Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Геометрия. Основной курс с решениями и указаниями

Покупка
Артикул: 700023.03.99
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач Единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач. Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Золотарева, Н. Д. Геометрия. Основной курс с решениями и указаниями : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарева, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова. - 3-е изд. - Москва : Лаборатория знаний, 2022. - 307 с. - (ВМК МГУ—школе). - ISBN 978-5-00101-958-9. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1987566 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ОСНОВНОЙ КУРС
с решениями и указаниями

Москва
Лаборатория знаний
2022

Учебно-методическое пособие

Под редакцией 
М. В. Федотова

ГЕОМЕТРИЯ

Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов

3-е издание, электронное

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Геометрия. Основной курс с решениями и указаниями :
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Се-
мендяева,
М. В. Федотов
;
под
редакцией
М. В. Федото-
ва. — 3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2022. —
307 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст
:
электронный.
ISBN 978-5-00101-958-9
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач
Единого государственного экзамена преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретиче-
ский материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки)
и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого го-
сударственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступле-
нию как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репе-
титорам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Геомет-
рия. Основной курс с решениями и указаниями : учебно-методичес-
кое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ;
под редакцией М. В. Федотова. — 2-е изд. — М. : Лаборатория зна-
ний, 2021. — 302 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе).
ISBN 978-5-00101-345-7

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-958-9

© Золотарёва Н. Д., Семендяева Н. Л.,
Федотов М. В., 2018

© Лаборатория знаний, 2018

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Часть I. Теория и задачи
7

Планиметрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.
Треугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.1.
Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.2.
Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов . . . . . . .
11

1.3.
Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.4.
Подобие треугольников. Теорема Фалеса
. . . . . . . . . . . .
19

1.5.
Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

2.1.
Углы в окружностях. Касание окружности и прямой . . . . .
28

2.2.
Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . .
32

2.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

3.
Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.1.
Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.2.
Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

3.3.
Общие четырехугольники. Правильные многоугольники . . .
47

4.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

4.1.
Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . .
51

Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Введение в стереометрию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

5.
Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

5.1.
Прямая призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

5.2.
Наклонная призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

6.
Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

6.1.
Правильная пирамида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

6.2.
Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

6.3.
Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

7.
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

7.1.
Цилиндр
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

7.2.
Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

7.3.
Шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

8.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

8.1.
Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . .
83

Часть II. Указания и решения
87

Планиметрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

1.
Треугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

1.1.
Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

1.2.
Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов . . . . . . .
99

1.3.
Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.4.
Подобие треугольников. Теорема Фалеса
. . . . . . . . . . . . 122

1.5.
Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.1.
Углы в окружностях. Касание окружности и прямой . . . . . 150

2.2.
Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . . 161

2.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.
Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.1.
Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3.2.
Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.3.
Общие четырёхугольники. Правильные многоугольники . . . 206

4.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.1.
Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . . 217

Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.
Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.1.
Прямая призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.2.
Наклонная призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.
Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.1.
Правильная пирамида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.2.
Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.3.
Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.1.
Цилиндр
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7.2.
Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

7.3.
Шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.1.
Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . . 280

Задачи ЕГЭ последних лет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Варианты ДВИ МГУ последних лет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

От редактора

Уважаемый читатель, Вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – школе». 
Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных 
курсах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных 
курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена 
серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии и физике. По каждому предмету
вышли два пособия: основной курс и углубленный курс, содержащий сложные
задачи единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных
экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени М.В.
Ломоносова). Основной курс содержит все разделы соответствующего предмета,
необходимые для решения задач первой части ЕГЭ и некоторых задач второй
части, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в вузы.
Углубленный курс содержит задачи, научившись решать которые, вы сможете
решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных
экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить
все задачи).
В серии «ВМК МГУ – школе» вышли два пособия по информатике. Первое
рекомендуется в качестве пособия при подготовке к ЕГЭ по информатике и ИКТ.
Разделы этого пособия соответствуют темам, включенным в ЕГЭ. Второе – посо-
бие по программированию – поможет вам подготовиться к экзамену по информа-
тике, научиться решать задачи по программированию на языке Паскаль.
Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду
с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями,
задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех предложен-
ных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить
задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику
самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной
стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно,
мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если
учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных подготовитель-
ных курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно
научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта
учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия помо-
гут молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не
всегда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить за-
дачу. Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема
подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём каж-
дый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать
пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.

