Линейная алгебра

Предисловие                                              1 

 
 
 

В.С. Попов 

 

 

Линейная алгебра 

  
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

[Введите текст] 
 
УДК 517.1 
ББК 22.151.5 
 
П58 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/245/book1347.html 

Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Прикладная математика» 
 

Рекомендовано 
Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве учебного пособия 

Рецензенты:  
д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа 
 и геометрии Московского государственного областного университета 
А.В. Латышев; 
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического моделирования 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана  А.Ф. Грибов 
 
 
Попов, В. С. 
П58  
Линейная алгебра : учебное пособие / В. С. Попов. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 
251, [5] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4305-5 
Учебное пособие написано на основе цикла лекций, читаемых 
автором в МГТУ им. Н.Э. Баумана, и охватывает основные разделы 
базового курса по линейной алгебре. Содержит большое количе-
ство подробно разобранных примеров. Каждый раздел заканчива-
ется набором контрольных вопросов по изложенной теории и ре-
шением задач по изучаемой теме. 
Для студентов и преподавателей технических университетов.  
 
 
  УДК 517.1 
  ББК 22.151.5 

 
 
 Попов В.С., 2016 
 
 Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4305-5 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 

 
 

Предисловие 

Учебное пособие по линейной алгебре написано на основе 
цикла лекций, читаемых автором в МГТУ им. Н.Э. Баумана, и 
предназначено для студентов инженерно-технических специально-
стей высших учебных заведений. 
Университетская подготовка предполагает фундаментальность 
в образовании, в основе которой лежит принцип глубокой прора-
ботки теоретических положений, сопровождаемых решением 
большого количества задач. 
Среди фундаментальных математических идей, понятий и ал-
горитмов особое место занимают понятия линейного простран-
ства, базиса, линейного отображения, собственного элемента и 
собственного значения, матрицы линейного оператора и квадра-
тичной формы, определителя и ранга матрицы. Все эти важные 
понятия рассматриваются в курсе линейной алгебры — одном из 
весьма трудных разделов высшей математики. Линейная алгебра с 
ее методами предоставляет аппарат для единообразного изучения 
различных линейных физических и математических процессов.  
С помощью методов линейной алгебры изучаются и нелинейные 
задачи на основе линеаризации; многие нелинейные методы испы-
тывают на линейных моделях. Линейная алгебра позволяет уста-
новить связь между различными разделами математики. 
По сути, пособие представляет собой учебно-методический 
комплекс, который соответствует образовательному стандарту на 
основе модульно-рейтинговой (или блочно-модульной) системы 
обучения. Эта система предполагает непрерывность контроля 
успеваемости студентов в течение всего срока обучения, она при-
звана активизировать и систематизировать учебную работу сту-
дентов, усилить мотивацию к получению знаний и поднять их 
уровень, способствовать повышению качества образования.  
Пособие охватывает основные разделы базового курса линей-
ной алгебры. Назначение пособия — помочь студентам в изучении 

Предисловие 

 
 
и активном усвоении сложного материала. Структура пособия 
подчинена решению именно этих задач. 
Каждый раздел разбит на подразделы, которые содержат тео-
ретический материал: основные понятия и определения; теоремы и 
их доказательства; поясняющие примеры и комментарии в виде 
замечаний. Каждый подраздел заканчивается контрольными вопросами 
и заданиями, а также примерами решения задач по изучаемой 
теме. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости 
от объема и важности изложенного теоретического материала. 
Начало и конец доказательства теоремы, решения задачи 
или примера отмечены знаками ◄ и ► соответственно, а окончание 
замечания и примера без доказательства и решения — знаком  ■. 
В приложениях приведены материалы, связанные с подготовкой 
к контролю по модулям, типовые варианты рубежного контроля 
и экзаменационные вопросы по курсу линейной алгебры. 
Такое построение пособия, на наш взгляд, даст возможность 
студенту усвоить теоретический материал курса линейной алгебры 
и приобрести практические навыки решения многочисленных 
задач. 
При подборе задач и примеров использовались различные источники, 
в том числе известные задачники по линейной алгебре, 
учебные пособия по решению задач, а также методические пособия, 
написанные преподавателями кафедр высшей математики 
МГТУ им. Н.Э. Баумана.  
Автор посвящает эту книгу памяти доцента В.Д. Морозовой. 
Ее методические указания, доброжелательные замечания и советы 
способствовали созданию этого пособия. 
Автор выражает искреннюю признательность профессору 
А.Н. Канатникову за полезное обсуждение первоначального текста 
рукописи и благодарит всех сотрудников кафедры прикладной ма-
тематики МГТУ им. Н.Э. Баумана, особенно профессора 
В.И. Ванько и доцента Е.А. Власову, за ценные замечания, под-
держку и помощь. 

