Гравитационные волны ранней Вселенной

И.В. Фомин, С.В. Червон, А.Н. Морозов

Гравитационные волны 
ранней Вселенной

УДК 524.8
ББК 22.313
        Ф76

Рецензенты:
академик РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор В.И. Пустовойт; 
д-р физ.-мат. наук, профессор Московского педагогического 
государственного университета Б.Н. Фролов

Фомин, И. В.
Гравитационные волны ранней Вселенной / И. В. Фомин, 
С. В. Червон, А. Н. Морозов. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2018. — 154, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5003-9

Рассмотрены применение скалярных полей в космологии и методы 
построения моделей ранней Вселенной на основе их динамики. 
Выполнен анализ динамики Вселенной на различных стадиях ее эволюции. 
Проведен расчет параметров космологических возмущений. 
Представлены методы верификации инфляционных моделей и новые 
методы детектирования гравитационных волн.
Для специалистов, интересующихся проблемами нелинейной теории 
поля, теории гравитации, космологии и гравитационно-волно- 
выми исследованиями, а также студентов старших курсов, магистров 
и аспирантов. 

УДК 524.8
ББК 22.313

ISBN 978-5-7038-5003-9

© Фомин И.В., Червон С.В.,
 
Морозов А.Н., 2018
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Ф76

Предисловие

Монография посвящена теоретическим и экспериментальным 
исследованиям гравитационных волн ранней Вселенной. В на- 
стоящее время после экспериментального обнаружения гравитационных 
волн, возникающих в результате слияния черных дыр 
и нейтронных звезд, приоритетным направлением исследований 
стало детектирование реликтовых гравитационных волн.
При анализе ранней Вселенной в стандартной инфляционной 
парадигме с использованием в космологических моделях скалярных 
полей широко применяется приближенный метод, основанный на 
нивелировании вклада кинетической энергии поля в динамику, 
следствием которого является то, что основная энергия реликтовых 
гравитационных волн находится в диапазоне низких частот от 100 
до 1000 Гц. 
В настоящей монографии предложен другой подход к проблеме 
анализа космологических моделей, в основе которого лежат точные 
решения уравнений космологической динамики, что обусловливает 
возможность экспериментального обнаружения высокочастотных 
реликтовых гравитационных волн.
Монография состоит из семи глав. В главе 1 приведено введение 
в теорию ранней Вселенной. Глава 2 посвящена историческому 
обзору скалярных полей в общей теории относительности (ОТО). 
Материалы первых двух глав представляют собой существенно  
дополненные и переработанные части I и II работы [1]. В главе 3 
изложены приближенные и точные методы анализа космологической 
динамики, в главе 4 представлен расчет точных значений 
параметров космологических возмущений. В главах 5 и 6 приведен 
новый метод детектирования высокочастотных гравитационных 
волн на основе низкочастотного оптического резонанса в интерферометрах 
Фабри—Перо. В заключительной главе 7 рассмотрено 
уширение спектральных линий света при воздействии стохастических 
гравитационных волн.
Авторы выражают благодарность рецензентам В.И. Пустовойту 
и Б.Н. Фролову, замечания которых позволили улучшить содержание 
монографии.

1. ПРЕДПОСЫЛКИ И СЛЕДСТВИЯ 
ТЕОРИИ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФЛЯЦИИ

Стандартная теория Большого взрыва утверждает, что Вселенная 
была рождена приблизительно 13,7 млрд лет назад в состоянии 
бесконечно больших плотности и температуры. С быстрым расширением 
Вселенной средняя энергия частиц значительно уменьшилась, 
и Вселенная стала холодной. Эта теория была особенно 
популярной после открытия реликтового излучения.
Однако к концу 1970-х годов выяснилось, что данная теория 
несовместима с существующей теорией элементарных частиц, что 
обусловливает множество внутренних проблем (проблемы горизонта, 
однородности и изотропности и др.), решение которых 
возможно в контексте относительно простого инфляционного 
сценария развития Вселенной [2–7].
Главная идея этого сценария состоит в том, что Вселенная на 
ранней стадии своего развития расширилась экспоненциально 
(стадия инфляции) до состояния с преобладанием потенциальной 
энергии V φ( )  некоторого скалярного поля φ. Такое быстрое расширение 
привело к формированию плоской, однородной и изотропной 
Вселенной. Впоследствии энергия скалярного поля  
преобразовалась в тепловую энергию. В более поздний период 
развития Вселенная описывается стандартной теорией горячей 
Вселенной, предсказывающей существование реликтового излучения.

