Математика. Сборник задач для девятиклассников

СБОРНИК ЗАДАЧ
для девятиклассников

Под редакцией 
М. В. Федотова

МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, 
М. В. Федотов

2-e издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2022

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Математика. Сборник задач для девятиклассников : учебно-
методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяе-
ва, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. — 2-е изд.,
электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2022. — 293 с. — (ВМК
МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-976-3
Настоящее
пособие
составлено
преподавателями
факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический 
материал, примеры с решениями и подборку задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ (базовый 
уровень и первая часть профильного уровня), учителям математики, 
репетиторам, руководителям кружков и факультативов,
преподавателям подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика. 
Сборник задач для девятиклассников : учебно-методическое 
пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ;
под редакцией М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний, 2018. —
288 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-00101-124-8.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-976-3

© Золотарёва Н. Д.,
Семендяева Н. Л.,
Федотов М. В., 2018

© Лаборатория знаний, 2018

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1. Алгебра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.1. Целые числа, делимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.2. Дроби
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.3. Иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

1.4. Буквенные выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

1.5. Текстовые задачи на движение и работу . . . . . . . . . . . . .
52

1.6. Текстовые задачи на доли и проценты
. . . . . . . . . . . . . .
67

1.7. Числовые последовательности и прогрессии . . . . . . . . . . .
79

1.8. Понятие функции. Линейная функция, линейные уравнения,
неравенства, системы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

1.9. Квадратичная функция. Квадратные уравнения и неравенства
105

1.10. Модуль числа и алгебраического выражения . . . . . . . . . . .
121

1.11. Простейшие степенные функции с рациональным показателем
135

1.12. Преобразование рациональных выражений, рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

1.13. Рациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162

1.14. Графики функций, графическое решение уравнений . . . . . .
171

1.15. Задачи с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184

2. Элементы комбинаторики и теории вероятностей . . . . . . . . . . .
201

2.1. Определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201

2.2. Вероятность объединения событий, вероятность пересечения
событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204

2.3. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207

2.4. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211

3. Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213

3.1. Точка, прямая, треугольник
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213

3.2. Четырёхугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218

3.3. Геометрическое место точек, простейшие геометрические построения . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . .
224

3.4. Прямоугольный треугольник и прямоугольная система коор-
динат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228

3.5. Преобразование подобия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237

3.6. Углы в окружностях, касание окружности и прямой . . . . . .
242

3.7. Свойства хорд и секущих, смешанные задачи . . . . . . . . . .
247

3.8. Произвольные треугольники, правильные многоугольники
. .
250

3.9. Площади фигур
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286

От редактора

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ — шко-
ле». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
многолетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных кур-
сах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени
М. В. Ломоносова.
Ранее были изданы пособия для 11-х классов по математике, физике и ин-
форматике для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в
вузы. Настоящее пособие продолжает эту серию и предназначено для учащихся
9-х классов для подготовки к сдаче ОГЭ (ранее этот экзамен назывался ГИА) по
математике.
По данному пособию можно начинать готовиться к ОГЭ и заранее, например,
начиная с 8-го класса. Его также можно использовать и в 10-м классе для того,
чтобы начать подготовку к ЕГЭ — тогда будет легче решать задачи из наших
пособий для 11-х классов.

Заместитель декана по учебной работе
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

Предисловие

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени
М. В. Ломоносова. Курс рассчитан на закрепление школьного материала и приоб-
ретение навыков, необходимых для решения задач ОГЭ и ЕГЭ (базового уровня
и первой части профильного уровня).
Предлагаемый курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рам-
ки базовой школьной программы. Все приёмы, необходимые для решения задач,
демонстрируются по ходу изучения материала.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов
решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения. При-
ступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретическо-
го материала и разбора примеров. Задачи в разделах расположены по принципу
«от простого — к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью 
разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется
изучать в предложенном порядке.
Необходимо отметить, что в реальных экзаменационных заданиях в формулировках 
задач наряду с математически более корректной терминологией типа
«длина отрезка AB равна 5» и записью |AB| = 5 используется школьная терминология 
типа «отрезок AB равен 5» и запись AB = 5. По этой причине в
формулировках задач также встречаются оба вида терминологии.

