Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению
Покупка
Издательство:
Лаборатория знаний
Авторы:
Романко Василий Кириллович, Агаханов Назар Хангельдыевич, Власов Виктор Валентинович, Коваленко Лидия Ивановна
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 222
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-00101-799-8
Артикул: 801805.01.99
Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление». В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы.
Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономических специальностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.02: Фундаментальная информатика и информационные технологии
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.02: Менеджмент
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
СБОРНИК ЗАДАЧ по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению Под редакцией В. К. Романко Москва Лаборатория знаний 2020 6-е издание, электронное
УДК 517.9 ББК 22.161.1 C23 А в т о р с к и й к о л л е к т и в: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко C23 Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко ; под ред. В. К. Романко. — 6-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 222 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-00101-799-8 Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление». В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы. Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономических специальностей. УДК 517.9 ББК 22.161.1 Деривативное издание на основе печатного аналога: Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко ; под ред. В. К. Романко. — 6-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 219 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-254-2. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-00101-799-8 c○ Лаборатория знаний, 2015
Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка . . . 5 § 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное изображение интегральных кривых уравнений. . . . . . . . . . 5 § 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 § 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и уравнения Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 § 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 § 5. Исследование задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 § 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка . . 45 § 7. Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 § 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 § 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 § 10. Теорема Штурма. Граничные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений. 94 § 11. Методы решения линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 § 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. . . . . 129 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 § 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 § 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений равновесия и на всей фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 § 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . 154 § 16. Первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Глава 5. Автономные системы дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка . . . . . . . 166 § 17. Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 § 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Глава 6. Элементы вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . 189 § 19. Простейшая вариационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 § 20. Обобщения простейшей вариационной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 § 21. Изопериметрическая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 § 22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в простейшей вариационной задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Предисловие Настоящий сборник составлен на основании многолетнего опыта преподавания курса обыкновенных дифференциальных уравнений в Московском физико-техническом институте (государственном университете). В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составленных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ. Значительная часть задач сборника подготовлена авторами. Н. Х. Агаханов укомплектовал задачами § 6 и § 13 сборника, В. В. Власов совместно с В. К. Романко подобрали задачи § 8 и § 11 сборника, Л. И. Коваленко составила задачи § 7 и совместно с В. К. Романко подобрала задачи § § 2–4 и § 9 сборника. Подбор задач остальных параграфов сборника и общая редакция сборника осуществлены В. К. Романко. В начале каждого параграфа сборника помещены примеры решений типовых задач. Начало решения задачи отмечается значком △, а конец решения — значком ▲. В конце каждого параграфа приведены ответы к задачам параграфа. В сборнике предлагается большое количество задач по основным темам программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Это позволяет использовать сборник преподавателями для аудиторной работы, для домашних заданий, для составления контрольных работ, а студентами — для самостоятельной работы. Авторы сборника выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики МФТИ, чья многолетняя творческая де- ятельность способствовала появлению этого сборника. Авторы сбор- ника особенно благодарны профессору Г. Н. Яковлеву и профессору М. И. Шабунину за помощь при написании сборника. Во втором издании исправлены замеченные ошибки и неточности. Некоторые задачи заменены и добавлены новые задачи. Большую работу по подготовке второго издания выполнила Л. И. Ко- валенко. Авторы выражают благодарность студентам МФТИ И. Агрону, Я. Зарецкому, О. Корзинову, Н. Славскому, Н. Чернышкину за работу по проверке ответов некоторых задач.
Глава 1 Дифференциальные уравнения первого порядка § 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное изображение интегральных кривых уравнений Пусть семейство плоских непрерывно дифференцируемых кривых зада- но уравнением Φ(x, y, C) = 0, где y — неявная функция x при каждом значении параметра C. Если система уравнений ⎧ ⎨ ⎩ ∂Φ ∂x + ∂Φ ∂y · y′ = 0, Φ(x, y, C) = 0 позволяет исключить параметр C, то получается дифференциальное уравнение заданного семейства кривых. В случае, когда семейство кривых задано уравнением Φ(x, y, C1, C2) = 0, зависящим от двух параметров C1 и C2, исключение параметров C1, C2 и получение дифференциального уравнения семей- ства кривых достигается с помощью нахождения второй производной от Φ по x. Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых tg y = Ce−x2. △ Продифференцируем по x заданное соотношение, считая y неявной функцией x: y′ cos2 y = −2xCe−x2. Подставляя сюда найденное из заданного соотношения C = ex2 tg y, по- лучаем искомое уравнение y′ + x sin2y = 0. ▲ Чтобы приближенно построить интегральные кривые дифференци- ального уравнения y′ = f(x, y), необходимо рассмотреть несколько изо- клин уравнения и найти линии, на которых могут находиться точки экстремума и точки перегиба интегральных кривых.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Пример 2. Построить приближенно интегральные кривые уравнения y′ = y − 3x. △ Правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы существо- вания и единственности решения задачи Коши на всей плоскости (x, y). Поэтому интегральные кривые не могут ни пересекаться, ни касаться. Изоклины уравнения имеют виду y − 3x = k, где k = const. При k = 0 изоклина y = 3x делит плоскость на две части. Слева от прямой y = 3x y′ > 0, а справа от прямой y = 3x y′ < 0. Значит, слева от прямой y = 3x интегральные кривые — это графики возрастающих решений y = y(x) уравнения, а справа от прямой y = 3x интегральные кривые — графики убывающих решений уравнения. На самой прямой y = 3x находятся максимумы решений y = y(x) уравнения. Возьмем еще две изоклины. Изоклина y = 3x + 1 пересекает инте- гральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ox углы π 4 . Изоклина y = 3x−1 пересекает интегральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ox углы 3π 4 . Из уравнения найдем y′′ = y′−3 = y−3x−3. Прямая y = 3x + 3 делит плоскость на две части. Слева от прямой y = 3x + 3 y′′ > 0 и, значит, интегральные кривые выпуклые вниз, а справа от этой прямой y′′ < 0 и, значит, решения y = y(x) уравнения — выпуклые вниз функции, а справа от этой прямой y′′ < 0 и, значит, решения y = y(x) — выпуклые вверх функции. Прямая y = 3x + 3 является интегральной кривой, в чем можно убедиться подстановкой y = 3x + 3 в уравнение. Поэтому другие интегральные кривые не пересекают эту прямую. Проведенное исследование позволяет приближенно построить интегральные кривые заданного уравнения (см. рис. 1.1). ▲ Составить дифференциальные уравнения семейства кривых (1–18): 1. y = Cx2 − x. 2. y = x2 + Cx. 3. y = (x − C)2. 4. (y − C)2 = 2x. 5. (x − C)2 + y2 1. 6. x2 + (y − C)2 = 1. 7. 2x2 + Cy2 = 1. 8. (y − C)2 = 1 x . 9. x2 + 2x − (y − C)2 = 2. 10. y = tg(x + C). 11. Cx = sin Cy. 12. Cy = tg Cx. 13. x2 = (C + y)ey. 14. y2 + 2Cxy + x2 + 2x = 0. 15. y = A cos(x + ϕ). 16. y = (C1 + C2x)ex. 17. y = C1 x + C2x. 18. y2 = C1x2 + C2x.
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых 7 РИС. 1.1 Построить приближенно интегральные кривые уравнений (19–38): 19. y′ = y − 1 x − 1 . 20. y′ = y x + 1 . 21. y′ = 1 − x y − 1 . 22. y′ = x + 1 1 − y . 23. y′ = 1 − y x . 24. y′ = y 1 − x .
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 25. y′ = (x − 1)y. 26. y′ = x(y + 1). 27. y′ = 2x + y x − 2y . 28. y′ = y − 2x 2y + x . 29. y′ = 2x + 2y + 1. 30. y′ = 2x − 2y − 1. 31. y′ = y − x2 − 2x − 2. 32. y′ = y − x2 + 2x. 33. y′ = −x2 − y x . 34. y′ = y x + x2. 35. y′ = y − x3. 36. y′ = 2xy − 2. 37. y′ = x2 + y2 − 1. 38. y′ = x2 − y2 − 1. 39. Пусть задано уравнение y′ = f(x, y) с непрерывной функцией f(x, y) на всей плоскости (x, y). Показать, что: а) если уравнение имеет периодическое периода T > 0 решение y = ϕ(x), отличное от константы, то необходимо f(x, y) при y = ϕ(x) имеет период T > 0 по x, б) если f(x, y) при любом y = y(x) не является периодической функцией x периода T > 0, то уравнение не имеет периодических решений периода T > 0, отличных от константы. 40. Пусть y = ϕ(x) — решение уравнения y′ = f(x, y) с непрерывной функцией f(x, y) на всей плоскости (x, y). Показать, что: а) при f(−x, y) = −f(x, y) функция y = ϕ(−x) — также решение уравнения, б) при f(x, −y) = −f(x, y) функция y = −ϕ(x) — также решение уравнения, в) при f(−x, −y) = f(x, y) функция y = −ϕ(−x) — также решение уравнения. 41. Пусть f(x, y) — непрерывно дифференцируемая функция на всей плоскости (x, y) и пусть f(x, y) — периодическая функция по x периода T и ∂f(x, y) ∂y > 0. Доказать, что уравнение y′ = f(x, y) не может иметь более одного периодического решения. Ответы к задачам § 1 1. xy′ − 2y = x. 2. xy′ − y = x2. 3. y′2 = 4y. 4. 2xy′2 = 1. 5. y2(y′2 + 1) = 1. 6. (1 − x2)y′2 = x2. 7. (2x2 − 1)y′ = 2xy. 8. 4x3y′2 = 1.
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых 9 9. (x2 + 2x − 2)y′2 = (x + 1)2. 10. y′ = 1 + y2. 11. 1 y′ = cos y y′2 − 1 |xy′| . 12. y′ cos2 x y′ − 1 |y| = 1. 13. (x2 + ey)y′ = 2x. 14. x(y2 − x2 −2x)y′ = y(y2 − x2). 15. y′′ + y = 0. 16. y′′ − 2y′ + y = 0. 17. x2y′′ + xy′ − y = 0. 18. x2(yy′′ + y′2) = y(2xy′ − y).
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка § 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения Для решения уравнения с разделяющимися переменными P1(x)q1(y)dx + P2(x)q2(y)dy = 0 необходимо уравнение сначала умножить или разделить на такое выра- жение, чтобы в результате получилось уравнение, одна часть которого содержит только dx и некоторую функцию x, а другая часть содержит только dy и некоторую функцию y. При делении уравнения надо сле- дить, чтобы не потерялись решения уравнения. Пример 1. Решить уравнение (x + 2)(1 + y2)dx + (x + 1)y2 dy = 0. △ Разделив уравнение на (x + 1)(1 + y2), получаем уравнение с разде- ленными переменными x + 2 x + 1 dx + y2 1 + y2 dy = 0. При делении на (x+1) можно потерять решение x = −1. Подстановка x = −1 в заданное уравнение показывает, что x = −1 действительно является решением уравнения. Далее имеем x + 2 x + 1 dx + y2dy 1 + y2 = C, где C — произвольная постоянная. Найдя интегралы, получаем x + y + ln |x + 1| − arctg y = C. ▲ Для получения ортогональных траекторий заданного семейства плоских кривых нужно сначала составить дифференциальное уравнение семейства кривых F(x, y, y′) = 0. Затем заменить в этом уравнении y′ на − 1 y′ . Это дает дифференциальное уравнение искомых ортогональ- ных траекторий. Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства кривых y = tg(ln Cx). △ Сначала составим дифференциальное уравнение заданного семей- ства кривых. Дифференцируя по x уравнение заданного семейства и ис- ключая параметр C, получаем уравнение y′ = 1 x · cos2(ln Cx) = 1 x [1 + tg2(ln Cx)] = 1 + y2 x .
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными 11 Заменяя в этом уравнении y′ на − 1 y′ , находим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий −x − (1 + y2)y′. Заменив y′ на dy dx и решив полученное уравнение с разделен- ными переменными, находим уравнение ортогональных траекторий 3x2 + 2y3 + 6y = C. ▲ Однородные уравнения имеют вид y′ = f y x . Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 будет однородным, если P(x, y) и Q(x, y) яв- ляются однородными функциями одной и той же степени (уравнение не меняется, если вместо x подставить tx, а вместо y подставить ty, где t — параметр, не равный нулю). Замена y = xz приводит однородные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными. Пример 3. Решить уравнение 2xy dx = (x2 + y2)dy. △ Замена y = xz приводит заданное уравнение к уравнению с разделя- ющимися переменными x(1 + z2)dz + z(z2 − 1)dx = 0. Заметим, что z = 0, ±1 — решения этого уравнения. Тогда из замены сле- дует, что y = 0 и y = ± x — решения исходного уравнения. При z ̸= 0, ±1 уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде dx x + 2z z2 − 1 − 1 z dz = 0. Решив это уравнение и использовав замену z = y x , получаем решения заданного уравнения: x2 − y2 = Cy, y = 0. ▲ Уравнение вида (a1x+b1y+c1)dx+(a2x+b2y+c2)dy = 0 в том случае, когда прямые a1x+b1y +c1 = 0 и a2x+b2y +c2 = 0 пересекаются, приво- дится к однородному уравнению с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых. Решить уравнения (1–23): 1. y′ = y2 − y. 2. (x2 + x)y′ − (2x + 1)y = 0. 3. xy′ cos y + sin y = sin2 y. 4. y′ cos x + y(1 + y) sin x = 0. 5. 2xy dx = (1 − x2)dy. 6. x3y dy = (x − 1)dx.