Директор учебного центра
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
М. В. Федотов

Предисловие

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени
М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ
и задач единого государственного экзамена. «Основной курс» рассчитан на закреп-
ление школьного материала по геометрии и приобретение навыков, необходимых
для решения задач ЕГЭ и стандартных задач вступительных экзаменов в вуз.
Предлагаемый курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рам-
ки базовой школьной программы. Все приёмы, необходимые для решения задач,
демонстрируются по ходу изучения материала.
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого – к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому са-
ми разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке.
Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретиче-
ского материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи вы-
зывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подсказок).
В случае, если Вам не удалось получить правильный ответ или у Вас возникли
сомнения в правильности Вашего решения, рекомендуется изучить решение, пред-
ложенное авторами.
Необходимо отметить, что в реальных экзаменационных заданиях в форму-
лировках задач наряду с математически более корректной терминологией типа
«длина отрезка AB равна 5» и записью |AB| = 5 используется школьная тер-
минология типа «отрезок AB равен 5» и запись AB = 5. По этой причине в
формулировках задач также встречаются оба вида терминологии.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факульта-
тивов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи

ПЛАНИМЕТРИЯ

1.
Треугольники

1.1.
Прямоугольные треугольники

Теоретический материал

В этом разделе собраны задачи, связанные с прямоугольными треугольниками.
При решении этих задач необходимо знать и уметь применять следующие форму-
лы и теоремы.

Теорема Пифагора: a2 + b2 = c2,
здесь a, b – катеты

прямоугольного треугольника, c – гипотенуза.

Соотношения между сторонами и углами прямо-
угольного треугольника:

sin α = a

c ,
cos α = b

c,
tg α = a

b ,
ctg α = b

a;

здесь α – угол, противолежащий катету a.

Соотношения между тригонометрическими функ-
циями одного и того же аргумента:

sin2 α + cos2 α = 1,
tg α = sin α

cos α,
ctg α = cos α

sin α ,

tg α · ctg α = 1,
1 + tg2 α =
1

cos2 α,
1 + ctg2 α =
1

sin2 α.

Значения тригонометрических функций основных углов:

sin π

4 = cos π

4 =

√

2
2 ,
tg π

4 = ctg π

4 = 1,

sin π

6 = cos π

3 = 1

2,
sin π

3 = cos π

6 =

√

3
2 ,

tg π

6 = ctg π

3 =

√

3
3 ,
tg π

3 = ctg π

6 =
√

3.

Теория и задачи

Формула длины высоты, проведённой к гипотенузе:

hc = ab

c = √cacb,

где ca и cb – проекции катетов a и b на гипотенузу c.

Для доказательства первого равенства достаточно записать площадь треуголь-
ника ABC двумя способами:

SΔABC = 1

2hcc = 1

2ab
=⇒
hc = ab

c .

Справедливость второго равенства следует из подобия треугольников, на ко-
торые высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает исходный тре-
угольник:

ΔACH ∼ ΔCBH
=⇒
hc
cb
= ca

hc
=⇒
hc = √cacb.

Заметим также, что оба треугольника подобны исходному треугольнику ABC по
двум углам:

ΔACH ∼ ΔABC
(∠AHC = ∠ACB = 90◦, угол A общий),

ΔCBH ∼ ΔABC
(∠CHB = ∠ACB = 90◦, угол B общий).

