Линейная алгебра

 

Линейная алгебра 

Учебно-методическое пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 512.5(075)
ББК 22.14я7 

Л59 

Рецензент: 
Зюляркина Н. Д. – д-р. физ.-мат.наук, профессор кафедры 
«Защита информации» ЮУрГУ 

Автор-составитель: 
Осипенко С. А. – канд. пед. наук, доцент кафедры математики, 
экономики и управления Троицкого филиала ФГБОУ ВО «ЧелГУ» 

Линейная алгебра : учебно-методическое пособие / авт.-сост. : 
Л59       С. А. Осипенко. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. – 122 с. 

ISBN 978-5-4499-1628-0 

Основной целью пособия является создания оптимальных условий для 
самостоятельного усвоения студентами основных разделов дисциплины. Пособие 
содержит: необходимый теоретический материал, алгоритмы решения стандартных 
задач, примеры решения задач и задачи различной степени сложности для 
самостоятельного усвоения материала. 
Данное учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей 
математики и студентов высших учебных заведений. 
Текст печатается в авторской редакции. 

УДК 512.5(075)
ББК 22.14я7 

ISBN 978-5-4499-1628-0 
© Осипенко С. А. авт.-сост., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

Содержание 

Введение……………………………………………………………………………………………..4 
РАЗДЕЛ 1. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ .............................................. 5 

1.1. Матрицы, операции над матрицами .............................................................................. 5 

1.2. Определитель матрицы и его свойства .......................................................................... 8 

1.3.  Обратная матрица ........................................................................................................ 14 

1.4. Решения матричных уравнений ................................................................................... 16 

1.5. Ранг матрицы. Методы нахождения ранга матрицы ................................................... 19 

1.6. Примеры решения задач с экономическим содержанием........................................... 21 

1.7.Задания для самостоятельного решения ....................................................................... 22 

РАЗДЕЛ 2.  СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ............................................................30 

2.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений .............................................. 30 

2.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ................... 32 

2.3. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений .............. 38 

2.4. Теоремы о системах линейных алгебраических уравнений ....................................... 41 

2.5. Задания для самостоятельного решения ...................................................................... 43 

РАЗДЕЛ 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ......................................................................................................49 

3.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами .............................................. 49 

3.2. 
Понятие линейной зависимости векторов. Базис на плоскости .............................. 54 

3.3. 
Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов..................................... 58 

3.4. 
Задания для самостоятельной работы ...................................................................... 66 

3.5.Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольные, полярные 
координаты. Основные задачи метода координат ............................................................. 73 

3.6. Уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух 
прямых. Расстояние от точки до прямой. ........................................................................... 80 

3.7.Задания для самостоятельного решения ....................................................................... 89 

РАЗДЕЛ 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ........................................................................................................................96 

4.1. Линейное пространство ................................................................................................ 96 

4.2. 
Линейные операторы............................................................................................... 101 

4.3.Задания для самостоятельного решения ..................................................................... 114 

Список используемой литературы .............................................................................................................. 120 

Введение 

Знание математики становится обязательным для всех направлений 

научной и практической деятельности специалиста, а математическая 

подготовка 
- 
неотъемлемой 
и 
очень 
важной 
составной 
частью 

профессиональной компетентности специалиста. 

Предлагаемая работа является учебно-методическим пособием по 

решению профессионально-ориентированных     задач     по     линейной 

алгебре и аналитической геометрии для студентов вузов, в учебные планы 

которых включена дисциплина «Линейная алгебра». 

Каждый раздел содержит теоретические сведения по математике, 

необходимые для решения задач, примеры решения задач, а также задания для 

самостоятельного решения. Значительная часть  задач  направлена  на  глубокое 

усвоение  основных  математических понятий, а также закрепление умений и 

навыков решения стандартных математических задач. Данные задачи призваны 

сформировать у   студентов понимание роли математики в будущей 

профессиональной деятельности и личностный  смысл ее изучения.  

РАЗДЕЛ 1. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 

1.1. Матрицы, операции над матрицами 

Прямоугольной матрицей размера m×n называется совокупность m×n 

чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n 

столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде:  

или сокращенно в виде A = (a i j ) 
   (i = 
; j = 
). 

Пример:
3
    
 
1
1
7
-
5
4
0
2
-
0
3
        B
     
; 
=
=















=
=
=








−
−
=
n
m
n
m
A
;
3
2
4
1
7
2
3
0
 

Числа a i j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; 

первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца.  

Две матрицы A = (a i j ) и B = (b i j ) одинакового размера называются 

равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то 

есть A = B, если a i j = b i j.  

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется 

соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом.  

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. 

Матрица размера mn, все элементы которой равны нулю, называется 

нулевой матрицей и обозначается через 0.  

Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами 

главной диагонали. 

Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, 

называется побочной диагональю матрицы 

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то 

матрицу называют квадратной порядка n.  

Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной 

диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:  

. 

Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица 

называется единичной и обозначается буквой Е:  

. 

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, 

стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.  

    

















33

23
22

13
12
11

0
0
0
a
a
a
a
a
a

                       
















 
0

0
0

 

33
32
31

22
21

11

a
a
a

a
a

a

 

                     верхняя                                   нижняя        

      треугольная  матрица            треугольная  матрица 

Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при 

котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. 

