Физика: учебное пособие для поступающих в вузы

1. Механика 

 
 

166
Учебное пособие 
для поступающих в вузы 
 
 
ФИЗИКА 
 
Под общей редакцией А.Ю. Луценко 
 
 
Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
 
 

 
 
 
 

4-е издание 

УДК 53 
ББК 22.3 
        У91 
 
Авторы: 
А.Ю. Луценко, И.В. Кириллов, 
Ю.А. Струков, А.М. Хорохоров  
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, преподаватель физики  
Лицея научно-инженерного профиля 
 г. Королева Московской обл. А.А. Чухланцев; 
почетный работник общего образования Российской Федерации, 
учитель физики высшей квалификационной категории 
 МОУ «Лицей» г. Балашихи Московской обл. Т.Е. Слипченко 
 
 
Учебное пособие для поступающих в вузы. Физика : 
учебное пособие / [А. Ю. Луценко и др.] ; под общ. ред. 
А. Ю. Луценко. — 4-е изд. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2018. — 364, [4] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4824-1  
Приводятся основные физические законы и соотношения и 
даются общие указания по методике решения задач, составленных 
в соответствии с опытом вступительных испытаний в МГТУ им. 
Н.Э. Баумана. Типовые задачи и задачи повышенной сложности 
сопровождаются оригинальными методиками решений. Для про-
верки усвоения материала по каждой теме предлагаются кон-
трольные работы.  
Подробное решение представленных в пособии контрольных 
работ и другие учебные материалы можно получить, зарегистри-
ровавшись на учебном портале МГТУ им. Н.Э. Баумана (http:// 
www.cem.bmstu.ru/dot.htm). 
Для учащихся старших классов средних школ, гимназий, ли-
цеев, слушателей подготовительных курсов, а также лиц, самосто-
ятельно изучающих физику и готовящихся к вступительным испы-
таниям в технические вузы, в том числе по результатам физико-
математических олимпиад или ЕГЭ. 
 
                                                                                         УДК 53 
ББК 22.3 
 
                                                                             Оформление. Издательство 
 ISBN 978-5-7038-4824-1                                              МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 

У91 

 

Предисловие 

Пособие составлено на основании материалов, предлагаемых в 
последние годы на физико-математических олимпиадах и на всту-
пительных испытаниях по физике в МГТУ им. Н.Э. Баумана.  
Тематика приведенных материалов охватывает практически 
все разделы физики, что позволяет использовать предлагаемое по-
собие при подготовке к вступительным испытаниям по физике в 
технический вуз любого профиля. 
Пособие включает шесть глав1, содержание которых обеспе-
чивает успешное освоение курса физики средней школы и даль-
нейшее обучение в вузах инженерного и физического профиля. 
Приведенные темы совпадают с темами курса диагностических 
занятий, проводимых в университете с 2002 г. и подтвердивших 
свою эффективность. Пособие предназначено для школьников, 
готовящихся к поступлению в МГТУ им. Н.Э. Баумана, в том чис-
ле по результатам олимпиад, а также может быть использовано 
при подготовке к ЕГЭ. 
В пособие включены интересные и содержательные задачи из 
различных разделов физики, которые способствуют более полному 
и углубленному изучению физических законов, акцентируют вни-
мание читателей на отдельных важных физических явлениях и 
процессах.  
В каждой главе кратко изложены основные теоретические све-
дения (физические законы, уравнения, соотношения и формулы), 
изучение которых необходимо для понимания соответствующей 
темы. Подробно рассмотрены наиболее характерные конкурсные 
задачи по темам с методическими указаниями к их решению, кото-
рые позволят читателю научиться применять законы физики для 
описания различных явлений. Изложены некоторые идеи и подходы 
к решению задач средней и повышенной сложности, составляющих 
основную часть задач, предлагаемых на физико-математических 
олимпиадах в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для решения таких задач 
помимо знания основных законов физики требуется также умение 
математически описать рассматриваемое физическое явление, со-
ставить и решить уравнение или систему уравнений. 
_____________ 

1 Разд. 1.1–1.4 написаны Ю.А. Струковым, А.Ю. Луценко, гл. 2 — 
И.В. Кирилловым, разд. 1.5, гл. 3–6 — А.М. Хорохоровым.  

Предисловие 

 
 

4 

Постановки и решения задач сопровождаются иллюстрация-
ми, которые способствуют правильному и наиболее рационально-
му поиску решения. Особое внимание уделяется построению фи-
зических моделей с учетом необходимых для решения задачи при-
ближений. 
В пособие включены задачи повышенной сложности и комби-
нированные задачи, решение которых основано на применении 
физических соотношений из различных разделов курса физики. 
При решении некоторых задач используются элементы дифферен-
циального исчисления в рамках школьной программы по матема-
тике, в частности решение некоторых задач включает нахождение 
экстремума функций физических величин. 
Поскольку многие задачи по физике допускают различные 
способы их решения, в пособии приведены несколько способов 
решения задачи, что позволяет читателю выбрать наиболее понят-
ный алгоритм решения. 
При решении задач рекомендуется после прочтения условия 
задачи самостоятельно найти ее решение. В случае неудачи следу-
ет подробно ознакомиться с методикой решения, изложенной в 
приведенных примерах. После того как решение разобрано и стало 
понятным, необходимо вновь самостоятельно по памяти воспроиз-
вести алгоритм решения задачи. Такое повторение позволит за-
крепить навыки решения задач и обеспечит положительный ре-
зультат в обучении. 
Для контроля степени усвоения материала, развития и закреп-
ления навыков решения задач по каждой теме в конце разделов 
помещены контрольные работы для самостоятельного решения, 
состоящие из 10 задач каждая, сложность которых последователь-
но возрастает. В конце пособия приведены краткие ответы на за-
дания контрольных работ. Для успешного усвоения материала ре-
комендуется решить все приведенные задачи. 
Авторы с благодарностью примут замечания и пожелания по 
структуре и содержанию предлагаемого пособия, которые можно 
направлять в Центр маркетинга образовательных услуг МГТУ 
им. Н.Э. Баумана. 

Предисловие 

 
 

5

Указания к решению задач 

1. Приступая к решению задачи, надо понять ее смысл и по-
становку вопроса. Установите, все ли данные, необходимые для 
решения задачи, приведены. Недостающие данные можно найти в 
любой таблице физических констант (например, если указан мате-
риал, из которого изготовлено плавающее в воде тело, то предпо-
лагается, что плотность тела можно определить, обратившись к 
справочнику). Если позволяет характер задачи, обязательно сде-
лайте схематический рисунок, поясняющий ее суть, это во многих 
случаях облегчает решение.  
2. Каждую задачу решайте, как правило, в общем виде (т. е. в 
буквенных обозначениях), так, чтобы искомая величина была вы-
ражена через заданные величины. Ответ, полученный в общем ви-
де, позволяет в значительной степени судить о правильности ре-
шения.  
3. Получив решение в общем виде, проверьте его размерность. 
Неверная размерность — явный признак ошибочного решения. 
Если возможно, исследуйте поведение решения в предельных ча-
стных случаях. Например, какой бы вид ни имело выражение для 
силы кулоновского взаимодействия между двумя заряженными 
телами, с увеличением расстояния между ними оно должно непре-
менно переходить в закон взаимодействия точечных зарядов. 
В противном случае можно утверждать, что решение неверно.  
4. Приступая к вычислениям, помните, что числовые значения 
физических величин всегда являются приближенными. Поэтому 
при расчетах руководствуйтесь правилами действий с приближен-
ными числами.  
5. Получив числовой ответ, оцените его правдоподобность. Та-
кая оценка может в ряде случаев обнаружить ошибочность полу-
ченного результата. Так, например, скорость тела не может оказать-
ся больше скорости света в вакууме, плотность газа при нормаль-
ных условиях — превысить плотность металла и т. д. Необходимо 
проверить, имеет ли полученный ответ физический смысл. Напри-
мер, значение косинуса или синуса не может быть больше единицы, 
отрицательный корень квадратного уравнения, как правило, не яв-
ляется физическим решением, отрицательное значение тока или за-
ряда на конденсаторе свидетельствует о неверном выборе направ-
ления тока или знаков зарядов на обкладках конденсатора.  

1. Механика 
6 

1. МЕХАНИКА  

1.1. Основные соотношения в кинематике 

Кинематика материальной точки. При движении матери-
альной точки ее положение в пространстве определяется радиус-
вектором ,r  проведенным из точки O выбранной системы отсчета 
(рис. 1.1). Закон движения точки можно представить в виде век-
торного уравнения 
( ),
r
r t



 которому соответствуют алгебраиче-
ские уравнения в проекциях на оси координат: х  х(t), у  у(t), z  
 z(t), либо в виде s  s(t), где s — путь вдоль траектории от неко-
торой точки, принятой за начало отсчета; t — время движения. 
 

 
Рис. 1.1 
 

Средняя скорость 
,
r
t


 
 где 
r
  — перемещение матери-

альной точки за промежуток времени ∆t. 
Вектор 
 совпадает по направлению с r
  (рис. 1.2). 

Средняя скорость 
ср
,
s
t


 

 где ∆s — путь, пройденный точ-

кой за промежуток времени ∆t. 

1.1. Основные соотношения в кинематике 

 
 

7

Мгновенная скорость 

                  

0
lim
.
t
r
dr
t
dt
 








 

Направление 
вектора 
мгновенной 
скорости в каждой точке траектории сов-
падает с направлением касательной к ней 
(см. рис. 1.2). 
Модуль скорости  

 
2
2
2 ,
x
y
z







 

где 
, 
, 
x
y
z
dx
dy
dz
dt
dt
dt






 — проекции вектора скорости на 

оси координат. 
Среднее ускорение 

 
,
a
t


 



 

где 


 — изменение скорости материальной точки за промежу-
ток времени 
.t
  
Направление вектора a  совпадает с направлением векто-

ра 
.

