Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Дискретная математика. Вып. 19

Покупка
Артикул: 804408.01.99
Доступ онлайн
3 600 ₽
В корзину
В девятнадцатом выпуске серии «Математика в техническом университете» изложены теория множеств и отношений, элементы современной абстрактной алгебры, теория графов, классические понятия теории булевых функций, а также основы теории формальных языков, куда включены теории конечных автоматов, регулярных языков, контекстно-свободных языков и магазинных автоматов. В анализе графов и автоматов особое внимание уделено алгебраическим методам. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.
Белоусов, А. И. Дискретная математика. Вып. 19 : учебник / А. И. Белоусов, С. Б. Ткачев ; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. - 6-е изд. - Москва : МГТУ им. Баумана, 2020. - 704 с. - (Математика в техническом университете). - ISBN 978-5-7038-4905-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/2015358 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Комплекс учебников удостоен 
Премии Правительства Российской Федерации 
в области науки и техники за 2003 год

МАТЕ МАТИ К А  В Т ЕХ Н И Ч ЕСКОМ У НИ В Е РС И ТЕ ТЕ

Выпуск 19

Комплекс учебников
«Математика в техническом университете» 
из 21 выпуска

1. Введение в анализ
2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3. Аналитическая геометрия
4. Линейная алгебра
5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
6. Интегральное исчисление функций одного переменного
7. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
8. Дифференциальные уравнения
9. Ряды
10. Теория функций комплексного переменного
11. Интегральные преобразования и операционное исчисление
12. Дифференциальные уравнения математической физики
13. Приближенные методы математической физики
14. Методы оптимизации
15. Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. Теория вероятностей
17. Математическая статистика
18. Случайные процессы
19. Дискретная математика
20. Исследование операций
21. Математическое моделирование в технике

А.И. БЕЛОУСОВ, С.Б. ТКАЧЕВ

ДИСКРЕТНАЯ  
МАТЕМАТИКА

Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина 
и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Рекомендовано Министерством образования 
Российской Федерации 
в качестве учебника для студентов 
высших технических учебных заведений

6-е издание

Áåëîóñîâ, À. È.
Á43  
Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà : ó÷åáíèê äëÿ âóçîâ / À. È. Áåëî-
óñîâ, Ñ. Á. Òêà÷åâ ; ïîä ðåä. B. C. Çàðóáèíà, À. Ï. Êðèùåí-
êî. — 6-å èçä. — Ìîñêâà : Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàó-
 — 703, [1] ñ. : èë. — (Ìàòåìàòèêà â òåõíè÷åñêîì 
óíèâåðñèòåòå ; âûï. 19).

ISBN 978-5-7038-3845-7 
ISBN 978-5-7038-4905-7 (âûï. 19)
 äåâÿòíàäöàòîì âûïóñêå ñåðèè «Ìàòåìàòèêà â òåõíè÷åñêîì 
óíèâåðñèòåòå» èçëîæåíû òåîðèÿ ìíîæåñòâ è îòíîøåíèé, ýëåìåíòû 
ñîâðåìåííîé àáñòðàêòíîé àëãåáðû, òåîðèÿ ãðàôîâ, êëàññè÷åñêèå 
ïîíÿòèÿ òåîðèè áóëåâûõ ôóíêöèé, à òàêæå îñíîâû òåîðèè ôîð-
ìàëüíûõ ÿçûêîâ, êóäà âêëþ÷åíû òåîðèè êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ, 
ðåãóëÿðíûõ ÿçûêîâ, êîíòåêñòíî-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ è ìàãàçèííûõ 
àâòîìàòîâ. Â àíàëèçå ãðàôîâ è àâòîìàòîâ îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíî 
àëãåáðàè÷åñêèì ìåòîäàì.
Ñîäåðæàíèå ó÷åáíèêà ñîîòâåòñòâóåò êóðñó ëåêöèé, êîòîðûé 
àâòîðû ÷èòàþò â ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà.
Äëÿ ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòîâ. Ìîæåò áûòü ïî-
ëåçåí ïðåïîäàâàòåëÿì, àñïèðàíòàì è èíæåíåðàì.

ÓÄÊ 512.5+519.1(075.8)
ÁÁÊ 22.174
 

Ðåöåíçåíòû: 
÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ Þ.Í. Ïàâëîâñêèé,  
ïðîôåññîð À.Ê. Ïëàòîíîâ

© Áåëîóñîâ À.È., Òêà÷åâ Ñ.Á., 2001
© Áåëîóñîâ À.È., Òêà÷åâ Ñ.Á., 2006, 
ñ èçìåíåíèÿìè
© Îôîðìëåíèå. Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ  
ISBN 978-5-7038-4905-7 (âûï. 19)
ISBN 978-5-7038-3845-7

ÓÄÊ 512.5+519.1(075.8)
ÁÁÊ 22.174
 
Á43

èì. Í. Ý. Áàóìàíà, 2020

ìàíà, 2020.

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Ïðåäëàãàåìàÿ ÷èòàòåëþ êíèãà ÿâëÿåòñÿ äåâÿòíàäöàòûì âû-
ïóñêîì êîìïëåêñà ó÷åáíèêîâ «Ìàòåìàòèêà â òåõíè÷åñêîì 
óíèâåðñèòåòå». Îíà ñîäåðæèò ñèñòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå 
êóðñà äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè.
Ðàçâèòèå êëàññè÷åñêîé («íåïðåðûâíîé») ìàòåìàòèêè áûëî 
îáóñëîâëåíî ïðåæäå âñåãî ðåøåíèåì çàäà÷ åñòåñòâîçíàíèÿ, 
ãëàâíûì îáðàçîì ôèçèêè. «Äèñêðåòíàÿ» æå ìàòåìàòèêà ðàç-
âèâàëàñü â ñâÿçè ñ èçó÷åíèåì çàêîíîâ è ïðàâèë ÷åëîâå÷åñêîãî 
ìûøëåíèÿ, ÷òî è îáóñëîâèëî åå ïðèìåíåíèå â òåõ îáëàñòÿõ 
òåõíèêè, êîòîðûå òàê èëè èíà÷å ñâÿçàíû ñ ìîäåëèðîâàíèåì 
ìûøëåíèÿ, è â ïåðâóþ î÷åðåäü â âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêå è 
ïðîãðàììèðîâàíèè.
Ìûøëåíèå ðåàëèçóåò ñåáÿ ïðåæäå âñåãî â ÿçûêå. Ïîýòîìó 
ðàçóìíî ñ÷èòàòü, ÷òî ÿäðî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè îáðàçóåò 
èìåííî ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ÿçûêîâ, òî÷íåå, îáëàñòü ýòîé 
òåîðèè, íàçûâàåìàÿ òåîðèåé ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ. Ñëîâî 
«ôîðìàëüíûé» ïîä÷åðêèâàåò, ÷òî â ýòîé òåîðèè èçó÷àþòñÿ â 
îñíîâíîì èñêóññòâåííûå ÿçûêè, ñïåöèàëüíî ñîçäàííûå äëÿ 
êàêèõ-òî öåëåé: ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ÿçûêè ìàòåìàòè-
êè è ò. ï. Òåîðèÿ ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ ÿâëÿåòñÿ áàçîé òåîðèè 
êîäèðîâàíèÿ, «êðèïòîëîãèè», èçó÷àþùåé ìåòîäû çàùèòû 
èíôîðìàöèè, òåîðèè àëãîðèòìîâ è â îïðåäåëåííîì ñìûñëå 
ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè.  ïðèêëàäíîì àñïåêòå ýòà òåîðèÿ 
ñëóæèò îñíîâîé ðàçðàáîòêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ 
âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí.
Äîìèíèðóþùèì â ñîâðåìåííîé òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçû-
êîâ ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèé ïîäõîä, â êîòîðîì ñóùåñòâåííî 
èñïîëüçóåòñÿ àïïàðàò, áàçèðóþùèéñÿ íà ïîíÿòèè àëãåáðàè÷å-

Ïðåäèñëîâèå

ñêîé ñòðóêòóðû ïîëóêîëüöà. Ýòîò àïïàðàò âî ìíîãîì ïîõîæ 
íà àïïàðàò ëèíåéíîé àëãåáðû. Ñèñòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå 
òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ íà áàçå òåîðèè ïîëóêîëåö è ÿâ-
ëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ çàäà÷ ýòîé êíèãè. Îòìåòèì, ÷òî 
â îòå÷åñòâåííîé ó÷åáíîé ëèòåðàòóðå òàêîé ïîäõîä ïî÷òè íå 
ïîëó÷èë îòðàæåíèÿ.
Òåîðèÿ ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ ñóùåñòâåííî îïèðàåòñÿ è íà 
òåîðèþ ãðàôîâ. Ìíîãèå çàäà÷è òåîðèè ÿçûêîâ (íàïðèìåð, 
çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ÿçûêà êîíå÷íîãî èëè ìàãàçèííîãî àâòî-
ìàòà) ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å î ïóòÿõ âî âçâåøåííûõ (ðàçìå÷åí-
íûõ) îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ, ãäå ìíîæåñòâî ìåòîê èìååò 
àëãåáðàè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ïîëóêîëüöà.
Èçëîæåíèå ìàòåðèàëà ïîñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. 
Ãëàâà 1 ïîñâÿùåíà ìíîæåñòâàì è îòíîøåíèÿì. Çäåñü íàïî-
ìèíàþòñÿ îñíîâû òåîðèè ìíîæåñòâ, èçëîæåííûå â ïåðâîì 
âûïóñêå êîìïëåêòà ó÷åáíèêîâ, ïðè÷åì íåêîòîðûå âîïðîñû 
èçëàãàþòñÿ áîëåå äåòàëüíî. Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå ãëàâû 
ñîñòàâëÿåò òåîðèÿ îòíîøåíèé. Öåíòðàëüíûì ðåçóëüòàòîì 
ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå äëÿ èíäóêòèâíûõ 
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ, íà áàçå êîòîðîé ñòðîÿòñÿ ìåòîäû 
ðåøåíèÿ çàäà÷ î ïóòÿõ â ãðàôàõ è àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû â 
òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ.
Ââèäó âàæíîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâ â äèñêðåòíîé 
ìàòåìàòèêå áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé 
òåîðèè: åé ïîñâÿùåíû òðè ãëàâû. Â ãëàâå 2 èçëàãàþòñÿ 
ýëåìåíòû êëàññè÷åñêîé îáùåé àëãåáðû è ðàññìàòðèâàþòñÿ 
ãðóïïû, êîëüöà è ïîëÿ. Ãëàâà 3 ïîñâÿùåíà ïîëóêîëüöàì è 
áóëåâûì àëãåáðàì. Ïðèâåäåííûé çäåñü ìàòåðèàë èìååò âàæ-
íîå çíà÷åíèå ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèëîæåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ 
ìåòîäîâ êàê â òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ, òàê è â òåîðèè 
áóëåâûõ ôóíêöèé. Îñîáåííîñòüþ èçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðå-
äåëåíèå áóëåâîé àëãåáðû êàê ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ïîëóêîëüöà. 
 ãëàâå 4 ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû îáùåé òåîðèè 
àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì.
Ãëàâà 5 ïîñâÿùåíà òåîðèè ãðàôîâ. Öåíòðàëüíîå ìåñòî â 
ãëàâå çàíèìàåò èçëîæåíèå àëãåáðàè÷åñêîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ 
çàäà÷ î ïóòÿõ â îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ, ðàçìå÷åííûõ íàä 

