Оптимизация композитных структур в ракетно-космической технике

А.А. Смердов

Оптимизация композитных структур  
в ракетно-космической технике

Краткий курс в тринадцати лекциях

ISBN 978-5-7038-5109-8 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019
© Оформление. Издательство  
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019 

УДК 629.7-620.22
ББК 39.62:30.36 
 
С50

Издание доступно в электронном виде по адресу

ebooks.bmstu.press/catalog/75/book1990.html

Факультет «Специальное машиностроение» 

Кафедра «Космические аппараты и ракеты-носители» 

Смердов, А. А. 

С50 
 
Оптимизация композитных структур в ракетно-космической 

технике. Краткий курс в тринадцати лекциях. — Москва : Издатель-
ство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2019. — 149, [1] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-5109-8 
В курсе лекций приведены основные положения теории оптимально-

го проектирования конструкций, рассмотрены методы проектных расчетов 
композитных материалов и простейших элементов конструкций, а также 
несущих композитных оболочек различных конструктивных схем и разме-
ростабильных композитных космических конструкций. Представлены ал-
горитмы расчета типовых композитных элементов конструкций, которые 
могут быть самостоятельно использованы студентами при выполнении 
курсовых и дипломных проектов. 

Курс лекций предназначен для студентов старших курсов, обучаю-

щихся по специальности 24.05.01 «Проектирование, производство и экс-
плуатация ракет и ракетно-космических комплексов». Материал отдельных 
лекций может быть также использован при изучении смежных дисциплин, 
таких как «Проектные расчеты композитных конструкций ракетно-косми-
ческой техники», «Строительная механика ракет» и «Строительная меха-
ника космических аппаратов».

УДК 629.7-620.22
ББК 39.62:30.36 

Предисловие

Лекции, представленные в этой книге, предназначены для сту-
дентов шестого курса, обучающихся по программе специалиста. 
Эти специалисты — уже почти готовые инженеры, владеющие ос-
новными приемами проведения расчетов конструкций ракетно-кос-
мической техники (РКТ). Цель данного курса — собрать воедино 
и отшлифовать знания, умения и навыки, относящиеся к проект-
ным расчетам композитных элементов конструкций РКТ. 
В настоящее время композитные конструкции составляют ос-
нову РКТ и в ближайшем будущем сохранят свое значение. Чрез-
вычайно высокие жесткость и прочность, малая плотность, малые 
(вплоть до нулевых) характеристики теплового расширения, высо-
кая способность демпфировать колебания композитов — все это 
обеспечивает их конкурентные преимущества перед традиционны-
ми материалами. Однако при этом не следует забывать о главном 
преимуществе композитных конструкций, которое в принципе от-
сутствует у конструкций металлических. Это возможность управ-
ления внутренней структурой материала, возможность создавать 
для каждой конкретной конструкции материал именно с теми свой-
ствами, которые в данной конструкции необходимы. 
В свою очередь, это означает необходимость проведения опти-
мизации для каждого проектируемого элемента композитной кон-
струкции. Можно утверждать, что без оптимизации применение 
композитов не имеет смысла, поскольку при неудачной структуре 
композитная конструкция окажется хуже аналогичной металличе-
ской. 
Отсюда следует необходимость для современного инженера 
владеть основными приемами оптимизационных расчетов компо-
зитных материалов и конструкций. Это особые расчеты. В пода-
вляющем большинстве случаев инженер-расчетчик на предприятии 
использует готовые программные продукты ведущих иностранных 
фирм. Эти продукты реализуют метод конечных элементов, и, 
как правило, детали этой реализации не раскрываются конечному 
пользователю.

Предисловие

Оптимизационные расчеты, рассмотренные в данном курсе 
лекций, проводятся на ранних этапах проектирования, когда только 
определяется общий облик конструкции, выбираются рациональные 
конструктивные решения и анализируются материалы и структуры, 
которые целесообразно использовать в данной конкретной 
конструкции. 
Главное содержание таких расчетов — сравнительный анализ 
различных вариантов конструкции и отбраковка тех из них, 
которые будут признаны неудачными, сужение круга возможных 
технических решений. На этом этапе оказывается бессмысленным 
главное преимущество конечно-элементных программных комплексов — 
минимальная схематизация конструкции, возможность 
анализировать ее со всеми усилениями, вырезами, люками и прочими 
конструктивными деталями. Всех этих деталей еще нет на 
данном этапе расчета. С другой стороны, важно учесть многообразие 
свойств проектируемого композитного элемента, взаимозависимость 
его различных характеристик, определяемых структурой 
материала. И, конечно, весьма важно быстродействие используе-
мых расчетных алгоритмов, которые должны обеспечить сравне-
ние десятков, сотен тысяч, а может быть, и миллионов различных 
вариантов. Итак, современный инженер должен уметь составлять 
простейшие расчетные программы на основе этих простых алго-
ритмов и владеть всем спектром способов расчета композитных 
конструкций, включая приведенные в данной книге. 
Курс лекций может быть использован как для аудиторной про-
работки, так и для самообразования. Он рассчитан на 26 академи-
ческих часов и разделен на четыре части. Первая часть содержит 
общие вопросы теории оптимального проектирования. Во второй 
части представлена оптимизация композитных материалов. Тре-
тья часть посвящена проектным расчетам композитных стержней 
и оболочек. Проектные расчеты композитных конструкций РКТ 
представлены в четвертой части. Не все лекции потребуют оди-
наковых затрат времени: на усвоение некоторых тем потребуется 
больше времени, на других можно будет сэкономить. Для закре-
пления материала рекомендуется выполнить домашнее задание. 
Методические указания по его выполнению приведены в списке 
литературы, типовые варианты с ответами — в приложении. 

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ  
ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Лекция 1. Иерархия проектных задач.  
Скалярная и векторная оптимизация

Теория оптимального проектирования конструкций (ОПК) на-
считывает уже несколько сотен лет. Задачи оптимального проек-
тирования ставились Г. Галилеем, Ж.Л. Лагранжем и другими ве-
ликими учеными прошлых времен. Однако наибольшее развитие 
теория ОПК получила в последней трети XX в., и прежде всего 
с появлением мощной вычислительной техники и развитием эф-
фективных численных методов оптимизации. В настоящее время 
поддается решению почти любая из задач ОПК. Тем важнее ста-
новится квалификация специалиста, способного правильно сфор-
мулировать задачу и умело провести анализ полученного решения. 
В рамках данного курса мы можем лишь вкратце коснуться 
проблем оптимального проектирования композитных конструкций, 
дать основные понятия и определения. Более подробная информа-
ция доступна в учебном пособии [1] или специальных монографи-
ях [2–4]. 
Говоря простыми словами, сформулировать задачу ОПК — зна-
чит последовательно ответить на три вопроса.
1. Что мы оптимизируем?
Ответ: выбор объекта оптимизации.
2. Что и как можно изменить в оптимизируемом объекте для 
того, чтобы улучшить его?
Ответ: выбор варьируемых параметров.
3. Какова цель оптимизации (чем хороший проект должен от-
личаться от плохого)?
Ответ: выбор критериев качества.
Выбор оптимизируемого объекта — это прежде всего выде-
ление его из более общей системы, подсистемой которой он яв-
ляется. Грамотно выделить объект — значит выявить все связи 

1. Общие вопросы теории оптимального проектирования

между ним и остальными частями системы, их влияние на данный 
объект, а также влияние свойств объекта на свойства всей систе-
мы. Без такого анализа не могут быть корректно сформулированы 
требования к оптимизируемому объекту. После выделения объек-
та следует составить его математическую модель или расчетную 
схему. Надо упростить объект, отбросить все несущественные де-
тали, выделить параметры, определяющие свойства объекта. Необ-
ходимо продумать все возможные варианты конструктивных схем 
проектируемого объекта и используемых материалов. 
Выбор варьируемых параметров — ответственный шаг на 
этапе формулировки задачи ОПК. Все параметры оптимизируемого 
объекта, которые входят в его математическую модель, в первом 
приближении можно разделить на две группы. 
К первой группе относятся директивные параметры, которые не 
могут быть изменены при оптимизации изделия. Типичные примеры 
директивных параметров — габаритные и присоединительные 
размеры оптимизируемой конструкции. В качестве директивных 
параметров могут выступать также заданные толщины покрытий, 
размеры стандартных элементов и т. п. В принципе любой параметр 
конструкции может быть объявлен в качестве директивного, 
если его не предполагается изменять в конкретной задаче оптимизации. 

Параметры, изменяемые в процессе поиска оптимального варианта 
данного объекта, составляют группу варьируемых параметров. 
К варьируемым параметрам композитных конструкций относятся 
прежде всего параметры внутренней структуры материала: толщины 
и углы армирования отдельных слоев, а в некоторых случаях — 
доли армирующих элементов и связующего. Кроме того, варьиру-
емыми параметрами могут являться размеры отдельных элементов 
конструкции, их число и параметры, определяющие их тип. 
Варьируемые параметры принято представлять в виде вектора 
X = {x1, x2, …, xn}. Для каждой из его компонент должен быть 
установлен диапазон варьирования 

 
xi min ≤ xi ≤ xi max. 
(1.1)

Значения xi min и xi max представляют собой естественные границы 
(например, для углов от –90 до 90°) или задаются исходя из кон-
структивных и технологических соображений. 
Критерии качества — это требования к свойствам проекти-
руемой конструкции. Каждое отдельное требование к какому-либо 

Лекция 1. Иерархия проектных задач. Скалярная и векторная…

свойству принято называть локальным критерием эффективно-
сти (ЛКЭ). Любой из таких критериев может быть представлен 
в виде функции от вектора варьируемых параметров. Вид этой 
функции может быть весьма сложным, во многих случаях такие 
функции задаются алгоритмами. Однако важно, что в соответствии 
с выбранной математической моделью каждому набору варьиру-
емых параметров соответствует одно и только одно значение ис-
следуемого свойства, причем это значение может быть определено 
расчетным путем. 
Все локальные критерии эффективности можно подразделить 
на два класса: экстремальные критерии yj (X) ( j = 1, 2, …, m) и кри-
терии в виде ограничений Gk (X) (k = 1, 2, …, l ). В первом случае 
оптимизация конструкции предусматривает поиск наименьшего 
или наибольшего из всех возможных значений данной характери-
стики, тогда как во втором достаточно, чтобы значение последней 
находилось в заданных пределах: 

 
Gk min ≤ Gk (X) ≤ Gk max (∀k) 
(1.2)

(случай Gk min = Gk max соответствует критерию в виде равенства).
Известно деление расчетных задач на прямые и обратные. Под 
прямой задачей принято понимать задачу расчета свойств кон-
струкции с известными параметрами, а под обратной — задачу 
определения параметров конструкции с заданными свойствами. 
Для нас такое деление является слишком общим. В рамках дан-
ного курса мы будем различать четыре основных класса задач в за-
висимости от типа характера варьирования: 
1) задача расчета свойств (прямой расчет);
2) задача параметрического анализа;
3) задача скалярной оптимизации, или задача математического 
программирования;
4) задача исследования предельных возможностей (векторная 
оптимизация).
В задаче прямого расчета нет варьируемых параметров — все 
параметры фиксированы. Требуется рассчитать свойства проекти-
руемого объекта. Эта задача имеет единственное решение, которое, 
однако, может быть достигнуто с различной точностью. И если 
в обычных поверочных расчетах стремятся к максимальной точ-
ности, то здесь ситуация иная. Точность решения должна быть не 
максимальной, а оптимальной, т. е. адекватной точности исходных 
данных. Другими словами, не следует использовать расчетные 

1. Общие вопросы теории оптимального проектирования

модели, обеспечивающие точность до пяти значащих цифр, если 
исходные данные известны с точностью до двух знаков. А в про-
ектных задачах, когда еще окончательно не определен облик кон-
струкции, высокой точности исходных данных быть не может. 
Особенно сложно обстоит дело для композитных конструкций, 
поскольку свойства композитов зависят от технологии их перера-
ботки, а технология может быть разработана только после опре-
деления параметров конструкции. Точность расчетных алгоритмов 
должна быть достаточной для проведения сравнительного анализа 
различных вариантов и отбраковки неудачных. А поскольку любая 
проектная задача сводится к многократным расчетам различных 
вариантов, решающим преимуществом являются простота и бы-
стродействие расчетных алгоритмов. В этом смысле предпочти-
тельны аналитические решения — везде, где они только возможны.
Задача параметрического анализа заключается в изменении 
одного (реже двух) варьируемого параметра конструкции и про-
ведении цикла прямых расчетов с различными значениями этого 
параметра. Результаты обычно принято представлять в виде графи-
ков. Если изменяется один параметр, то зависимость от него каж-
дого свойства может быть представлена линией на графике, если 
варьируемых параметров два — зависимости имеют вид поверхно-
стей в трехмерном пространстве и могут быть изображены в виде 
сетки кривых на графике. 
Параметрический анализ обычно является начальной ступенью 
исследования задачи оптимизации. Увидеть зависимости интересу-
ющих проектанта характеристик от основных варьируемых пара-
метров чрезвычайно полезно для корректной формулировки задачи 
проектирования. Сам по себе параметрический анализ не подразумевает 
выбора оптимальных параметров, но во многих случаях 
такой выбор может быть проведен на основе графиков параметрического 
анализа. 
Кроме того, параметрический анализ может играть и более 
важную роль в тех случаях, когда оптимизируемый объект имеет 
всего один или два варьируемых параметра. В этих случаях с помощью 
параметрического анализа могут быть получены решения 
задач скалярной оптимизации или исследования предельных возможностей. 

Задача скалярной оптимизации характеризуется фиксированным 
уровнем требований ко всем свойствам объекта, кроме одного, 
выбранного заранее. Таким образом, только один ЛКЭ являет-

Лекция 1. Иерархия проектных задач. Скалярная и векторная…

ся экстремальным, а все остальные могут быть сформулированы 
в виде ограничений. Решением такой задачи является один или 
несколько оптимальных наборов параметров. Такая задача называется 
также задачей математического программирования (МП).
В задаче МП выбирают вектор варьируемых параметров X, 
причем для каждого из параметров задают границы диапазона ва-
рьирования (1.1). Предполагается, что все компоненты вектора X 
варьируются независимо, и на них установлены ограничения (1.1). 
Вектору варьируемых параметров соответствует целевая функция 
M(X), представляющая собой математическую запись единственного 
экстремального ЛКЭ. Кроме того, возможно произвольное 
число функций-ограничений, для каждой из которых также 
установлены границы допустимых диапазонов в соответствии 
с неравенством (1.2). 
Задача МП формулируется следующим образом: необходимо 
отыскать такое значение X*, при котором целевая функция принимала 
бы наибольшее или наименьшее среди всех возможных 
значений, а все ограничения были бы выполнены. 
Существует простой геометрический образ такой задачи. Если 
по осям n-мерного евклидова пространства отложить значения 
варьируемых параметров, то каждая точка в этом пространстве 
(называемом пространством поиска) будет соответствовать какому-
либо проекту. Число независимых варьируемых параметров n 
называется размерностью задачи оптимизации, а область пространства 
поиска, в которой выполняются все ограничения вида 
(1.1) и (1.2), — допустимой областью Dx. 
В зависимости от вида функций M(X) и Gj (X) задачи МП подразделяют 
на задачи линейного программирования (ЛП), когда 
целевая функция и все ограничения суть линейные функции варьируемых 
параметров, и задачи нелинейного программирования 
(НЛП), для которых характерно наличие хотя бы одной нелинейной 
функции.
Практически все задачи скалярной оптимизации композитных 
материалов и конструкций являются задачами НЛП.
В теории оптимизации наряду с ограничениями вида (1.2) рассматривают 
также ограничения в виде равенств. В задачах оптимального 
проектирования композитов ограничения в виде равенств 
возникают крайне редко, а когда все же возникают, лучше сразу 
же использовать такие зависимости для исключения лишних варьируемых 
параметров и понижения размерности задачи. Следует 

1. Общие вопросы теории оптимального проектирования

учитывать простое правило: увеличение размерности задачи оптимизации 
на единицу приводит к ее усложнению практически на 
порядок. Таким образом, ограничения в виде равенств в данном 
курсе рассматриваться не будут.
К настоящему времени разработано большое число методов ре-
шения скалярных задач, или методов поиска. Этим методам посвя-
щены специальные учебники [5], поэтому в данном курсе лекций 
приведен краткий обзор работ [6–9]. 
Классификация методов поиска представлена на рис. 1.1. 

Рис. 1.1. Классификация методов поиска

Аналитические методы — наилучшее средство решения за-
дач оптимизации. Только они позволяют провести полное иссле-
дование задачи в самом общем виде, гарантированно выявить все 
закономерности сочетания свойств оптимальных конструкций. 
К сожалению, задачи проектирования композитных материалов и 
конструкций, как правило, не поддаются решению аналитическими 
методами. Пример аналитического решения приведен в лекции 2.
Численные методы позволяют решить лишь конкретную за-
дачу и, как правило, не дают возможности для обобщения полу-
ченного решения. Среди численных методов выделяют группу ме-
тодов глобального поиска, которые направлены на исследование 
всей области допустимого изменения варьируемых параметров Dx.