Рекомендуется школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень и
первая часть профильного уровня), учителям математики, репетиторам, руководителям 
кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

1.
Алгебра

Современный цивилизованный мир применяет для представления чисел преимущественно 
арабские цифры. Арабские цифры — традиционное название десяти
числовых знаков индийского происхождения {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, которые используются 
для позиционной записи десятичного числа. Арабские цифры появи-
лись в южной Индии не позднее V века, были позаимствованы сначала персами, а
затем арабами, и в изменённом виде, адаптированном к арабскому письму, были
перенесены в Европу в X веке.
В это время в Европе использовалась римская нумерация. Римские цифры —
семь букв латинского алфавита {I;V;X;L;C;D;M}, которые применяются для обозначения 
десятичных разрядов и их половин. Цифре I соответствует число 1,
цифре V — число 5, цифре X — число 10, и так далее. При записи числа необходимо 
следовать двум правилам: если б´ольшая цифра стоит перед меньшей, то
они складываются; если же, напротив, б´ольшая цифра следует за меньшей, то
берётся разность.
Римская нумерация — одна из самых древних. Справедливости ради следует
отметить, что она была придумана отнюдь не древними римлянами, а этрусками. 
Произошло это около 500 года до нашей эры. И в настоящее время римские
цифры используются в разных областях (например, для обозначения времени на
циферблатах часов, столетий, производных небольших порядков, при нумерации
страниц в предисловии книг, в нумерованных списках и др.). Римскими цифрами
нумеруют события, имеющие большую значимость — олимпиады, конгрессы, конференции. 
Исключительно римские цифры используют для нумерации монархов.
Однако непозиционная римская система счисления лишена многих преимуществ, 
которыми обладают арабские цифры и основанная на них позиционная десятичная 
система счисления. Именно поэтому арабские цифры достаточно быстро
заняли своё место в средневековой Европе. Введение арабских цифр дало мощный
импульс развитию естественных наук — математики и физики, астрономии и географии. 
В XVIII веке при Петре I десятичная система счисления окончательно
утвердилась и на Руси, заменив славянскую нумерацию, созданную греческими
монахами Кириллом (827—869) и Мефодием (815—885) в IX веке.
В данном учебном пособии для записи чисел используются преимущественно
арабские цифры. В разделе 1.1 будут рассмотрены множество целых чисел и его
подмножества — натуральные, простые, составные числа.

Алгебра

1.1.
Целые числа, делимость

Теоретический материал

О п р е д е л е н и е. Числа 1, 2, 3, ..., употребляемые для счёта, называются натуральными. 
Множество натуральных чисел обозначается символом N. Множество, 
состоящее из натуральных чисел и нуля, будем обозначать через N0.

Сумма и произведение двух натуральных чисел есть натуральные числа. Дру-
гими словами, множество натуральных чисел замкнуто относительно операций
сложения и умножения. Разность и частное двух натуральных чисел не всегда
принадлежат N.
Если число n представимо в виде произведения двух натуральных чисел m
и k, то есть n = m · k, то говорят, что число n делится (нацело) на m и на k.
Данное свойство называют делимостью числа n на число m и на число k. При
этом каждое из чисел m и k называется делителем числа n.

Для обозначения делимости нацело используется знак
... . Запись n
... k означает,

что число n кратно числу k. Например, 205 ... 5, то есть число 205 делится нацело

на число 5, или 572 ... 13 (число 572 кратно числу 13).

З а м е ч а н и е 1.
Определение делимости нацело распространяется на множество
N0, а также на множество целых чисел. В частности, если n ∈ N0 , то из определе-
ния делимости нацело следует, что число 0 делится нацело на любое натуральное
число.

О п р е д е л е н и е. Натуральное число, большее единицы, называется простым,
если оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Например,
числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 простые.

О п р е д е л е н и е.
Натуральное число называется составным, если оно имеет
хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого себя. Например, числа
8, 15, 21, 22, 39, 51 составные.

О п р е д е л е н и е. Если составное число n делится (нацело) на число 2, оно на-
зывается чётным. Любое чётное число может быть представлено в виде n = 2k,
где k ∈ N.

Множество чётных чисел замкнуто относительно операций сложения и умноже-
ния, то есть сумма и произведение двух чётных чисел есть чётное число.

О п р е д е л е н и е. Если натуральное число не делится (нацело) на 2, оно назы-
вается нечётным. Нечётное число может быть представлено в виде n = 2l − 1,
где l ∈ N. Заметим, что все простые числа, за исключением числа 2, являются
нечётными. Нечётными являются и многие составные числа, например 27, 33, 65.

Множество нечётных чисел замкнуто относительно операции умножения, то есть
произведение двух нечётных чисел есть нечётное число.

В общем случае чётность или нечётность суммы и произведения двух натуральных
чисел определяются в соответствии со следующими замечаниями.

З а м е ч а н и е 2. Сумма двух чисел одинаковой чётности (либо оба числа чётные,
либо оба нечётные) всегда чётна. Сумма двух чисел различной чётности (одно
число чётное, второе нечётное) всегда нечётна.

1.1.
Целые числа, делимость
9

З а м е ч а н и е 3. Если хотя бы один из двух множителей является чётным числом,
то произведение этих чисел чётно; если оба числа нечётные, то их произведение
нечётно.

Для доказательства замечаний 2 и 3 достаточно представить чётное число в
виде 2k, нечётное число в виде 2l − 1 и определить, в каком из этих двух видов
можно представить результат соответствующего арифметического действия.

Утверждение (основная теорема арифметики). Каждое натуральное число,
кроме единицы, можно разложить на простые множители, то есть представить
в виде
n = pm1
1
· pm2
2
· ... · pmk
k ,

где p1, p2, ..., pk — простые числа, k, m1, m2, ..., mk — натуральные числа. На-
пример, 180 = 22 · 32 · 51.

Указанное представление составного числа называют его каноническим раз-
ложением. Каноническое разложение единственно с точностью до перестановки
множителей в правой части равенства.
При изучении свойств натуральных чисел удобно использовать позиционную
запись натурального числа n в десятичной системе счисления:

n = ak ak−1 ak−2 ... a2 a1 a0,

где ak , ak−1 , ... , a1 , a0 — цифры, причём ak ̸= 0.

Основные признаки делимости натуральных чисел1

1.
n ... 2 ⇐⇒ a0
... 2.

2.
n ... 4 ⇐⇒ a1 a0
... 4.

3.
n
... 8 ⇐⇒ a2 a1 a0
... 8.

4.
n ... 3 ⇐⇒ ak + ak−1 + ... + a1 + a0
... 3.

5.
n ... 9 ⇐⇒ ak + ak−1 + ... + a1 + a0
... 9.

6.
n ... 5 ⇐⇒ a0
... 5.

7.
n
... 25 ⇐⇒ a1 a0
... 25.

8.
n ... 125 ⇐⇒ a2 a1 a0
... 125.

9.
n ... 10 ⇐⇒ a0 = 0.

10.
n
... 100 ⇐⇒ a1 = 0, a0 = 0.

Основные свойства делимости натуральных чисел

1.
n ... d =⇒ m · n ... d.

2.
m ... d, n ... d =⇒ m + n ... d, m − n ... d.

1В формулировках признаков делимости под записью
0 ak−1...
подразумевается число

ak−1... .

Алгебра

3.
m ... p, n ... q =⇒ m · n ... p · q.

4.
m ... n, n ... p =⇒ m ... p.

О п р е д е л е н и е. Если натуральные числа n1 и n2 делятся нацело на одно и то
же натуральное число m, то число m называют их общим делителем.

О п р е д е л е н и е. Наибольшее натуральное число, на которое нацело делятся на-
туральные числа n1 и n2 , называется их наибольшим общим делителем и обо-
значается НОД(n1, n2).

