Курс лекций по вероятностным методам в механике

А.С. Гусев

Курс лекций  

по вероятностным методам  

в механике

Учебное пособие

Под редакцией Ю.Б. Цветкова

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5371-9

 
Гусев, А. С.

Г96 
 
Курс лекций по вероятностным методам в механике : учебное пособие / 

А. С. Гусев / под ред. Ю. Б. Цветкова. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2020. — 99, [3] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5371-9

Рассмотрены некорректные обратные задачи статистической динамики, задачи 

по структурному анализу траекторий случайных процессов, задачи статистического 
диагностирования конструкций, а также методы расчета конструкций, находящихся 
в условиях интенсивной коррозии и интенсивных нерегулярных воздействий. Для решения 
нелинейных задач рассмотрены методы марковских процессов, методы уравнений 
Фоккера — Планка — Колмогорова, методы статистической линеаризации. 
Приведены задачи по оптимизации параметров машин и конструкций и их решения.

Для бакалавров и магистров, обучающихся по направлению 15.03.03 «Прикладная 

механика», и магистров, обучающихся по направлению 15.04.03 «Прикладная меха-
ника».

УДК 531.8:519.2(075.8)
ББК 34.42

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

Издание доступно в электронном виде по адресу

https://bmstu.press/catalog/item/6732/

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»

Кафедра «Прикладная механика»

Рекомендовано Научно-методическим советом  

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

УДК 531.8:519.2(075.8)
ББК 34.42

Г96

Предисловие

Настоящее учебное пособие представляет собой курс лекций, прочитан-

ный автором студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана и МГТУ МАМИ, обучаю-
щимся по специальности «Динамика и прочность машин и конструкций» по 
направлению «Прикладная механика». Оно соответствует программам курсов 
«Статистическая динамика и надежность машин и конструкций», «Случай-
ные процессы и их анализ» и «Вероятностные методы в механике машин и 
конструкций».

Цель учебного пособия — привить студентам навыки в постановке задач 

статистической динамики машин и конструкций и их решении с использо-
ванием современных вычислительных средств, научить обосновывать рас-
четные схемы для различных механических систем и в статистическом аспек-
те проводить их динамический анализ с определением реакций на случайные 
воздействия, задаваемые их корреляционными функциями или энергетиче-
скими спектрами, оценивать надежность и ресурс конструкций при случай-
ных процессах нагружения.

Предложенные к изучению различные методы решения задач статисти-

ческой динамики в линейной и нелинейной постановке могут быть исполь-
зованы для написания студентами самостоятельных научных работ и рефе-
ратов, в которых авторы могут сформулировать собственные воззрения на 
рассматриваемые проблемы. 

Учебное пособие предназначено для бакалавров и магистров, прослушав-

ших курсы лекций по «Теории колебаний», «Теории вероятностей и матема-
тической статистике» и «Случайным процессам и их анализу».

 
 

Посвящается светлой памяти 

академика РАН 

Владимира Васильевича Болотина

Лекция 1

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Вероятности событий A и B обозначим P(A) и P(B).
Вероятность того, что произойдет одно из этих двух событий, определя-

ется по теореме о сложении вероятностей:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность того, что произойдут оба этих события, определяется по теореме 
о произведении вероятностей:

Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина х будет принимать 
значения в интервале ∆x,  обозначим P x
x
(
).
∈∆

Плотность вероятности

f x
P x
x

x
x
( )
lim
(
).
=
∈

∆ →

∆

∆
0

Интегральная функция распределения вероятностей для величины х  

F x
P x
x
f x dx

x

( )
(
,
)
( )
.
=
∈ −
(
) =

−

∞

∞∫
 

Характеристическая функция определяется преобразованием Фурье от 

плотности вероятности:

χ ω
ω

∞

∞

ω
∫
( )
( )
,
=
=

−

e
e
i x
i
x f x dx

где 〈…〉〉 — оператор усреднения.

Стационарный случайный процесс x t( )  задается корреляционной функцией 


K
x t x t
x( )
( ) (
)
τ
τ
=
+

или ее преобразованием по Фурье (спектральной плотностью)

S
K
d
x
x

i
( )
( )
.
ω
π
τ
τ
ωτ
=

−∞

∞

−
∫

1
2
e

Проблема неопределенности изящно (elegantly)

решается с помощью понятий  «случайная величина»  
и «случайный процесс». Однако это не конец истории,  

а ее начало, которая никогда не закончится. 

Р. Беллман

Обратное преобразование Фурье от спектральной плотности определяет 

корреляционную функцию

K
S
d
x
x

i
( )
( )
.
τ
ω
ω
ωτ
=

−∞

∞
∫
e

Для белого шума интенсивностью k0  

K
k
x( )
( );
τ
δ τ
=
0

S
k

x( )
ω
π
=
=
0

2
const.

Здесь дельта-функция Дирака

δ τ
τ
τ
( )
;
;
=
≠

∞
=





0
0
0

   при   
  при  

−∞

∞
∫
=
δ τ
τ
( )
.
d
1

Амплитудный спектр Фурье процесса x t( )  с синонимами «трансформан-

та Фурье», «интеграл Фурье» вычисляется по формуле 

Φx

i t
x t
dt
( )
( )
.
ω
π

ω
=

−∞

∞

−
∫

1
2
e

Обратное преобразование от Φx( )
ω  определяет процесс

x t
d
x

i t
( )
.
( )
=

−∞

∞
∫

1
2π
ω
ω
ω
Φ
e

Для x t
t
( )
( )
= δ
 

Φδ ω
π
( ) =
=
1
2
const;

δ
π
ω
ω
( )
.
t
d
i t
=

−∞

∞
∫

1
2
e

Основная теорема теории случайных процессов состоит в «дельта-корре-

лированности амплитудных спектров», выраженной формулой Винера

Φ
Φ
x
x
x
S
* (
)
(
)
(
) (
),
ω
ω
ω δ ω
ω
1
2
2
1
2
=
−

где символом «∗» (звездочкой) обозначен переход к комплексно-сопряжен-
ным функциям.

Лекция 2

Структурный анализ случайных процессов

При формулировке задач структурного анализа случайных процессов рассмот-

рим их некоторую реализацию x(t) и отметим на ней характерные точки, соответ-
ствующие им значения процесса и интервалы времени между ними (рис. 2.1): 

точки пересечения случайного процесса со средним (нулевым) уровнем, 

называемые нулями процесса;

точки, соответствующие экстремальным значениям процесса, которые 

называются экстремумами процесса;

точку А, соответствующую наибольшему для данной реализации макси-

муму процесса, называемую абсолютным максимумом процесса;

точку B, соответствующую перегибу траектории процесса, называемую 

точкой перегиба траектории;

точки пересечения случайного процесса с некоторым уровнем, опреде-

ляющие число превышений (выбросов) за этот уровень;

интервалы времени τ0  между двумя соседними нулями, от которых за-

висит частота процесса, рассчитанная по пересечениям нулевого уровня  
(частота по нулям);

интервалы времени τэ,  соответствующие двум соседним экстремумам и 

определяющие частоту процесса по экстремумам;

отрезки xmax  и xmin  между нулевой линией и соответствующим экстре-

мумом, называемые экстремальными значениями процесса (максимумом и 
минимумом);

отрезок x*  между нулевой линией и наибольшим максимумом процесса, 

называемый значением абсолютного максимума;

приращение процесса xp  между двумя соседними экстремумами, назы-

ваемое размахом процесса. 

Рис. 2.1

Получение вероятностной информации о числе указанных выше точек 

за некоторый промежуток времени и о величинах указанных выше отрезков 
по заданным вероятностным характеристикам процессов (по корреляцион-
ным функциям или энергетическим спектрам) является задачей структурно-
го анализа случайных процессов.

Отметим некоторые вероятностные характеристики параметров процес-

сов, которые можно установить при проведении структурного анализа: 

1) распределение вероятностей числа нулей, экстремумов и других осо-

бых точек траектории случайного процесса при заданной его длительности 
(частными характеристиками этих распределений являются среднее число 
нулей n0,  среднее число экстремумов nэ, среднее число точек перегиба тра-
ектории nп  в единицу времени);

2) распределение вероятностей интервалов времени между соседними ну-

лями, экстремумами и точками перегиба траектории (частными характери-
стиками этих распределений является среднее значение интервала времени 
между соседними нулями τ0,  экстремумами τэ  и точками перегиба τп );

3) распределение вероятностей значений процесса, соответствующих его 

максимумам и минимумам, т. е. распределение вероятностей максимумов и ми-
нимумов;

4) распределение вероятностей приращений процесса между двумя его 

соседними экстремумами, т. е. распределение вероятностей размахов;

5) распределение вероятностей значений процесса, соответствующих его аб-

солютному максимуму, т. е. распределение вероятностей абсолютного максимума.

Нули, выбросы, перегибы траекторий и другие особые точки 

случайных процессов

Число пересечений нулевого уровня (число нулей) некоторой функции x t( )  

в течение времени t  

 
n t
x
x
d

t

0

0

( )
( )
,
=
{
}
∫ δ
τ
τ  
(2.1)

где δ( )⋅  — дельта-функция.

Справедливость соотношения (2.1) следует из определения дельта-функции. 
Поскольку при дифференцировании функции ее экстремумы переходят 

в нули, то из (2.1) число экстремумов функции x t( )  за время t  можем най-

ти по формуле

  
n t
x
x
d

t

1

0

( )
( )
.
=
{
}
∫ δ
τ
τ  
(2.2)

Число точек перегиба траектории, в которых вторая производная равна нулю,

 
n t
x
x
d

t

2

0

( )
( )
.
=
{
}
∫ δ
τ
τ  
(2.3)

Обобщив соотношения (2.1)–(2.3), получим следующее выражение для 

нахождения числа особых точек траектории функции x t( ),  в которых ее  
k-я производная равна нулю:

 
n t
x
x
d
k
k

k
k

t

( )
( )
(
, , ,...).
(
)
=
{
}
=
+
∫

1

0

0 1 2
δ
τ
τ   
 
(2.4)

Если x t( )  – случайная функция, то для определения вероятностных ха-

рактеристик числа особых точек следует ввести соответствующие функции 
распределения вероятностей случайных величин и рассмотреть соотношения 
(2.1)–(2.4) как функции случайных аргументов. Так, если через f x x
( , , )
τ  обо-

значить плотность совместного распределения вероятностей функции x t( )  и 
ее производной для некоторого момента τ, среднее число нулей этой функ-
ции за время t  

 n t
x
x
f x x
dxdxd
x

t
t

0

0
0

( )
( )
( )
( , , )
( )
=
{
}
=

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫
∫∫
∫∫
τ δ
τ
τ
τ
τ f
x
dxd
( , , )
.
0 τ
τ       (2.5)

Определение числа превышений процессом x t( )  некоторого уровня x  

сводится к определению числа нулей разности x t
x
( )
.
−
(
)  Если случайная 

функция x t( )  стационарна, из (2.5) получим следующее выражение для на-
хождения среднего числа превышений процессом x t( )  уровня x  в единицу 
времени:

 
n x
x f x x dx
( )
( , )
.
=

∞
∫
0

 
(2.6)

При этом среднее число пересечений нулевого уровня (т. е. среднее число 
нулей) в единицу времени

n
n
0
2
0
=
( ). 

По аналогии с (2.6) получим выражения для определения среднего числа 

экстремумов и точек перегиба траектории в единицу времени:

 
n
x f
x d x
xx
1
0
=

−∞

∞
∫ ( , )
;  
(2.7)

 
n
x f
x d x
x x
2
0
=

−∞

∞
∫ ( ,
)
,  
(2.8)

где f
x
x x
( ,
)
0
 — плотность совместного распределения вероятностей второй 

и третьей производных при x = 0; f
x
x x
( ,
)
0
 — плотность совместного распре-

деления вероятностей первой и второй производных при x = 0.  

Подставив в (2.6)–(2.8) выражения для плотностей распределения веро-

ятностей и вычислив интегралы, для гауссовских стационарных процессов 
получим

 
n x
s

s

x
s

x

x
x

( )
exp
;
=
−






2
2

2

2
π
 
(2.9)

n
s

s
n
s

s
n
s

s

x

x

x

x

x

x

0
1
2
2
2
2
=
=
=
π
π
π
,
,
,
  
  
 
(2.10)

где s
s
s
s
x
x
x
x
,
,
,
— средние квадратические отклонения процесса и его пер-

вых трех производных соответственно.

Обобщая полученные результаты, запишем следующее выражение для 

определения среднего числа точек траектории гауссовского стационарного 
процесса, в которых k-я производная равна нулю:

 
n
s

s

k

x

x

k

k

=

+
(
) ,
2π
 
(2.11)

где sxk ,  sx k
(
)
+  — средние квадратические значения k-й и (k + 1)-й производ-

ных процесса x t( ). 