Рассмотрение эволюции Вселенной начинается с точного 
энергетического масштаба, равного массе Планка:

 
M
c
G
P =
8π ,  
(1.1)

где c  — скорость света в вакууме; G  — постоянная Ньютона. 
Массу Планка MP = ,
⋅
−
4 342 10 6  г можно представить в энергети-
ческих единицах 2 435 1020
,
⋅
 ГэВ. В рамках теории Эйнштейна 
невозможно превысить этот масштаб. С учетом постоянной План-

1. Предпосылки и следствия теории космологической инфляции

ка ,  скорости света c  и массы Планка MP  можно получить 
время Планка T
c M
P
P
≡
⋅
(
) = ,
⋅
−

2
43
2 70 10
 с и длину Планка LР ≡ 

≡
⋅
(
) = ,
⋅
−
 c MP
8 10 10 33  см, которые являются важными параметра-
ми теории ранней Вселенной. При анализе космологических мо-
делей часто применяется система единиц, в которой M
с
P =
=
=

1,  
также используемая в данной книге.
Первые модели инфляции были сформулированы в контексте 
теории Большого взрыва. Они позволили успешно решить внут- 

что исключило последние сомнения относительно этой теории. 
Несмотря на это, инфляционная теория продолжает претерпевать 
значительные изменения, отдаляясь от старой теории Большого 
взрыва. Для описания наблюдаемой части нашей Вселенной все 
еще можно говорить о Большом взрыве, также как можно исполь-
зовать теорию гравитации Ньютона, чтобы описать динамику в 
Солнечной системе с достаточно высокой точностью. Однако 
описание ранней Вселенной или ее глобальной структуры с по-
мощью некоторых понятий теории Большого взрыва приводит 
к противоречиям.
Например, одним из главных принципов теории Большого 
взрыва является однородность Вселенной. Утверждение однород-
ности, казалось, было настолько важным, что его называли «кос-
мологическим принципом». Действительно, без использования 
этого принципа нельзя было доказать, что целая Вселенная появи-
лась в единственный момент времени, который ассоциировался 
с Большим взрывом. Теория космологической инфляции остает-
ся единственной теорией, которая объясняет, почему заметная 
часть Вселенной практически однородна. Однако почти все версии 
инфляционной космологии предсказывают, что в намного большем 
масштабе Вселенная должна быть чрезвычайно неоднородна, с из-
меняющейся плотностью энергии от планковской до почти нуле-
вой. Таким образом, развитие инфляционной теории значительно 
изменило традиционную космологическую парадигму.
Первая версия инфляционной космологии была предложена 
А.А. Старобинским в работе [2] в 1978 г. Однако в данной теории 
было не совсем ясно, в каком начальном состоянии находилась 
Вселенная. 
Одна из наиболее важных стадий развития инфляционной 
космологии была связана с инфляционным сценарием Вселенной 
А. Гуса [3]. Главная идея этого сценария Вселенной проста и при-

ренние проблемы (проблемы плоскостности, горизонта и т. д.), 

Гравитационные волны ранней Вселенной

влекательна, и ей принадлежит очень важная роль в развитии 
современной космологии.
Согласно инфляционному сценарию, инфляция является эпо-
хой, в течение которой масштабный фактор a(t) Вселенной соот-
ветствует ускоренному расширению: a t( )
.
> 0

Эквивалентным путем определения инфляции является рас-
смотрение инфляционной стадии как эпохи, в течение которой 

сопутствующее расстояние Хаббла aH
(
)

−1  убывает со временем  
(a — масштабный фактор):

d
dt aH
1
0
< ,

что помогает решить проблему плоскостности. 
Модели инфляции задают видом эффективного потенциала 

V φ( )  некоторого скалярного поля φ  (инфлатона), которое в про-
цессе инфляции снижается до минимума V φ( ). Конец инфляции 
приводит к нарушению условий медленного скатывания, поле 
осциллирует вблизи минимума потенциала и начинается процесс 
постинфляционого нагревания. Этот процесс связан с нескольки-
ми различными стадиями, такими как распад инфлатонного кон-
денсата, рождение частиц стандартной модели, их нагревание 
и последующая рекомбинация [8, 9].
Наблюдаемое космологическое ускорение указывает на то, что 
в настоящее время во Вселенной доминирует равномерно распре-
деленная так называемая темная энергия [10–11], для описания 
которой используется модель идеальной жидкости с феноменоло-
гическим соотношением между давлением p  и плотностью энер-
гии ρ  каждого из компонентов жидкости p
w
=
ρ,  где w  является 
параметром состояния [12–18]. Современные эксперименты [19–20] 
свидетельствуют о том, что Вселенная является пространственно-
плоской и в настоящее время параметр состояния темной энергии 
w = − ±
1
0 1, .