Обозначается транспонирование значком Т наверху.  

Если в матрице переставить строки со столбцами. Получим матрицу: 

, 

которая будет транспонированной по отношению к матрице А.  

Пример: 








=
0

4
    
1
0

7
-
2
A
                  
















=
 
0
1
0
   
4
7
-
2
 
T
A
 

В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-

строка и наоборот.  

Произведением матрицы А на число k называется матрица, элементы 

которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на 

число k:  

k∙A = (k∙aij ). 

Пример: 








=








−
•
21
-

9
-
    
0
9

6
-
3
-

7

3
    
0
3
-

2
1
3
 

Суммой двух матриц А = (aij ) и B = (bij ) одного размера называется 

матрица C = (cij ) того же размера, элементы которой определяются по формуле 

cij = aij + bij.  

Пример: 

3
2
       
          
3
2
      
          
3
2
     

 5
1
   
5
3
5
1
- 
 1
5
0
2
   
2
3
- 
 4
1
    
0
1
3
2 

×
×
×









=








+









 

Произведением двух матриц А = (aij ) и B = (bjk ), где i = 
, j= 
,             

k= 
, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (cik ), 

элементы которой определяются по следующему правилу:  

ci k = ai 1 ∙b1 k + ai 2 ∙b2 k +... + ai m ∙ bm k = 
ai s ∙bs k. 

Иначе 
говоря, 
элементы 
матрицы-произведения 
определяются 

следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме 

произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы 

k-го столбца матрицы В.  

Произведение 
А∙В 
матрицы 
А 
на 
матрицу 
В 
определяется 
в 

предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.  

Если 
,
    
   
          
;  
23

13

22
21

12
11

3
2
22
21

12
11

2
2








=








=
×
×
b

b

b
b

b
b
B
a
a

a
a
A
  то 









+

+

+
+

+
+
=
=
•
23
22
13
21

23
12
13
11

22
22
12
21
21
22
11
21

22
12
12
11
21
12
11
11
 
b
a
b
a

b
a
b
a

b
a
b
a
b
a
b
a

b
a
b
a
b
a
b
a
B
A
C

Пример. Найти произведение матриц 
 и 
.  

Решение. Имеем: матрица А размера 2x3, матрица В размера 3x3, тогда 

произведение А∙В = С существует и элементы матрицы С равны: 

с 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, 

с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, 

с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7, 

с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, 

с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, 

с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10. 

, а произведение B∙A не существует. 

1.2. Определитель матрицы и его свойства 

Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из 

основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при 

решении многих задач. 

Обозначение Определитель матрицы A обычно обозначается det(A), |A|, 

или ∆(A). 

Свойства определителей: 

1. Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами)

равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк

(столбцов) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

det(A) = det(AТ)

7. Определитель обратной матрицы: det(A-1) = det(A)-1

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу)

прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу)

прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель

матрицы поменяет знак.

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

12. Если квадратная матрица n-ого порядка умножается на некоторое ненулевое

число, 
то 
определитель 
полученной 
матрицы 
равен 
произведению

определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A) где A матрица n×n, k - число.

13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух

слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в

которых 
вместо 
этой 
строки 
стоят 
первые 
и 
вторые 
слагаемые

соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению

его диагональных элементов.

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей

этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B)

Методы вычисления определителя матрицы 

Вычисление определителя матрицы 1×1 

Правило: Для матрицы первого порядка значение определителя равно 

значению элемента этой матрицы: 

∆ = |a11| = a11

Вычисление определителя матрицы 2×2 

Правило: Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности 

произведений элементов главной и побочной диагоналей: 

22
21

12
11
а
а

а
а
 = а11а22-а12а21. 

Например: Вычислить определитель 
6
4
2
3
−
 = 3∙6 -(-2)∙4 = 18 + 8 = 26

Числа, 
составляющие 
определитель 
называются 
его 
элементами. 

Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца. 

Вычисление определителя матрицы 3×3 

Правило: Для 
матрицы 
3×3 
значение 
определителя 
равно 
сумме 

произведений элементов главной диагонали и произведений элементов 

лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от 

которой 
вычитается 
произведение 
элементов 
побочной 
диагонали 
и 

произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной 

побочной диагонали. 

33
32
31

23
22
21

13
12
11

а
а
а

а
а
а

а
а
а

 = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а32а21 – (а13а22а31+а32а23 

а11+а33а12а21). 

Например: 

 

3
2
1

1
2
5

4
3
2

−
 = 2∙(-2)∙3+3∙1∙1+4∙2∙5 – (1∙(-2)∙4 + 2∙1∙2 + 3∙3∙5) = -12+3+40 – (-

8+4+45) = 31-41= - 10 

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-его 

порядка 

Правило: Справа от определителя дописывают первых два столбца и 

произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей 

параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной 

диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»: 

 

Вычисление определителя матрицы произвольного размера 

Разложение определителя по строке или столбцу 

Правило: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов 

строки определителя на их алгебраические дополнения: