Вариационные принципы и задачи математической физики

 

УДК 530:517.9(075.8) 
ББК 22.311 
        В17 
 

Р е ц е н з е н т ы: 

нач. лаборатории ЦНИИмаш д-р техн. наук, проф. С.Н. Сухинин; 
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Математическое моделирование»  
МГТУ им. Н.Э. Баумана С.А. Агафонов 
 

Ванько В. И. 
В17 
Вариационные принципы и задачи математической физи- 
ки : учеб. пособие / В. И. Ванько. – М. : Изд-во МГТУ им. 
Н. Э. Баумана, 2010. – 191, [1] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3372-8       
 
В книге изложены основные вариационные принципы механики; 
демонстрируются приложения принципов к решению многочисленных 
задач математической физики. Принципы позволяют поставить 
задачу в терминах дифференциальных уравнений, т. е. вывести 
соответствующее уравнение и естественные краевые условия. Несмотря 
на то, что при этом ужесточаются требования к гладкости искомых 
решений (повышение порядка дифференцируемости в два 
раза), дифференциальные уравнения Эйлера – Лагранжа во многих 
случаях позволяют качественно исследовать свойства экстремалей. 
Если не удается получить дифференциальное уравнение, которое 
имеет решение, в арсенале исследователя остается возможность использования 
так называемых прямых методов. В данной работе продемонстрированы 
оба подхода. 
Для студентов и аспирантов, а также преподавателей и специалистов. 


УДК 530:517.9(075.8) 
                                                          ББК 22.311 

 
 © Ванько В.И., 2010 
 
 © Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3372-8 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ........................................................................................ 
5 

Глава 1. Вариационные принципы ........................................ 
7 
1.1. Дифференциальные принципы ................................................... 
8 
1.2. Принцип Мопертюи – Лагранжа ................................................. 16 
1.3. Принцип стационарного действия Гамильтона ......................... 23 
1.4. О характере экстремума действия по Гамильтону .................... 27 
1.5. Каноническая форма системы уравнений Эйлера.  
       Функция Гамильтона ................................................................... 30 
1.6. Канонические преобразования. Теорема Нетер ........................ 36 
1.7. Приложения теоремы Нетер: законы сохранения ..................... 44 
1.8. Минимальные принципы в теории упругости ........................... 48 

Глава 2. Вариационное исчисление и задачи  
математической физики ........................................................... 61 
2.1. Система с конечным числом степеней свободы ........................ 61 
2.2. Принцип возможных перемещений для деформируемого  
       тела ................................................................................................ 66 
2.3. Колебания струны ........................................................................ 76 
2.4. Колебания стержня ....................................................................... 79 
2.5. Мембрана под давлением ............................................................ 85 
2.6. Движение идеальной жидкости .................................................. 92 
2.7. Аэродинамическая задача Ньютона ........................................... 103 
2.8. Чистый изгиб упругой балки ....................................................... 119 
2.9. Эйлерова критическая сила ......................................................... 124 

Глава 3. Прямые методы вариационного исчисления ............... 130 
3.1. Основные сведения из функционального анализа .................... 131 
3.2. Минимизирующие последовательности .................................... 149 
3.3. Метод Ритца .................................................................................. 159 
3.4. Метод Канторовича ...................................................................... 166 
3.5. Метод Эйлера ............................................................................... 169 

Оглавление 

 

4 

3.6. Метод наискорейшего спуска ..................................................... 172 
3.7. Метод Бубнова – Галеркина ........................................................ 174 
3.8. Метод наименьших квадратов .................................................... 176 
3.9. Метод локальных вариаций ......................................................... 178 
3.10. Сравнение результатов .............................................................. 181 
 
Литература ........................................................................................... 188 
 

7.3. Факторы, определяющие выбор метода получения заготовки 
5 

Теория, мой друг, суха, 
Но зеленеет жизни древо. 
И.В. Гёте «Фауст»* 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Предлагаемое вниманию читателей, прежде всего студентов 
инженерных специальностей, учебное пособие можно рассматри-
вать как дополнение к тому XV комплекса учебников «Математи-
ка в техническом университете» [5]. 
По мнению автора, в курсах теоретической механики для тех-
нических университетов вариационным принципам и их приложе-
ниям уделяется мало внимания, что можно объяснить недостаточ-
ным объемом учебных программ. 
В формировании мировоззрения будущего инженера понима-
ние сути вариационных принципов играет определяющую роль. 
Поэтому автор считает своим долгом познакомить читателя с со-
держанием основных вариационных принципов и на простых при-
мерах показать, как они работают: принципы позволяют решить 
поставленную задачу «напрямую» (прямые методы) либо получить 
соответствующее дифференциальное уравнение и естественные 
граничные условия. Второй подход, несмотря на то что при этом 
приходится сужать класс решений (увеличение вдвое порядка 
дифференцирования искомой функции), часто дает возможность 
качественного исследования решения. В работе продемонстриро-
ваны оба подхода. 
В первой главе рассмотрены основные вариационные принципы 
механики примерно в объеме университетского курса Н.Н. Бухголь-
ца [4]. Особое внимание уделено принципам Даламбера – Лагран-
жа и Гамильтона, популярным в приложениях к задачам матема-
тической физики. Представлены также некоторые минимальные 
принципы теории упругости, наиболее полное изложение которых 
(с многочисленными приложениями) читатель найдет в книгах 
Л.С. Лейбензона и Я.А. Пратусевича [27, 36]. 
Вторая глава посвящена приложениям идей и методов вариа-
ционного исчисления к задачам математической физики. Наряду с 
_________________ 
* Пер. с нем. Б. Пастернака. – Прим. ред. 

Предисловие 
6 

изложением задач, которые можно найти в любом учебнике мате-
матической физики (струна и мембрана), обсуждаются задачи о 
колебаниях стержня в вертикальной плоскости (две степени сво-
боды); о бифуркации в смысле Эйлера форм равновесия упругого 
стержня при продольном сжатии; на примере задачи об изгибе 
балки поперечной нагрузкой показано, как вариационная поста-
новка позволяет получить естественные краевые условия; краевые 
условия можно также получить, используя динамический принцип 
Гамильтона – Остроградского, что демонстрируется выводом 
уравнений движения идеальной жидкости.  
Особое внимание уделено подробному исследованию решения 
аэродинамической задачи Ньютона. Здесь подчеркивается выдаю-
щаяся роль А.Н. Крылова, который не только дословно перевел с 
латыни на русский язык великую книгу «Математические начала 
натуральной философии», но и снабдил своими комментариями и 
оригинальными решениями многие утверждения Ньютона. Под-
черкнем, что современное решение классической задачи Ньютона 
принадлежит Крылову [21, 34]. 
Прямые методы решения задач математической физики пред-
ставлены в третьей главе. Кроме традиционных в подобных посо-
биях методов Ритца, Бубнова – Галеркина и наименьших квадра-
тов, излагаются методы Эйлера, наискорейшего спуска, Канторо-
вича и метод локальных вариаций. 
В заключительном разделе третьей главы на примере решения 
задачи о прогибе мембраны под действием поперечного давления 
дано сравнение решений, полученных с помощью методов Ритца, 
Канторовича и наименьших квадратов, по величине нормы не-
вязки.

1.1. Дифференциальные принципы 
7 

 

 
ГЛАВА 1 

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 

Под термином «принцип» подразумеваем такое аксиоматиче-
ское утверждение, которое при своей достаточной общности для 
данной области науки является основным, т. е. все остальные по-
ложения (например, законы движения) вытекают из сформулиро-
ванного принципа как логические следствия [4]. 
Стремление к поиску принципов помимо требований научной 
эстетики имеет целью найти наиболее общие законы природы. 
Принцип должен не только удовлетворять общим логическим тре-
бованиям, но и иметь эвристическую ценность: чтобы из него вы-
текали не только те факты, следствием которых он является, но и 
факты, которые к моменту опубликования принципа еще не были 
известны. 
Созданные на базе исследований Галилея и Кеплера законы 
Ньютона, по существу являющиеся принципами, легли в основу 
механики и послужили ее развитию; принцип Даламбера дал мощ-
ный метод решения задач динамики, а принцип виртуальных пе-
ремещений Лагранж считал основным принципом механики. 
Принципы вводятся и формулируются аксиоматически как 
обобщение широкого круга опытных данных. То, что называется 
доказательством вариационных принципов является выводом 
принципов из уравнений движения. Такой вывод показывает толь-
ко то, что для круга опытных данных, выражаемых уравнениями 
движения, тот или иной принцип приводит к правильным резуль-
татам, т. е. описывает рассматриваемое движение механической 
системы. «Доказательство» устанавливает, что в данной области 
принцип и уравнения движения эквивалентны, т. е. описывают од-
ни и те же наблюдаемые явления, хотя и в различной математиче-
ской форме. 

Глава 1. Вариационные принципы 
8 

Различают невариационные и вариационные принципы. Как 
те, так и другие подразделяют на дифференциальные и инте-
гральные. 
Невариационный принцип представляет собой некоторое об-
щее для всех движений свойство, которое имеет место для данного 
момента времени (дифференциальный принцип) либо для конечно-
го промежутка времени (интегральный принцип). 
Следствием вариационного принципа является признак, отли-
чающий действительное движение системы (т. е. именно то дви-
жение, которое происходит под действием заданной системы сил 
при данных наложенных на систему связях) от всех других движе-
ний, которые кинематически возможны, ибо не нарушают нало-
женные на систему связи. 
Вариационный принцип состоит в том, что некоторый функ-
ционал, характерный для данного принципа, имеет для действи-
тельного движения экстремальное значение по сравнению со все-
ми кинематически возможными движениями системы. Таким об-
разом, прежде нужно сконструировать функционал, для которого 
действительная траектория является экстремалью; далее четко 
определить класс движений, среди которых находится искомая 
экстремаль – действительное движение. 
Отсюда следует, что, применяя вариационный принцип к 
решению задачи, мы сводим проблемы механики к проблемам 
вариационного исчисления при некоторых дополнительных ус-
ловиях. 
Вариационные принципы так же, как и невариационные, раз-
деляют на дифференциальные (дающие критерий истинного дви-
жения в данный момент времени) и интегральные (выделяющие 
истинное движение на конечном промежутке времени). 

1.1. Дифференциальные принципы 

1. Принцип возможных (виртуальных) перемещений и принцип 
Даламбера – Лагранжа 
Положение равновесия системы отличается от всех кинематиче-
ски возможных ее положений тем, что только для положения равно-
весия сумма элементарных работ активных сил, действующих на сис-
тему, на возможных перемещениях системы равна нулю. 

1.1. Дифференциальные принципы 
9 

Следуя Лагранжу, обозначим возможное перемещение некото-
рой i-й точки системы, не нарушающее наложенные на систему 
связи, символом 
.ir
δ

Элементарной работой силы 
,
iF
 приложенной к i-й точке, на 
ее возможном перемещении называют скалярное произведение 
векторов 
iF
и 
:
ir
δ

.
(
)
i
i
i
A F
F
r
δ
=
⋅δ



Тогда сформулированный выше принцип возможных переме-
щений Лагранжа для системы n точек запишем в виде 

 
1
.
(
)
0
n
i
i
A F
=

δ
=
∑

 
(1.1) 

Для удобства изложения переобозначим декартовы координа-
ты n материальных точек системы: координаты (x1, y1, z1) 1-й точки 
обозначим через (x1, x2, x3), координаты (x2, y2, z2) 2-й точки – через 
(x4, x5, x6), координаты (xn, yn, zn) n-й точки – через (x3n–2, x3n–1, x3n). 
Вариация радиус-вектора i-й точки будет представлена в виде 

{
} {
}
3
2
3
1
3
,
,
,
,
.
i
i
i
i
i
i
i
r
x
y
z
x
x
x
−
−
δ
= δ
δ
δ
= δ
δ
δ


Аналогично переобозначим и компоненты сил: 

{
} {
}
3
2
3
1
3
.
,
,
,
,
i
ix
iy
iz
i
i
i
F
F
F
F
X
X
X
−
−
=
=


Вследствие сказанного выше принцип возможных перемеще-
ний имеет вид 

3

1
.0
n
i
i
i
X
x
=

δ
=
∑
 

Несмотря на то что в выражение этого принципа не входит 
(в общем случае) вариация некоторого функционала, он имеет ха-
рактер вариационного дифференциального принципа, так как под 
знаком суммы стоит линейная функция вариаций координат, т. е. 
вариационное выражение. 

Глава 1. Вариационные принципы 
10

Потенциалом сил, действующих на механическую систему, 
называют скалярную функцию координат точек системы U(x1, x2, 
x3, ..., x3n), такую, что для любой i-й точки с координатами (x3i–2, 
x3i–1, x3i) координаты действующей на нее силы 
iF
есть производ-
ные U(·) по соответствующим координатам точки: 

3
2
3
1
3
2
3
1
,
,
ix
i
iy
i
i
i

U
U
F
X
F
X
x
x
−
−

−
−

∂
∂
≡
=
≡
=
∂
∂
  

3
3
.
iz
i
i

U
F
X
x
∂
≡
= ∂
 

Такие системы сил называем потенциальными. 
Итак, пусть активные силы имеют потенциал. Тогда 

3
3

1
1
,
n
n
i
i
i
i
i
i

U
X
x
x
U
x
=
=
∂
δ
=
δ
= δ
∑
∑ ∂
 

и выражение принципа возможных перемещений (1.1) приобретает 
вид 

 
δU = 0. 
(1.2) 

Таким образом, когда система потенциальна, положению равновесия 
отвечает стационарное значение потенциала U(·). 
Соединяя принцип возможных перемещений с принципом Да-
ламбера, получаем принцип Даламбера – Лагранжа, описывающий 
отличие истинного движения системы от любого возможного 
(виртуального) движения. 
В любой момент времени действительное движение системы 
отличается от виртуальных ее движений тем, что только для действительного 
движения сумма элементарных работ активных сил и 
сил инерции на возможных перемещениях системы равна нулю: 

 

2
2
3

2
2
1
1
d
d
0,
d
d

n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
r
x
F
m
r
X
m
x
t
t
=
=

⎛
⎞
⎛
⎞
−
δ
=
−
δ
=
∑
∑
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠


(1.3) 

где, очевидно 
3
2
3
1
3
.
i
i
i
i
m
m
m
m
−
−
=
=
=

1.1. Дифференциальные принципы 
11

Здесь так же, как и в (1.1), в выражение принципа входит не 
варьируемый функционал, а линейная функция вариаций координат, 
которую рассматриваем как результат вариационного 
процесса. 
Из принципа Даламбера – Лагранжа выводятся уравнения 
движения системы, когда на нее наложены голономные или линей-
ные неголономные связи [4]. 
2. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения) 
Преимущество этого принципа перед рассмотренным выше со-
стоит в том, что он дает возможность 
вывода уравнений движения системы 
при любых неголономных связях. 
Таким образом, принцип Гаусса 
есть наиболее общий принцип механи-
ки, обладающий большой эвристиче-
ской ценностью. Достаточно сказать, 
что механика Г. Герца возникла глав-
ным образом на основании идей прин-
ципа Гаусса [35]. 
Пусть точка массой mi находится в 
момент времени t в положении Mi 
(рис. 1.1). За малый промежуток време-
ни τ точка по инерции (т. е. как свободная от воздействия сил и 
связей точка) совершила бы перемещение 

,
i
i
i
M A =
τ

v
 

где 
i
v  – вектор скорости точки в момент времени t. 
Но точка находится под действием силы 
,
iF
 поэтому за тот же 
промежуток времени τ перемещение точки (без учета связей) с 
точностью до малых третьего порядка будет 

2.
1
2

i
i
i
i

i

F
M B
m
=
τ +
τ

v
 

Однако на точку наложены связи, поэтому ее действительное 
перемещение (с точностью до малых третьего порядка относи-
тельно τ)  

Рис. 1.1

X

O
Y

Z

A i
Bi

Ci 
Mi

ir

Глава 1. Вариационные принципы 
12

2
1
,
2
i
i
i
i
M C
W
=
τ +
τ

v
 

где 
i
W
– ускорение точки в ее действительном движении. 
Уклонение точки от свободного движения под действием толь-
ко силы 
iF
представляется вектором 
i
i
B C
с точностью до малых 
третьего порядка: 

2
1
2

i
i
i
i
i
i
i
i
i
F
B C
M C
M B
r
m

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
=
−
=
τ
−
. 

Здесь 
=
i
i
r
W
– вторая производная радиус-вектора точки по вре-
мени. 
За меру уклонения точки от свободного движения Гаусс при-
нимает величину, пропорциональную скалярному квадрату векто-
ра 
,
i
i
B C
которую называет «принуждением» (от нем. Zwang): 

2
1
.
2

i
i
i
i
i
F
Zw
m
r
m

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
=
−



Принуждение всей системы n точек 

 

2
2
3

1
1
1
1
2
2
.
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i

F
X
Zw
m
r
m
x
m
m
=
=

⎛
⎞
⎛
⎞
=
−
=
−
∑
∑
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠


(1.4) 

Очевидно, что идея выразить принуждение системы в виде 
суммы величин, пропорциональных квадратам уклонений точек 
системы, подсказана Гауссу им же построенной теорией оши-
бок. 
Сформулируем принцип Гаусса. 
В любой момент времени действительное движение системы 
отличается от возможных движений, происходящих из той же на-