Стандартным способом определения, зависящего от времени 
параметра состояния, является включение скалярных полей в кос-
мологическую модель. При достаточно общих предположениях 
в рамках четырехмерной модели с одним скалярным полем могут 
быть реализованы модели с квинтэссенцией − <
< /
1
1 3
w
 и фан-
томные модели w < −1 [12–18]. 
В традиционной космологии геометрическое описание Вселен-
ной основано на пространстве-времени Фридмана—Робертсона—

1. Предпосылки и следствия теории космологической инфляции

Уокера (ФРУ), что в значительной мере связано с высокой степенью 
изотропности пространства, измеренной на космическом микро-
волновом фоне [19, 20]. Эта идентификация базируется на формаль-
ном результате, известном как теорема Элерса—Герена—Сакса [21], 
что относится к модели Вселенной, заполненной любой идеальной 
баротропной жидкостью [22]. Отметим, что верхняя граница ло-
кальной анизотропии пространства-времени по зависимости ско-
рости света от направления наблюдения, согласно современным 
экспериментам, составляет δ
θ
с
с
( )
<
−
−
−
10
10
10
14  [23–25]. 
Метрика пространства-времени Фридмана—Робертсона— 
Уокера имеет следующий вид:

 
ds
dt
a
t
dr
kr
r
d
d
2
2
2
2

2
2
2
2
2
=
1
−
+
( )
−
+
+
(
)









θ
θ ϕ
sin
,  
(1.2)

где значения k = 0, k =1,  k = 1
−  соответствуют пространственно 
плоской, замкнутой и открытой моделям Вселенной соответственно. 

1.1. Динамика скалярного поля

Рассмотрим действие для скалярного поля φ, которое определяет 
плотность энергии и давление во Вселенной на инфляционной 
стадии:

 
S
d x
gL
d x
g
R
g
V
=
−
=
−
−
∂
∂
−
( )




∫
∫
4
4
1
2
1
2

µν
µ
ν
φ
φ
φ .  
(1.3)

Из вариации действия (1.3) по полю с учетом метрики (1.2) 
получим уравнение, определяющее динамику инфлатона:

 


φ
φ
φ
φ
+
+
′( ) =
3
0
H
V
,  
′ =
( )
V
dV

d
φ
φ

φ
. 
(1.4)

Поскольку скалярное поле вследствие равенства нулю недиагональных 
компонент тензора Эйнштейна зависит только от времени [
1], отбросим третье слагаемое в уравнении (1.4), в результате 
получим

 


φ
φ
φ
φ
+
+
′( ) =
3
0
H
V
. 
(1.5)

Также вариация действия (1.3) по метрике gµν  дает два уравнения, 
которые в пространственно-плоском случае (k = 0) имеют 
следующий вид:

Гравитационные волны ранней Вселенной

 
3
1
2

2
2
H
V
=
+
( )
φ
φ ;  
(1.6)

 
−
−
=
−
( )
2
3
1
2

2
2


H
H
V
φ
φ .  
(1.7)

Из трех уравнений (1.5)–(1.7) только два являются независимыми. 
Запишем уравнения динамики скалярного поля, сложив уравнения (
1.6) и (1.7):

 
V
H
H
φ( ) =
+
3
2
 ; 
(1.8)

 

2
2


φ = − H. 
(1.9)

Другую форму записи получим, продифференцировав уравнение (
1.6) по полю и приравняв к уравнению (1.5), с учетом соотношения 
d
dφ
φ
φ
1
2

2




 =
:

 
V
H
H
φ
φ
( ) =
−
′
3
2
2
2;  
(1.10)

 
φ
φ
= −
′
2H . 
(1.11)

Таким образом, уравнения (1.8), (1.9) или (1.10), (1.11) определяют 
динамику на инфляционной стадии эволюции Вселенной.

1.2. Плотность энергии и давление

Варьируя действие (1.2) по метрике gµν,  получаем следующее 
выражение для тензора энергии-импульса:

 
T
g
L
µν
µ
ν
µν
φ
φ
= ∂
∂
−
.  
(1.12)

Сравнив с релятивистским тензором энергии-импульса идеальной 
жидкости 

 
T
p
u u
g
p
µν

µ
ν
µν
ρ
=
+
(
)
+
, 
(1.13)

получим уравнения для плотности энергии ρ  и давления p:

 
T
V
0
0
2

2
=
=
+
( )
ρ
φ
φ

;  
(1.14)

1. Предпосылки и следствия теории космологической инфляции

 
T
p
V
i
i =
=
−
( )

2

2

φ
φ . 
(1.15)

При выполнении условия V φ
φ
( ) ≫ 2  уравнение состояния принимает 
вид

 
ρ  − p,  
(1.16)

что является условием инфляционной стадии. Инфляция управляется 
вакуумной энергией инфляционного поля, которая приводит 
к быстрому расширению на ранней стадии эволюции Вселенной. 
Для фантомных полей с отрицательной кинетической энергией, 

1
2
0
2φ < , получим 

 
ρ
φ
φ
ph
V
= −
+
( )

2

2


;  
(1.17)

 
p
V
ph = −
−
( )

2

2

φ
φ .  
(1.18)

Также определим параметр состояния для канонических и фантомных 
полей:

 
w
p
V

V

H
H
=
=
−

+
= − −
ρ
φ

φ

2

2
2

2

2
1
2
3






; w
H
H

ph = − +
1
2
3
2


. 
(1.19)

Для стадии де Ситтера с постоянным параметром Хаббла 

H = const  параметр состояния w = −1, стадии инфляции с кано-
ническим скалярным полем параметр состояния соответствует 
− <
< −
1
1 3
w
.

1.3. Число е-фолдов

Число возрастаний масштабного фактора в е раз, или число 
e-фолдов, характеризующее стадию ускоренного расширения, 
обычно записывают как логарифм отношения масштабного фак-
тора в конце инфляции к масштабному фактору в ее начале:

 
N t
a t

a t
Hdt

t

t

i
( )
ln
,
=
(
)

( )
= ∫
end
end

 
(1.20)

где ti, tend  — время начала и завершения инфляционной стадии. 

Гравитационные волны ранней Вселенной

Важной характеристикой при описании динамики ранней 
Вселенной является пересечение радиуса Хаббла k
aH
=
,  где k  — 

сопутствующее волновое число. Сопутствующий масштаб k−1  
меньше радиуса Хаббла в течение инфляции. В некоторое время 

t
t
H
e
<
 он будет пересекать радиус Хаббла, т. е. k
aH
−
−
= (
)
1
1. После 
завершения стадии инфляции сопутствующий масштаб k−1  пере-
секает горизонт событий повторно [16, 17]. 
Разобьем эволюцию Вселенной на следующие стадии: 

 • от k
aH
−
−
= (
)
1
1 к завершению инфляции;

 • повторного нагревания;
 • преобладания излучения;
 • преобладания вещества.
Соответствующие масштабы связаны [17] соотношением

k
a H
a H
a H
a
a
a
a
a
a

a

a
H
H

k
k
k
k

0
0
0
0
0
0

=
end

end

reh

reh

eq

eq
.

Далее в соответствии с работой [17] запишем выражение:

N k
k
a H
V
V
V
V

k

k
k
( ) =
−
−
+
−
/

/

/

/

62
10

0
0

16

1 4

1 4

1 4

1 4

1
ln
ln
ln
ln
ГэВ

end
reh
ρ /4 .

Последние три слагаемых введены вследствие неопределен-
ности в различных энергетических масштабах, связанных с ин-
фляцией. Таким образом, устанавливается связь между значения-
ми е-фолдов в различные эпохи эволюции Вселенной. 
Также в настоящее время Вселенная ускоренно расширяется 
повторно, но темп расширения гораздо ниже, чем на стадии кос-
мологической инфляции [10, 11]. 

1.4. Наблюдательные данные

При исследовании ранней Вселенной достижением инфляци-
онной космологии является возможность сопоставления наблю-
дательных данных с предсказаниями теории. 
Также в рамках теории космологических возмущений можно 
рассчитать спектры начальных возмущений плотности вещества и 
первичных гравитационных волн в зависимости от значений кос-
мологических параметров [26–30].