Электромагнитное поле

К 50-летию факультета „Фундаментальные науки“
МГТУ им. Н.Э. Баумана

Электромагнитное поле

ФИЗИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

Серия основана в 2003 году

Научные редакторы
д-р физ.-мат. наук, проф. Л.К. Мартинсон
д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Морозов

Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2013

Л.К. Мартинсон, А.Н. Морозов, 
Е.В. Смирнов

Электромагнитное поле

Допущено Научно-методическим советом по физике 
Министерства образования и науки 
Российской Федерации в качестве учебного пособия 
для студентов высших технических учебных заведений

Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2013

УДК 537.8(078)
ББК 22.313я7
 
М29

Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры физики Московского
авиационного института (национального исследовательского 
университета) Г.Н. Измайлов;
зав. кафедрой физики Московского государственного 
университета геодезии и картографии, 
д-р техн. наук, проф. В.И. Троицкий

Мартинсон Л. К.
М29  
Электромагнитное поле : учеб. пособие / Л. К. Мартинсон, 
А. Н. Морозов, Е. В. Смирнов. — М. : Изд-во МГТУ им. 
Н.Э. Баумана, 2013. — 422, [2] с. : ил. — (Физика в техни-
ческом университете).

ISBN 978-5-7038-3697-2

Рассмотрено электромагнитное поле, посредством которого 
в классической физике осуществляется электромагнитное взаимо-
действие электрических зарядов — фундаментальное физическое 
взаимодействие, проявляющееся не только в электромагнитных 
явлениях, но и в ряде других явлений и процессов. В основе теории 
лежат уравнения Максвелла, которые дают математически строгое 
и полное описание всех известных в природе явлений электро-
магнетизма. Приведено решение большого числа задач, иллю-
стрирующих теоретический материал, а также развивающих и до-
полняющих его. Описаны новейшие технические достижения 
в области электромагнетизма.
Материал, приведенный в учебном пособии, соответствует кур-
су лекций, читаемых авторами в МГТУ им. Н.Э. Баумана в рамках 
курса общей физики.
Для студентов технических университетов и вузов.

УДК 537.8(078)
ББК 22.313я7

© Мартинсон Л.К., Морозов А.Н.,
 
Смирнов Е.В., 2013
© Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-3697-2 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013

Оглавление
Предисловие   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   8
1. Электростатическое поле в вакууме   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  10
1.1. Электрические заряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  11
1.2. Закон Кулона. Электрическое поле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  16
1.3. Напряженность электростатического поля. Силовые линии. . .  21
1.4. Принцип суперпозиции для электростатических полей  . . . .  26
1.5. Теорема Гаусса для электростатического поля  . . . . . . . . . . .  34
1.6. Расчет электрических полей с помощью теоремы Гаусса . . .  41
1.7. Потенциал электростатического поля  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  49
1.8. Уравнение Пуассона для потенциала электростатического
поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  58
2. Электростатическое поле в диэлектрике . . . . . . . . . . . . . . . . .  65
2.1. Полярные и неполярные молекулы. Диполь в электрическом
поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  66
2.2. Поляризация диэлектриков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  70
2.3. Теорема Гаусса для поля в диэлектрике. . . . . . . . . . . . . . . . .  80
2.4. Условия на границе раздела диэлектриков  . . . . . . . . . . . . . .  86
3. Электрическое поле заряженных проводников   . . . . . . . . . . .  91
3.1. Электростатика проводников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  92
3.2. Электрическая емкость проводников и конденсаторов . . . . . 100
3.3. Энергия заряженного проводника и конденсатора  . . . . . . . . 105
3.4. Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4. Электрический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1. Сила и плотность тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2. Уравнение непрерывности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3. Электрическое поле проводника с током . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4. Сторонние силы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5. Закон Ома  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6. Правила Кирхгофа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.7. Закон Джоуля — Ленца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.8. Зависимость сопротивления проводников от температуры. 
Сверхпроводимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.9. Источники тока  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5. Магнитное поле в вакууме   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.1. Магнитное поле и его характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.2. Закон Био — Савара — Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.3. Расчет магнитных полей проводников с токами  . . . . . . . . . . 176
5.4. Теорема Гаусса для магнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.5. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля  . . . 187
5.6. Понятие о векторном потенциале. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6. Движение заряженных частиц в электрическом
 и магнитном полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.1. Сила Лоренца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.2. Движение частицы в постоянном электрическом поле . . . . . 203

6.3. Движение частицы в однородном магнитном поле . . . . . . . . 206
6.4. Движение заряженных частиц в скрещенных электрическом
и магнитном полях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.5. Движение заряженных частиц в неоднородных электрическом 
и магнитном полях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.6. Ускорители заряженных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.7. Эффект Холла  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.8. Ионные и плазменные двигатели  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7. Проводники с током в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.1. Действие магнитного поля на проводник с током . . . . . . . . . 250
7.2. Контур с током в магнитном поле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном 
поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8. Магнитное поле в веществе   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.1. Вектор намагниченности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.2. Вектор напряженности магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.3. Условия на границе раздела двух магнетиков . . . . . . . . . . . . 287
8.4. Магнитное поле в однородном магнетике  . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.5. Диамагнетизм  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.6. Парамагнетизм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.7. Ферромагнетизм  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
9. Электромагнитная индукция   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.1. Закон электромагнитной индукции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.2. Природа электромагнитной индукции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.3. Самоиндукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.4. Взаимная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
9.5. Энергия магнитного поля  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.6. Силы, действующие в магнитном поле. Магнитное 
давление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
9.7. Квазистационарный переменный ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
9.8. Применение электромагнитной индукции . . . . . . . . . . . . . . . 383
10. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля   . . . . . 390
10.1. Вихревое электрическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
10.2. Ток смещения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
10.3. Закон полного тока  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
10.4. Основные положения электромагнитной теории 
Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
10.5. Преобразования Лоренца для электрического и магнитного 
полей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Заключение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Литература   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Предметный указатель   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие является очередным томом серии «Физика 
в техническом университете», выпускаемой с 2003 г. в МГТУ 
им. Н.Э. Баумана. В пособии изложены основные законы электромагнетизма, 
базирующиеся на фундаментальных уравнениях 
Максвелла. При этом основное внимание уделено физической 
стороне рассматриваемых явлений, а также детальному описанию 
основных экспериментов в данной области. Приведено большое 
число задач с подробным решением, которые дополняют и расширяют 
теоретический материал. Рассмотрено практическое применение 
последних достижений современной физики при создании 
новых электромагнитных приборов и устройств.
Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций по 
общей физике, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Авторы признательны профессору В.И. Троицкому и возглавляемой 
им кафедре физики Московского государственного университета 
геодезии и картографии (МИИГАиК), а также профессору 
МАИ (ГТУ) Г.Н. Измайлову за рецензирование рукописи 
и критические замечания, способствовавшие улучшению структуры 
и содержания учебного пособия. Авторы благодарят своих 
коллег — профессоров А.М. Макарова, В.В. Онуфриева, доцентов 
О.С. Еркович, И.В. Кириллова, В.В. Сидоренкова — за плодотворное 
обсуждение материала пособия, а также доцента Н.К. Ве-
ретимус за помощь в техническом оформлении.

ВВЕДЕНИЕ

Электромагнитное взаимодействие является одним из основных 
видов фундаментальных взаимодействий, осуществляемых в классической 
физике посредством электромагнитного поля — фундаментального 
физического поля, взаимодействующего с элек-
трически заряженными телами. Электрическая и магнитная 
составляющие электромагнитного поля при определенных усло-
виях могут порождать друг друга, поэтому их следует рассматри-
вать как проявление единого электромагнитного поля. Идея 
электромагнитного поля — революционная для своего времени — 
была предложена в середине XIX в. М. Фарадеем, который считал, 
что электрически заряженное тело создает особое состояние окру-
жающей среды, в результате чего его действие передается на 
другие тела.
В основу теории электромагнитного поля положены уравнения 
Максвелла, позволяющие математически строго и полно описы-
вать явления электромагнетизма в рамках классической физики. 
В процессе своих исследований Дж. Максвелл писал М. Фарадею: 
«Сейчас, насколько мне известно, Вы являетесь первым челове-
ком, у которого возникла идея о том, что тела действуют друг на 
друга на расстоянии посредством обращения окружающей среды 
в состояние напряжения, идея, в которую, действительно, следу-
ет поверить…».
Уравнения электромагнитного поля были получены Дж. Макс-
веллом во второй половине XIX в. путем обобщения большого 
числа экспериментальных результатов, накопленных к этому 
времени. Осмысление законов Кулона, Био — Савара — Лапласа, 
Эрстеда, Ампера, Фарадея позволило Дж. Максвеллу прийти к по-
нятиям вихревого электрического поля и тока смещения, эквива-
лентного по своему магнитному действию току проводимости. 
С помощью уравнений Максвелла, связывающих  электрические 