Сложность структуры случайных процессов характеризуется системой па-

раметров, представляющих собой отношения числа экстремумов к числу ну-
лей, числа точек перегиба траектории к числу экстремумов и т. д.:

 
k
n
n
k
n
n
k
n
n

1

1

0

2

2

1

3

3

2

=
=
=
,
,
, ...
  
  
 
 
(2.12)

При этом выполняются соотношения

 
k
k
k
1
2
3
≥
≥
≥ ...  
(2.13)

Равенства в (2.13) достигаются только для процесса с простой структу-

рой, для которого

k
k
k
1
2
3
1
=
=
=
=
...
.  

Наибольшее значение имеет первый параметр сложности структуры k1,  

который в дальнейшем для краткости будем обозначать k.  

В случае когда процесс x t( )  является нестационарным гауссовским про-

цессом, из (2.5) получим следующую формулу для определения числа пре-
вышений уровня x за время t: 

n x t
s
s
r
x
x

S

x

x

t

x

( , )
( )
( )
( ) exp
( )

( )
=
−
−



−





∫

1
2
1
1
2
0

2

2

π

τ
τ
τ
τ

τ













×

×
−
−
+
−





exp
(
( ))

( )
( )(
( ))

( )

1

2 1
2r

x
s

r
x
x

s
x
x
τ

τ
τ
τ

τ


















+

+
−
+
−






2

1
2
π

τ

τ
τ

τ
τ

τ
r

x
s

r
x
x

s
x
x
( )

( )
( )

( )(
( ))

( )


−








+

+
−











Φ
1

1
2r

x
s

r
x
x

s
d

x

x

( )

( )

( )(
( ))

( )
,

τ

τ

τ
τ

τ
τ

              

(2.14)

где Φ( )
,
z
dt
t

z

=
−

−∞∫

1

2

2 2

π

e
  x( ),
τ
  x( ),
τ
 sx

2( ),
τ
 sx2( ),
τ
 r
rxx
=
( )
τ  — переменные 

во времени средние значения, дисперсии и коэффициент корреляции про-
цессов и x t( )  и x t( ).

При x
x
r
=
=
=
0  

 
n x t
s
s

x
s
d
x

x

t

x

( , )
( )
( ) exp
( )
.
=
−





∫

1
2
2
0

2

2
π

τ
τ
τ
τ

(2.15)

Для стационарного процесса x t( )  при t =1  возвращаемся к формуле (2.9).
Пример 2.1. Требуется провести анализ структуры случайного процесса x t( ),  

заданного корреляционной функцией

Kx( )
exp
,
τ
α τ
=
−
(
)
2 2
 

где α  — параметр.

Тогда в соответствии с (2.4) корреляционные функции первой, второй и 

третьей производных процесса x t( )  будем определять как

 
K
K
K
K
K
K
x
x
x
x
x
x
( )
( );
( )
( );
( )
( ).
τ
τ
τ
τ
τ
τ
= −
=
= −
  
  
IV
VI
 
(2.16) 

Отсюда найдем дисперсии первых трех производных:

s
K
s
K
s
K
x
x
x
x
x
x
2
2
2
4
2
0
2
0
12
0
1
= −
=
=
=
= −
=
( )
;
( )
;
( )
α
α
  
  
IV
VI
20
4
α .

В соответствии с (2.10) определим среднее число нулей, экстремумов и 

точек перегиба в единицу времени:

n
n
n
0
1
2
2
6
10
=
=
=
α
π

α
π

α
π
;
;
.
  
  
 

В итоге получим следующие параметры сложности структуры процесса:

k
k
1
2
3
1 73
5
3
1 29
=
≈
=
≈
,
;
,
.
  
 

Пример 2.2. Требуется найти число нулей, экстремумов и точек перегиба 

траектории случайного процесса, описываемого корреляционной функцией

Kx( )
cos
,
τ
βτ
α τ
=
−
e

2 2
 

где α,  β  — параметры.

По аналогии с примером 2.1 после вычислений получим

 

n
n

n

0

2
2

1

4
2
2
4

2
2

2

6
4

1
2
1
12
12

2

1
120
180

=
+
=
+
+

+

=
+

π
α
β
π

α
α β
β

α
β

π

α
α β

;
;
   

2
2
4
6

4
2
2
4

30

12
12

+
+

+
+
α β
β

α
α β
β
.