 
 
                                                                       Памяти 
                                                                            В.Д. Морозовой посвящается 

Глава 1  
Линейные пространства 

1.1. Определение и свойства  
линейного пространства 

Понятие линейного пространства 

Множеством в математике принято называть совокупность 
объектов, объединенных некоторым общим признаком. Эти объек-
ты называют элементами множества. Множество, состоящее из 
конечного числа элементов, называют конечным, а содержащее 
бесконечно много элементов — бесконечным.  
Среди всевозможных множеств выделяют такие множества, над 
элементами которых выполняются некоторые операции, причем, во-
первых, все эти операции определены и однозначны для любых эле-
ментов из данного множества и, во-вторых, результат выполнения 
этих операций принадлежит элементам того же множества. 
Пусть задано некоторое множество. Говорят, что на заданном 
множестве определена алгебраическая операция, если указан за-
кон, по которому любой паре элементов a  и b  из этого множества 
однозначным образом ставится в соответствие некоторый третий 
элемент c  того же множества (результат этой операции). Это мо-
жет быть операция сложения, и тогда элемент c  называется сум-
мой элементов a  и b  (обозначение: 
),


c
a
b  или операция 
умножения, и тогда c  называется произведением элементов a  и b  
(обозначение: 
).

c
ab  
Такого рода б и н а р н ы е  алгебраические операции — сложе-
ние и умножение — в различных множествах определяются по-
разному. Например, в множестве векторов (направленных отрез-
ков) двум векторам по правилу параллелограмма ставится в соот-

ГЛАВА 1. Линейные пространства 

 
 
ветствие вектор, называемый их суммой, а вектору а и числу  — 
вектор а, называемый произведением а и . В множестве матриц 
одних и тех же размеров операция сложения вводится как матрица, 
элементы которой равны суммам соответствующих элементов сла-
гаемых; операция умножения матрицы на число определяется как 
матрица, элементами которой являются произведения элементов 
исходной матрицы и этого числа. Однако эти операции имеют од-
ни и те же свойства: коммутативность и ассоциативность сложе-
ния, дистрибутивность умножения на число по отношению к сло-
жению чисел и др.  
Поэтому если при исследовании множеств, основанном на 
свойствах операций, получается некоторый результат, он имеет 
место во всех множествах, операции в которых обладают такими 
же свойствами. При этом как элементы, так и операции над ними 
могут быть различной природы. 

 Определение 1.1. Полем называют множество P  произ-
вольной природы, на котором заданы две б и н а р н ы е  алгебраи-
ческие операции — сложение и умножение, подчиняющиеся акси-
омам поля. 

Аксиомы поля: 

А. Операции сложения: 

1) 



a
b
b
a  — сложение коммутативно; 
2) (
)
(
)





a
b
c
a
b
c  — сложение ассоциативно; 
3) существует единственный н у л е в о й  элемент 
P

θ
 такой, 
что 


a
a

 для любого элемента 
;
 P
a
 
4) для каждого элемента 
P

a
 существует единственный 
п р о т и в о п о л о ж н ы й  элемент (
)
a  такой, что 
(
)
.
 

a
a
  

В. Операции умножения: 