и магнитные поля с зарядами и токами, оказалось возможным не 
только описать все известные эффекты электромагнетизма, но 
и предсказать новые явления, в частности существование электро-
магнитных волн.
Теоретические выводы, следующие из уравнений Максвелла, 
подтверждены экспериментально, а основанная на них классиче-
ская электродинамика обусловила многочисленные технические 
приложения явлений электромагнетизма. Уравнениям Максвелла 
принадлежит важная роль в развитии физики, а теория электро-
магнитного поля стала первой полевой теорией.
Проявления электромагнетизма в самых разнообразных физи-
ческих процессах — механических, тепловых, оптических, атом-
ных и др. — определяют основополагающее место этого раздела 
в курсе общей физики технического университета. Следует так-
же отметить, что глубокое изучение физики электромагнитных 
явлений закладывает надежный фундамент для дальнейшего 
 освоения технических дисциплин.
Целью данного учебного пособия является систематизация 
и обобщение знаний по физике электромагнетизма, формирование 
целостного представления о физике электромагнитного поля и об-
суждение экспериментальных фактов, отражающих создание 
и историю развития теории электромагнитного поля.
В учебном пособии подробно описаны последние технические 
достижения в области электромагнетизма: Большой адронный 
коллайдер; токамак ITER (Франция), предназначенный для ре-
шения задачи об управляемом термоядерном синтезе; ионные 
и плазменные ракетные двигатели, применяемые в настоящее 
время для космических полетов. Большое внимание уделено опи-
санию практического внедрения последних достижений совре-
менной физики, в том числе нанотехнологий, при создании новых 
электромагнитных приборов и устройств. В частности, рассмотрен 
магнитно-силовой микроскоп и приведена полученная с его по-
мощью доменная структура жесткого диска персонального ком-
пьютера.
Большое число задач с решениями, приведенных в учебном 
пособии, не только обеспечивает усвоение теоретического мате-
риала, но и вырабатывает у студентов навыки проведения само-
стоятельных теоретических расчетов. Подбор задач акцентирует 
внимание читателя на наиболее интересных и актуальных вопро-
сах электромагнетизма.

1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Электрическое взаимодействие тел было обнаружено еще 
в античном мире при наблюдении способности натертого куска 
янтаря притягивать легкие предметы. Поэтому само слово 
«электричество» происходит от греческого названия янтаря. 
Установлено, что электрическое взаимодействие тел связано 
с  наличием у них электрических зарядов. В соответствии с со-
временными представлениями заряды тел обусловлены нали-
чием заряженных частиц (электронов и протонов) в атомах 
вещества. В 1785 г. Ш. Кулон, измеряя силу электрического 
взаимодействия заряженных тел на крутильных весах, установил, 
что сила электрического взаимодействия малых по размерам 
заряженных тел пропорциональна произведению их электриче-
ских зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния 
между ними.
Важным этапом в развитии физических представлений об 
электрическом взаимодействии тел стал переход в конце XIX в. 
от теории дальнодействия (И. Ньютон, А. Ампер и другие ученые) 
к теории близкодействия (М. Фарадей, Дж. Максвелл и другие 
ученые). В теории появляется представление об электрическом 
поле как материальном носителе электрического взаимодействия 
неподвижных электрических зарядов. Считается, что любой 
электрический заряд (заряженное тело) создает в окружающем 
пространстве электрическое поле, которое может воздействовать 
на электрические заряды других тел (частиц). Для описания свойств 
электростатического поля в каждой точке пространства применя-
ют векторную силовую характеристику поля — напряженность E
→ 
поля и скалярную энергетическую характеристику — потен-
циал  поля.

