Время переменных. Математический анализ в безумном мире

ВРЕМЯ 
ВРЕМЯ 

ПЕРЕМЕННЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В БЕЗУМНОМ МИРЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В БЕЗУМНОМ МИРЕ

CHANGE IS THE ONLY CONSTANT

The Wisdom of Calculus in a Madcap World

Ben Orlin

Москва
2021

Перевод с английского

ВРЕМЯ 
ВРЕМЯ 

ПЕРЕМЕННЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ

БЕН ОРЛИН
БЕН ОРЛИН

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В БЕЗУМНОМ МИРЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В БЕЗУМНОМ МИРЕ

© 2019 by Ben Orlin
© 2019 by Hachette Book Group, Inc.
© Издание на русском языке, перевод, 
оформление. 
ООО «Альпина нон-фикшн», 2021
ISBN 978-5-00139-422-8 (рус.)
ISBN 978-0-316-50908-4 (англ.)

УДК 517
ББК 22.161
 
О-66

Переводчик Виктория Краснянская
Научный редактор Константин Кноп
Редактор Антон Никольский

Орлин Б.
Время переменных. Математический анализ в безумном 
мире / Бен Орлин ; Пер. с англ. — М.: Альпина нон-фикшн, 
2021. — 370 с.

ISBN 978-5-00139-422-8

«Время переменных» — веселая книга о математике вокруг 
нас. Двадцать восемь увлекательных рассказов, посвященных 
разным аспектам математики, сопровождаются забавными 
авторскими рисунками. Математический анализ для Орлина — 
это универсальный язык, способный выразить все, с чем мы 
сталкиваемся каждый день, — любовь, риск, время и, самое 
главное, постоянные изменения. Тема движения времени на-
ходит отражение и в названиях частей книги — «Мгновения» 
и «Вечности», и в ее персонажах — от Шерлока Холмса до Мар-
ка Твена и Дэвида Фостера Уоллеса. C присущими ему юмором 
и изобретательностью Орлин выявляет связи между матана-
лизом, искусством, литературой и любимой собакой по имени 
Элвис.
Автор нашумевшей «Математики с дурацкими рисунками» 
и в этой книге ставит своей целью не просто увлечь читателя 
любимым предметом, но сделать нас более мудрыми и вдум-
чивыми.
УДК 517
ББК 22.161

О-66

Все права защищены. Никакая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме 
и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, а так-
же запись в память ЭВМ для частного или публичного использования, без письменного разрешения владельца 
авторских прав. По вопросу организации доступа к электронной библиотеке издательства обращайтесь 
по адресу mylib@alpina.ru

ВСЕМ СТУДЕНТАМ И ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ ТЕХ ШКОЛ, 

КОТОРЫЕ СТАЛИ МНЕ ДОМОМ

Частная средняя 
школа в Бостоне
Йельский 
университет

Государственная 
средняя школа 
в Окленде

Частная средняя школа 
в Великобритании

СОДЕРЖАНИЕ

I. МИМОЛЕТНОЕ 
ВЕЩЕСТВО ВРЕМЕНИ, 

где математический анализ 
исполняет желание

C. 19

III. РАДОСТИ ПОЛЕТА 
БУТЕРБРОДА, 
где математический анализ 
западает в душу

C. 43

V. КОГДА МИССИСИПИ 
ТЕКЛА НА МИЛЛИОН МИЛЬ, 
где математический анализ 
проказничает

C. 67

II. ВЕЧНО ПАДАЮЩАЯ ЛУНА, 
где математический анализ 
объясняет космос

C. 31

IV. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ЯЗЫК, 
где математический анализ 
приносит прибыль

C. 55

VI. ШЕРЛОК ХОЛМС 
И НЕПРАВИЛЬНЫЙ 
ВЕЛОСИПЕД, 
где математический анализ 
разгадывает загадку

C. 79

МГНОВЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ,  С. 11

IX. ТАНЦЫ 
С ПЫЛЬЮ, 
где математический 
анализ препятствует 
ботанику

C. 111

XI. ПРИНЦЕССА 
С ГОРОДСКОЙ 
ОКРАИНЫ, 
где математический 
анализ заявляет 
о праве собственности 
на часть пляжа

C. 135

VII. БИОГРАФИЯ 
МАССОВОГО 
УВЛЕЧЕНИЯ, 
У КОТОРОЙ НЕТ АВТОРА, 
где математический 
анализ прокладывает 
курс на карте моды

C. 89

XIII. ПОСЛЕДНЯЯ 
УСМЕШКА КРИВОЙ, 
где математический 
анализ переделывает 
налоговую политику 

C. 157

Х. ЗЕЛЕНОВОЛОСАЯ 
ДЕВУШКА 
И МНОГОМЕРНАЯ 
УЛИТКА, 
где математический 
анализ обходит мужа