5) 

ab
ba  — умножение коммутативно; 
6) (
)
(
)

ab c
a bc  — умножение ассоциативно; 
7) существует единственный е д и н и ч н ы й  элемент e  такой, 
что 


ae
ea
a  для любого 
;
 P
a
 
8) для каждого ненулевого элемента 
 P
a
 существует един-
ственный о б р а т н ы й  элемент 
1

a
 такой, что 
1
1
.




aa
a a
e  

1.1. Определение и свойства линейного пространства              7 

 
 
 
С. Совместные операции сложения и умножения: 

9) (
)



a
b c
ac
bc  — умножение дистрибутивно относитель-
но сложения. 
Аксиомы поля позволяют оперировать его элементами так же, 
как и числами. В качестве поля P  чаще всего рассматривают поле 
действительных чисел   и поле комплексных чисел 
.
   
Рассмотрим теперь множество V и поле P  произвольной при-
роды. 

Определение 1.2. Множество V элементов x, y, z, … любой 
природы называют линейным пространством над полем 
,
P  если 
выполнены следующие условия: 
• на множестве V определена операция сложения элементов, 
т. е. каждой паре элементов x и y из V поставлен в соответствие 
элемент z из V, обозначаемый 


z
x
y  и называемый суммой 
элементов x и y; 
• для элементов множества V определена операция умножения 
на действительное число, т. е. каждому элементу x из V и каждому 
числу   поставлен в соответствие элемент z из V, обозначаемый 
 
z
x  и называемый произведением элемента x и числа (действительного) ; 
• 
указанные (л и н е й н ы е) операции подчиняются аксиомам 
линейного пространства. 

Аксиомы линейного пространства: 

А. Аксиомы сложения: 

1) x + y = y + x — коммутативность (переместительность) операции 
сложения; 
2) (x + y) + z = x + (y + z) — ассоциативность (сочетательность) 
операции сложения; 
3) в множестве V существует нулевой (нейтральный) элемент  
такой, что для любого элемента x из V выполняется равенство  
x +  = x; 
4) для любого элемента x из V в множестве V существует такой 
элемент 
,х  что 
,



x
x
  х  — противоположный для x элемент, 
обозначаемый (–х). 

В. Аксиомы умножения: 

5) 1

x
x  — произведение любого элемента x из V и единицы 
равно этому элементу (особая роль числового множителя 1); 

ГЛАВА 1. Линейные пространства 

 
 
6) 
(
)
(
)
 
 
x
x  — ассоциативное свойство числовых множи-
телей. 

С. Аксиомы, связывающие операции сложения и умноже- 
ния: 

7) (
)
  
   
x
x
x  — дистрибутивность (распределитель-
ность) операции умножения на число относительно суммы число-
вых множителей; 
8) 
(
)


   
x
y
x
y  — дистрибутивность (распределитель-
ность) операции умножения на число относительно суммы эле-
ментов множества V. 
Важно подчеркнуть следующее: 
а) при введении понятия линейного пространства происходит 
отвлечение не только от природы элементов множества V, но и от 
алгебраического смысла операций сложения элементов и умноже-
ния элемента на число; 
б) множество V з а м к н у т о  относительно операций сложе-
ния элементов и умножения элемента на число, т. е. эти операции 
не выводят элементы за пределы множества V; 
в) элементы x, y, z, … линейного пространства часто называют 
векторами, и поэтому линейное пространство называют также 
векторным пространством. В дальнейшем будем использовать 
как термин «элемент», так и термин «вектор». 

Замечание 1.1. В зависимости от конкретно заданного поля P  
пользуются следующей терминологией: если P  — поле действи-
тельных чисел, то говорят о линейном пространстве над полем 
действительных чисел; если P  — поле комплексных чисел, гово-
рят о линейном пространстве над полем комплексных чисел. ■ 

Примеры линейных пространств: 
1. Множество 
3
V  
2
(
)
V
 всех свободных векторов в пространстве 
(на плоскости) с линейными операциями над векторами — линейное 
пространство, так как верны все аксиомы линейного пространства. 
2. Можно говорить о линейном пространстве 
nP  многочленов 
степени не выше n с вещественными коэффициентами. 
3. Множество матриц размера 
,

m
n  элементами которых яв-
ляются действительные числа, с линейными операциями над мат-
рицами удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства. 