ïîëóêîëüöàìè. Ýòîò ìàòåðèàë ñëóæèò, ñ îäíîé ñòîðîíû, 
èëëþñòðàöèåé ïðèìåíåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîé òåõíèêè â ðåøå-
íèè ãðàôîâûõ çàäà÷, à ñ äðóãîé — îñíîâîé ðåøåíèÿ çàäà÷ 
â òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ. Ãëàâà ñîäåðæèò òàêæå îïè-
ñàíèå íåêîòîðûõ àëãîðèòìîâ íà ãðàôàõ: àëãîðèòìà «ïîèñêà 
â ãëóáèíó» è «ïîèñêà â øèðèíó», àëãîðèòìà Êðàñêàëà äëÿ 
îòûñêàíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà íàèìåíüøåãî âåñà, àëãîðèòìà 
òîïîëîãè÷åñêîé ñîðòèðîâêè. Êîðîòêî ðàññìàòðèâàþòñÿ èçî-
ìîðôèçì ãðàôîâ, ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ ãðàôîâ è ýëåìåíòû 
öèêëîìàòèêè (àíàëèçà ñòðóêòóðû öèêëîâ íåîðèåíòèðîâàí-
íîãî ãðàôà).
Ãëàâà 6 ïîñâÿùåíà êëàññè÷åñêîìó ðàçäåëó äèñêðåòíîé 
ìàòåìàòèêè — áóëåâûì ôóíêöèÿì — è âêëþ÷àåò âîïðîñû 
ìèíèìèçàöèè áóëåâûõ ôóíêöèé è òåîðåìó Ïîñòà î ôóíêöè-
îíàëüíîé ïîëíîòå.
 ãëàâàõ 7 è 8 èçëîæåíà òåîðèÿ ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ. Ãëà-
âà 7 ñîäåðæèò «ëèíåéíóþ ÷àñòü» ýòîé òåîðèè — òåîðèþ êî-
íå÷íûõ àâòîìàòîâ è ðåãóëÿðíûõ ÿçûêîâ, à ãëàâà 8 — òåîðèþ 
êîíòåêñòíî-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ. Ýòî âàæíåéøèé êëàññ ÿçûêîâ, 
åãî òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ìíîãèõ èíôîðìà-
öèîííûõ òåõíîëîãèé, òàêèõ, â ÷àñòíîñòè, êàê ïðîåêòèðîâàíèå 
êîìïèëÿòîðîâ èëè ðàçðàáîòêà ëèíãâèñòè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ 
áàç äàííûõ. Ôóíäàìåíòàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìàãàçèííîãî 
àâòîìàòà — ðàñïîçíàâàòåëÿ â êëàññå êîíòåêñòíî-ñâîáîäíûõ 
ÿçûêîâ. Èìåííî ýòà ìîäåëü ÿçûêà ñëóæèò ìàòåìàòè÷åñêîé 
îñíîâîé êîíêðåòíûõ òåõíîëîãèé ðàçðàáîòêè ñèíòàêñè÷åñêèõ 
àíàëèçàòîðîâ äëÿ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
 äîïîëíåíèÿõ ê ãëàâå 8 ïðèâåäåíû ýëåìåíòàðíûå ñâåäå-
íèÿ î ñèíòàêñè÷åñêîì àíàëèçå êîíòåêñòíî-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ 
è ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ ñåìàíòèêè ôîðìàëüíûõ 
ÿçûêîâ (â ÷àñòíîñòè, ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ). Çäåñü ìû 
ïûòàåìñÿ ïåðåêèíóòü «ìîñòèê» îò ÷èñòîé òåîðèè ê ïðàêòè-
÷åñêîé òåõíîëîãèè àíàëèçà êîíòåêñòíî-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ, 
èñïîëüçóåìîé ïðåæäå âñåãî â êîìïèëÿòîðàõ. Ýòîò ìàòåðèàë 
ïðèçâàí ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñâÿçü ìåæäó èçëîæåíîé ìàòåìà-
òè÷åñêîé òåîðèåé è åå ïðèëîæåíèÿìè ê ðàçðàáîòêå ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ êîìïüþòåðîâ.

Ïðåäèñëîâèå

Ïðåäèñëîâèå

 êîíöå êàæäîé ãëàâû ïîìåùåíû çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿ-
òåëüíîãî ðåøåíèÿ. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è ñíàáæåíû óêà-
çàíèÿìè.  íåêîòîðûõ çàäà÷àõ ñîäåðæàòñÿ è òåîðåòè÷åñêèå 
ðåçóëüòàòû, äîïîëíÿþùèå îñíîâíîé òåêñò. ×àñòü çàäà÷ ïðè-
äóìàíà àâòîðàìè, ÷àñòü çàèìñòâîâàíà èç äðóãèõ çàäà÷íèêîâ 
è ó÷åáíèêîâ.
Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà — áóðíî ðàçâèâàþùàÿñÿ îáëàñòü. 
Ê ñîæàëåíèþ, â ýòîì ó÷åáíèêå ìû íå íàøëè âîçìîæíîñòè 
äàæå îáçîðíî èçëîæèòü íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, ðàçâèâàþùèå 
êëàññè÷åñêóþ òåîðèþ ãðàôîâ (ãèïåðãðàôû, ñåòè Ïåòðè, ïîòî-
êîâûå äèàãðàììû) è òåîðèþ ÿçûêîâ (ñâåðõúÿçûêè, àâòîìàòû 
íàä ñòðóêòóðàìè, îòëè÷íûìè îò ñëîâ, òåîðèþ àëãîðèòìîâ êàê 
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû â ñåìàíòèêå). 
Ìû ðåêîìåíäóåì èíòåðåñóþùåìóñÿ ÷èòàòåëþ îáñòîÿòåëüíî 
íàïèñàííóþ «Handbook of Theoretical Computer Science», à 
òàêæå ïîñëåäíèå âûïóñêè ïåðèîäè÷åñêîãî èçäàíèÿ «Lecture 
notes in Computer Science». Íàèáîëåå èíòåðåñíûå, ñ íàøåé 
òî÷êè çðåíèÿ, ðàáîòû èç ýòîãî èçäàíèÿ óêàçàíû â ñïèñêå 
ëèòåðàòóðû.
Äëÿ óñïåøíîãî îñâîåíèÿ ìàòåðèàëà êíèãè äîñòàòî÷íî 
çíàíèÿ òðàäèöèîííûõ êóðñîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è ëè-
íåéíîé àëãåáðû, ÷èòàåìûõ â òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå. Ìû 
â îñíîâíîì îïèðàëèñü íà ìàòåðèàë, èçëîæåííûé â âûïóñêàõ 
I–IV íàñòîÿùåãî êîìïëåêñà ó÷åáíèêîâ.
 òåêñòå êíèãè èìåþòñÿ ññûëêè íà äðóãèå âûïóñêè êîì-
ïëåêñà ó÷åáíèêîâ. Òàêîé ññûëêîé ñëóæèò íîìåð âûïóñêà. 
Íàïðèìåð, [I] îçíà÷àåò, ÷òî èìååòñÿ â âèäó ïåðâûé âûïóñê. 
Ññûëêè áåç ðèìñêèõ öèôð îòíîñÿòñÿ òîëüêî ê ýòîìó, äåâÿò-
íàäöàòîìó, âûïóñêó. Òàê, (ñì. 1.2) îòñûëàåò ÷èòàòåëÿ êî 
âòîðîìó ïàðàãðàôó ïåðâîé ãëàâû, à (ñì. Ä.7.1) — ê ïåðâîìó 
äîïîëíåíèþ ñåäüìîé ãëàâû ýòîé êíèãè. Ññûëêè íà íîìåðà 
ôîðìóë è ðèñóíêîâ íàáðàíû îáû÷íûì øðèôòîì (íàïðèìåð, 
(2.1) — ïåðâàÿ ôîðìóëà â ãëàâå 2, (ðèñ. 1.5) — ïÿòûé ðèñó-
íîê â ãëàâå 1).
Áîëüøèíñòâî èñïîëüçóåìûõ â ýòîé êíèãå îáîçíà÷åíèé 
ïîìåùåíî â ïåðå÷íå îñíîâíûõ îáîçíà÷åíèé, ãäå íàðÿäó ñ èõ 
êðàòêîé ðàñøèôðîâêîé óêàçàíû ãëàâà è ïàðàãðàô, â êîòî-

ðûõ ìîæíî íàéòè áîëåå ïîäðîáíîå îáúÿñíåíèå ïî êàæäîìó 
èç îáîçíà÷åíèé. Äëÿ ÷àñòè îáîçíà÷åíèé, ââåäåííûõ â ïåðâîì 
âûïóñêå, óêàçàíû ãëàâà è ïàðàãðàô ïåðâîãî âûïóñêà, à òàêæå 
ïðè íåîáõîäèìîñòè ãëàâà è ïàðàãðàô ýòîé êíèãè. Íàïðèìåð, 
I-1.3, 1.1 ïîêàçûâàåò, ÷òî îáîçíà÷åíèå ââåäåíî â òðåòüåì ïà-
ðàãðàôå ïåðâîé ãëàâû ïåðâîãî âûïóñêà è ïîÿñíåíèÿ ê íåìó 
ñîäåðæàòñÿ â ïåðâîì ïàðàãðàôå ïåðâîé ãëàâû äåâÿòíàäöàòîãî 
âûïóñêà. Ïîñëå ýòîãî ïåðå÷íÿ ïðèâåäåíû íàïèñàíèå è ðóñ-
ñêîå ïðîèçíîøåíèå âõîäÿùèõ â ôîðìóëû áóêâ ëàòèíñêîãî è 
ãðå÷åñêîãî àëôàâèòîâ.
 êîíöå êíèãè ïîìåùåíû ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòå-
ðàòóðû è ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü, â êîòîðîì ðàñïîëîæåíû â 
àëôàâèòíîì ïîðÿäêå (ïî ñóùåñòâèòåëüíîìó â èìåíèòåëüíîì 
ïàäåæå) âñå âûäåëåííûå â òåêñòå ïîëóæèðíûì êóðñèâîì 
òåðìèíû ñ óêàçàíèåì ñòðàíèöû, ãäå îíè ñòðîãî îïðåäåëåíû 
èëè îïèñàíû.
Âûäåëåíèå òåðìèíà ñâåòëûì êóðñèâîì îçíà÷àåò, ÷òî ýòîò 
òåðìèí â äàííîì ïàðàãðàôå îòíîñèòñÿ ê êëþ÷åâûì ñëîâàì è 
÷èòàòåëþ äîëæíî áûòü èçâåñòíî åãî çíà÷åíèå. Çíà÷åíèå ýòî-
ãî òåðìèíà ìîæíî óòî÷íèòü, íàéäÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäìåòíîãî 
óêàçàòåëÿ íåîáõîäèìóþ ñòðàíèöó ýòîãî âûïóñêà, íà êîòîðîé 
òåðìèí îïðåäåëåí èëè îïèñàí. Åñëè òåðìèí ââåäåí â äðóãîì 
âûïóñêå, òî äàíà ññûëêà íà ýòîò âûïóñê (íàïðèìåð, III îçíà-
÷àåò ññûëêó íà òðåòèé âûïóñê), à òàêæå óêàçàíà êóðñèâîì 
ñòðàíèöà ïðåäëàãàåìîé êíèãè, íà êîòîðîé èìåþòñÿ íåêîòîðûå 
ïîÿñíåíèÿ ê ýòîìó òåðìèíó.
Àâòîðû âûðàæàþò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü À.À. Êèðèëü-
÷åíêî è Ì.Ñ. Âèíîãðàäîâîé çà ìíîãî÷èñëåííûå ïîæåëàíèÿ 
è çàìå÷àíèÿ, êîòîðûå áûëè ó÷òåíû ïðè ïîäãîòîâêå êíèãè.
Ïåðåä ÷òåíèåì êíèãè â öåëÿõ ñàìîêîíòðîëÿ ïðåäëàãàåò-
ñÿ âûïîëíèòü ïðèâåäåííûå íèæå çàäàíèÿ. Â òåêñòå çàäàíèé 
ïðÿìûì ïîëóæèðíûì øðèôòîì âûäåëåíû òåðìèíû, çíà÷åíèå 
êîòîðûõ äîëæíî áûòü èçâåñòíî ÷èòàòåëþ, à â êîíöå êàæäîãî 
çàäàíèÿ óêàçàíà ññûëêà íà íîìåð âûïóñêà, â êîòîðîì ìîæ-
íî íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçúÿñíåíèÿ. Â îñíîâíîì òåêñòå 
êíèãè ýòè òåðìèíû íå âûäåëåíû è íå âõîäÿò â ïðåäìåòíûé 
óêàçàòåëü.

Ïðåäèñëîâèå

Ïðåäèñëîâèå

Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè

1. ×òî òàêîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, ïîäìíîæåñòâî, ýëåìåíò 
ìíîæåñòâà? Êàêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî çàäàòü ìíîæåñòâî? 
Ïðèâåäèòå ïðèìåðû êîíå÷íûõ è ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ. [I]
2. ßâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åò-
íûì? [I]
3. ×òî òàêîå ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë? ×òî 
ïîíèìàþò ïîä ðàñøèðåííîé (ïîïîëíåííîé) ÷èñëîâîé ïðÿ-
ìîé? [I]
4. ßâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñîáñòâåí-
íûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë? [I]
5. Êàêèå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè âû çíàåòå? Ïåðå÷è-
ñëèòå ñâîéñòâà ýòèõ îïåðàöèé. [I]
6.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè äëÿ çàêî-
íîâ äå Ìîðãàíà? [I]
7. Èç êàêèõ ýòàïîâ ñîñòîèò äîêàçàòåëüñòâî ïî ìåòîäó ìà-
òåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè? [I]
8. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî 
îòîáðàæåíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ. ×òî òàêîå òîæäåñòâåííîå îòî-
áðàæåíèå? ×åìó ðàâíà êîìïîçèöèÿ ïðÿìîãî è îáðàòíîãî 
îòîáðàæåíèé äâóõ ìíîæåñòâ? [I]
9. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ îòîáðàæåíèå îäíîãî ìíîæåñòâà â 
äðóãîå íàçûâàþò ñþðúåêöèåé, èíúåêöèåé è áèåêöèåé? [I]
10. ×òî íàçûâàþò íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ? 
Ñêîëüêî íåïîäâèæíûõ òî÷åê ó îòîáðàæåíèÿ ó sin õ? [I]
11. Êàêèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè âû çíàåòå? [II]
12. ×òî òàêîå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü çíà÷åíèÿ 
ôóíêöèè? [I]
13. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ â èíòåð-
âàëå (à, b).  ÷åì ðàçëè÷èå ìåæäó ìîíîòîííîé è ñòðîãî ìîíî-
òîííîé â íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿìè? [I]
14. ×òî òàêîå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà? [I]
15. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè? [I]
16. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà ñõîäèìîñòè 
îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. [I]

Доступ онлайн
3 600 ₽
В корзину