Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация

Г. М. Островский, Ю. М. Волин

Технические  системы
в  условиях
неопределенности

анализ гибкости и оптимизация

Учебное пособие

Допущено 

по образованию в области 
учебнометодическим объединением

Прикладной математики  и управления качеством 
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся  по направлению подготовки 
230400 «Прикладная математика»
специальности 230401 «Прикладная математика»

Москва
Лаборатория знаний
2020

4е издание, электронное

УДК 517
ББК 22

О-77

Островский Г. М.

О-77
Технические системы в условиях неопределенности: ана-
лиз гибкости и оптимизация : учебное пособие / Г. М. Ост-
ровский, Ю. М. Волин. — 4-е изд., электрон. — М. : Лабо-
ратория знаний, 2020. — 322 с. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-811-7
Рассматриваются методы оптимизации технических систем при
использовании неточных математических моделей. Формулируются
основные понятия теории гибкости, даются формулировки задач
проектирования гибких оптимальных технических систем, описыва-
ются методы и алгоритмы решения сформулированных задач, ра-
бота алгоритмов иллюстрируется на модельных примерах. Каждая
глава снабжена примерами.
Для студентов, преподавателей и научных работников в области
прикладной математики, системного анализа и управления.
УДК 517
ББК 22

Деривативное
издание
на
основе
печатного
аналога:
Технические
системы
в
условиях
неопределенности:
анализ
гибкости и оптимизация : учебное пособие / Г. М. Островский,
Ю. М. Волин. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 319 с. :
ил. — ISBN 978-5-94774-732-4.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель
вправе
требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-811-7
c○ Лаборатория знаний, 2015

Введение

Компьютерное моделирование стало неотъемлемой частью про-
ектирования технических систем (ТС) — металлургических процес-
сов, химико-технологических, нефтеперерабатывающих и нефтехи-
мических процессов, а также проектирования электротехнических
систем, авиационной техники и др. Целью компьютерного модели-
рования является определение оптимальной с точки зрения какого-
либо критерия конструкции ТС. Обычно это экономический кри-
терий — прибыль, затраты и др. Оптимальная конструкция должна
гарантировать выполнение некоторых проектных требований (огра-
ничений) — условий безопасности, экологических требований, требо-
ваний по производительности и т. д. Эта задача решается в усло-
виях некоторой неточности исходной физико-химической, техноло-
гической и экономической информации. Это приводит к тому, что
проектирование ТС проводится с использованием неточных мате-
матических моделей. Кроме того, во время функционирования ТС
часто изменяются ее внутренние характеристики, а также условия
внешней среды. В результате приходится решать задачу создания
гибкой ТС, которая гарантирует

1) оптимальное значение некоторого показателя, оценивающего ра-
боту ТС за весь этап функционирования;
2) сохранение работоспособности ТС (выполнение всех проектных
ограничений) на этапе функционирования, несмотря на использо-
вание неточных математических моделей и изменение внутренних
и внешних факторов.
Близкая задача возникает при решении задач планирования
в условиях неопределенности. Поэтому в настоящей книге ставятся
следующие цели.

2794633475-11

Введение

1. Формулировка основных понятий теории гибкости ТС.
2. Формулировка задач проектирования гибких оптимальных ТС.
3. Описание методов и алгоритмов решения сформулированных
задач.
4. Иллюстрация алгоритмов на модельных примерах.

Изложение будет вестись на примере химико-технологических про-
цессов. Однако развитый математический аппарат может быть ис-
пользован для большинства непрерывных технических систем.
Книга состоит из шести глав и приложения. Первые две главы
носят вспомогательный характер. Здесь обсуждаются некоторые
понятия, которые будут использоваться при разработке алгоритмов
анализа гибкости ТС. В гл. 1 «Элементы выпуклого анализа» дается
элементарное введение в выпуклый анализ, вводятся понятия выпук-
лых (вогнутых) функций, выпуклых областей, приводится теорема
о глобальном минимуме.
В гл. 2 «Глобальная оптимизация» рассматривается проблема
поиска глобального решения в двух классах задач математиче-
ского программирования — задачах дифференцируемой оптимиза-
ции и задачах дискретно-непрерывного программирования. Описы-
ваются детерминированные методы решения этих задач, основан-
ные на идеях метода ветвей и границ. Поскольку эффективность
соответствующих алгоритмов зависит в основном от эффективности
процедуры получения нижней оценки, большое внимание уделено
алгоритмам ее получения.
В гл. 3 даются различные формулировки основных задач ана-
лиза гибкости ТС и оптимизации технических систем в условиях
неопределенности. Вводятся понятия теста гибкости, индекса гибко-
сти, двухэтапной и одноэтапной задач оптимизации. Формулировки
задач зависят от уровня неопределенности на этапах проектирова-
ния и функционирования ТС, а также от характера ограничений.
Вообще говоря, эти задачи принадлежат к классу задач недиффе-
ренцируемой и глобальной оптимизации.
В гл. 4 и 5 рассматриваются методы решения сформулированных
задач. В гл. 4 для решения задач оценки гибкости ТС описываются
метод перебора и метод смешанного дискретно-непрерывного нели-
нейного программирования. Кроме того, раскрываются два подхода,
основанные на методе ветвей и границ и методе разбиений и гра-
ниц. Рассматриваются эффективные алгоритмы вычисления верх-
них и нижних границ, необходимые для реализации этих методов.

2794633475-11

Введение
5

В гл. 5 описываются два подхода к решению двухэтапной задачи
оптимизации — метод внешней аппроксимации и метод разбиений
и границ. Метод внешней аппроксимации требует оценки теста
гибкости на каждой итерации. Метод разбиений и границ требует
вычисления на каждой итерации верхней и нижней оценок опти-
мального значения целевой функции двухэтапной задачи оптимиза-
ции. Даются эффективные методы их вычисления.
В гл. 6 рассматривается проблема многокритериальной оптими-
зации в условиях неопределенности. Здесь описываются обобщения
ряда хорошо известных методов многокритериальной оптимизации
на случай учета неопределенности.
В приложении приводятся некоторые математические сведения,
используемые при конструировании алгоритмов решения задач оп-
тимизации в условиях неопределенности. Для формул, теорем и
рисунков из приложения используется нумерация с буквой П.
В книге дается решение ряда модельных задач, иллюстрирующих
работу описанных алгоритмов.

2794633475-11

Глава 1

Элементы
выпуклого анализа

Здесь мы рассмотрим некоторые элементы выпуклого анализа,
которые будут необходимы при описании методов анализа гибко-
сти ТС. Детальное описание этого вопроса можно найти в книге
(Базара и Шетти [88]).

1.1.
Выпуклые области, выпуклые функции
и их свойства

1.1.1.
Определения

Рассмотрим некоторую область D. Если для любой пары точек
x1, x2 ∈ D (рис. 1.1) отрезок [x1, x2], включающий конечные точки
x1, x2, принадлежит области D, то область называется выпуклой,
в противном случае она называется невыпуклой. На рис. 1.1 об-
ласть D1 — невыпуклая, а область D2 — выпуклая. Дадим теперь
определение выпуклой функции. Рассмотрим некоторую одномер-
ную функцию f(x) в интервале [xL, xU]. Выберем любые две точки
x1, x2 ∈ [xL, xU]. Проведем прямую линию через точки A1 = (x1, f1)
и A2 = (x2, f2) такие, что f1 = f(x1) и f2 = f(x2) (рис. 1.2).

•
•

•

•
x1

x1

x2
x2

D1
D2

Рис. 1.1. Невыпуклые и выпуклые области

2794633475-11

1.1. Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства
7

•

•

A1

A2
f

f1

f2

x1
x2
x

Рис. 1.2. Выпуклая функция

Уравнение этой прямой имеет вид

¯f = f1 + f2 − f1

x2 − x1 (x − x1).

Представим точку внутри отрезка [x1, x2] в виде

x = (1 − α)x1 + αx2,
0 ⩽ α ⩽ 1.
(1.1)

Это соотношение эквивалентно следующему:

x = λ1x1 + λ2x2,
λ1 + λ2 = 1,
λ1 ⩾ 0,
λ2 ⩾ 0.
(1.2)

С использованием выражения (1.1) уравнение прямой A1A2 может
быть преобразовано следующим образом:

¯f[(1 − α)x1 + αx2] = f1 + f2 − f1

x2 − x1 ((1 − α)x1 + αx2 − x1) =

= f1 +
f2 − f1
(x2 − x1) α(x2 − x1) =

= f1 + (f2 − f1)α = (1 − α)f1 + αf2,

0 ⩽ α ⩽ 1.

(1.3)

Это параметрическая форма прямой.

Определение. Функция, определенная на отрезке [xL, xU], называ-
ется выпуклой, если для любой пары x1, x2 ∈ [xL, xU] выполняется
следующее условие:

f(x) ⩽ ¯f(x)
для всех
x ∈ [x1, x2].
(1.4)

Другими словами, график функции f(x) должен лежать ниже
прямой, соединяющей точки (x1, f1) и (x2, f2).

2794633475-11

Глава 1. Элементы выпуклого анализа

Подставляя в неравенство (1.4) выражения для x и ¯f из (1.1)
и (1.3), мы получим другую форму условия выпуклости:

f[(1 − α)x1 + αx2] ⩽ (1 − α)f(x1) + αf(x2),
0 ⩽ α ⩽ 1.
(1.5)

Функция f(x) называется строго выпуклой, если в (1.5) выпол-
няется строгое неравенство (за исключением концевых точек)

f[(1 − α)x1 + αx2] < (1 − α)f(x1) + αf(x2),
0 < α < 1.
(1.6)

Вогнутая функция удовлетворяет следующему условию:

f[(1 − α)x1 + αx2] ⩾ (1 − α)f(x1) + αf(x2),

0 ⩽ α ⩽ 1,
для всех
x1, x2 ∈ [xL, xU].
(1.7)

Функция f(x) называется квазивыпуклой, если выполняется
неравенство

f[(1 − α)x1 + αx2] ⩽ max[f(x1), f(x2)],

0 ⩽ α ⩽ 1,
для всех
x1, x2 ∈ [xL, xU].
(1.8)

Функция f(x) называется квазивогнутой, если выполняется нера-
венство
f[(1 − α)x1 + αx2] ⩾ min[f(x1), f(x2)],

0 ⩽ α ⩽ 1,
для всех
x1, x2 ∈ [xL, xU].
(1.9)

Функция f(x) называется строго квазивыпуклой, если в усло-
вии (1.8) выполняется строгое неравенство (за исключением кон-
цевых точек). Аналогично, функция f(x) называется строго ква-
зивогнутой, если в условии (1.9) выполняется строгое неравенство
(за исключением концевых точек). Соотношения (1.5)–(1.9) легко
обобщаются на случай n-мерного пространства. При этом в этих
соотношениях отрезок [xL, xU] должен быть заменен на выпуклую
область. Например, функция f(x) будет выпуклой в некоторой
непустой выпуклой области D, если выполняется неравенство (1.5)
для любых точек x1, x2, принадлежащих D. Аналогично могут быть
преобразованы остальные соотношения (1.6)–(1.9).
Покажем, что любая выпуклая функция является квазивыпук-
лой функцией (однако, обратное неверно). Пусть функция f(x)
выпукла. Предположим, что

f(x2) ⩾ f(x1).

2794633475-11

1.1. Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства
9

f

x

f(¯x)

f(x)

¯x

y

Рис. 1.3. Геометрическая интерпретация условия (1.10)

Для любых двух точек x1, x2 условие (1.4) выполняется, поэтому

f

(1 − α)x1 + αx2

⩽ (1 − α)f(x1) + αf(x2) ⩽

⩽ (1 − α)f(x2) + αf(x2) =

= f(x2) = max[f(x1), f(x2)].

Это и есть условие того, что функция f(x) квазивыпукла. Вогну-
тая функция может быть квазивыпуклой функцией. Капитальные
затраты технического оборудования часто выражаются с помощью
функции xα (где α < 1). Легко проверить, что эта функция вогнута.
Рассмотрим теперь второе определение выпуклой функции.

Определение. Дифференцируемая функция f(x) является выпук-
лой в непустой выпуклой области D, если выполняется следующее
условие:

f(x) ⩾ f(¯x) + (grad f(¯x))T(x − ¯x)
для всех
x, ¯x ∈ D.
(1.10)

На рис. 1.3 приведена геометрическая интерпретация этого усло-
вия на примере функции одной переменной. На этом рисунке прямая

y = f(¯x) + df(¯x)

dx
(x − ¯x)

есть касательная к графику функции f(x) в точке ¯x. Условие (1.10)
означает, что в точке x график функции f(x) должен лежать выше
этой касательной.
Докажем, что если условие (1.10) для одномерной функции f(x)
выполняется, то эта функция выпукла.
В этом случае условие (1.10) примет вид

f(x) ⩾ f(¯x) + df(¯x)

dx
(x − ¯x)
для всех
x, ¯x ∈ [xL, xU],
(1.11)

где [xL, xU] — интервал, на котором определена функция f(x).

2794633475-11

Глава 1. Элементы выпуклого анализа

Предположим противное, что функция f(x) не является выпук-
лой. Это значит, что найдутся точки в интервале [xL, xU], в которых
значение функции f(x) будет выше прямой A1A2 (см. рис. 1.2).
Выберем среди них точку ¯¯x, в которой значение функции f(x)
находится на наибольшем расстоянии от прямой A1A2. В этой
точке касательная к функции f(x) будет параллельна прямой A1A2.
Уравнение этой касательной имеет вид

f(¯¯x) + df(¯¯x)

dx
(x − ¯¯x) = y.

В некоторой окрестности D точки ¯¯x все значения функции f(x)
находятся ниже этой касательной, т. е. выполняется условие

f(¯¯x) + df(¯¯x)

dx
(x − ¯¯x) ⩾ f(x)
для всех
x ∈ D.

Но это условие противоречит условию (1.11). Следовательно, не
может существовать точка выше прямой A1A2.

Определение. Дважды дифференцируемая функция f(x) является
выпуклой в непустой выпуклой области D, если гессиан ∇2f явля-
ется положительной полуопределенной матрицей во всех точках этой
области (Базара и Шетти [88]).

Теорема 1.1. Пусть функция ϕ(x) является квазивыпуклой в непу-
стой выпуклой области D. Тогда область

R = {x: x ∈ D, ϕ(x) ⩽ 0}

является выпуклой.

Доказательство. Возьмем две точки x1, x2 ∈ R. В этих точках
выполняются условия ϕ(x1) ⩽ 0 и ϕ(x2) ⩽ 0. В соответствии
с определением квазивыпуклой функции для любой точки отрезка
[x1, x2] удовлетворяется условие

ϕ(x) ⩽ max[ϕ(x1), ϕ(x2)] ⩽ 0.

Таким образом, в любой точке отрезка [x1, x2] выполняется условие 
ϕ(x) ⩽ 0. Поскольку x1, x2 ∈ R , то любая точка отрезка [x1, x2]
принадлежит области D. Таким образом, в любой точке отрезка
[x1, x2] выполняются условия ϕ(x) ⩽ 0 и x ∈ D. Поэтому область R
является выпуклой.
■

Теорема 1.2. Локальный минимум выпуклой или строго квазивы-
пуклой функции f(x) в выпуклой ограниченной области R является
глобальным минимумом в этой области.

2794633475-11