1.1. Определение и свойства линейного пространства              9 

 
 
 
4. Совокупность упорядоченных наборов 
1
(
,...,
)

n  из n дей-
ствительных чисел. Операции сложения и умножения на действи-
тельное число вводятся так: 
а) сложение — 
1
1
1
1
(
,...,
)
(
,...,
)
(
,...,
);


 

   
  
n
n
n
n
 
б) умножение на число — 
1
1
(
,...,
)
(
,...,
).
 

 

n
n
 

Обозначение: n  (n-мерное вещественное координатное 
пространство).  

Свойства линейного пространства 

Непосредственно из аксиом линейного пространства можно 
вывести ряд его простейших свойств. 
1°. Нулевой элемент   определен однозначно. 

◄ Пусть 
1
  и 
2
  — нулевые элементы пространства V. Рас-
смотрим сумму 
1
2.



 Вследствие того что 
2
  — нулевой эле-
мент, из аксиомы 3 линейного пространства получаем, что 

1
2
1,





 а поскольку элемент 
1
  также нулевой, то 
1
2




 

2
1
2,






 т. е. 
1
2.



► 

2°. Для любого элемента x противоположный ему элемент (–x) 
определен однозначно. 

◄ Пусть для некоторого x существуют два противоположных 
элемента 

x  и 
.
x
 Покажем, что они равны. 
Рассмотрим сумму 
.




x
x
x  Пользуясь аксиомами 1–3 ли-
нейного пространства и тем, что элемент 

x  противоположен эле-
менту ,x  получаем 

(
)
.















x
x
x
x
x
x
x
x
 

Аналогично убеждаемся в том, что 
(
)
.















x
x
x
x
x
x
x
x  ► 

3°. В произвольном линейном пространстве нулевой (нейтраль-
ный) элемент   равен произведению произвольного элемента x и 
числа 0; для каждого элемента x противоположный ему элемент 
равен произведению x и действительного числа (–1). 

◄ Пусть x — произвольный элемент линейного пространства, 
x  — противоположный ему элемент. Применяя аксиомы линей-
ного пространства, получаем 

ГЛАВА 1. Линейные пространства 

 
 
0
0
0
(
)
0
1

(0
1)
1
0
.































x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
 

Пусть x — произвольный элемент, 
( 1) .
 
y
x  Используя акси-
омы линейного пространства и доказанное свойство 0
,
 
x
 полу-
чаем 
( 1)
1
( 1)
[1
( 1)]
0
.


 

 

 

 
x
y
x
x
x
x
x
x
 ► 

4°. Для любого вещественного числа   и   выполняется ра-
венство 
.
 

  

◄ Действительно, 
(
)
.
  

   




  Прибавляя к левой 
и правой частям равенства 
,
  получаем 
.
 

  ► 

5°. Из равенства 
 
x
 следует, что либо 
0,
 
 либо 
.
 
x
 

◄ В самом деле, пусть 
0,
 
 тогда 

1
1
1
1
(
)
.


 












 θ
θ
x
x
x
x
► 

Определение 1.3. Разностью 

x
y  элементов x  и y  
называют такой элемент ,z  что 
.


x
y
z  
Легко заметить, что 
(
).


 
x
y
x
y  

Контрольные вопросы и задания 

1. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры 
линейных пространств. 
2. Перечислите свойства линейного пространства. 
3. Является ли линейным пространством пустое множество? 
4. Могут ли в линейном пространстве существовать два противопо-
ложных элемента для некоторого элемента х? 
5. Являются ли линейным пространством следующие множества с 
обычными операциями сложения их элементов и умножения элементов 
на действительные числа: 
а) непрерывные функции на сегменте [ , ];
a b
 
б) векторы трехмерного пространства, ортогональные данной прямой; 
в) последовательности действительных чисел, имеющие конечный 
предел? 
6. Что понимается под операцией вычитания в линейном простран-
стве?