 
Мгновенное ускорение 

 

0
lim
.
t
d
a
t
dt
 








  

Модуль ускорения 

 
2
2
2,
x
y
z
a
a
a
a



 

где 
,   
,   
y
x
z
x
y
z
d
d
d
a
a
a
dt
dt
dt





  — проекции вектора ускорения 

a  на оси координат. 
При криволинейном движении материальной точки вектор ее ус-
корения a  в каждой точке траектории в общем случае наклонен 
под некоторым углом  к касательной, проведенной к траектории в 
этой точке (рис. 1.3). Вектор ускорения a  можно представить как 

 

Рис. 1.2 

1. Механика 

 
 

8 

сумму нормальной (центростремительной) 

n
a  и тангенциальной (касательной) a
  со-
ставляющих полного ускорения: 

                        
.
n
a
a
a







 

Составляющие 
n
a  и a

  характеризуют 
изменение вектора ускорения a  по модулю и направлению соот-
ветственно. Модули этих ускорений: 

 

2
;
n
a
R


 
;
d
a
dt




 
2
2 ,
n
a
a
a


 

где R — радиус кривизны в данной точке траектории. 
Уравнения равномерного плоского прямолинейного движения 
(    const) в векторной форме и в проекциях на оси координат: 

 

0

0

0

;

;

,

x

y

r
r
t

x
x
t

y
y
t



















 

где 
0,
r  x0, y0 — координаты, определяющие положение точки в на-
чальный момент времени. 
Уравнения равнопеременного движения (
const)
a 

 в вектор-
ной форме: 

 

2

0
0

0

;
2
,

at
r
r
t

at




















 

где 
0
  — начальная скорость точки. 
В проекциях на оси координат эти уравнения имеют вид 

 

2
2

0
0
0
0

0
0

;   
;
2
2
;           
,

y
x
x
y

x
x
x
y
y
y

a t
a t
x
x
t
y
y
t

a t
a t




















 

где 
0
0
, 
, 
, 
x
y
x
y
a
a


 — проекции начальной скорости 
0
  и ускоре-

ния a  на оси х и у соответственно. 

Рис. 1.3 

1.1. Основные соотношения в кинематике 

 
 

9

Уравнения движения в поле тяжести (ось х направлена гори-
зонтально, а ось у — вертикально вверх, т. е. 
0,
x
a 
 

ya
g
 
): 

 

2

0
0
0
0

0
0

;  
;
2
;         
,

x
y

x
x
y
y

gt
x
x
t
y
y
t

gt


















 

где при начальной скорости 
0,

 направленной под углом  к оси х, 

 
0
0 cos ;
x 



    
0
0 sin .
y 



 

Сложение движений — одновременное участие материальной 
точки в двух движениях. 
Любое сложное движение можно рассматривать как результат 
сложения простых движений. Для описания такого движения целе-
сообразно ввести дополнительную подвижную систему координат, 
связанную с телом отсчета, принятого условно за неподвижное. 
Движение точки относительно неподвижной системы коорди-
нат (т. е. результирующее движение) называют абсолютным, а ее 
скорость 
абс

 — абсолютной скоростью движения. Движение точ-
ки относительно подвижной системы координат называют относи-
тельным, а скорость этого движения 
отн

 — относительной. Дви-
жение подвижной системы координат относительно неподвижной 
системы координат называют переносным движением, а его ско-
рость 
пер

 — переносной скоростью. При сложении движений от-

носительное перемещение точки 
отн
r
 и перемещение системы 
пер
r
 
можно представить суммой векторов: 

 
абс
отн
пер,
r
r
r





 

Относительную скорость точки и скорость системы отсчета 
также представляют суммой векторов: 

 
абс
отн
пер.








 

Аналогично представляют и линейное ускорение: 
 
абс
отн
пер,
а
а
а





 

где 
отн
а
 — относительное ускорение; 
пер
а
— переносное ускоре-

ние (ускорение движущейся системы отсчета). 

1. Механика 

 
 

10

Кинематика твердого тела. Любое 
движение твердого тела можно представить 
как совокупность его поступательного дви-
жения и вращения вокруг неподвижной оси. 
Поступательное движение. При посту-
пательном движении твердого тела любая 
прямая, связанная с телом, остается парал-
лельной своему начальному положению. При 
поступательном движении все точки твердого тела совершают за 
один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому 
поступательное движение тел описывается теми же величинами и 
уравнениями, что и движение материальной точки. 
Вращение вокруг неподвижной оси. Кинематическими харак-
теристиками вращательного движения тел служат угловое пере-
мещение, угловая скорость и угловое ускорение. Угловым пере-
мещением φ называют центральный угол, соответствующий дуге, 
пройденной произвольной точкой тела при его вращении. 
Уравнение вращательного движения: 
( ).
f t
 
 
Средняя угловая скорость 

 
,
t


 



 

где   — изменение угла поворота тела за промежуток време-
ни
t
  (рис. 1.4). 
Мгновенная угловая скорость 

 

0
lim
.
t
d

t
dt
 



 


 

Среднее угловое ускорение 

 
,
t


 



 

где   — изменение угловой скорости за промежуток време-
ни
.t
   
Мгновенное угловое ускорение 

 

0
lim
.
t
d

t
dt
 



 


 

Рис. 1.4