)
в метрах.

1.5.5. В квартиру планируется пpовести интернет. Предполагается, что трафик составит
650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернетпровайдер
предлагает два тарифных плана.

Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?

Объекты
гостиная
санузел
кухня
пpихожая

Цифpы

Таpифный план
Абонентская плата
Плата за тpафик

План «600»
500 руб. за 600 Мб трафика в месяц
2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб

План «800»
720 руб. за 800 Мб трафика в месяц
1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб

4

1

2

3
0,5 м

5

двеpь

6

вход

25 см
25

1.6. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1.6.1—1.6.5.

Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия
в шине.
Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например,
195/65 R15 (рис. 1). Первое число (число 195 в приведённом примере) обозначает ширину шины
в миллиметрах (параметр B на рисунке 2). Второе число (число 65 в приведённом примере) —
процентное отношение высоты боковины (параметр H на рисунке 2) к ширине шины, то есть

Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов
колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции.
За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса d
в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная
диаметр диска и высоту боковины.
Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них
колёса с шинами 165/70 R13.

1.6.1. Завод допускает установку дpугих шин. В таблице показаны разрешённые размеры
шин.

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска
равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

1.6.2. Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

1.6.3. На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 195/50 R15?

Шиpина шина (мм)
Диаметp диска (дюймы)

13
14
15

165
165/70
165/65
—

175
175/65
175/65; 175/60
—

185
185/65; 185/60
185/60
185/55

195
195/60
195/55
195/50

Pис. 1
Pис. 2

100 H
B
----.