Вектор в теоретической механике

Г. Н. Карпов 

ВЕКТОР 
В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 
МЕХАНИКЕ 

VECTOR IN THEORETICAL 
MECHANICS 

Москва 
Берлин 
2019 

УДК 514.85 
ББК 22.21+22.151.5 
К26 

Автор — Г. Н. Карпов, кан. техн. наук, доцент ФГБОУ ВПО  
«Калининградский государственный технический университет» 

Карпов, Г. Н. 

К26
Вектор в теоретической механике / Г. Н. Карпов. —

М. ; Берлин : Директ-Медиа, 2019. — 30 с.

ISBN 978-5-4499-0367-9 

В брошюре рассматривается понятие вектора применительно к 
теоретической механике. В частности, обращается внимание на неверное 
представление векторных величин и действий над ними. 
Так, скалярное произведение, одно из известных действий над векторами, 
оказывается очень полезным в механике, позволяющее получить 
важные результаты, повышающие компетенцию учащихся. 
Некоторые из них будут рассмотрены в этой статье как по отношению 
к абсолютно твердому, так и твердому деформируемому телам. 
Небезынтересно узнать о действии деления на вектор. 
Текст печатается в авторской редакции. 

УДК 514.85 
ББК 22.21+22.151.5 

ISBN  978-5-4499-0367-9 © Карпов Г. Н., текст, 2019

© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2019

Введение 

В школьных курсах и в курсах колледжа зачастую принято 
определять вектор как направленный отрезок. Даже 
в Википедии (куда чаще, чем к учебникам стали обра-
щаться учащиеся) можно найти и такое же определение 
вектора. Порой объясняют, что является его модулем, 
направлением. Вводятся понятия закрепленного и сво-
бодного векторов без должного разъяснений их различий 
и правильного использования по отношению к абсолют-
но твердым телам и твердым деформируемым телам. По-
ясняют возможные действия над векторами. Такие как 
правила сложения и вычитания векторов (правило мно-
гоугольника или параллелограмма), умножения и деле-
ния на скалярную величину, скалярное и векторное про-
изведения векторов и т. п. Деление на вектор вообще не 
обсуждается. Редко обращается внимание на линию дей-
ствия вектора, без которой, например, невозможно опре-
делить алгебраический момент силы относительно мо-
ментной точки. 

 Слабое представление имеют учащиеся о правильном 
разложении вектора на составляющие, что нередко при-
водит к ошибкам. 

Но направленный отрезок это лишь обозначение век-

тора. Такое определение некорректно, но откладывается 
в сознании школьника и не дает истинного знания о век-
торе. Складывается впечатление, что вектор есть величи-
на геометрическая. Это перемещение, скорость, ускоре-
ние, сила, импульс, сила тока. Особенно важным этот 

вопрос встает перед студентами различных форм обуче-
ния. В частности, в разделе кинематика практически во 
всех учебниках рассматривается векторный способ зада-
ния движения точки. Однако для вычисления ее скорости 
и ускорения, избегая прямого дифференцирования ради-
ус-вектора точки (как того требуют определения), пере-
ходят к координатному способу, как менее сложному при 
дифференцировании. Вряд ли это достаточная причина. 
Изложение векторного способа остается не завершенным. 
Этим недостатком страдает большинство преподавателей 
вузов [1, 2, 5–7 и др.]. Все это можно было бы назвать пре-
подавательской недобросовестностью. А ведь учитель в 
первую очередь должен давать достоверные, глубокие, а 
не поверхностные знания, поднимая компетенции уча-
щихся. 

Что же такое вектор 

Вектор является не геометрической, а арифметиче-
ской величиной, Это число особой природы, заключаю-
щее в себе требование однозначности определения пере-
мещения точки. То есть сложение двух и более 
перемещений точки, следующих друг за другом, выража-
лось бы суммированием чисел, которые называются ги-
перкомплексными или экстенсивными числами.  
Например, (см. рис. 1, а), два следующие друг за другом 
перемещения точки dи e, геометрически лишь изобража-
емые направленными отрезками, дают результирующее 
перемещение р, которое изображается направленным от-
резком от начала первого отрезка к концу второго. При 
этом второй отрезок строится из конца первого отрезка. 
Это и есть метод сложение векторов по правилу паралле-
лограмма. 
Относя физическую величину к вектору, следует убе-
диться, что эта величина имеет все, без исключения, ос-
новные свойства векторов: 
— определенное числовое значение (модуль), и опре-
деленное направление в пространстве и не должна зави-
сеть от выбора системы координат; 
— для нее соблюдается правило сложения параллело-
грамма [3, с. 48] и [4, c. 37].  

 
  
 

   а) правило параллелограмма                       б) траектория, скорость  
                                                                             и ускорение точки 

Рис. 1 

Данное суммирование обладает свойствами обыкно-
венного суммирования. То есть имеет место перемести-
тельный закон и т. д. Остальные правила векторных ис-
числений базируются именно на данном понимании 
вектора. 
На рис. 1, б показаны траектория точки A при ее сво-
бодном движении в абсолютной системе отсчета, радиус 
вектор точки r̅(t), ее скорость V(t) и полное ускорение a(t).  
 
 

Производная вектора  
по скалярному аргументу 

Из векторного способа задания движения точки: 
V= d𝐫̅ ∕ dt, a= dVdt
⁄
, т. е. скорость и ускорение точки яв-
ляются векторными величинами.  
Рассмотрим вычисление и дополним содержание этих 
величин непосредственно через производные. Предста-
вим радиус вектор точки А в виде: r̅(t) = rr̅0, где r — ве-
личина вектора, а r̅0 — его единичный направляющий 
вектор, т. е. |r̅0| = 1.  
 
