МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ  
 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ 
 УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» 
 
 
 
 
 
 
С. Д. Кулик  
 
 
 
ЭЛЕМЕНТЫ 
ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 
 (критерии и задачи) 
 
 Учебное пособие 
 
 
 
Рекомендовано  УМО  “Ядерные физика и технологии” 
 в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 2010 

 

УДК 519.81(075) 
ББК 22.18я7 
К 90 
 
Кулик С.Д. Элементы теории принятия решений (критерии и задачи): 
учебное пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. –188 с. 
 
Очень кратко с позиций теории принятия решений изложены важные 
задачи, связанные с принятием решений, и критерии принятия решений в 
различных информационных ситуациях. Задача принятия решений рассматривается 
как задача проверки гипотез. Выделены следующие четыре 
группы гипотез: вероятные, статистические, детерминированные, 
квантовые. На специальных примерах подробно и очень тщательно рассмотрено 
решение некоторых задач проверки гипотез. Особое внимание 
уделено детерминированным гипотезам. 
Пособие в основном ориентировано на студентов НИЯУ МИФИ, не 
только изучающих теорию принятия решений, но и применяющих её в 
своей учебной и научной деятельности. 
 
 Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. 
 
 
Рецензент канд. техн. наук, доц. О.А. Мишулина 
 
 
  
ISBN 978-5-7262-1221-0 
 
 
 
© Национальный исследовательский  
 
 
 
ядерный университет «МИФИ», 2010 
  

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие .................................................................................... 4 
Введение ........................................................................................... 5 
Список используемой литературы (источники) .......................... 13 
 
1. Задачи выбора решений ......................................................... 14 
1.1. Общие положения .......................................................... 15 
1.2. Принятие решений в условиях неопределённости...... 29 
1.3. Парето-оптимальность ................................................... 50 
1.4. Элементы теории игр  .................................................... 54 
1.5. Методические указания ................................................. 64 
1.6. Некоторые примеры решённых задач .......................... 65 
Вопросы и задания для самопроверки и контроля ................... 110 
Список используемой литературы (источники)........................ 117 
Список рекомендуемых источников для самостоятельной  
работы  ......................................................................................... 120 
 
2. Геометрическое программирование .................................. 121 
2.1. Краткие теоретические сведения ................................ 122 
2.2. Методические указания ............................................... 146 
2.3. Некоторые примеры решённых задач ........................ 150 
Вопросы и задания для самопроверки и контроля ................... 172 
Список используемой литературы (источники)........................ 176 
Список рекомендуемых источников для самостоятельной  
работы  ......................................................................................... 177 
 
Список сокращений ..................................................................... 178 
Список принятых обозначений .................................................. 181 
 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
________________________________________________________ 
Главная цель настоящего пособия — ознакомить читателя с основными  
используемыми понятиями  и помочь ему приобрести 
практический навык в решении задач проверки гипотез. 
При работе над пособием был учтён  тот факт, что при изучении 
дисциплины “Теория принятия решений (ТПР)” читатель уже 
знаком с теорией множеств, теорией вероятностей  (ТВ) и математической 
статистикой (МС), а также владеет методами оптимизации, 
математического моделирования и математического 
анализа, знаком с нейронными сетями.  
В процессе разработки аналогичной дисциплины и при написании 
лекционных материалов были широко использованы подходящие 
источники многих авторов (приведённые в конце каждой 
главы). Всем им автор искренне благодарен. 
Сейчас, к сожалению, достаточно часто нарушаются права авторов, 
поэтому каждый раз, где это необходимо, даны ссылки на 
источник заимствования. Не всегда это заимствование было дословным. 
Иногда текст подвергался изменению, переработке и 
дополнению без прямого указания по тексту об этом. Если при 
этом, невзначай, оказались затронуты чьи-то интересы, то автор 
заранее просит его извинить. 
Особую благодарность автор выражает рецензенту пособия 
кандидату технических наук, доценту О.А. Мишулиной, чьи замечания 
и пожелания позволили значительно улучшить подачу материала 
и выявить опечатки и неточности. Как иногда бывает с творческими 
людьми, автор не всегда согласен с мнением рецензента, а 
поэтому все последующие замеченные недостатки автор просит 
относить на его счёт. 
Общение со студентами полезно и поучительно. Автор очень 
благодарен многим студентам НИЯУ МИФИ, с которыми ему 
приходилось общаться, обсуждая трудные, но интересные фрагменты 
этой удивительной теории принятия решений. 
Автор 
 
sedmik@mail.ru 
sedmik@hotmail.com 

ВВЕДЕНИЕ 
________________________________________________________ 
 
Современные информационные системы (ИС) и, в частности, 
автоматизированные системы обработки информации и управления (
АСОИУ) всё больше влияют на наше общество. Сегодня очень 
трудно представить нашу жизнь без них. Информационные технологии 
всё больше проникают в различные технические системы 
(ТС) и позволяют эффективно решать многие важные специальные 
задачи в различных областях: медицине, военном деле, экономике, 
криминалистике и др. 
В настоящее время имеющиеся ИС и в частности АСОИУ в ряде 
случаев не обеспечивают растущие потребности пользователей. 
К важным факторам, которые влияют на эффективность применения 
информационных систем, можно отнести: 
♦ выбор показателей эффективности ИС; 
♦ выбор критериев эффективности ИС; 
♦ адекватную постановку задачи оптимизации; 
♦ эффективное решение оптимизационной задачи.  
Поиск критериев эффективности ИС (АСОИУ) и разработка на 
их основе алгоритмов принятия решений связано с фундаментальными 
исследованиями в: 
♦ теории принятия решений; 
♦ теории распознавания образов; 
♦ теории нейронных сетей; 
♦ теории оптимизации. 
Эти исследования  очень важны и необходимы. Полученные  результаты 
могут предоставить новые пути построения показателей 
эффективности и критериев эффективности, а также разработку 
новых методов решения задач оптимизации для повышения эффективности 
ИС.  
Хорошо известно, что модель создаваемой системы позволяет 
до реального её построения оценить будущую её эффективность. 
Оценка эффективности невозможна без показателей эффективности 
и критериев эффективности. Поэтому значительная часть 
усилий исследователей была сосредоточена на критериях и  показателях 
эффективности. 

Для создаваемых ИС (АСОИУ) их эффективность во многом 
определяется не только удачно выбранными критериями эффективности, 
но и наличием у разработчика некоторой модели системы, 
позволяющей адекватно оценивать её эффективность. Но этого 
ещё не достаточно для решения практических задач. 
Специалисту (например, лицу, принимающему решение (ЛПР)), 
чтобы действительно построить эффективную систему,  необходимо 
уметь принимать (или выбирать) именно правильное решение 
(т.е. эффективное решение с точки зрения принятого критерия эффективности 
для данной ИС). 
Имеющиеся варианты возможных решений можно представить 
как набор некоторых гипотез, а сам непосредственно выбор правильного 
решения может быть сведён к проверке этих гипотез. В 
результате проверки некоторая часть гипотез может быть отклонена. 
Из оставшихся гипотез ЛПР должен выбрать одну и принять 
окончательное решение. Сокращение числа гипотез в общем-то 
сокращает общие затраты на принятие решения. 
Эффективное освоение дисциплины ТПР не возможно без введения 
необходимых определений. Многие используемые далее 
определения связаны с прикладными задачами, поэтому они могут 
не содержать некоторых деталей, важных с точки зрения формальной 
теории. 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Построение различных ИС показало, что на современном этапе 
инженер в области информационных технологий неизбежно столкнётся 
с проблемой принятия решения. На практике необходимо 
быть подготовленным к этому.  
Именно тому, как следует выполнять проверку некоторых гипотез, 
и посвящено данное пособие. 

Важно отметить, что для любого заданного определения или 
термина (из рассматриваемых далее) практически всегда можно 
подобрать контрпример,  т.е. найти такое нечто, что, с одной 
стороны, это нечто удовлетворяет определению, а с другой — 
это нечто не удовлетворяет определению. 

Постановка задачи принятия  
решений как задача проверки гипотез 
 
Из практики решения конкретных задач известно, что одно и то 
же решение может быть найдено разными способами путём применения 
различных методов и теорий и сведения исходной постановки 
задачи к другой постановке, решение которой позволяет достигнуть 
конечной цели. Это в полной мере относится и к задачам принятия 
решений, которые приходится решать (т.е. принимать решение), 
имея дело с техническими системами.  
 
Определение 0.1  
Правильное решение (см. и ср. [6, с. 16]) — количественно обоснованный 
выбор наилучшего образа действий, ведущих к достижению 
поставленной цели в данной ситуации.  
 
Добиться принятия правильного и своевременного решения как 
человеком, так и автоматом на практике не так просто. В целом 
можно выделить два направления, в которых приходится принимать 
решения.  
Первое — принятие решения человеком-оператором.  
Второе — принятие решения устройством (блоком, автоматом) 
в соответствии с некоторым алгоритмом. 
Можно полагать, что теория принятия решений (ТПР) — совокупность 
различных методов, ориентированных на поиск лучшего 
решения среди возможных альтернатив, позволяющих избежать 
сплошного перебора вариантов. 
Так, существуют различные методы проверки статистических 
гипотез, имеется теоретическая и практическая основа выбора вероятных 
гипотез, и есть различные методы решения оптимизационных 
задач, позволяющие проверять некоторые детерминированные 
гипотезы. 
В последнее время появилось новое целое научное направление 
(см. [1, 2, 7-14] и др.) на стыке физики и математики — это квантовая 
теория вероятностей, квантовая теория проверки гипотез, квантовые 
вычисления и квантовая информация. 
В этих условиях изучение методов решения даже узкого класса 
задач (как задачи проверки гипотез) из области теории принятия 
решений представляется сегодня крайне актуальным. 

Достаточно часто специалистам приходится выяснять, в каком 
состоянии находится данный объект, например техническая система.  
Обычно  о  состоянии  технической  системы,  например АСО-
ИУ, высказываются некоторые предположения в виде гипотез. 
Простейшими гипотезами могут быть следующие суждения: 
 
H1={отказ ОЗУ},      H3={отказ процессора}, 
 
H2={отказ системы охлаждения}, H4={АСОИУ исправна}. 
 
Задача специалиста — выяснить, какую из имеющихся гипотез 
следует ему принять.  
 
Для удобства на практике гипотезы иногда обозначают некоторой 
буквой, например H, а если их несколько, то иногда используют 
несколько разных букв или индекс, например  Hk.  
 
Определение 0.2 [2] 
Гипотеза (Г) — это некоторое суждение (высказывание, предположение) 
о некотором объекте (например, о технической системе или 
о её свойстве), справедливость (истинность) которого требуется 
установить (проверить), а саму гипотезу – принять или отвергнуть.  
 
Далее будем выделять четыре группы гипотез [2]: 
1) вероятные; 
2) статистические; 
3) детерминированные; 
4) квантовые. 
Имеются следующие предпосылки к такому разделению гипотез: 

1) многие детерминированные, статистические и вероятные модели 
уже хорошо исследованы, и на их основе разработаны различные 
методы решения определённого класса задач (в том числе и 
задач проверки гипотез), которые уже стали некоторым своеобразным 
стандартом;  
2) практика показала, что при решении реальных задач порой 
удаётся свести исходную задачу к задаче в новой постановке о проверке 
некоторой гипотезы, которую в силу различных обстоятельств 
удобно (и разумно) полагать либо вероятной, либо статистической, 
либо детерминированной, либо (см. [1]) квантовой; 

3) получены новейшие практические и теоретические достижения 
в области квантовой механики, квантовой теории вероятностей 
и квантовой теории проверки гипотез; 
4) получены новейшие практические и теоретические достижения 
в области построения квантового вычислителя; 
5) обычно на практике применение стандартных методов позволяет 
получить решение с меньшими затратами, если, конечно, удалось 
свести исходную задачу к задаче в такой постановке, для которой 
уже известен специалисту метод её решения. 
 
Такой подход решения задач имеет как преимущества, так и недостатки. 

Преимущества от сведения задач принятия решений к задачам 
проверки гипотез заключаются в следующем: 
• 
наличие известного метода решения задачи, и поэтому не 
требуется разрабатывать новый метод; 
• 
как правило, уменьшается время принятия решения, и сокращаются 
общие затраты на выработку решения; 
• 
имеется потенциальная возможность выработки более эффективного 
решения. 
 
Недостатки, которые связаны с решением задач проверки  
гипотез, состоят в следующем: 
• 
может отсутствовать подходящий метод решения задачи 
проверки гипотез; 
• 
иногда требуется затратить определённые усилия на то, 
чтобы свести исходную задачу к задаче проверки гипотез; 
• 
из-за сложности исходной задачи её не всегда можно решить 
именно как задачу проверки гипотез, например, невозможно 
свести исходную постановку задачи к постановке 
задачи проверки гипотез. 
 
Далее будем придерживаться следующих достаточно общих определений 
для каждой из введённых четырех групп гипотез. 
 
Определение 0.3 [2] 
Вероятная гипотеза (ВГ) — это гипотеза, явно или косвенно опирающаяся 
на вероятностную модель.  
 

Определение 0.4 [2] 
Статистическая гипотеза (СГ) — это гипотеза, явно или косвенно 
опирающаяся на некоторую статистическую модель. 
 
Определение 0.5 [2] 
Детерминированная гипотеза (ДГ) — это гипотеза, явно или косвенно 
опирающаяся на некоторую детерминированную модель. 
 
Определение 0.6 [2] 
Квантовая гипотеза (КГ) — это  гипотеза,  явно  или  косвенно  
опирающаяся  на  некоторую  модель  квантовой  теории   вероятностей [
5, с. 226] в рамках  квантовой  теории   проверки  гипотез 
[1; 5, с. 97, 98, 384, 668]. 
 
Кратко рассмотрим некоторые несколько упрощенные примеры 
постановок задач проверки различных гипотез. Эти примеры даны 
без решений. Как решать первые два примера, показано в работе 
[2], следующий, третий, пример —  в работах [15, 16]. Данная работа 
посвящена тому, как решать четвёртый и пятый примеры. 
 
Пример 0.А (вероятные гипотезы) [2] 
Имеется  7  попарно несовместных и образующих полную группу 
событий, т.е. некоторых гипотез (событий) H1, H2,..., H7.  
Известны все априорные вероятности этих гипотез P(Hi).  
Известны также все условные вероятности P(A|Hi), где A — некоторое 
событие, которое по условию задачи наступило, причём 
вероятность его появления есть P(A)>0, и наступает это событие A 
только  при  появлении  одного  из  событий  (гипотез)   Hi,  где i=1, 
2, 3,..., 7.  
Необходимо определить среди гипотез H1, H2,..., H7 наиболее 
вероятную гипотезу Hk после наступления события A, т.е. найти 
максимальную условную вероятность P(Hi|A) ▄ 
 
На  практике  выбор  (поиск)  наиболее  вероятной гипотезы  Hk  
может  быть  выполнен  с  применением  формулы Байеса [4].  
 

Пример 0.Б (вероятные гипотезы) [2] 
Радиоперехват сигнала с торпедоносца показал, что произошло 
событие A={торпедирован корабль}, но неизвестно какой. Выясняется 
тип корабля, подвергнувшегося торпедной атаке торпедоносца 
противника. Выдвинуты (попарно несовместные и образующие 
полную группу событий) четыре гипотезы: 
H1={подводная лодка},    H3={тральщик}, 
H2={авианосец},   H4={пассажирский лайнер}. 
Согласно данным разведки, для данного района и времени боевых 
действий P(H1)=0.15; P(H2)=0.25; P(H3)=0.2; P(H4)=0.4.  
Согласно военной статистике, условные вероятности события 
A при гипотезах H1, H2, H3, H4 равны: P(A|H1)=1/4, P(A|H2)=7/12, 
P(A|H3)=7/10, P(A|H4)=1.  
Найти апостериорные вероятности гипотез. Какова вероятность 
того, что торпедирована именно подводная лодка (т.е. чему 
равна вероятность P(H1|A))? Какая гипотеза наиболее вероятна 
после известия о событии A? ▄ 

 
На практике подобные задачи на определение условной вероятности 
P(H1|A) или на выбор (поиск) наиболее вероятной гипотезы  
Hk  могут быть выполнены (как и в предыдущем примере) с помощью 
формулы Байеса (см. [4] и др.).  
 
Пример 0.В (см. и ср. [15, с. 100]) (статистические гипотезы) 
Владелец автозаправки был замечен в недоливе водителям дорогих 
марок бензина.  В ёмкости  (например, канистре) должно  
находиться  50 литров бензина. Были проверены 100 ёмкостей у 
случайных водителей (заказавших по 50 литров дорогих марок 
бензина), и было обнаружено, что в среднем в ёмкости водителя 
находится 49.8 литров бензина. 
Предполагая, что стандартное отклонение (с.к.о.) для емкости 
в 50 литров есть 0.5 литра, определить, является ли выявленное 
отклонение значимым, т.е. противоречит ли полученный результат 
гипотезе H0 при уровне значимости α=0.05, что в среднем 
в указанную ёмкость разливается 50 литров бензина ▄ 

  
На   практике   проверка   статистической   гипотезы   H0   выполняется 
одним из известных методов (см. [3, 16] и др.) проверки 
статистических гипотез.