1.1. Электрические заряды

Электромагнитное взаимодействие тел обусловлено наличием 
у них электрических зарядов. Величина электрического заряда q 
определяет интенсивность электромагнитных взаимодействий 
тел. В Международной системе единиц (СИ) единицей электри-
ческого заряда является кулон (Кл), который выражается через 
основную единицу этой системы — единицу силы электрическо-
го тока — ампер (А): 1 Кл = 1 А·с.
Экспериментально установлено существование электрических 
зарядов двух видов, условно называемых положительными (q > 0) 
и отрицательными (q < 0) зарядами. Для электрически незаря-
женных тел q = 0. Наличие у тел (частиц) электрических зарядов 
разных знаков впервые установил в 1733 г. французский иссле-
дователь Ш. Дюфе.
Замечание. В данном учебном пособии во всех скалярных 
формулах q — модуль электрического заряда. В векторных фор-
мулах и в формулах с алгебраическими величинами под q следу-
ет понимать величину заряда с соответствующим знаком («+» 
или «–»).
Электрический заряд является одной из фундаментальных ха-
рактеристик элементарных частиц. Электрический заряд любой 
частицы, в том числе элементарной, кратен элементарному элек-
трическому заряду e = 1,602·10–19 Кл и может быть также равен 
нулю.
Возможно существование элементарных частиц с дробным 
электрическим зарядом (кварков), однако в свободном состоянии 
они пока экспериментально не обнаружены.
Особо следует рассмотреть электрические заряды элементар-
ных частиц, входящих в состав атомов. К таким частицам отно-
сятся частицы атомного ядра — нейтроны (q = 0) и протоны (q = +e), 
а также электроны (q = –e), движущиеся в атоме вокруг ядра. 
В обычном состоянии число протонов и электронов в атоме оди-
наково, и атом в целом представляет собой электрически ней-
тральную частицу. Поэтому все окружающие нас тела, состоящие 
из атомов, в обычном состоянии также электрически нейтральны.
Однако в атомах многих химических элементов один или 
несколько электронов сравнительно слабо связаны с атомами 
и легко отделяются от них. При этом тела, состоящие из атомов 
с  недостатком 
электронов, 
приобретают 
положительный 

электрический заряд, а тела с избытком электронов — отрица-
тельный заряд. Электризация тел за счет отделения электронов 
от атомов наблюдается, в частности, при натирании янтаря, стек-
ла, эбонита и других материалов тканью, мехом или кожей. Такой 
же механизм трения приводит к электризации капелек жидкости 
или движущихся воздушных потоков в атмосферных процессах.
Отрыв электронов от атомов происходит также при образова-
нии из атомов кристаллической решетки металлических твердых 
тел. В таких телах после отрыва от атомов свободные электроны, 
накапливаясь в отдельных частях металлических тел, обусловли-
вают появление в них электрических зарядов. При соприкосно-
вении металлических предметов свободные электроны могут 
переходить от одного тела к другому, вызывая их электризацию. 
Возможно появление электрически заряженных областей также 
и в газах при нагреве до высоких температур, когда отрыв элек-
тронов от атомов связан с ионизацией атомов при их столкнове-
ниях в нагретом газе.
Если процесс электризации тел рассматривать на уровне атом-
ных масштабов, то в такой микроскопической теории необходимо 
учитывать дискретность электрического заряда и считать, что 
заряд любого заряженного тела всегда кратен элементарному 
электрическому заряду, т. е. q = ±Ne, N = 1, 2, 3… Дискретность 
электрического заряда тел и значение элементарного электриче-
ского заряда были установлены и определены экспериментально 
в 1909 г. Р. Милликеном. В эксперименте между заряженными 
пластинами помещали мелкие капли масла, которые приобретали 
электрический заряд в результате осаждения на них ионов. На-
блюдая за движением таких капель в микроскоп и выделяя капли, 
находящиеся в равновесии за счет равенства электрической силы 
и силы тяжести, Р. Милликен определил заряды различных капель, 
которые в пределах точности эксперимента были кратны элемен-
тарному электрическому заряду. За работы в области элементар-
ных зарядов Р. Милликен в 1923 г. был удостоен Нобелевской 
премии по физике.
В макроскопической теории электромагнитных явлений рас-
сматриваются тела, состоящие из огромного числа атомов. В этом 
случае дискретностью электрических зарядов тел можно пре-
небречь и считать, что электрический заряд распределен по за-
ряженному телу непрерывно. В такой теории даже заряд физи-
чески малого объема заряженного тела значительно превышает