Тогда V= d𝐫̅ dt
⁄
= dr dt
⁄
∙ r̅0 + r ∙ dr̅0/dt               (1) 
 
Что совпадает с формулой (10) источника [3, с. 50] 
 
 
 
Рассмотрим производную dr̅0/dt.  
Построим годограф вектора r̅0. Им является кривая на 
сфере единичного радиуса, так как вектор r̅0, не меняя во 
времени своей величины, |r̅0| = 1, изменяется по направ-
лению, как показано на рис. 2 для отрезка времени dt. 
 

 

Рис. 2 

ϕ(t) — угол смежности, измеряемый в радианах;  
dϕ/dt = ω — угловая скорость (угол поворота вектора r̅0 
за время dt) с размерностью рад/сек или сек–1. 
Тогда r̅0 можно представить как сложную функцию 
r̅0φ(t). 
Исследуемая производная вычисляется по известному 
правилу: 
 
dr̅0 dt
⁄
= dr̅0 dφ
⁄
∙ dφ dt
⁄
= dr̅0 ∕ dφ ∙ ω. 
 
Для выяснения геометрического смысла и величины 
производной 𝑑r̅0 ∕ dφ найдем производную по ϕ от тож-
дества r0
2= 1: 
 
2𝐫𝟎∙ d𝐫𝟎dφ
⁄
= 0 
 
Сократив на 2 и введя обозначение dr̅0 dφ
⁄
= p0, полу-
чим: 
 
r̅0 ∙ p0 = 0. 
 
Из равенства нулю скалярного произведения векторов 
следует, что вектора перпендикулярны: r̅0 ⊥ p0.  
С точностью до малых величин более высокого поряд-
ка из рис. 2 следует: 
 
|d𝐫̅𝟎| = |𝐫̅𝟎|dφ, т. е. |𝐫̅𝟎| = |d𝐫̅𝟎 ∕ dφ| = |𝐩𝟎| = 1. 
 
Окончательно запишем: 
 
d𝐫̅𝟎 dt
⁄
= ω𝐩𝟎.  
 
             (2)  
 
 
С учетом (2) имеем: 
 
  
 
𝐕= d𝐫̅ dt
⁄
= dr dt
⁄
∙ r̅0 + r ∙ ω𝐩𝟎.                      (3)  

Составляющая вектора скорости dr dt
⁄
∙ r̅0 = Vr — ха-
рактеризует изменение радиус вектора точки по вели-
чине и называется радиальной. 
Составляющая r ∙ ωp0 = Vp — характеризует измене-
ние радиус вектора точки по направлению и называется 
трансверсальной или поперечной.  
 
То есть: V =Vr +VP.                                   (4) 
 
 
Причем из определения, вектор скорости точки 
направлен по касательной к ее траектории в сторону 
движения (см. рис. 3). 
 

 

Рис. 3 
 
Вектор p0 лежит в плоскости, проведенной через век-
тора r̅(t) и V(t) — соприкасающейся плоскости, и повер-
нут от направления вектора r̅(t) на угол 900 в сторону 
вектора скорости V(t). Формула (3) применима для вы-
числения производной от любого вектора H(u) = H ∙ h0 по 
скалярному аргументу u, где h0 — единичный вектор век-
тора H. Значение производной определяется формулой: 
 
𝑑𝐇du
⁄
= dH du
⁄
∙ 𝐡̅ 0 + Hω𝐩0                         (5) 
 
В этой формуле ω = dϕ/du — угловая скорость (угол 
поворота вектора h0 на приращении аргумента du).  

В частном случаи при H = const, т. е. когда вектор Hне 
изменяя своей величины, изменяется лишь по направле-
нию, формулу вычисления данной производной: 
 
d𝐇du
⁄
= Hω𝐩𝟎,  
                                (6) 
  
которую можно представить в виде: d𝐇dt = Hd𝐇⁄
dt
⁄
= 
= Hω× h0= (ω× 𝐇). 
Пусть «u» произвольный скалярный аргумент, тогда 
  
d𝐇du
⁄
= d𝐇dt
⁄
; dt du
⁄
= 1 dt
⁄
du
⁄
; d𝐇dt
⁄
= d𝐇du
⁄
= 
= k ∙ (ω× 𝐇), 
 
                      (7) 
 
где к 1/ dt/du — любой безразмерный числовой коэффи-
циент; 
ω≠ 0 — произвольный вектор, содержание которого 
зависит от значения вектора H. В частности, если Hозна-
чает радиус-вектор точки, то размерность вектора ωесть 
сек–1, и вектор означает угловую скорость вращения ра-
диус вектора точки.  
Помножим (6) и (7) скалярно на вектор H: 
 
𝐇(d𝐇∕ du) = Hω𝐇p0, или 𝐇(d𝐇∕ du) = 𝐤 ∙ 𝐇(ω× 𝐇) = 0.  (8) 
 
Так как по правилу смешенного произведения векто-
ров H(ω× H) = 0,  то H⊥ p0.  
Применительно к задачам кинематики, оправданным 
является принять к = 1. Это утверждение можно обосно-
вать теоремами «О существовании вектора угловой ско-
рости» [2, c. 80–81] и теоремой «Об инвариантности век-
тора ω». Первая из них гласит: «При свободном движении 
абсолютно твердого тела в каждый момент времени су-
ществует вектор ω, определяющий вектор скорости точки 
тела относительно произвольного полюса». Вторая: