Математика: учебное пособие для поступающих в вузы

2-е издание, исправленное

УДК 51(075.8)  
ББК 22.151.0 
        В58 
Рецензенты:  
О.Г. Макарова, Л.П. Бородина 

В58         Учебное пособие  для поступающих в вузы. Математика : учебное 
пособие / Е. А. Власова, Т. В. Облакова. — 2-е изд., испр. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. – 303, [1] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4956-9 
Рассмотрены основные разделы школьного курса математики. Приведен 
необходимый справочный теоретический материал, достаточно 
полно изложены основные методы решения задач разного уровня сложности. 
Большинство представленных задач предлагалось на физико-
математических олимпиадах, проводимых МГТУ им. Н.Э. Баумана. Большое 
внимание уделено освоению таких тем, как «Решение задач с параметром» 
и «Решение стереометрических задач». Для проверки усвоения материала 
по каждой теме предложены контрольные работы и приведены ответы 
на них.  

 
 
  
 

УДК 51(075.8) 
                                                                                                                 ББК 22.151.0 
 

Учебное издание 

Власова Елена Александровна, Облакова Татьяна Васильевна 

Учебное пособие для поступающих в вузы 
Математика 
 
Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

Подписано в печать 25.06.2018. Формат 6090 1/16. 
Усл. печ. л. 19.0. Тираж 1200 экз. 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. 
press@bmstu.ru              www.baumanpress.ru 
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.  
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 
baumanprint@gmail.com  
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
     Власова Е.А., Облакова Т.В., 2012 
 Власова Е.А., Облакова Т.В., 2018,       
с изменениями 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4956-9 
  МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018 

, , , 
, , , (-
, -м). 

а, . . 

Предисловие 
3 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 

Пособие предназначено для школьников старших классов и 
выпускников средних специальных учебных заведений, предпола-
гающих участвовать в физико-математических олимпиадах МГТУ 
им. Н.Э. Баумана и других технических вузов.  
Пособие разработано на основе материалов тренировочных заня-
тий, проводившихся в течение ряда лет Центром маркетинга образо-
вательных услуг МГТУ им. Н.Э. Баумана для учащихся 11-х классов 
с целью их подготовки к участию в олимпиадах абитуриентов и 
успешной сдаче ЕГЭ по математике. В настоящее время подготови-
тельный цикл состоит из 14 занятий, посвященных отдельным темам 
школьного курса алгебры и геометрии.  
Пособие включает шестнадцать глав. 
В каждой главе наряду с изложением основных методов реше-
ния задач по приведенной тематике содержится необходимый 
справочный теоретический материал и рассмотрены задачи разно-
го уровня сложности. Большинство представленных задач предла-
гались на физико-математических олимпиадах, проводимых в 
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Значительное внимание уделено освое-
нию таких сложных для школьников тем, как «Решение задач с 
параметром» (гл. 6, 7 14) и «Решение стереометрических задач» 
(гл. 8–11). Некоторые главы (1, 2, 4, 6, 7, 14) доступны школьни-
кам 9-х и 10-х классов.  
Каждая глава завершается контрольной работой, содержащей, 
как правило, от 5 до 10 задач по рассмотренной теме, причем для 
каждой задачи указан уровень сложности в баллах. Учащийся 
имеет возможность после проработки материала соответствую-
щей главы и выполнения контрольной работы сверить получен-
ные им ответы с ответами, приведенными в конце пособия, и 
оценить уровень своих знаний по данной теме по 100-бальной 
шкале. Если задача решена с ошибками или частично, она также 
может быть оценена некоторым баллом с учетом характера оши-
бок. Каждая контрольная работа рассчитана на 5 академических 
часов и не предполагает при ее выполнении использования мето-
дических и справочных пособий. 

