Математические методы в бизнесе и менеджменте

В. В. Покровский

Математические
методы
в бизнесе и менеджменте

Учебное пособие

5е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 519+65.0+334(075.8)
ББК 22.17я73
П48

Покровский В. В.
П48
Математические
методы
в
бизнесе
и
менеджменте
:
учебное пособие / В. В. Покровский. — 5-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2020. — 113 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-709-7
В учебном пособии представлены методы линейного программи-
рования и математической статистики, позволяющие предпринима-
телю принять оптимальное или близкое к оптимальному решение
в условиях рыночной экономики. Описана методика построения
математических моделей, графическое и численное решение задач
оптимизации в среде MS Excel. Рассмотрено применение статистиче-
ских критериев, позволяющее принимать решение на основе строгих
методов, отсеивающих случайные причины. Предложены алгоритмы
компьютерной обработки статистических критериев.
Отдельная глава посвящена задачам и упражнениям, наиболее
трудные из которых приводятся с решениями.
Для студентов и преподавателей высших учебных заведений.
УДК 519+65.0+334(075.8)
ББК 22.17я73

Деривативное издание на основе печатного аналога: Мате-
матические методы в бизнесе и менеджменте : учебное пособие /
В. В. Покровский. — 2-е изд., испр. — М. : БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2008. — 110 с. : ил. — ISBN 978-5-94774-832-1.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от наруши-
теля возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-709-7
c○ Лаборатория знаний, 2015

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава 1. Линейное программирование (ЛП) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Общий вид задачи ЛП. Канонический и симметрический
(стандартный) виды задачи ЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Построение математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Графический метод решения задач линейного
программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5. Двойственные задачи линейного программирования . . . . . . . 31
1.6. Решение задачи оптимизации
в среде Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.7. Целочисленное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.8. Графическое оформление результатов в среде Excel. . . . . . . . 58

Глава 2. Статистические методы в менеджменте и экономике. . . . . . 62

2.1. Роль статистических методов в современном
менеджменте и бизнесе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2. Критерий знаков G (G-критерий) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3. Парный Т-критерий Вилкоксона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4. Критерий Пейджа
(L-критерий тенденций Пейджа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5. Компьютерная обработка G-критерия знаков
в среде Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.6. Компьютерная обработка парного Т-критерия
Вилкоксона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Глава 3. Задачи и упражнения. Рекомендации по решению задач. . . 84

Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Оглавление

«…Примеры полезнее правил.»
Исаак Ньютон

«…такая точная дисциплина, как экономика, 
не должна быть ни скучной, ни трудной».

Пол Самуэльсон,
лауреат Нобелевской премии по экономике

В настоящее время, в связи с переходом на двухступенчатую
систему образования, возникла потребность в учебниках по математическим 
дисциплинам, качественно отличающихся от имеющихся,
в которых большая часть посвящена строгому доказательству теории 
и выводу формул. Студенты, желающие завершить свое образование 
бакалаврами и стать специалистами в современном понимании 
этого термина, должны быть подготовлены к практической
деятельности с использованием математических методов в сфере
бизнеса и предпринимательства.
Кроме того, сейчас весьма широк круг лиц, получающих второе
высшее образование и уже имеющих опыт работы в сфере бизнеса.
Работая несколько лет с такими студентами, автор пришел к
следующим выводам.

Учебники для таких студентов должны представлять практические 
руководства по применению математических методов.
Доказательства теорем и вывод формул должны быть макси-
мально упрощены либо вообще опущены, так как, по мнению
автора, строгое изложение, например, симплекс-метода с по-
следующим решением задач линейного программирования
«вручную» надолго, если не навсегда, отобьет охоту у специа-
листа применять в своей практической деятельности матема-
тические методы. Кроме того, в век компьютеризации,

Предисловие

решение задач подобного типа «вручную» иначе, как пустой
тратой времени, назвать нельзя.

Изучение математических методов должно быть максималь-
но компьютеризировано. С одной стороны, это делает курс
современным, с другой — вызывает повышенный интерес у
студентов, большинство из которых владеет компьютерной
техникой.

Примеры, рассматриваемые на семинарских занятиях, долж-
ны иметь практическую значимость и очевидную полезность.