C. 123

XII. ЗЕМЛЯ, 
ОПУСТЕВШАЯ 
ИЗ-ЗА СКРЕПОК, 
где математический 
анализ приводит 
к апокалипсису

C. 145

VIII. ТО, ЧТО ВЕТЕР 
ОСТАВЛЯЕТ 
ПОСЛЕ СЕБЯ, 
где математический 
анализ загадывает 
загадку

C. 101

XIV. ЭТО ТВОЙ 
ПЕС-ПРОФЕССОР, 
где математический 
анализ возносит 
собаку до статуса 
звезды

C. 171

XV. ПОСЧИТАЕМ!  
где математический 
анализ разрешает все 
проблемы навсегда

C. 183

XVI. В ЛИТЕРАТУРНЫХ 
КРУГАХ, 
где математический анализ 
режет огурец

C. 195

XVIII. ЛИНИЯ ГОРОДСКОГО 
ГОРИЗОНТА РИМАНА, 
где математический 
анализ занимается 
проектированием города

C. 217

 ХХ. ЧТО ПРОИСХОДИТ 
ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА, 
ОСТАЕТСЯ ПОД ЗНАКОМ 
ИНТЕГРАЛА, 
где математический анализ 
расширяет свой набор 
инструментов

C. 241

XXI. ОТКАЗАТЬ 
В СУЩЕСТВОВАНИИ ОДНИМ 
РОСЧЕРКОМ ПЕРА, 
где математический анализ 
стирает 68% известной 
Вселенной

C. 251

XVII. ВОЙНА, 
МИР И ИНТЕГРАЛЫ, 
где математический анализ 
производит революцию 
в исторической науке

C. 205

XIX. ВЕЛИКАЯ РАБОТА 
СИНТЕЗА, 
где математический анализ 
организует торжественный 
обед

C. 229

ВЕЧНОСТИ

XXII. 1994-Й, 
ГОД, КОГДА РОДИЛСЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 
где математический анализ 
проверяет ваш уровень сахара в крови

C. 263

XXIII. ЕСЛИ СТРАДАНИЕ 
ДОЛЖНО ПРИЙТИ, 
где математический анализ 
измеряет вашу душу

C. 273

XXV. ИЗ НЕВИДИМЫХ СФЕР, 
где математический 
анализ посещает четвертое 
измерение

C. 295

XXVII. ТРУБИ, ГАВРИИЛ, 
ТРУБИ! 
где математический анализ 
порождает ересь

C. 319

XXVI. ПАХЛАВА 
ИСПОЛИНСКИХ РАЗМЕРОВ, 
где математический 
анализ — просто сноска

C. 307

XXIV. СРАЖЕНИЕ С БОГАМИ, 
где математический анализ 
защищает от нашествия 
римлян

C. 283

XXVIII. СЦЕНЫ 
ИЗ НЕВОЗМОЖНОСТИ, 
где математический анализ 
раздражает и пугает 

C. 331

ЗАМЕТКИ ИЗ КЛАССА 

C. 341

БИБЛИОГРАФИЯ 

C. 347

БЛАГОДАРНОСТИ 

C. 367

Последовало молчание. Через какое-то время он спросил:

— Как ты пришла к этим мыслям о Боге?

— Я искала Бога, — ответила я. — Мне не нужна была мифология, 

мистика или магия. Я не знала, существует ли Бог на самом деле, 

но хотела узнать. Бог должен быть силой, которую не может 

отрицать никто и ничто.

— Чтобы совершать изменения?

— Да, изменения.

— Но это не Бог. Это не человек, не интеллект и даже не вещь. 

Это просто... Я даже не знаю. Идея.

Я улыбнулась. Было ли это критическое замечание таким 

ужасным?

ОКТАВИЯ БАТЛЕР.

ПРИТЧА О СЕЯТЕЛЕ

ВВЕДЕНИЕ

Какой-то миллион дней назад философ Парменид спрашивал: 
«Что это — несозданное и неразрушимое, единственное, завершенное, 
неподвижное и бесконечное?» Это философия чистой 
воды. Парменид не признавал никакого разделения, никаких 
отличий, ни будущего, ни прошлого. «У Бытия нет ни прошлого, 
ни будущего, — объяснял он, — оно есть чистое настоящее, 
непрерывное и непрекращающееся». Для Парменида Вселенная 
была чем-то вроде транспортного потока в Лос-Анджелесе: вечной, 
единственной в своем роде и неизменной.

Миллион дней спустя эта идея продолжает выглядеть очень 
глупой.
Да ладно тебе, Парменид! Ты можешь убаюкивать нас стихами 
и засыпать прилагательным, но мы не так легковерны. Миллион 
дней назад не было ни буддистов, ни христиан, ни мусульман, 
потому что ни Будда, ни Иисус, ни Магомет еще не роди-

— Ты что, ненормальный?
— НЕ БУДЬ ТАКИМ 
КРЕТИНОМ, ПАРМЕНИД!