Напомним основные факты, связанные с произвольными треугольниками.

• Сумма углов треугольника равна 180◦.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отноше-
нии 2 : 1, считая от вершины.

• Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка есть
центр вписанной окружности. При этом радиус, проведённый в точку ка-
сания, перпендикулярен соответствующей стороне треугольника, а отрезки
касательных, проведённых из одной вершины – равны.1

• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной
точке, и эта точка есть центр описанной окружности.

1Более подробно свойства окружностей будут рассмотрены в соответствующем разделе.

1.1.
Прямоугольные треугольники
9

З а м е ч а н и е. Центр описанной окружности ле-
жит внутри треугольника, если треугольник остро-
угольный, и вне треугольника, если он тупоуголь-
ный. Центр окружности, описанной около прямо-
угольного треугольника, лежит на середине гипоте-
нузы. В этом случае радиус описанной окружности
равен медиане, проведённой к гипотенузе, и поло-
вине гипотенузы.

Примеры решения задач

П р и м е р 1.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проек-
ция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, опи-
санной около этого треугольника.

Р е ш е н и е. Пусть катет BC = 15, а проекция катета AC на гипотенузу AB
равна 16.
Поскольку диаметр окружности, описанной 
около прямоугольного треугольника, 
равен гипотенузе, нам надо найти 
проекцию катета BC на гипотенузу.
Обозначим высоту CH через h, а проекцию 
катета BC на гипотенузу через
x. По свойству высоты, проведённой к
гипотенузе, и теореме Пифагора, применённой 
к ΔBCH , получим
h2 = 16x,
h2 + x2 = 152;
=⇒
x2 + 16x − 152 = 0
=⇒
x = 9,

откуда диаметр d = AB = 25.

О т в е т. 25.

П р и м е р 2.
Окружность с центром O вписана в прямоугольный треугольник
ABC . Она касается гипотенузы AB в точке M , причём AM = 12 и BM = 8.
Найдите площадь треугольника AOB.

Р е ш е н и е. Для того, чтобы найти площадь 
треугольника AOB, нам надо найти 
его высоту OM , которая равна радиусу 
вписанной окружности. Его и будем
искать.
Пусть P и Q – точки касания вписанной 
окружности с катетами AC и
BC . Четырёхугольник PCQO является 
прямоугольником, поскольку у него
∠C = 90◦ по условию, а OP ⊥ PC и
OQ ⊥ QC как радиусы в точках касания. 
Кроме того, он является квадратом, так как OP = OQ = r, где r – радиус
вписанной окружности.

Теория и задачи

По свойству касательных, проведённых из одной точки, AP = AM = 12 и
BQ = BM = 8.
Применив теорему Пифагора к треугольнику ABC , получим:

(12 + 8)2 = (12 + r)2 + (8 + r)2
=⇒
r = 4
=⇒
SΔAOB = 1

2AB · r = 40.

О т в е т. 40.

П р и м е р 3.
Определить отношение длин медианы PO и высоты PE , прове-
дённых из вершины P к гипотенузе QR в прямоугольном треугольнике PQR,
если QO : QE = 5 : 1.

Р е ш е н и е. Пусть QE = x, тогда QO = 5x и, следовательно, EO = 4x. Выразим
через x высоту PE .

Так как в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы, то

PO = 1

2QR = QO = 5x.

Применив теорему Пифагора к ΔPOE , получим:

PE =
(5x)2 − (4x)2 = 3x
=⇒
PO
PE = 5x

3x = 5

3.

О т в е т. 5 : 3.

Задачи

1. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и высотой, прове-
дёнными из вершины прямого угла, равен 10◦. Найдите острые углы тре-
угольника.

2. Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 12 и 5. Найдите длину
медианы, проведённой к гипотенузе.

3. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1 : 2, а больший
катет равен 4
√

3. Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы рав-
на 2
√

13 см, а длина медианы большего острого угла равна 5 см.

5. Средние линии прямоугольного треугольника, параллельные катетам, рав-
ны 5 см и 12 см. Найдите высоту треугольника h, опущенную из вершины
прямого угла. В ответе запишите 13h.

1.2.
Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов
11

6. В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, CM – медиана тре-
угольника. Найти острые углы треугольника, если угол AMC равен 42◦.

7. Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC . Угол между
AM и высотой AH равен 40◦. Найти углы треугольника ABC .

8. В прямоугольном треугольнике ABC AC = 3, BC = 4. Окружность с цен-
тром в точке A проходит через точку C и пересекает гипотенузу AB в точке
K . Найти отношение длин отрезков AK и BK .

9. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны
√

52
и
√

73. Найти гипотенузу.

10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы его вписан-
ной и описанной окружностей равны соответственно 2 см и 5 см.

11. В прямоугольном треугольнике один из катетов больше медианы, проведён-
ной из вершины прямого угла, на 0, 5. Найти его площадь, если второй катет
равен 4.

12. В треугольнике ABC известны стороны AC = 2, AB = 3, BC = 4. Пусть
BD – высота этого треугольника. Найти длину отрезка AD.

13. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треуголь-
ника, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипо-
тенузу равна 9.

14. Около окружности с центром O описан прямоугольный треугольник MPK
с гипотенузой MK . Луч MO пересекает катет PK в точке C . Найдите
длину отрезка CP , если точка касания с окружностью делит катет PK на
отрезки PH = 4 и HK = 12.

15. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Чему равно расстояние
от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окруж-
ности?

16. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC = 20 проведена ме-
диана BM . Окружность, вписанная в треугольник ABM , касается медианы
BM в точке P . Найдите катет BC, если BP : PM = 3 : 2.

17. В треугольнике ABC ∠B = 90◦, медиана BM = 10
√

3. Окружность, впи-
санная в треугольник ABM , касается гипотенузы AC в точке T . Найдите
BC, если AT : T C = 1 : 3.

18. Пусть r – радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с ка-

тетами a, b и гипотенузой c. Докажите, что r = a + b − c

2
.

1.2.
Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов

Теоретический материал

В этом разделе собраны задачи, при решении которых используются следующие
теоремы, справедливые для любого треугольника.

Теория и задачи

Теорема синусов:
a

sin α =
b

sin β =
c

sin γ = 2R.

Теорема косинусов:
с2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ.

Здесь и далее a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ – противолежащие им углы;
R – радиус описанной около треугольника окружности.

Напомним также и некоторые другие утверждения, справедливые для произвольных 
треугольников.

• В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон (неравенство 
треугольника).

• В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол.

• Площадь треугольника равна

S = 1

2ab sin γ,
S = 1

2chc,
S = abc

4R ,
S =
p(p − a)(p − b)(p − c),
S = pr,

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр треугольника.

Кроме того, при решении задач этого раздела могут пригодиться следующие
тригонометрические формулы.

Формулы приведения:
sin
π

2 − x
= cos x;
cos
π

2 − x
= sin x.

Формулы двойного аргумента:

sin 2x = 2 sin x cos x;
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x.

Формулы для тригонометрических функций от суммы и разности:

sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y;

cos (x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y.

Примеры решения задач

П р и м е р 1. В треугольник со сторонами AB = 8, BC = 6, AC = 4 вписана
окружность. Найти длину отрезка DE, где D и E – точки касания этой окружности 
со сторонами AB и AC соответственно.

Р е ш е н и е. Для того, чтобы вычислить DE , необходимо знать AE , AD и косинус
угла между ними. Тогда по теореме косинусов можно будет найти DE .
Обозначим равные отрезки касательных

BD = BF = x, CF = CE = y, AE = AD = z.

По условию
⎧
⎨

⎩

x + y = 6,
y + z = 4,
x + z = 8;

откуда z = 3.