В данном пособии в достаточно простой иллюстративной форме
на практических примерах рассмотрено применение методов линей-
ного программирования и математической статистики в менеджмен-
те и бизнесе. Предполагается, что читатели в необходимом объеме
владеют методами работы с электронными таблицами Microsoft
Excel.

Предисловие
5

1.1. Постановка задачи

Менеджеру и экономисту, а также руководителю любого ранга
в условиях рыночной экономики постоянно приходится принимать
решения — какую экономическую стратегию выгоднее проводить,
стоит ли заключать контракт с некоей фирмой, если есть сомнения в
ее надежности, стоит ли вкладывать деньги в рекламу, а если стоит,
то сколько, какое количество запасов надо иметь на складах и т. д.
Несмотря на кажущуюся разницу между перечисленными зада-
чами, все они сводятся к отысканию наиболее оптимального алго-
ритма действий, приводящего к желаемой цели — наименьшим
затратам, максимальной прибыли и т. д.
Последние годы характеризуются резкой математизацией эко-
номических дисциплин, что связано не в последнюю очередь с появ-
лением персональных компьютеров. Математизация, кроме всего
прочего, означает, что экономика из описательной науки переходит,
а точнее, уже перешла в разряд точных. Однако, как правило, в на-
уке при рассмотрении какого-либо явления или события выступает
не реальная вещь или объект, а ее идеальный образ (модель). Дело в
том, что реальные объекты в природе и обществе крайне сложны,
поэтому в ходе исследований многие их черты и связи приходится
отсекать, иначе мы получим такой образ (модель) объекта, что его
количественное изучение создаст непреодолимые математические и
программные трудности. Поэтому в любой науке при создании мо-
делей (моделировании) какого-либо объекта или явления необходи-
мо оставить наиболее характерные черты, отбросив второстепенные.
Этот подход далеко не нов и постоянно применяется в различных
науках. Например, в физике при рассмотрении задачи о пути, прой-
денном телом, подброшенным вертикально вверх, идеализация за-
ключается в том, что не учитывается вращение Земли вокруг своей
оси и вокруг Солнца, релятивистское изменение массы, сопротивле-
ние воздуха, зависимость ускорения свободного падения от широты и

Глава 1

Линейное программирование
(ЛП)

долготы места, где проводится испытание, высоты над уровнем моря,
тело принимается на материальную точку и т. д. Возникает вопрос —
где же проходит граница идеализации? Какие черты и связи явления
или процесса можно отбросить, а какие нет? Вопрос этот довольно
сложный и зачастую является ключевым. Руководствуясь пожеланиями 
менеджера или экономиста, математик может построить модель,
которая впоследствии будет настолько далека от реальности, что
практическая польза от нее будет равна нулю. Поэтому этап создания
модели должен проводиться математиками в союзе с менеджерами и
экономистами. Любая модель предполагает наличие параметров, некоторые 
из которых строго зафиксированы и не зависят от нашей
воли и желания, например расстояние от складов, где хранятся сырье
и комплектующие, до производственных помещений, НДС, дорожные
налоги, арендная плата и др. Другие параметры могут варьироваться,
но в строго определенных пределах, например количество киловатт
энергии, потребляемое компанией, предел выброса в атмосферу экологически 
вредных веществ и т. п. Некоторые же параметры могут
практически не иметь ограничений. Скажем, в регионе, где находится
производство, нет проблем с рабочей силой.
Таким образом, задача управления сводится к отысканию оптимального 
алгоритма действий, когда из множества всех имеющихся
параметров (X) мы меняем в допустимых пределах те, которые могут 
быть изменены (x), чтобы достичь наибольшей эффективности
производственного процесса, т. е. получить максимальную прибыль
и рентабельность, в кратчайший срок запустить производство, определить 
оптимальное количество комплектующих, хранящихся на
складах и т. д. Эти параметры условимся называть управляющими
переменными, переменными управления или просто управлением. 
Очевидно, что для нахождения набора параметров управления x,
обеспечивающих эффективность производственного процесса, надо
иметь функцию F, названную целевой, которая ставит в соответствие 
каждому набору x X какое-либо количественное значение.
Как правило, необходимо подобрать такой набор переменных
управления x, чтобы целевая функция F имела минимальное (себестоимость, 
затраты, количество работающих и т. д.) либо максимальное (
прибыль, рентабельность, эффективность и т. д.) значения, т. е.
при каком-либо наборе переменных управления xфункция F(x) достигала 
экстремума — минимума или максимума, т. е.

min (max) F(x) = F(x)
x X

Линейное программирование (ЛП)
7

Понятно, что при построении целевой функции необходим тесный 
контакт менеджера, экономиста и математика, поскольку матема-
тик зачастую не представляет себе критериев оптимизации, ограниче-
ний на переменные управления и еще ряда специальных вопросов.
Зато следующий этап — разработка или применение известных
математических методов или математического аппарата — прерога-
тива математика.
Завершается работа отысканием набора переменных управле-
ния xi , обеспечивающих минимум или максимум целевой функции F,
и «натурными испытаниями». Если набор
xi не обеспечивает экстре-
мального значения целевой функции, то необходимо либо учесть
в модели факторы, которые мы отбросили при создании модели, либо
строить новую, более соответствующую экономическим реалиям,
либо менять целевую функцию, либо совершенствовать или заменять
математический аппарат. В худшем случае приходится начинать ра-
боту заново и продолжать ее до тех пор, пока найденный набор
xi не
обеспечит экстремального значения целевой функции.
Теперь мы можем определить порядок действий при поиске
правильного решения.
1. Изучение реальной действительности, т. е. всех факторов, вли-
яющих на эффективность нашей деятельности.
2. Идеализация реальной деятельности, т. е. создание модели.
3. Выбор целевой функции.
4. Выбор уже имеющегося или создание нового математического
аппарата для нахождения экстремума целевой функции.
5. Выбор программного обеспечения для работы с целевой функ-
цией.
6. Отыскание набора переменных (параметров управления).
7. Поиск оптимального варианта действий.
8. Натурные испытания.
9. Коррекция имеющейся или создание новой модели (в случае
необходимости).
10. Выдача конкретных рекомендаций совместно с инженер-
но-техническим персоналом, технологами, управленцами.

Задачами подобного типа, связанными с поиском оптимальной
человеческой (управленческой) деятельности, занимается наука, на-
зываемая «исследование операций». Ее изучение мы начнем с основ
линейного программирования, задачей которого является поиск на-
бора переменных управления, обеспечивающих максимум или ми-
нимум целевой функции с учетом ограничений, наложенных на этот
набор переменных управления.

8
Глава 1

1.2. Общий вид задачи ЛП. Канонический
и симметрический (стандартный) виды задачи ЛП

Термин «линейное программирование» (ЛП) появился в 30-х го-
дах прошлого века и обязан своему появлению не совсем корректно-
му переводу английского слова «programation». В те времена ком-
пьютеров еще не было и, соответственно, ни о каком программиро-
вании не могло быть речи. Корректнее был бы перевод «линейное
планирование». Однако с появлением компьютеров термин «линей-
ное программирование» стал соответствовать своему содержанию.
Линейное программирование — математический метод, позво-
ляющий описывать экстремум (минимум или максимум) целевой
функции, когда линейна как сама функция, так и ограничения, на-
кладываемые на переменные управления.
Широкое применение этого метода обусловлено тем, что на
практике многие экономические показатели, например прибыль, ли-
нейно (или почти линейно) зависят от вложений в рекламу, количес-
тва закупаемого сырья, стоимости энергоресурсов, перевозок и т. д.
В общем виде задача линейного программирования записывает-
ся следующим образом:

F x
c x
j
j
j

n
( )
min (max)
1
(1.1)

при налагаемых ограничениях

a x
b
ij
j
i
j

n
1
(i = 1, ..., m1);
(1.2)

a x
b
ij
j
i
j

n
1
(i = m1 + 1, ..., m2);
(1.3)

a x
b
ij
j
i
j

n
1
(i = m2 + 1, ..., m);
(1.4)

xj 0,
(1.5)

где F(x) — целевая функция, экстремум которой нам необходимо
найти;
xj — переменная управления;
bj, aij, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n — параметры.

Линейное программирование (ЛП)
9

Выражения (1.1)–(1.5) означают, что нам необходимо найти экс-
тремум функции (1.1) при условиях (ограничениях) (1.2)–(1.5).
Ограничения — это математические выражения, отражающие
экономические реалии процесса производственной деятельности.
Например, мы не можем рассчитывать на неограниченные энергоре-
сурсы и площади складских и производственных помещений. Наши
транспортные средства могут вывезти ограниченное количество еди-
ниц произведенной продукции и т. д. Некоторые же управляющие
переменные, наоборот, могут не иметь ограничений. Так, например,
если мы хотим организовать какое-либо производство в «депрессив-
ном» регионе, то у нас не будет проблем с рабочей силой.
Геометрическая интерпретация каждого из неравенств — гипер-
плоскость, т. е. плоскость в n-мерном пространстве; а область, в ко-
торой мы будем искать значение управляющих переменных, пред-
ставляет собой выпуклый многогранник в этом же n-мерном про-
странстве, ограниченный этими плоскостями.
Мы рассмотрели математическую запись общей задачи линейного 
программирования (ОЗЛП) и ее геометрическую интерпретацию. 
Теперь можно сказать, что допустимое решение (план) — это
n-мерный вектор X = (x1, x2,… xn), удовлетворяющий системе ограничений (
1.2)–(1.5).
Множество всех допустимых решений образует область допустимых 
решений (ОДР), а оптимальным называется то или те из допустимых 
решений, которые обеспечивают максимум или минимум
целевой функции, т. е. решения х, для которых выполняются следующие 
неравенства:
F(x) F(x), когда требуется найти максимум целевой функции,
и
F(x) F(x), когда требуется найти минимум целевой функции.
Общая задача линейного программирования решается, как правило, 
либо графически, либо симплекс-методом. Для применения
симплекс-метода ОЗЛП следует записать в каноническом виде:

F(x) c1x1 + c2x2 + … + cnxn max;
(1.6)

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn b1;

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn b2;
(1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + … + amnxn bm;

xj 0;
j 1, ..., n.
(1.8)

10
Глава 1

Линейное программирование (ЛП)
11

При записи ОЗЛП в общем виде целевая функция может принимать 
как максимальное, так и минимальное значение (см. запись (
1.1)). При записи же в каноническом виде требуется только
максимум. Это требование легко выполнимо. Если в записи в общем 
виде целевая функция должна иметь минимальное значение,
то достаточно просто поменять знаки в обеих частях записи (1.1), и
мы
автоматически
переходим
к
поиску
максимума,
так
как
min F(x) – max(–F(x)).
Теперь нам предстоит заменить неравенства (1.2; 1.3) на равенства. 
Это требование также легко осуществимо: достаточно в неравенстве 
вида ввести в левую часть новую положительную переменную, 
а в неравенстве вида достаточно вычесть из левой части
новую положительную переменную.
Может случиться, что на какую-либо переменную не распространяются 
условия неотрицательности, тогда ее заменяют разностью 
двух неотрицательных переменных.

Пример 1

Привести к каноническому виду задачу

F(x) 3x1 + 2x2 – x3 max
(1.9)
x1 + 2x2 7
(1.10)
3x1 + x2 – 2x3 8
(1.11)
2x1 + x3 –5
(1.12)
x1 0; x2 0
(1.13)
Необходимо максимизировать целевую функцию F(x), поэтому
знаки в левой и правой частях формулы (1.9) менять не надо. Однако
в целевой функции, а также в соотношениях (1.11) и (1.12) содержится 
переменная x3, на которую не накладывается условие неотри-
цательности. Поэтому проведем замену x
x
x
3
3
3
–
в соотношениях
(1.9), (1.11), (1.12). К левой части неравенства (1.10) прибавим x4,
а из левой части неравенства (1.12) вычтем x5. Кроме того, наложим
условие неотрицательности на переменные
x3, x3, x4 и x5 и запишем
задачу (1.9)–(1.13) в каноническом виде:
F x
x
x
x
x
( )
–
max
3
2
1
2
3
3
x
x
x

x
x
x
x

x
x
x
x

1
2
4

1
2
3
3

1
3
3
5

2
7

3
2
2
8

2
5

–

–
–

x
x
x
1
2
3
0
0
0
,
,
,
x
x
x
3
4
5
0
0
0
,
,