Правило нахождения НОД(n1, n2):

• найти каноническое разложение чисел n1 и n2;

• выписать все общие простые множители, входящие в каноническое разложе-
ние каждого из чисел n1 и n2 ;

• возвести каждый из выписанных в предыдущем пункте простых сомножи-
телей в наименьшую степень, с которой этот множитель входит в канони-
ческое разложение чисел n1 и n2;

• произведение полученных степеней даёт НОД(n1, n2).

Если НОД(n1, n2) = 1, то числа n1 и n2 называются взаимно простыми.

О п р е д е л е н и е. Наименьшее натуральное число, которое нацело делится на на-
туральные числа n1 и n2, называется их наименьшим общим кратным и обозна-
чается НОК(n1, n2).

Правило нахождения НОК(n1, n2):

• найти каноническое разложение чисел n1 и n2;

• выписать все общие простые множители, входящие в каноническое разложе-
ние хотя бы одного из чисел n1 и n2;

• возвести каждый из выписанных в предыдущем пункте простых сомножите-
лей в наибольшую степень, с которой этот множитель входит в каноническое
разложение чисел n1 и n2;

• произведение полученных степеней даёт НОК(n1, n2).

Для любых двух натуральных чисел n1, n2 справедливо равенство

НОД(n1, n2) · НОК(n1, n2) = n1 · n2.

О п р е д е л е н и е. Множество, состоящее из натуральных чисел n, нуля и отрица-
тельных чисел −n (целых отрицательных чисел), называется множеством целых
чисел и обозначается символом Z.

Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычи-
тания и умножения.

О п р е д е л е н и е. Два числа a и b равны, если их разность a − b равна нулю.

1.1.
Целые числа, делимость
11

Свойства числовых равенств

1.
a = b, b = c
=⇒
a = c (транзитивность).
2.
a = b, c = d
=⇒
a + c = b + d.
3.
a = b, c = d
=⇒
ac = bd.
4.
a = b
=⇒
a + c = b + c
для любого c.
5.
a = b, c ̸= 0
=⇒
ac = bc.

О п р е д е л е н и е. Число a больше числа b, если разность a − b положительна.

О п р е д е л е н и е. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

О п р е д е л е н и е. Говорят, что справедливо двойное неравенство a > b > c, если
одновременно справедливы неравенства a > b и b > c.

Свойства строгих числовых неравенств

1.
a > b > c
=⇒
a > c (транзитивность).
2.
a > b
⇐⇒
a + c > b + c для любого c.
3.
a > b,
c > d
=⇒
a + c > b + d (возможность почленного сложения
неравенств одинакового смысла).
4.
a > b,
c < d
=⇒
a − c > b − d (возможность почленного вычитания
неравенств противоположного смысла).
5.
a > b, c > 0
⇐⇒
ac > bc.
6.
a > b, c < 0
⇐⇒
ac < bc.
7.
a > b > 0, c > d > 0
=⇒
ac > bd (возможность почленного умножения
неравенств одинакового смысла для положительных чисел).
8.
an > bn, a > 0, b > 0, n ∈ N
⇐⇒
a > b > 0 (возможность почленного
умножения n одинаковых неравенств для положительных чисел).

9.
a > b > 0,
0 < c < d
=⇒
a
c > b

d (возможность почленного деления

неравенств противоположного смысла для положительных чисел).

З а м е ч а н и е 4. Приведённые свойства числовых равенств и неравенств справедливы 
не только для целых чисел, но и для любых действительных чисел.

При сравнении двух чисел a и b составляется так называемое формальное
неравенство a ∨ b. Символом ∨ обозначен знак неравенства, который должен
быть определён. Далее алгебраическими преобразованиями, не меняющими знака
неравенства, формальное неравенство сводится к очевидному.
При исследовании делимости и решении уравнений в целых числах могут оказаться 
полезными формулы сокращённого умножения:

a2 − b2 = (a + b)(a − b);
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3;
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2);
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).
Пусть при решении уравнения в целых числах удалось представить его в виде
равенства, в левой части которого стоит произведение нескольких множителей с
целочисленными коэффициентами, а в правой — целое число. Далее необходимо
разложить число в правой части на множители, рассмотреть всевозможные комбинации 
значений множителей левой части и решить полученные системы уравнений
на множестве целых чисел.