Произвольное движение инерциальных систем и группа тригонометрических преобразований Лоренца

 

Произвольное движение инерциальных систем   

  отсчета и группа тригонометрических  

преобразований Лоренца. 

Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа 
тригонометрических преобразований Лоренца.

 

 
 

 
Содержание. 

стр. 

      Аннотация…………….…………………………………… 5 

     Предисловие ……………………………………………… .. 6 

1. Вывод преобразований Лоренца А. Эйнштейном…………9 
2. Вывод преобразований Лоренца по методу А. Эйнштейна 
для двух ИСО, движущихся под углом друг к другу……….12 
3. Вывод преобразований Лоренца для двух ИСО, движущихся 
под углом друг к другу, по стандартному методу 
СТО…………………………………………………………… 15 
4. Проверка соблюдения принципа относительности и неизменности 
интервала. ……….….…………………………….. 24 
5. Вывод формул длины тела в направлении движения, временного 
интервала и преобразования скоростей……………27   

6. Пространственные координаты y и y’..……………………30 
6.1 Вывод уравнений для пространственных координат 
 y и y’. …………………………………………………………  30 
6.2 Кинематическое координатное время..………………...  34 

7. Вывод формул для длины тела в направлении, поперечном 
направлению движения, и для временного интервала.….…. 38 

8.  Проверка групповых свойств тригонометрических преоб-
разований Лоренца. ………………….………………………. 40 
8.1.     Основное свойство группы…………….…………….... 42 
8.2.     Ассоциативность умножения..……….………………47 
8.3.    Единичный и обратный элементы…………………… 54 
8.3.1. Единичный элемент…………………………………… 54 
8.3.2. Обратный элемент………………………………..…... 55 
8.4.     Общие выводы…………………………………………. 61 

2

Алексей А. Платонов

Произвольное движение инерциальных систем    отсчета и  
группа тригонометрических преобразований Лоренца. 

3 
 

9. Обобщение на сдвинутую ИСО и произвольный угол 
наблюдения. Обобщение на сдвинутую ИСО 
10. Произвольное инерционное движение в трехмерном про-
странстве. …………………………………………………….. 72 
10.1 Преобразования координат, времени, длин и длительно-
стей. …………………………………………………………... 72 
10.2 Преобразование скоростей……………………………... 83
10.3 Эффект Доплера ……………………………………….. 97 
10.4 Сравнение тригонометрических преобразований Ло-
ренца и общих векторных преобразований Лоренца…….... 104 

11. Релятивистская динамика.……………………………… 109 
11.1. Релятивистский импульс.…………………………….. 110 
11.2. Релятивистская энергия.………………………………113 
11.3. Масса.…………………………………………………...119 

12. Изучение полученных преобразований .……..………...122 
12.1 Координатные пространственные оси х, х’ и времени 
 t, t’. ……………………………………………………………122 
12.2 Координатные пространственные оси у, у’ и времени  
tу, tу’. …………………………………………………...………125 
12.3 Полные длины, длительности, время в двумерном 
 случае…………………………………………………………128 
12.4 Релятивистские полные энергия и импульс…….……..131 
12.5. Анализ физической возможности сверхсветового дви-
жения материального тела и его наблюдения неподвижным 
наблюдателем. ……………………...………………………..140 
12.5.1 Координатные пространственные оси х, х’ и времени 
t, t’. …………………………………………………….………141 
12.5.2 Координатные пространственные оси у, у’ и времени 
tу, tу’. …………………………………..……………………….143 
12.5.3 Релятивистские кинематические полные энергия и им-
пульс. ………………………………………………………….145 
12.5.4. Сверхсветовой конус Хевисайда-Черенкова…..……156 

3

Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа 
тригонометрических преобразований Лоренца.

 
 

 
12.5.5. Вторая критическая точка А’.…………………..…166 
12.5.6. Физическая и кинематическая конфигурации движущегося 
тела и сверхсветовое движение……………………173 
12.6. Общее для преобразований любых координатных осей и 
времени. ………………………………………………………177 
  Дополнение 1. Получение наиболее общих уравнений преобразования 
скоростей из тригонометрических преобразований 
пространственных и временных координат. ………………..179 
  Дополнение 2. Частные случаи формул преобразования скоростей. ……………………………………………….………..
186 

Заключение…………………………………..………………..202 
Литература……..…………………………………………..   204 
 
 

 

 

 

 

 

Copyright © Платонов А.А. 2021  Все права защищены. 

 

 

 

 

 

4

Алексей А. Платонов

Произвольное движение инерциальных систем    отсчета и  
группа тригонометрических преобразований Лоренца. 

5 
 

Аннотация. 

  Дан вывод новых тригонометрических преобразований пространственных 
и временной координат по типу преобразований 
Лоренца для случая движения одной инерциальной системы от-
счета под углом по отношению к другой (неподвижной). Показано, 
что обычные преобразования Лоренца для двух инерциальных 
систем отсчета (ИСО) с параллельными соответственными 
осями координат, движущихся друг относительно друга в 
направлении одной из пар соответственных осей, есть частный 
случай вновь выведенных преобразований, и, соответственно, 
вновь выведенные формулы являются их обобщением. Показано, 
что для новых тригонометрических преобразований соблюдаются 
принцип относительности, сохраняется неизменным 
пространственно-временной интервал, выполняются групповые 
свойства. На основе полученных преобразований выведены новые 
формулы для длины движущегося тела в направлении его 
движения, длительности временного интервала, получена новая 
формула преобразования скоростей, выведены соотношения релятивистской 
динамики, изучена возможность сверхсветового 
движения материального тела, показано, что абсолютный световой 
предел скорости света не существует, потому что он носит 
относительный и кинематический характер. На основе полученных 
преобразований выведены новые формулы для длины движущегося 
тела в направлении его движения, длительности временного 
интервала, получена новая формула преобразования 
скоростей, выведены соотношения релятивистской динамики, 
изучена возможность сверхсветового движения материального 
тела, показано, что абсолютный световой предел скорости движения 
не существует, он носит относительный характер. 

 
Автор. 
      

5

Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа 
тригонометрических преобразований Лоренца.

 
 

 

Предисловие. 

  Предлагаемая вниманию читателя работа носит поисково-исследовательский 
характер.  В работе исследуется движение 
материального тела в произвольном направлении в пространстве 
при произвольном же местонахождении в этом пространстве 
неподвижного наблюдателя. В работе применяются методы 
вывода преобразований, впервые примененные А. Эйнштейном 
в его основополагающей работе 2 по СТО. В связи с 
чем автор надеется, что поскольку эти методы были безоговорочно 
в свое время приняты научным сообществом, постольку 
они не могут быть подвергнуты обструкции и сейчас. И, тем 
самым, и результаты, полученные автором.  

   Начиная эту работу, автор вовсе не преследовал цель обоб-
щить СТО, но, к его собственному удивлению, именно это и 
случилось. Начиная эту работу, автор из чистого любопытства 
просто хотел посмотреть, а что же получится, если направле-
ние движения тела не совпадает с направлением х-оси коорди-
нат неподвижного наблюдателя. И неожиданно для самого 
себя автор получил, что предел скорости света носит не абсо-
лютный, а относительный характер. То есть, он зависит как от 
местоположения наблюдателя в пространстве относительно 
движущегося тела, так и от направления движения в простран-
стве последнего. Этот неординарный результат заставил по-
другому посмотреть и на иные, ставшие уже стандартными, 
утверждения и умозаключения, существующие ныне в теории 
СТО. 

  Предлагаемая читателю работа автора предполагает знаком-
ство читателя с основами СТО, началами алгебры, тригоно-
метрии, аналитической геометрии в пространстве и с основами 
теории групп.  

6

Алексей А. Платонов

Произвольное движение инерциальных систем    отсчета и  
группа тригонометрических преобразований Лоренца. 

7 
 

  В работе показано, что всем известные обычные преобразо-
вания Лоренца для двух инерциальных систем отсчета (ИСО) 
с параллельными соответственными осями координат, движу-
щихся друг относительно друга в направлении одной из пар 
соответственных осей, есть частный случай вновь выведенных 
преобразований, и, соответственно, вновь выведенные фор-
мулы являются их обобщением. Показано, что для новых три-
гонометрических преобразований координат пространства и 
времени соблюдаются принцип относительности, сохраняется 
неизменным пространственно-временной интервал, выполня-
ются групповые свойства. На основе полученных преобразо-
ваний выведены новые формулы для длины движущегося тела 
в направлении его движения, длительности временного интер-
вала, получена новая формула преобразования скоростей, вы-
ведены иные соотношения релятивистской динамики, предва-
рительно изучена возможность сверхсветового движения ма-
териального тела, показано, что абсолютный световой предел 
скорости света не существует, потому что он носит относи-
тельный и кинематический характер. 

  В работе показано, что бесконечно большие или нулевые значения 
физических параметров движения движущегося тела, 
возникающие при равенстве скорости движения тела и скорости 
света, также относительны, ибо они могут быть таковыми 
для одного наблюдателя, и совсем не быть таковыми для другого (
других) наблюдателя (наблюдателей), неподвижных относительно 
первого наблюдателя. Как показано в работе, даже 
тот факт, что физические параметры движения движущегося 
тела будут действительными или же мнимыми, оказывается зависимым 
от направления движения тела и местоположения в 
пространстве неподвижного наблюдателя, то есть, также оказываются 
относительными.  

    

7

Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа 
тригонометрических преобразований Лоренца.

 
 

   

Автор надеется, что предлагаемая работа будет понята и принята 
интересующимся читателем и приведет каждого читающего 
к его собственным выводам в отношении прочитанного 
здесь.   

         Автор.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

8

Алексей А. Платонов

Произвольное движение инерциальных систем    отсчета и  
группа тригонометрических преобразований Лоренца. 

9 
 

Произвольное движение инерциальных систем 
отсчета и группа тригонометрических преобразо-
ваний Лоренца.  
 

Алексей А. Платонов, 

инженер, исследователь. 

«В  ВОПР ОС АХ Н АУ К И  АВ ТО Р ИТЕ Т Т ЫС Я Ч С ТО ИТ М ЕН ЬШ Е ,   

ЧЕ М СК РО МН ОЕ Р АС СУ Ж Д ЕН ИЕ О ДН ОГ О ЧЕ ЛО ВЕК А » 

Г АЛИ Л ЕО Г А ЛИ ЛЕ Й. 
 

      Первым случай относительного движения двух 
ИСО (см. рис. 1) с попарно параллельными соответ-
ственными осями координат 
)
  ’,   
|
’
(
’
|
,
х
х
у
у z
z
 в 

направлении одной из пары координат (х и х’) рассмот-
рел Г.А. Лоренц 1, который и обнаружил преобразова-
ния координат, получившие впоследствии его имя. 
Преобразования изучал А. Пуанкаре, а затем А. Эйн-
штейн показал один из возможных путей их вывода в 
работе 2. 
 
1. Вывод преобразований Лоренца А. Эйнштейном. 

   А. Эйнштейн рассматривал две инерциальные системы от-
счета (ИСО), покоящуюся К с набором координат х, у, z, t и 
движущуюся k с набором координат ξ, η, ζ, τ (см. Рис. 1).  

9

Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа 
тригонометрических преобразований Лоренца.

 
 

Рис. 1.  

Две ИСО с параллельными осями коор-
динат. Движение одной из них осу-
ществляется коллинеарно одной из со-
ответственных пар осей координат. В 
нашем случае это пара пространствен-
ных координат х и х’. 

 

    Далее цитируем работу 2: 
    «Пространственные оси обеих систем попарно параллельны 
друг другу (
)
 , 
,
х
у
z


  и движение системы k относи-
тельно системы К осуществляется параллельно осям х и ξ. По-
лагая, что 
x
x
vt


=
=
−
, получим для точки, покоящейся в 
ИСО k, что ей будет отвечать набор пространственных коор-
динат х', у, z, t и можно определить время τ как функцию этих 
координат (1, стр.14).   
   Для этого из начала координат движущейся системы k в мо-
мент времени τ0 посылается луч света вдоль оси х в точку х' и 
отражается оттуда в момент времени 
1 назад, в начало коор-
динат, куда он приходит в момент времени 
2
 ; тогда должно 
существовать соотношение  

(
)
0
2
1
1
2 


+
=
 

или, выписывая аргументы функции т и применяя принцип по-
стоянства скорости света в покоящейся системе, имеем 

(
)
0
2
1
1
0,0,0,
0,0,0,
 =
,0,0,
2
x
x
x
t
t
x
t
V
v
V
v
V
v















+
+
+
+








−
+
−









» 

где V – скорость света. Далее: 
«Если х' взять бесконечно малым, то отсюда следует: 

    (*) 

10

Алексей А. Платонов

Произвольное движение инерциальных систем    отсчета и  
группа тригонометрических преобразований Лоренца. 

11 
 

или                                 
».         (**) 
 
   Переход от уравнения (*) к уравнению (**) осуществляется 
просто: 
1
1
1
1
2 V
v
V
v
t
x
V
v
t








+
=
+




−
+


−




 

1
1
1
1
1
0
2
2
V
v
t
V
v
t
V
v
t
x








+
−
−
=


−

+

−


 

1
1
1
1
1
1
1
0
0
2
2
2
V
v
t
V
v
t
x
V
v
V
v
t
x












−
+
−
=

−
−
=





−

+


+
−





 

2
2
2
2
1
0
0
2
V
v
V
v
v
t
x
t
x
V
v
V
v




−
−
−








−
=
 −
−
=











−
−





  

2
2
0
v
t
x
V
v







+
=





−



,  

так что никаких сложностей здесь нет.  
   Далее А. Эйнштейн проводит типичные, не сложные алгебраические 
преобразования уравнения (**) и получает в итоге 
следующее: 

(
)

(
)

2
2
1
,  
,  
, 
, 
1

v
t
x
x
vt
y
z
V
vV










=
−
=
−
=
=
=




−

, 

где первые два члена, собственно, и есть преобразования Лоренца 
для времени и пространственных координат, вдоль которых 
осуществляется движение.  
  
 
 
 
 

11

Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа 
тригонометрических преобразований Лоренца.

2. Вывод преобразований Лоренца по методу  
А. Эйнштейна 
для двух ИСО, движущихся под углом друг к другу. 
 
  По методу, изложенному в работе 2, рассмотрим более общий 
случай произвольного движения двух ИСО, чаще встречаю-
щийся в физической реальности, когда ось 
 
x


=
наклонена 
под углом α к оси х (см. Рис. 2).  
   Из рисунка ясно, что cos
x x
 =
, и пусть точка В имеет в 

системах К и k координаты 
(
)
,
B x y  и 
(
)
,
0
B x y

 =
, а точка А 

– координаты (
)
cos ,
sin
A x
vt
у
vt


+
+
 и (
)
,
0
A x
vt y


+
=
.  

   Ясно, что в ИСО k приращение координаты ’ 
x
AB
vt

=
=
=
, 
а в ИСО К оно же равно 
cos
vt
 . Отсюда понятно, что вдоль 

оси х в нашем новом случае справедливым будет соотношение                   

       
cos
x
x
vt


=
+
, откуда 
cos
x
x
vt

 =
−
.          (*) 
 
   Сравнивая эту запись с приведенной выше записью 

x
x
vt


=
=
−
для рассмотренного А. Эйнштейном случая двух 
ИСО с параллельными осями координат и движущимися вдоль 
одной из них, замечаем, что они отличаются друг от друга 
только заменой v  на cos
v
 . Это значит, что мы можем повто-
рить вывод преобразований Лоренца по образу и подобию вы-
вода, использованного Эйнштейном, заменив v  на cos
v
 .   

12

Алексей А. Платонов

Произвольное движение инерциальных систем    отсчета и  
группа тригонометрических преобразований Лоренца. 

13 
 

 

Рис. 2.  

Две ИСО с накло-
ненными 
осями 
координат одной 
из них (движу-
щейся). 

 

 

 

 

 
  Тогда сначала будем иметь:  

(
)
0
2
1
0,0,0,
0,0,0,
 =
2
cos
cos
x
x
t
t
V
v
V
v












+
+
+






−
+







 

1
=
,0,0,
cos
x
x
t
V
v






+


−



,  

откуда, аналогично работе А. Эйнштейна, получаем   
1
1
1
1
2
cos
cos
cos
V
v
V
v
t
x
V
v
t











+
=
+



−
+


−




, и затем 

2
2

2
2
2
cos
0
cos
v
t
x
V
v





 

+
=





−



. 

   Преобразовывая в дальнейшем последнее выражение, также, 
как и Эйнштейн поступал со своим уравнением (**), мы полу-
чим следующую итоговую запись преобразований Лоренца 
для нашего случая: 

13

Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа 
тригонометрических преобразований Лоренца.