Введение в механику полета и управление космическими аппаратами

 
 
 
 
 
  
Управление в технических системах 
 
 

 

Е.А. Микрин,  Ф.В. Звягин

Введение в механику полета  
и управление космическими  
аппаратами

Учебник для вузов

УДК 629.78
ББК 39.6
 
М59

Рецензенты:

Научный руководитель ФГУП «ЦАГИ», д-р физ.-мат. наук, академик РАН 

С.Л. Чернышев;

Начальник отдела ФГНУ «Научно-исследовательский институт прикладной 

механики и электродинамики», д-р техн. наук, профессор, чл.-корр. РАН 

В.Г. Петухов

Микрин, Е. А.

М59  
Введение в механику полета и управление космическими аппаратами : 
учебник для вузов / Е. А. Микрин, Ф. В. Звягин. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. — 566, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5276-7

Представлены основные сведения о технологическом цикле космических полетов, 
даны примеры практических задач, решаемых в процессе предварительного 
проектирования и управления полетом космических аппаратов и их группировок.


Для студентов, обучающихся по специальностям, связанным с управлением 

движением космических аппаратов; также может представлять интерес для специалистов 
в области проектирования космических полетов.

УДК 629.78
ББК 39.6

© Микрин Е.А., Звягин Ф.В., 2020
© Оформление. Издательство 

ISBN 978-5-7038-5276-7 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

Предисловие

Настоящий учебник представляет собой вводный курс механики космическо-
го полета и управления космическими аппаратами, изучаемый в рамках спе-
циализаций специальности 24.05.06 «Системы автоматического управления» 
в течение нескольких семестров.

Цель изучения представленного материала — освоение системы об-

щих принципов, положений и методов проектирования космических полетов 
и управления космическими аппаратами в процессе осуществления космиче-
ских полетов.

После изучения учебника студенты овладеют:
• базовыми знаниями законов механики космического полета;
• базовыми методами анализа, проектирования и управления космиче-

скими полетами;

• практическими навыками предварительного проектирования и управ-

ления космическими полетами.

Планируемые результаты обучения

Дисциплины, в которых используется данный учебник в качестве основ-

ного дидактического материала, построены по модульному принципу. Каж-
дый модуль представляет собой логически завершенный раздел курса.

Для каждого модуля приведен набор планируемых результатов обучения, 

заданных программой дисциплины. Достижение этих результатов оценивает-
ся при текущем контроле усвоения дисциплины.

Для изучения материала учебника необходимо предварительное освоение 

следующих дисциплин: иностранный язык; математический анализ; интегра-
лы и дифференциальные уравнения; линейная алгебра и функции многих пе-
ременных; информатика; физика; теоретическая механика.

Методика проработки и освоения материала модулей дисциплин

Изучение дисциплин, входящих в учебный план специальности, пред-

усматривает достижение ряда результатов обучения, т. е. те знания (пом-
нить и понимать), умения (применять, анализировать, оценивать, создавать) 
и навыки, которыми студенты должны овладеть в процессе освоения дис-
циплины.

Планируемые результаты обучения сформулированы в программе дисци-

плины. Достижение каждого результата оценивается при текущем или про-
межуточном контроле.

Лекционные занятия посвящены рассмотрению ключевых, базовых по-

ложений курса и разъяснению учебных заданий, предназначенных для само-
стоятельной проработки.

Семинарские занятия проводятся для закрепления усвоенной информации, 
приобретения навыков ее применения для решения практических задач 
в предметной области дисциплины.

Большое число расчетных примеров, а также приложения, приведенные 

в данном учебнике, облегчают усвоение материала и позволяют обучающимся 
самостоятельно выполнять учебные задания.

Самостоятельная работа студентов включает в себя проработку лекционного 
курса, выполнение домашних заданий, подготовку рефератов и пр. 
Результаты работы студентов формируются в виде их личных портфолио, которые 
учитываются на промежуточной аттестации.

Предусматривается также расширение материала учебника в результате 

поиска, анализа, структурирования и представления в компактном виде современной 
информации из всех возможных источников. Для этого в начале 
каждого раздела учебника приведено краткое описание обсуждаемых тем, по 
которым обучающийся может сформировать представление о содержании 
раздела и дополнительно его проработать, обратившись к различным доступным 
ему источникам информации.

Каждый раздел учебника завершается списком контрольных заданий, ко-

торые необходимо проработать самостоятельно, учитывая, что аналогичные 
задания будут предложены при текущем контроле усвоения каждого модуля 
дисциплины. Иx следует выполнять строго по графику учебной работы, об-
суждая результаты на семинарах и консультациях.

Текущий контроль проводится в течение каждого модуля, его итоговые 

результаты складываются из оценок домашних заданий, рефератов, контроль-
ных работ, работы на лекциях и семинарах.

Для завершения работы в семестре студент должен выполнить все кон-

трольные мероприятия, иметь полный комплект подготовленных домашних 
заданий и рефератов.

