Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению

Покупка
Артикул: 801805.01.99
Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление». В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы. Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономических специальностей.
Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению : учебное пособие / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко ; под ред. В. К. Романко. - 6-е изд. - Москва : Лаборатория знаний, 2020. - 222 с. - ISBN 978-5-00101-799-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1986580 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
СБОРНИК
 
ЗАДАЧ

по дифференциальным
 

уравнениям
и вариационному
 

исчислению

Под редакцией  
В. К. Романко

Москва
Лаборатория знаний  
2020

6-е издание,  электронное

УДК 517.9
ББК 22.161.1
C23

А в т о р с к и й к о л л е к т и в:
В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов,
Л. И. Коваленко

C23
Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному 
исчислению / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов,
В. В. Власов, Л. И. Коваленко ; под ред. В. К. Романко. —
6-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 222 с. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-799-8
Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные 
уравнения и вариационное исчисление».
В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. 
Ко всем задачам даны ответы.
Для студентов физико-математических, инженерно-физических
и экономических специальностей.
УДК 517.9
ББК 22.161.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Сборник
задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / 
В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко ; 
под ред. В. К. Романко. — 6-е изд. — М. : Лаборатория знаний,
2020. — 219 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-254-2.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя 
возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-799-8
c○ Лаборатория знаний, 2015

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка . . .
5

§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное 
изображение интегральных кривых уравнений. . . . . . . . . .
5

§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. 
Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

§ 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и уравнения 
Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

§ 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

§ 5. Исследование задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

§ 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. 
Особые решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка . .
45

§ 7. Основные
типы
уравнений,
допускающие
понижение
порядка
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

§ 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. 
Уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

§ 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными 
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений.
94

§ 11. Методы
решения
линейных
систем
уравнений
с
постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. . . . . 129

Глава 4. Автономные
системы
дифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
135

§ 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений
равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

§ 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений
равновесия и на всей фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . 154
§ 16. Первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Глава 5. Автономные системы дифференциальные уравнения 
в частных производных первого порядка . . . . . . . 166

§ 17. Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Глава 6. Элементы вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . 189

§ 19. Простейшая вариационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
§ 21. Изопериметрическая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
§ 22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в простейшей 
вариационной задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Предисловие

Настоящий сборник составлен на основании многолетнего опыта преподавания 
курса обыкновенных дифференциальных уравнений в Московском 
физико-техническом институте (государственном университете).
В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составленных 
преподавателями кафедры высшей математики МФТИ. Значительная 
часть задач сборника подготовлена авторами. Н. Х. Агаханов
укомплектовал задачами § 6 и § 13 сборника, В. В. Власов совместно с
В. К. Романко подобрали задачи § 8 и § 11 сборника, Л. И. Коваленко
составила задачи § 7 и совместно с В. К. Романко подобрала задачи
§ § 2–4 и § 9 сборника. Подбор задач остальных параграфов сборника
и общая редакция сборника осуществлены В. К. Романко.
В начале каждого параграфа сборника помещены примеры решений
типовых задач. Начало решения задачи отмечается значком △, а конец
решения — значком ▲. В конце каждого параграфа приведены ответы к
задачам параграфа.
В сборнике предлагается большое количество задач по основным
темам программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Это позволяет использовать сборник преподавателями для аудиторной
работы, для домашних заданий, для составления контрольных работ, а
студентами — для самостоятельной работы.
Авторы сборника выражают глубокую благодарность коллективу
кафедры высшей математики МФТИ, чья многолетняя творческая де-
ятельность способствовала появлению этого сборника. Авторы сбор-
ника особенно благодарны профессору Г. Н. Яковлеву и профессору
М. И. Шабунину за помощь при написании сборника.
Во втором издании исправлены замеченные ошибки и неточности.
Некоторые задачи заменены и добавлены новые задачи.
Большую работу по подготовке второго издания выполнила Л. И. Ко-
валенко. Авторы выражают благодарность студентам МФТИ И. Агрону,
Я. Зарецкому, О. Корзинову, Н. Славскому, Н. Чернышкину за работу
по проверке ответов некоторых задач.

Глава 1

Дифференциальные уравнения
первого порядка

§ 1.
Составление уравнений
заданного семейства плоских кривых.
Приближенное изображение
интегральных кривых уравнений

Пусть семейство плоских непрерывно дифференцируемых кривых зада-
но уравнением Φ(x, y, C) = 0, где y — неявная функция x при каждом
значении параметра C. Если система уравнений
⎧
⎨

⎩

∂Φ
∂x + ∂Φ

∂y · y′ = 0,

Φ(x, y, C) = 0

позволяет исключить параметр C, то получается дифференциальное
уравнение заданного семейства кривых.
В
случае,
когда
семейство
кривых
задано
уравнением
Φ(x, y, C1, C2) = 0, зависящим от двух параметров C1 и C2, исключение
параметров C1, C2 и получение дифференциального уравнения семей-
ства кривых достигается с помощью нахождения второй производной
от Φ по x.

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
tg y = Ce−x2.

△ Продифференцируем по x заданное соотношение, считая y неявной
функцией x:

y′

cos2 y = −2xCe−x2.

Подставляя сюда найденное из заданного соотношения C = ex2 tg y, по-
лучаем искомое уравнение

y′ + x sin2y = 0.

▲

Чтобы приближенно построить интегральные кривые дифференци-
ального уравнения y′ = f(x, y), необходимо рассмотреть несколько изо-
клин уравнения и найти линии, на которых могут находиться точки
экстремума и точки перегиба интегральных кривых.

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Пример 2. Построить приближенно интегральные кривые уравнения

y′ = y − 3x.

△ Правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы существо-
вания и единственности решения задачи Коши на всей плоскости (x, y).
Поэтому интегральные кривые не могут ни пересекаться, ни касаться.
Изоклины уравнения имеют виду y − 3x = k, где k = const. При k = 0
изоклина y = 3x делит плоскость на две части. Слева от прямой y = 3x
y′ > 0, а справа от прямой y = 3x y′ < 0. Значит, слева от прямой y = 3x
интегральные кривые — это графики возрастающих решений y = y(x)
уравнения, а справа от прямой y = 3x интегральные кривые — графики
убывающих решений уравнения. На самой прямой y = 3x находятся
максимумы решений y = y(x) уравнения.
Возьмем еще две изоклины. Изоклина y = 3x + 1 пересекает инте-
гральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют
с осью Ox углы π

4 . Изоклина y = 3x−1 пересекает интегральные кривые

в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ox углы 3π

4 .
Из уравнения найдем y′′ = y′−3 = y−3x−3. Прямая y = 3x + 3 делит
плоскость на две части. Слева от прямой y = 3x + 3 y′′ > 0 и, значит,
интегральные кривые выпуклые вниз, а справа от этой прямой y′′ < 0 и,
значит, решения y = y(x) уравнения — выпуклые вниз функции, а справа
от этой прямой y′′ < 0 и, значит, решения y = y(x) — выпуклые вверх
функции. Прямая y = 3x + 3 является интегральной кривой, в чем
можно убедиться подстановкой y = 3x + 3 в уравнение. Поэтому другие
интегральные кривые не пересекают эту прямую.
Проведенное исследование позволяет приближенно построить интегральные 
кривые заданного уравнения (см. рис. 1.1).
▲

Составить дифференциальные уравнения семейства кривых (1–18):

1. y = Cx2 − x.
2. y = x2 + Cx.
3. y = (x − C)2.
4. (y − C)2 = 2x.

5. (x − C)2 + y2
1.
6. x2 + (y − C)2 = 1.

7. 2x2 + Cy2 = 1.
8. (y − C)2 = 1

x .

9. x2 + 2x − (y − C)2 = 2.
10. y = tg(x + C).
11. Cx = sin Cy.
12. Cy = tg Cx.
13. x2 = (C + y)ey.
14. y2 + 2Cxy + x2 + 2x = 0.
15. y = A cos(x + ϕ).
16. y = (C1 + C2x)ex.

17. y = C1

x + C2x.
18. y2 = C1x2 + C2x.

§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых
7

РИС. 1.1

Построить приближенно интегральные кривые уравнений (19–38):

19. y′ = y − 1

x − 1 .
20. y′ =
y

x + 1 .

21. y′ = 1 − x

y − 1 .
22. y′ = x + 1

1 − y .

23. y′ = 1 − y

x
.
24. y′ =
y

1 − x .

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

25. y′ = (x − 1)y.
26. y′ = x(y + 1).

27. y′ = 2x + y

x − 2y .
28. y′ = y − 2x

2y + x .

29. y′ = 2x + 2y + 1.
30. y′ = 2x − 2y − 1.

31. y′ = y − x2 − 2x − 2.
32. y′ = y − x2 + 2x.

33. y′ = −x2 − y

x .
34. y′ = y

x + x2.

35. y′ = y − x3.
36. y′ = 2xy − 2.

37. y′ = x2 + y2 − 1.
38. y′ = x2 − y2 − 1.

39. Пусть задано уравнение y′ = f(x, y) с непрерывной функцией f(x, y)
на всей плоскости (x, y). Показать, что:
а) если уравнение имеет периодическое периода T > 0 решение
y = ϕ(x), отличное от константы, то необходимо f(x, y) при
y = ϕ(x) имеет период T > 0 по x,
б) если f(x, y) при любом y = y(x) не является периодической
функцией x периода T > 0, то уравнение не имеет периодических 
решений периода T > 0, отличных от константы.
40. Пусть y = ϕ(x) — решение уравнения y′ = f(x, y) с непрерывной
функцией f(x, y) на всей плоскости (x, y). Показать, что:
а) при f(−x, y) = −f(x, y) функция y = ϕ(−x) — также решение
уравнения,
б) при f(x, −y) = −f(x, y) функция y = −ϕ(x) — также решение
уравнения,
в) при f(−x, −y) = f(x, y) функция y = −ϕ(−x) — также решение
уравнения.
41. Пусть f(x, y) — непрерывно дифференцируемая функция на всей
плоскости (x, y) и пусть f(x, y) — периодическая функция по x периода 
T и ∂f(x, y)

∂y
> 0.

Доказать, что уравнение y′ = f(x, y) не может иметь более одного
периодического решения.

Ответы к задачам § 1

1. xy′ − 2y = x.
2. xy′ − y = x2.

3. y′2 = 4y.
4. 2xy′2 = 1.

5. y2(y′2 + 1) = 1.
6. (1 − x2)y′2 = x2.

7. (2x2 − 1)y′ = 2xy.
8. 4x3y′2 = 1.

§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых
9

9. (x2 + 2x − 2)y′2 = (x + 1)2.
10. y′ = 1 + y2.

11.
1
y′ = cos y
y′2 − 1

|xy′|
.
12. y′ cos2 x
y′ − 1

|y|
= 1.

13. (x2 + ey)y′ = 2x.
14. x(y2 − x2 −2x)y′ = y(y2 − x2).

15. y′′ + y = 0.
16. y′′ − 2y′ + y = 0.

17. x2y′′ + xy′ − y = 0.
18. x2(yy′′ + y′2) = y(2xy′ − y).

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

§ 2.
Уравнения с разделяющимися
переменными. Ортогональные траектории.
Однородные уравнения

Для решения уравнения с разделяющимися переменными

P1(x)q1(y)dx + P2(x)q2(y)dy = 0
необходимо уравнение сначала умножить или разделить на такое выра-
жение, чтобы в результате получилось уравнение, одна часть которого
содержит только dx и некоторую функцию x, а другая часть содержит
только dy и некоторую функцию y. При делении уравнения надо сле-
дить, чтобы не потерялись решения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение
(x + 2)(1 + y2)dx + (x + 1)y2 dy = 0.

△ Разделив уравнение на (x + 1)(1 + y2), получаем уравнение с разде-
ленными переменными

x + 2
x + 1 dx +
y2

1 + y2 dy = 0.

При делении на (x+1) можно потерять решение x = −1. Подстановка
x = −1 в заданное уравнение показывает, что x = −1 действительно
является решением уравнения.
Далее имеем
x + 2
x + 1 dx +
y2dy
1 + y2 = C,

где C — произвольная постоянная. Найдя интегралы, получаем

x + y + ln |x + 1| − arctg y = C.

▲

Для получения ортогональных траекторий заданного семейства
плоских кривых нужно сначала составить дифференциальное уравнение
семейства кривых F(x, y, y′) = 0. Затем заменить в этом уравнении y′ на
− 1

y′

. Это дает дифференциальное уравнение искомых ортогональ-

ных траекторий.

Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства кривых

y = tg(ln Cx).

△ Сначала составим дифференциальное уравнение заданного семей-
ства кривых. Дифференцируя по x уравнение заданного семейства и ис-
ключая параметр C, получаем уравнение

y′ =
1

x · cos2(ln Cx) = 1

x [1 + tg2(ln Cx)] = 1 + y2

x
.

§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
11

Заменяя в этом уравнении y′ на
− 1

y′

, находим дифференциальное

уравнение ортогональных траекторий

−x − (1 + y2)y′.

Заменив
y′
на
dy
dx
и
решив
полученное
уравнение
с
разделен-
ными переменными, находим уравнение ортогональных траекторий
3x2 + 2y3 + 6y = C.
▲

Однородные уравнения имеют вид
y′ = f
y

x

. Уравнение вида

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 будет однородным, если P(x, y) и Q(x, y) яв-
ляются однородными функциями одной и той же степени (уравнение
не меняется, если вместо x подставить tx, а вместо y подставить ty,
где t — параметр, не равный нулю). Замена y = xz приводит однородные
уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение 2xy dx = (x2 + y2)dy.

△ Замена y = xz приводит заданное уравнение к уравнению с разделя-
ющимися переменными

x(1 + z2)dz + z(z2 − 1)dx = 0.

Заметим, что z = 0, ±1 — решения этого уравнения. Тогда из замены сле-
дует, что y = 0 и y = ± x — решения исходного уравнения. При z ̸= 0, ±1
уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде

dx
x +
2z

z2 − 1 − 1

z

dz = 0.

Решив это уравнение и использовав замену z = y

x , получаем решения
заданного уравнения:

x2 − y2 = Cy,
y = 0.

▲

Уравнение вида (a1x+b1y+c1)dx+(a2x+b2y+c2)dy = 0 в том случае,
когда прямые a1x+b1y +c1 = 0 и a2x+b2y +c2 = 0 пересекаются, приво-
дится к однородному уравнению с помощью переноса начала координат
в точку пересечения прямых.
Решить уравнения (1–23):

1. y′ = y2 − y.
2. (x2 + x)y′ − (2x + 1)y = 0.

3. xy′ cos y + sin y = sin2 y.
4. y′ cos x + y(1 + y) sin x = 0.

5. 2xy dx = (1 − x2)dy.
6. x3y dy = (x − 1)dx.