— Ничто никогда не меняется.

11

лись. Миллион дней назад итальянцы не ели томатный соус, 
потому что современной Италии* не существовало, а ближайшее 
место, где росли помидоры, было в десяти тысячах километров. 
Миллион дней назад по Земле ходило 50 или 100 миллионов 
человек; сегодня такое количество людей каждый год посе-
щает тематические парки Диснея.
На самом деле, Парменид, миллион дней назад теми же 
самыми, что и сегодня, были только две вещи: (1) вездесущность 
изменений и (2) глубокомысленная и безнадежная неправиль-
ность твоей философии.
Парменид в последний раз упоминается в этой книге (хотя 
его преданный ученик Зенон еще появится позже). «Счастли-
вое избавление от одетых в тоги неудачников», — сказал бы я. 
А теперь мы перенесемся через время, минуя более мудро-
го современника Парменида, Гераклита («нельзя войти в одну 
реку дважды»), чтобы оказаться в конце XVII в., каких-то 120 000 
или 130 000 дней назад. Именно тогда ученый по имени Исаак 
Ньютон и энциклопедист Готфрид Лейбниц дали жизнь глав-
ному действующему лицу этой книги. Это был новый матема-
тический язык, язык изменений, попытка количественно оце-
нить те движения и процессы, которые постоянно происходят 
вокруг нас на Земле.
Сегодня мы называем такую математику «математическим 
анализом».
Первый инструмент математического анализа — производ-
ная. Это мгновенный показатель изменения, демонстрирую-
щий нам, как что-то развивается в определенный момент вре-
мени. Возьмите, к примеру, точную скорость яблока в то мгно-
вение, когда оно ударило Ньютона по макушке. За секунду 
до этого фрукт двигался чуть-чуть медленнее, а секундой позже 
он направился совершенно в другую сторону, как и история всей 
физики. Но производную не заботит, что было секундой рань-
ше или секундой позже. Она указывает только на этот момент, 
на бесконечно малый отрезок времени.

* Имеется в виду, безусловно, государство в нынешних границах. Впрочем, на-
звания «Италия» тогда еще тоже не существовало — оно появилось на пару столетий 
позднее. — Прим. науч. ред.

12
ВРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Второй инструмент математического анализа — интеграл. 
Это сумма бесконечных кусочков времени, каждый из которых 
чрезвычайно мал. Интеграл показывает, как можно объеди-
нить ряд дисков, каждый из которых по толщине напоминает 
самую тонкую пленку, так, чтобы создать твердое тело — сфе-
ру. Или как группа людей, крошечных и ничтожных, как ато-
мы, может собраться вместе и создать целую цивилизацию. 
Или как ряд моментов, каждый из которых сам по себе продол-
жается ноль секунд, может составить час, столетие, вечность.
Каждый интеграл говорит о всей совокупности целиком, 
о галактических масштабах, которые каким-то образом могут 
попасть в панорамные объективы нашей математики.
Производная и интеграл имеют заслуженную репута-
цию как специализированные математические инструменты. 
Но я считаю, что они могут дать нам больше. Мы с вами слов-
но крошечные суденышки, которые несет по волнам, захваты-
вает в водовороты и бросает на скалы. Производная и интеграл, 
как я утверждаю, — это карманные философские системы, раз-

13
ВВЕДЕНИЕ

движные весла для того, чтобы проложить путь через выходя-
щую из берегов мировую реку.
Таким образом, эта книга является попыткой извлечь муд-
рость из математики.
В первой части — «Мгновения» — мы узнаем истории о про-
изводных. Каждая из них выхватывает момент из журчащего 
потока времени. Мы рассмотрим миллиметр лунной орбиты, 
крошку намазанного маслом бутерброда, беспорядочное дви-
жение пылинки и молниеносные решения, которые принимает 
собака. Если сравнить производную с микроскопом, то каждая 
из этих историй — тщательно выбранное изображение на пред-
метном стекле, явление в миниатюре.
Во второй части — «Вечности» — мы обратимся к интегралу 
и его способности объединять бесконечно малые частицы в еди-
ный поток. Мы будем иметь дело с кругом, состоящим из крошеч-
ных частичек, с армией из несметного количества солдат, линией 
горизонта, образованной неотличимыми друг от друга строения-
ми, и космосом, наполненным миллиардами триллионов звезд. 
Если уподобить интеграл кинотеатру, то каждая из этих исто-
рий — широкомасштабная эпическая поэма, которую вы должны
смотреть в кино. Телевизора здесь будет недостаточно.

14
ВРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫХