Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления
Покупка
Издательство:
Лаборатория знаний
Автор:
Романко Василий Кириллович
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 349
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-00101-651-9
Артикул: 801801.01.99
В пособии изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных первого порядка и вариационного исчисления. Наряду с изложением традиционных разделов курса обыкновенных дифференциальных уравнений, в книге рассмотрены и некоторые нетрадиционные вопросы (граничные задачи, уравнения с малым параметром, нелинейные уравнения в частных производных первого порядка, вариационная задача Больца и др.). Многочисленные примеры иллюстрируют рассматриваемые теоретические положения. Для студентов высших учебных заведений.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.01: Математика и компьютерные науки
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
КУРС дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений В. К. Романко Москва Лаборатория знаний 2020 6-е издание (электронное)
УДК 517.9 ББК 22.161.1 Р69 Романко В. К. Р69 Курс дифференциальных уравнений и вариационного ис- числения / В. К. Романко. — 6-е изд., электрон. — М. : Лабо- ратория знаний, 2020. — 349 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-00101-651-9 В пособии изложены основы теории обыкновенных дифферен- циальных уравнений, уравнений в частных производных первого порядка и вариационного исчисления. Наряду с изложением тради- ционных разделов курса обыкновенных дифференциальных урав- нений, в книге рассмотрены и некоторые нетрадиционные вопросы (граничные задачи, уравнения с малым параметром, нелинейные уравнения в частных производных первого порядка, вариационная задача Больца и др.). Многочисленные примеры иллюстрируют рассматриваемые тео- ретические положения. Для студентов высших учебных заведений. УДК 517.9 ББК 22.161.1 Деривативное издание на основе печатного аналога: Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В. К. Романко. — 5-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2019. — 346 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-200-9. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-00101-651-9 c○ Лаборатория знаний, 2015
Оглавление ▼ Предисловие Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Некоторые обозначения Некоторые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Введение Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 Методы решения некоторых дифференциальных уравнений 1 Методы решения некоторых дифференциальных уравнений 12 12 § 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого § 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого порядка порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 § 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений § 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 § 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно про- § 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно про- изводной. Метод введения параметра и задача Коши изводной. Метод введения параметра и задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 34 § 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие поня- § 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие поня- тия и методы решения тия и методы решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 2 Линейные дифференциальные уравнения порядка 2 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с посто- с посто- янными коэффициентами янными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 § 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения линей- § 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения линей- ных уравнений с постоянными коэффициентами ных уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 § 2. Линейные однородные уравнения порядка § 2. Линейные однородные уравнения порядка п с постоянными ко- с постоянными ко- эффициентами эффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 § 3. Линейные неоднородные уравнения порядка § 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п с постоянными с постоянными коэффициентами коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 3 Методы решения систем линейных дифференциальных урав- 3 Методы решения систем линейных дифференциальных урав- нений с постоянными коэффициентами нений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 § 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффициента- § 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффициента- ми. Общие понятия и метод исключения ми. Общие понятия и метод исключения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 § 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы с по- § 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы с по- стоянными коэффициентами стоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 76 § 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы § 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 88 § 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффи- § 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффи- циентами с помощью матричной экспоненты циентами с помощью матричной экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 94 § 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения диф- § 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения дифференциальных уравнений ференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 103
Оглавление Оглавление § 6. Методы решения произвольных линейных систем с постоянными § 6. Методы решения произвольных линейных систем с постоянными коэффициентами коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 108 4 Исследование задачи Коши 4 Исследование задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 113 § 1. Вспомогательные предложения § 1. Вспомогательные предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 113 § 2. Существование и единственность решения задачи Коши для § 2. Существование и единственность решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений нормальной системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 117 § 3. Непродолжимое решение задачи Коши § 3. Непродолжимое решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 127 § 4. Общее решение дифференциального уравнения § 4. Общее решение дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 132 § 5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных § 5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных. Корректность задачи Коши данных. Корректность задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 135 § 6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения § 6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения Особые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 145 5 Нормальные линейные системы дифференциальных уравне- 5 Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами ний с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 152 § 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы § 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений с переменными коэффициентами уравнений с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 152 § 2. Линейные однородные системы § 2. Линейные однородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 158 § 3. Линейные неоднородные системы § 3. Линейные неоднородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 167 6 Линейные дифференциальные уравнения порядка 6 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с пере- с переменными коэффициентами менными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 171 § 1. Общие свойства § 1. Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 171 § 2. Линейные однородные уравнения порядка § 2. Линейные однородные уравнения порядка п . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 174 § 3. Линейные неоднородные уравнения порядка § 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 179 § 4. Граничные задачи § 4. Граничные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 185 § 5. Теорема Штурма § 5. Теорема Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 193 § 6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью § 6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя степенных рядов. Уравнение Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 199 § 7. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром § 7. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной при старшей производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 205 7 Нормальные автономные системы дифференциальных урав- 7 Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений и теория устойчивости нений и теория устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 212 § 1. Общие свойства § 1. Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 212 § 2. Классификация положений равновесия линейной однородной § 2. Классификация положений равновесия линейной однородной сис темы второго порядка сис темы второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 222 § 3. Нелинейные автономные системы второго порядка § 3. Нелинейные автономные системы второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 230 § 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия § 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 241 § 5. Первые интегралы § 5. Первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 251 8 Дифференциальные уравнения в частных производных пер- 8 Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка вого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 261 Введение Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 261 § 1. Линейные однородные уравнения § 1. Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 263
Оглавление Оглавление 5 § 2. Квазилинейные уравнения § 2. Квазилинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 271 § 3. Нелинейные уравнения § 3. Нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 281 9 Основы вариационного исчисления 9 Основы вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 289 Введение Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 289 § 1. Простейшая вариационная задача § 1. Простейшая вариационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 291 § 2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функ- § 2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функ- ционалов более общего интегрального типа ционалов более общего интегрального типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 301 § 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной гра- § 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной гра- ницей и задача Больца ницей и задача Больца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 310 § 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме § 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме функционалов функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 318 § 5. Изопериметрическая задача § 5. Изопериметрическая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 322 § 6. Задача Лагранжа § 6. Задача Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 326 § 7. Достаточные условия слабого локального экстремума § 7. Достаточные условия слабого локального экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 331 Литература Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 341 Предметный указатель Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 343
Предисловие Данная книга имеет целью, с одной стороны, дать читателю минимум знаний по классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и классическому вариационному исчислению, необходимых для их успешного применения в различных практических приложениях, а с другой стороны, подвести читателя к пониманию задач и методов их решения современной теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. Книга написана на основе курса лекций, который автор читал в Московском физико-техническом институте (МФТИ) на протяжении многих лет. Книга отражает не только личную точку зрения автора, но в определенной степени и коллективный опыт преподавания теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления на кафедре высшей математики МФТИ. Этот опыт основан на базе повышенных курсов математического анализа и линейной алгебры, читаемых в МФТИ. Оглавление и введение дают первоначальное представление о принципах построения курса, об отборе материала и о содержании книги в целом. В первых трех главах изложены методы получения точных решений основных типов дифференциальных уравнений. В последующих главах (4-8) основной акцент сделан на качественном исследовании решений дифференциальных уравнений. В главе 9 изложены основы классического вариационного исчисления. Книга содержит решения многочисленных примеров. Упражнения к каждой главе позволяют читателям закрепить свои знания материала. В списке литературы читатель найдет перечень книг, в которых затронутые в настоящей книге вопросы излагаются, может быть, по-иному или более полным образом. Отдавая себе отчет в том, что настоящий курс не свободен от недостатков, мы будем благодарны всем читателям, приславшим свои замечания и пожелания по его улучшению. Автор выражает искреннюю благодарность Н. X. Агаханову, который внимательно прочитал рукопись и сделал ряд полезных замечаний.
Некоторые обозначения
N
— множество натуральных чисел
3, V
— существует, для всякого
— следует, эквивалентно
к = 1,п
— индекс к пробегает все целые
значения между 1 и
п
R%
— евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами
,х п
\\aijh hJ — 1,п, — квадратная матрица порядка п из элементов а^
С (Х )
— множество
всех непрерывных функций, заданных на
промежутке X числовой оси R\
С(G)
— множество
всех
непрерывных функций, заданных в
области G
С Щ
Ск{Х)
— множество
всех к > 1 раз непрерывно дифференцируемых функций на промежутке X С R*
Ck{G)
— множество
всех к > 1 раз непрерывно дифференцируемых функций в области G С R™
О
— начало доказательства утверждения
•
— конец доказательства утверждения
Д
— начало решения примера
А
—конец решения примера
Введение Общепризнано, что метод построения математических моделей является наиболее эффективным методом изучения различных явлений природы. В большинстве случаев не удается установить формулу прямой зависимости между собой различных характеристик рассматриваемого физического, биологического, химического, экономического или какого-нибудь другого динамического процесса. Однако часто удается составить определенную функциональную зависимость между неизвестными характеристиками рассматриваемого процесса, скоростями их изменения и временем, т. е. найти уравнения, содержащие производные неизвестных характеристик процесса. В таком случае говорят, что математической моделью процесса является дифференциальное уравнение. Простейший пример дифференциального уравнения дает, например, задача о нахождении закона движения материальной точки по заданной скорости ее движения. Если S(t) — неизвестный путь, пройденный точкой за время £, и v(t) — заданная скорость ее движения в момент времени £, то получаем дифференциальное уравнение <*> Как следует из курса анализа, в случае, когда, например, v (t)— заданная непрерывная функция t > 0, все решения уравнения (1) задаются формулой t S(t) = j v (t ) cIt + C, (2) где С — произвольная действительная постоянная. Исследования разрушения биологических клеток под действием ультразвука высокой интенсивности приводят к дифференциальному уравнению вида S - = - m t ) , (3) где t — время, /^(^ — концентрация живых клеток, R — постоянная, определяющая вероятность разрыва клетки в единицу времени. Нетрудно
Введение 9 проверить, что решениями уравнения (3) будут функции N(t) = Се~т , (4 ) где С — произвольная постоянная. Еще один пример дифференциального уравнения можно получить, рассмотрев, например, задачу о колебании шарика, подвешенного на пружине и выведенного из положения равновесия. Если обозначить отклонение шарика от положения равновесия в момент времени t через x(t) и воспользоваться вторым законом Ньютона, то уравнение движения шарика можно записать в виде где и > 0 — рюкоторое заданное число. Дифференциальное уравнение вида (5) называется уравнением гармонических колебаний или уравнением линейного осциллятора. Как будет в дальнейшем установлено, все решения уравнения (5) задаются формулой где А и ip — произвольные постоянные. Опыт показывает, что разные по содержанию задачи могут приводить к одршаковым дифференциальным уравнениям. Использование дифференциальных уравненрш в качестве модели некоторого процесса в природе, как уже видно из приведенных примеров, удобно в том смысле, что эти уравнения описывают эволюцию процесса во времени и характер возможных и зм с р ю р ш й прогресса в зависимости от его первоначального со- СТОЯРШЯ. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнершем. Если же неизвестная функция, входящая в дифферернщальрюе уравнение, является фуржцией двух или большего числа рюзависимых перемершых, то дифференциальное уравнение ргазывается уравргершем в частргьлх производных. Считая х рюзависимой перемершой и у = у(х) — неизвестной фуржцией, обыкновенное дифферерщиальное уравнерше в общем случае м о ж р ю записать в виде соотрюшения где F — заданная функция своих аргументов. Порядок старшей производной, входящей в уравнение (7), называется порядком обыкновенного дифферерщиального ураврюршя (7). Таким образом, уравнение (7) имеет порядок п, уравнения (1) и (3) имеют первый порядок, а уравнение (5 )— это уравршние второго порядка. Если дифференциальное уравнение (7) разрешимо, то, как видно из уже приведенных примеров, оно имеет, как правило, бесчислершое мноx(t) — Acos(ut + </?), (6) F ( x ,y ,y ',y " ,... , у ^ ) = О, (7 )
Введение жество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее некоторый процесс во времени, нельзя еще указать однозначно зависимость от времени характеристики процесса, удовлетворяющей этому уравнению. Нужны дополнительные условия. На практике чаще всего в качестве дополнительных условий выступают некоторые начальные условия. Так, например, однозначное решение уравнения (1) можно получить, задав начальное положение точки: 5(0) = So. Тогда из формулы (2) находим С = S q и , значит, формула t S(t) = i v(r)dr + So о однозначно определяет закон движения точки. Задав для уравнения (3) начальную концентрацию клеток в момент времени to N(t0) = No, из формулы (4) находим С = Noem°. Следовательно, концентрация клеток в каждый момент t однозначно задается формулой N(t) = ЛГ0вд(4о" ° . Наконец, задав при t = 0 начальное отклонение и начальную скорость шарика dx( 0) я(0) = жо, — jj— = vo, из формулы (6) можно найти постоянные А, (р и тем самым однозначно определить заданное колебание шарика. Возможны и другие типы дополнительных условий, выделяющих конкретное решение дифференциального уравнения. Например, это могут быть заданные значения решения x(t) уравнения (5) при двух фиксированных моментах времени £i, ^2: x(ti) = xi, x fa ) = Х2 , или условие периодичности для решения уравнения (3) N (0) = N(T), Т > 0. Это примеры так называемых граничных условий для уравнений (5) и (3). Но для них не всегда можно гарантировать единственность решения. Для практических приложений дифференциальных уравнений очень важен вопрос о характере зависимости решения дифференциального уравнения (7) от функции F и от дополнительных условий (начальных или граничных) при их малом изменении. Ведь в прикладных задачах и само дифференциальное уравнение и дополнительные условия неизбежно определяются с некоторой погрешностью, так как при их составлении всегда приходится пренебрегать несущественными для рассматриваемого
Введение 11 процесса факторами. Для практики целесообразны только такие дифференциальные уравнения и дополнительные условия, при малом изменении которых мало изменяется определяемое ими решение. Другими словами, должна быть непрерывная зависимость решения рассматриваемой задачи от исходных данных. Из сказанного ясно, что одними из главных вопросов теории дифференциальных уравнений являются вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости от исходных данных решения дифференциального уравнения при заданных дополнительных условиях. Кроме этих вопросов, теория дифференциальных уравнений изучает качественные свойства и методы решения дифференциальных уравнений различных типов и некоторые другие вопросы. Отметим, что лишь для сравнительно небольшого числа дифференциальных уравнений решение можно записать в виде некоторой формулы. Поэтому, наряду с методами нахождения точных решений, в теории дифференциальных уравнений важное значение имеют методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений: численные методы решения и асимптотические методы решения. Численным и асимптотическим методам решения уравнений в настоящей книге из-за недостатка места уделяется мало внимания. Более подробно о них можно прочитать, например, в [43], [45], [11]. Теория дифференциальных уравнений является важной для практических приложений и самостоятельной ветвью математического анализа, которая продолжает успешно развиваться. Знание основных положений этой теории абсолютно необходимо при использовании математических методов в различных областях человеческой деятельности. Кроме основных фактов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в настоящую книгу включены основы теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка и основы вариационного исчисления. Примеры из практики, приведенные, например, в [43] и [26], показывают, что уравнения в частных производных первого порядка встречаются в различных областях знаний. Методы решения таких уравнений тесно связаны с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений. Этим объясняется включение в книгу уравнений в частных производных первого порядка. Некоторые задачи вариационного исчисления приводят к соответствующим задачам теории дифференциальных уравнений и наоборот. Поэтому существует тесная связь между вариационным исчислением и теорией дифференциальных уравнений. С другой стороны, вариационное исчисление является самостоятельной и успешно развивающейся ветвью математического анализа. О примерах вариационных задач и о значении вариационного исчисления для практических приложений рассказано во введении к главе 9.
Методы решения некоторых дифференциальных уравнений Предполагается, что все функции, рассматриваемые в этой главе, принимают только действительные значения и что произвольные постоянные являются действительными. § 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого порядка Обозначим через Щх ^ евклидову плоскость с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат ж, у. Пусть G — непустая область, лежащая в и пусть /(ж, у) — некоторая заданная непрерывная функция в области G. Изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений начнем с дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной у' = f(x,y). (1) Здесь х — независимая переменная (аргумент), а у = у(х) — неизвестная функция. Уравнение (1) принято еще называть дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме. Определим понятие решения дифференциального уравнения (1). Пусть X обозначает некоторый промежуток числовой прямой R.\ с декартовой координатой х. Промежуток X может представлять собой либо отрезок оси i?*, либо (ограниченный или неограниченный) интервал оси Д*, либо (ограниченный или неограниченный) полуинтервал оси R\. Определение. Функция у = <р(х), определенная на промежутке X , называется решением дифференциального уравнения (1), если 1) <р(х) имеет непрерывную производную <р'(х) на промежутке X , 2) (x,ip(x)) Е G при всех х Е X , 3) ср'(х) = f[x,ip(x)\ на промежутке X.
§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений
13
Замечания.
1. Если промежуток X содержит левый или правый конец, то определение 1 требует существования непрерывной соответствующей односторонней производной <р(х) в этой точке.
2. Из определения следует, что промежуток X необходимо лежит в
проекции области G на ось R
Процесс нахождения решений уравнения
(1) иногда называют интегрированием дифференциального уравнения (1).
Кривая в области G, являющаяся графиком некоторого решения уравнения (1), называется интегральной кривой дифференциального уравнения (1).
Далеко не всегда удается получить решение уравнения (1) в явном
виде у = ц>(х), х £ X. Во многих случаях решение (1) определяется
как неявная функция из уравнения Ф(ж, у) = 0. Решить уравнение (1)
означает найти все решения уравнения (1).
Рассмотрим геометрический смысл задания уравнения (1) и его решения. С этой целью сопоставим каждой точке (:ео,Уо) ^ G вектор с
координатами {1 ,/(гго, уо)}5 отложенный от этой точки. Множество всех
полученных векторов будем называть полем направлений, соответствующим уравнению (1). Из определения решения уравнения (1) и геометрического смысла производной следует, что кривая в области G является
интегральной кривой уравнения (1) в том и только том случае, когда она
гладкая и направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля в этой точке. Таким образом, в каждой точке (ж, у) Е G
угол а = а(х,у) наклона касательной к интегральной кривой (1) определяется уравнением tga = f{ x ,y ) (рис. 1).
Итак, задача интегрирования уравнения (1) геометрически эквивалентна нахождению всех гладких кривых в G, направление касательных к
которым в каждой точке G совпадает с вектором поля направлений в
данной точке. Это соображение используется для приближенного построения интегральных кривых. При практическом нахождении поля направлений для уравнения (1) удобно использовать так называемые изоклины. Изоклиной поля направлений уравнения (1) называют такую кривую