Промежуточная аттестация по дисциплинам основана на результатах 

текущего контроля, а также включает в себя дополнительное контрольное 
мероприятие. Оно служит для оценки владения студентом ключевыми, базо-
выми положениями предметной области, умением их применять, проводить 
оценку, анализировать и решать проектные задачи.

Освоение дисциплины, ее успешное завершение на стадии промежуточ-

ного контроля (экзамена) возможно только при регулярной работе во время 
семестра и планомерном прохождении текущего контроля. Создать портфо-
лио по модулям в каждом семестре, пройти по каждому модулю плановые 
контрольные мероприятия в течение экзаменационной сессии невозможно.

Авторы выражают искреннюю признательность рецензентам книги — 

научному руководителю ФГУП «ЦАГИ» д-ру физ.-мат. наук, академику РАН 
С.Л. Чернышеву и д-ру техн. наук, профессору, чл.-корр. РАН В.Г. Петухову 
за внимательное прочтение учебника, а также сделанные ими весьма точные 
и полезные предложения по улучшению структуры и содержания изложенно-
го материала.

Замечания и предложения присылать в Издательство МГТУ им. Н.Э. Бау-

мана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.

Предисловие

Основные сокращения и обозначения

АГСК — абсолютная геоцентрическая система координат (СК)
БП 
— биэллиптический перелет

ГИСК — геоцентрическая инерциальная СК
ГСК 
— гринвичская СК

ГСО 
— геостационарная орбита

ГЭСК — геоцентрическая экваториальная СК
ИХП — интегральный характеристический показатель
КА 
— космический аппарат

МСК — Международная космическая станция
НОО — низкая круговая орбита ожидания
ПН 
— полезная нагрузка

СА 
— спускаемый аппарат

СК 
— система координат

ТДУ 
— тормозная двигательная установка

FΣ  
— вектор равнодействующей сил

ut, un, ub  
— единичные векторы, определяющие оси координат 

 
 
в оскулирующей плоскости

J  
— истинная аномалия 

MOΣ  
— момент силы FΣ относительно центра системы координат О
rp  
— радиус перицентра

RE = 6378 км  — экваториальный радиус Земли
G = 6,6742 ⋅ 10–11 м3/кг ⋅ с2 — универсальная гравитационная постоянная
wE = 72,9217 ⋅ 10–6 рад/с 
— угловая скорость собственного вращения 

 
 
Земли в инерциальной системе координат

a(t)  
— вектор ускорения

e  
— вектор эксцентриситета орбиты

e  
— эксцентриситет орбиты

g  
— ускорение свободного падения

G  
— центр масс системы тел

g0 = 9,807 м/с2  — ускорение свободного падения на уровне моря
h  
— удельный угловой момент

I  
— импульс силы

i, j, k  
— единичные орты осей системы координат x, y, z
I, J, K  
— единичные орты осей системы координат X, Y, Z
p  
— фокальный параметр орбиты

r(t)  
— вектор положения

T  
— период обращения

v(t)  
— вектор скорости

W  
— вес

X, Y, Z  
— оси абсолютной (неподвижной) системы координат

x, y, z  
— оси подвижной системы координат

z  
— высота над поверхностью Земли

α  
— угловое ускорение

γ  
— траекторный угол

^ 
— точка весеннего равноденствия

ε  
— удельная энергия орбиты

μ  
— гравитационный параметр

μE = 398 600 км3/с2 — гравитационный параметр Земли
ρ  
— радиус кривизны

Ω  
— вектор абсолютной угловой скорости

ω  
— вектор угловой скорости

Е  
— полная механическая энергия космического аппарата

НО 
— угловой момент относительно точки О
a  
— большая полуось конического сечения

b  
— малая полуось конического сечения

vпар  
— параболическая (освобождения) скорость

b  
— угол наклона ветвей асимптот гиперболической 

 
 
траектории
δ  
— угол между асимптотами гиперболы, угол поворота 

Δ  
— направленный радиус

v∞  
— скорость тела, движущегося по гиперболической 

 
 
траектории на бесконечном удалении 

p, q, w  
— единичные векторы перифокальной системы координат 

f, g  
— функции Лагранжа

t  
— время

Me  
— средняя аномалия

n  
— среднее движение

E  
— эксцентрическая аномалия

Mh  
— параболическая средняя аномалия

Jn  
— функции Бесселя первого рода

Mh  
— гиперболическая средняя аномалия

F  
— гиперболическая эксцентрическая аномалия

χ  
— универсальная аномалия

α  
— универсальная большая полуось, угловое ускорение

С(z), S(z)  
— функции Штумпфа 

α, RA  
— прямое восхождение

δ, dec  
— склонение

i  
— наклонение орбиты

Ω  
— долгота восходящего узла

ω  
— аргумент перицентра

N  
— вектор положения линии узлов

Q  
— матрица направляющих косинусов

Ri(f)  
— матрица вращения на угол f относительно оси i
QXx  
— матрица перехода от перифокальной системы координат 

 
 
к геоцентрической экваториальной системе координат

J2  
— вторая зональная гармоника

Ω   
— средняя скорость прецессии линии узлов

Основные сокращения и обозначения

ω   
— средняя скорость изменения аргумента перицентра

J0  
— юлианская дата при 0 ч мирового времени UT
JD  
— юлианская дата

J2000  
— начало юлианской эпохи, отсчитываемой с полудня 

 
 
1 января 2000 г.

θG0   
— звездное время гринвичского меридиана для 0 ч UT
UT  
— мировое (всемирное) время

Rр  
— полярный радиус

ϕ  
— геодезическая широта

f′  
— геоцентрическая широта

Λ  
— долгота

А  
— азимут 

а  
— угол места

Dv  
— потребный импульс скорости

DvΣ  
— суммарная характеристическая скорость маневра 

Isp  
— удельный импульс ракетного топлива

Φij(t)  
— матрицы Клохесси — Уилтшира

Ur  
— потенциал ньютоновского (центрального) поля тяготения

g  
— разностное гравитационное ускорение в центральном поле 

 
 
тяготения (приливное ускорение)

l, m, n  
— орты осей орбитальной системы координат

α, β, γ  
— углы поворота осей визирной системы координат 

 
 
относительно осей орбитальной системы координат

φ  
— фазовый угол между векторами положений двух планет

rвл  
— радиус сферы влияния планеты

T  
— вектор тяги

D  
— аэродинамическая сила сопротивления 

с  
— эффективная скорость истечения топлива

qвх  
— угол входа в атмосферу

r(h)  
— распределение плотности атмосферы по высоте

K  
— аэродинамическое качество спускаемого аппарата

Сх  
— коэффициент силы лобового сопротивления

Cy = KCx  
— коэффициент аэродинамической подъемной силы 

 
 
спускаемого аппарата

Sm  
— площадь миделя спускаемого аппарата

sX  
— баллистический параметр

S 
— баллистический коэффициент

nx, ny  
— продольные составляющие вектора перегрузки

Li  
— i-я точка либрации

WS+, WS–  
— устойчивые многообразия точки либрации

WU+, WU–  
— неустойчивые многообразия точки либрации

Γ x y z x y z
, , , , ,
  
(
)   — функция Якоби

Γto

i   
— интегральный характеристический показатель i-й орбиты

Основные сокращения и обозначения

Введение

В настоящее время существует довольно много работ, посвященных динамике 
полета и управлению космическими аппаратами (КА). Не стремясь 
к созданию совершенно нового и всеобъемлющего труда, авторы тем не менее 
поставили перед собой задачу собрать максимальное число методов, алгоритмов 
и примеров решения задач, которые могут возникать в повседневной 
практике предварительного проектирования космического полета. Что 
же подразумевается под такой постановкой задачи и почему потребовалась 
еще одна публикация?

Исторически сложилось так, что наиболее передовые и точные математические 
методы применялись для исследования задач небесной механики. 
Сначала для обработки астрономических наблюдений, что носило скорее чисто 
научный интерес, а позже, с началом полетов в космос, эти методы стали 
применять для практических исследований. При этом математический аппарат 
описания динамики полета естественных и искусственных небесных тел 
усложнялся, уточнялся и расширялся, что делало его, к сожалению, все менее 
понятным даже для студентов старших курсов технических вузов. Особен-
ности процесса обучения специалистов в области управления летательными 
аппаратами, для которых в первую очередь и написан данный учебник, за-
ключаются в том, что они получают на первых курсах достаточно обширные 
сведения по физике, высшей математике, теоретической механике и другим 
предметам. При этом зачастую сведения из одной области науки используют-
ся для решения задач из другой области чисто технически, без вникания в их 
физический смысл. Последующее обучение направлено на то, чтобы научить 
будущих специалистов комплексному использованию всех полученных ими 
знаний для решения управленческих задач с ориентацией в первую очередь 
на их физическую реализуемость. Совершенно очевидно, что такие задачи, 
хотя бы на первых этапах, должны быть максимально понятны и осознавае-
мы. Следует отметить, что задачи управления КА вследствие своей специфи-
ки относятся именно к задачам такого типа. Детализация расчетов в них до 
известной степени достаточно высокая, начиная с простейших аналитических 
соотношений вплоть до многомерных рядов с дальнейшим углублением в об-
ласть хаотической динамики.

Традиционное изложение материала классических учебников строится 

на описании наблюдений, приведших к открытию законов всемирного тя-
готения, законов Кеплера, выводу уравнений относительного движения КА 
с дальнейшим описанием его возмущенного движения. В том или ином виде 
такой материал присутствует и в данном учебнике. Существенным отличием, 
с точки зрения авторов, является то, что помимо общетеоретических сведе-
ний рассмотрено большое число примеров и задач, закрепляющих эти све-
дения, а наиболее важные с практической точки зрения задачи оформлены 
в виде алгоритмов, которые легко могут быть запрограммированы в любом 
математическом пакете. Именно поэтому их реализация на конкретном языке 
программирования не приводится.