Предисловие 
4 

В соответствии с наработанным опытом успешной (зачетной) 
считается работа, за которую получено 35 баллов и более. Это дает 
основание полагать, что материал данного раздела усвоен уча-
щимся в объеме, достаточном для дальнейшего обучения в техни-
ческом вузе. Оценка работы 50–60 баллов означает хороший уро-
вень подготовки.  
Авторы с благодарностью примут замечания и пожелания по 
структуре и содержанию предлагаемого пособия, которые можно 
направить в Центр маркетинга по адресу МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

 

1.1. Задачи на движение 
5 

 
1. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ 

1.1. Задачи на движение 

При решении задач на движение, как правило, весь процесс 
движения можно разбить на конечное число этапов, на каждом из 
которых движение происходит с постоянной скоростью, т. е. спра-
ведлива формула s
v t
=
⋅  ( s  – пройденный путь, v  – скорость 
движения, t  – время движения). Данные задачи удобно сразу за-
носить в таблицу, где в каждом столбике величины должны быть 
приведены в заранее выбранных единицах измерения (например, 
табл. 1.1 и 1.2). 

Таблица 1.1  
 
Таблица 1.2 

v, км/ч 
t, ч 
s, км 
 
v, м/мин  
t, мин 
s, м 

  
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Задача 1.1. Расстояние между пунктами A и B  равно 120 км. 
Автомобиль, скорость которого на 40 км/ч больше скорости вело-
сипедиста, на путь из пункта A в пункт B  и обратно затрачивает 
на 2 ч меньше, чем велосипедист на путь из A в 
.
B  Определите 
скорости каждого из них. 

Решение.  

Пусть x  – скорость велосипедиста, 
40
x +
 – скорость автомо-
биля. В задаче сравниваются движения автомобиля из пункта A 
в пункт B  и обратно и велоси-
педиста из пункта A в B . Со-
ставим следующую таблицу 
(табл. 1.3). 

Необходимо 
определить 
40
x +
 и x . Согласно формуле 
,
s
v t
= ⋅
 каждая строчка таблицы является уравнением. Имеем си-
стему двух уравнений с двумя неизвестными x  и t : 

Таблица 1.3 

v, км/ч 
t, ч 
s, км 

x + 40 
t 
240 

x 
t + 2 
120 

1. Текстовые задачи 
6 

2

1/2

240 ,
(
40)
240,
40
240
(
2)
120
2
120
40

240
2 (
40)
120(
40)
100
2400
0

50
2500
2400
50
70.

t
x
t
x
x t
x x

x
x x
x
x
x

x

⎧ =
⎪
+
=
⎧
+
⎪
⇔
⇒
⎨
⎨
+
=
⎛
⎞
⎩
⎪
+
=
⎜
⎟
⎪
+
⎝
⎠
⎩

⇒
+
+
=
+
⇔
+
−
=
⇔

⇔
= −
±
+
= −
±

 

Так как 
0,
x >
 то 
20,
x =
 
40
60.
x +
=
  

Ответ: 60 км/ч, 20 км/ч. 

Задача 1.2. Один автомобиль проходит в минуту на 240 м 
больше, чем другой, поэтому затрачивает на прохождение одного 
километра на 12,5 с меньше. На сколько метров увеличивается 
расстояние между первым и вторым автомобилями за время, пока 
второй проходит 1 км? 

Решение.  

Если выбрать за единицу измерения скорости 1 м/мин и обозна-
чить через x  скорость второго автомобиля, то (
240)
x +
 м/мин – 
скорость первого автомобиля. В 
задаче сравниваются движения 
автомобилей при прохождении 
ими 1 км, т. е. 1000 м. Отметим, 
что для согласования размерно-
стей необходимо также 12,5 с 
перевести в минуты: 12,5 с =  

= 125
5
600
24
=
 
мин. Составим следующую таблицу (табл. 1.4). 

Необходимо определить, на сколько метров увеличивается рас-
стояние между первым и вторым автомобилями за время, пока 
второй автомобиль проходит 1000 м. Второй автомобиль проходит 

1000 м за время 1000

x
, первый автомобиль за это время пройдет 

расстояние 
1000
240 000
(
240)
1000
.
x
x
x
+
=
+
 Таким образом, иско-

Таблица 1.4 

v, м/мин 
t, мин 
s, м 

x + 240 
t 
1000 

x 
t + 5/24 
1000 

1.1. Задачи на движение 
7 

мое расстояние равно 240 000
x
 м. Имеем систему двух уравнений 

с двумя неизвестными x  и t : 

2
1/2

1000
(
240)
1000,
,
240
5
1000
5
1000
1000
24
240
24

24 000
5 (
240)
24 000(
240)

240
1152 000
0
120
14 400
1152 000

120
1080.

x
t
t
x
x t
x x

x
x x
x

x
x
x

⎧
+
=
=
⎧
⎪
+
⎪
⎪
⇔
⇒
⎨
⎨
⎛
⎞
+
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎪
⎪
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
⎩
⎪
+
⎝
⎠
⎩

⇒
+
+
=
+
⇔

⇔
+
−
=
⇔
= −
±
+
=

= −
±

 

Так как 
0,
x >
 то 
960.
x =
 Окончательно имеем 240 000
x
=    

240 000
250
960
=
=
 м.  

Ответ: на 250 м. 

Задача 1.3. Два лыжника стартовали друг за другом с интерва-
лом 15 мин. Второй лыжник догнал первого на расстоянии 15 км 
от старта. Достигнув отметки 50 км, второй лыжник повернул об-
ратно и встретил первого на расстоянии 5 км от поворота. Найдите 
скорости лыжников. 

Решение.  

Пусть x  – скорость первого лыжника, а y  – скорость второго 
лыжника. Движение лыжников разобьем на два этапа: первый – от 
начала движения каждого лыжника до момента обгона, второй – 
от момента обгона до момента встречи. Каждый этап можно описать 
двумя строчками в табл. 1.5 (одна строчка описывает движение 
первого лыжника на данном этапе, вторая – движение второго 
лыжника). Отметим, что на первом этапе время движения до отметки 
15 км первого лыжника на 15 мин, или на 1/4 часа, больше, 
чем второго, а на втором этапе время движения у них одинаково, 
но пройденные пути разные. 

1. Текстовые задачи 
8 

                  Таблица 1.5 

v, км/ч 
t, ч 
s, км 

x 
t + 1/4 
15 

y 
t 
15 

x 
t1
30 = 50 – 15 – 5 

y 
t1
40 = 50 – 15 + 5 

Необходимо определить x  и y . Имеем систему четырех уравнений 
с четырьмя неизвестными , ,
x y t  и 1t : 

1

1

15,
(
1 4)
15,
15
15,
15,
4
15
1
15,
30,
3
4
4
40
3
4

45
60,
15,
20.
3
4

t
y
x t
x
x
yt
y
x
xt
x
y
y
yt
x
y

x
x
y
x
y

⎧ =
⎪
+
=
⎧
⎧
⎪
+
=
⎪
⎪
⎪
=
⎛
⎞
⎪
⎪
⎪
⇒
+
=
⇒
⇒
⎨
⎨
⎨
⎜
⎟
=
⎝
⎠
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
=
⎩
⎩
=
⎪
⎪⎩

+
=
⎧⎪
⇒
⇒
=
=
⎨
=
⎪⎩

 

Ответ: 15 км/ч, 20 км/ч. 

Иногда приходится решать задачи, которые сводятся к системам, 
где число неизвестных больше, чем число уравнений.  
Задача 1.4. Из пунктов A и B  одновременно выехали 
навстречу друг другу два велосипедиста. Когда второй велосипедист 
проехал половину пути, первому оставалось проехать до 
пункта B  14 км. А когда первый велосипедист прибыл в пункт B , 
второй находился от пункта A на расстоянии 10,5 км. На каком 
расстоянии от пункта A велосипедисты встретились? 

Решение.  

Пусть x   – скорость первого велосипедиста, а y  – скорость 
второго велосипедиста, s   – расстояние между пунктами A и B . 
В условии задачи оговариваются три момента движения. К перво-

1.1. Задачи на движение 
9 

му моменту второй велосипедист проехал половину пути 2

s , пер-

вый не доехал до пункта B  14 км, т. е. проехал расстояние 
14.
s −
 
Ко второму моменту первый велосипедист преодолел расстояние 
s , второй не доехал до пункта 
A 10,5 км, т. е. проехал рас-
стояние 
10,5.
s −
 Третий мо-
мент – это момент их встречи. 
Первый 
велосипедист 
до 
встречи преодолел неизвестное 
расстояние 
1s , а второй – 

1.
s
s
−
 Составим табл. 1.6 из 
шести строк. 
Необходимо определить 
1s . Согласно данным табл. 1.6, полу-
чим систему шести уравнений с семью неизвестными. Путем де-
ления первого уравнения на второе, третьего на четвертое, пятого 
на шестое получим систему-следствие, которая будет содержать 

три уравнения с тремя неизвестными 
1
,
,
.
x
s
s
y
 Таким образом, 

приходим к стандартной ситуации: 

1

1

2
1
2
1
1
3
1
1
3
1

2

1
1
1
1

14,
2(
14) ,
,
2(
14) ,
2
10,5
,
,
10,5
10,5,
10,5
,

49
35,
14,
49
2 21 7
0,
2
,
10,5

xt
s
x
s
s
yt
s
s
y
s
s
s
x
s
xt
s
s
s
y
s
yt
s
s
s
s
s
x
xt
s
y
s
s
yt
s
s

s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s

=
−
⎧
⎧
−
⎪
=
⎪
⎪
=
−
⎧
⎪
=
⎪
⎪
⎪
−
⎪
⎪
=
⇒
=
⇒
⇔
⎨
⎨
⎨
−
⎪
⎪
⎪
=
−
=
⎪
⎪
⎪ −
−
⎩
=
=
⎪
⎪
−
⎩
⎪
=
−
⎩

±
⎧
=
>
−
+
⋅
⋅
=
⎪
⇔
⇔
⎨
=
⎪
=
−
−
⎩
−
10,5
s
s

⎧
⎪⎪
⇔
⎨
⎪
−
⎪⎩

 

Таблица 1.6 

v, км/ч 
t, ч 
s, км 

x 
t1
s – 14 

y 
t1 
s /2 

x 
t2
s 

y 
t2
s – 10,5 

x 
t3
s1 

y 
t3
s – s1 

1. Текстовые задачи 
10

1
1

1

42,
24.
42
,
42
42
10,5

s
s
s
s

=
⎧
⎪
⇔
⇒
=
⎨
=
⎪
−
−
⎩

 

Ответ: на расстоянии 24 км от пункта .
A  

Уменьшить число неизвестных можно и за счет выбора единиц 
измерения. 
Задача 1.5. Пассажирский поезд вышел из пункта A в пункт 
.
B  
Через 26 ч навстречу ему из пункта B  вышел скорый поезд и еще 
через 4 ч поезда встретились. За сколько часов каждый поезд про-
ходит путь между этими пунктами, если известно, что скорому 
поезду для этого требуется на 12 ч меньше, чем пассажирскому? 

Решение.  

За единицу измерения расстояния примем расстояние между 
пунктами A и B . Пусть ,x AB /ч, – скорость пассажирского поезда, 
а 
,y AB /ч, – скорость скорого 
поезда. В табл. 1.7 отметим дви-
жение поездов до момента их 
встречи, а также прохождение 
каждым поездом всего пути 
между пунктами A и .
B  
Необходимо определить t + 12 
и t. В результате выбора единиц 
измерения имеем систему четырех уравнений с четырьмя неиз-
вестными:  

2

30
,
4
1
30 ,
4
1
,
1
4
30
,
1
(
12)
1,
12
12
1
1

22
48
0
24.

x
s
y
x
y
s
x
x t
t
t
t
yt
y
t
t
t
t

⎧
=
⎪
⎧
= −
⎪
⎪
= −
⎪
⎪
⇒
=
⇒
= −
⇒
⎨
⎨
+
=
+
+
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⎩
=
⎪⎩
⇒
−
−
=
⇒
=

 

Ответ: 36 ч, 24 ч. 

Таблица 1.7 

v, АВ/ч 
t, ч 
s, АВ 

x 
30 
s 

y 
4 
1 – s 

x 
t + 12 
1 

y 
t 
1