Экспериментальные исследования в электроэнергетике и агроинженерии

В.Я. Хорольский, М.А. Таранов, 

В.Н. Шемякин, С.В. Аникуев

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 

В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ 

И АГРОИНЖЕНЕРИИ

Учебное пособие

Допущено

Министерством сельского хозяйства Российской Федерации

в качестве учебного пособия

для студентов высших аграрных учебных заведений,

обучающихся по направлению подготовки 

35.04.06 «Агроинженерия»

Ðåöåíçåíòû:

À.Ñ. Ñòåïàíîâ – äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, çàìåñòèòåëü äèðåêòîðà 
ïî íàó÷íîé ðàáîòå Èíñòèòóòà ýëåêòðîýíåðãåòèêè, ýëåêòðîíèêè 
è íàíîòåõíîëîãèé Ñåâåðî-Êàâêàçñêîãî ôåäåðàëüíîãî óíèâåðñèòåòà;
Ñ.Â. Îñüêèí – äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, 
çàâåäóþùèé êàôåäðîé ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí è ýëåêòðîïðèâîäà 
Êóáàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àãðàðíîãî óíèâåðñèòåòà

Õîðîëüñêèé Â.ß.

ISBN 978-5-91134-882-3 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-009791-6 (ИНФРА-М)

 ó÷åáíîì ïîñîáèè èçëîæåíû òåîðåòè÷åñêèå è ïðàêòè÷åñêèå âîï-

ðîñû îðãàíèçàöèè è ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, 
îöåíêè ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé, ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ, îá-
ðàáîòêè ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.

Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäå-

íèé, îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèÿì ìàãèñòåðñêîé ïîäãîòîâêè 35.04.01 
«Àãðîèíæåíåðèÿ».

Áóäåò òàêæå ïîëåçíî ñòóäåíòàì ñðåäíèõ ñïåöèàëüíûõ ó÷åáíûõ çà-

âåäåíèé, îáó÷àþùèìñÿ ïî ýëåêòðîòåõíè÷åñêèì ñïåöèàëüíîñòÿì,

ñïå öèàëèñòàì ýíåðãåòè÷åñêèõ ñëóæá.

Õ81

ÓÄÊ 621.3
ÁÁÊ 31.2
       Õ81

ÓÄÊ 621.3
ÁÁÊ 31.2

©  Â.ß. Õîðîëüñêèé, Ì.À. Òàðàíîâ, 

Â.Í. Øåìÿêèí, Ñ.Â. Àíèêóåâ, 2014

© Èçäàòåëüñòâî «ÔÎÐÓÌ», 2014

ISBN  978-5-91134-882-3 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-009791-6 (ИНФРА-М)

è

COДЕРЖАНИЕ

Ïðåäèñëîâèå.................................................................................................................. 4

Ãëàâà 1. Êðàòêèå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.................................................... 5
1.1. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû .................................................. 5
1.2. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .............................................. 7
1.3. Çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ................................................... 8

Ãëàâà 2. Îñíîâû ïîñòàíîâêè è ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ........13
2.1. Ïîíÿòèå ýêñïåðèìåíòàè õàðàêòåðèñòèêà îáúåêòà èññëåäîâàíèé ................13
2.2. Ñïåöèôèêà ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ........................15
2.3. Êëàññèôèêàöèÿ ýêñïåðèìåíòîâ ......................................................................16
2.4. Ýòàïû ïîñòàíîâêè è ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé .........19

Ãëàâà 3. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòîâ ........................................................24
3.1. Ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé .................................................................................24
3.2. Ïðåäâàðèòåëüíàÿ îáðàáîòêà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ............................26
3.3. Îöåíêà ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè ïðÿìûõ èçìåðåíèé ...................................28
3.4. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ êîñâåííûõ èçìåðåíèé ..............................................35
3.5.  Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ýìïèðè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé ìåòîäîâ 
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ....................................................................................40
3.6. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.................................47

Ãëàâà 4. Ïëàíèðîâàíèå ýêñïåðèìåíòîâ .......................................................................52
4.1. Îáùèå ïîëîæåíèÿ............................................................................................52
4.2 Ïëàíèðîâàíèå îäíîôàêòîðíîãî ýêñïåðèìåíòà ..............................................55
4.3. Ïëàíèðîâàíèå ìíîãîôàêòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ..........................................57
4.4.  Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ ïðè ïîñòàíîâêå 
ìíîãîôàêòîðíîãî ýêñïåðèìåíòà ....................................................................73

Ãëàâà 5. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé ................................76

Ïðèëîæåíèÿ .................................................................................................................88
Ïðèëîæåíèå À. Êðèòåðèè äëÿ èñêëþ÷åíèÿ âûñêàêèâàþùèõ çíà÷åíèé .............88
Ïðèëîæåíèå Á. Êîýôôèöèåíòû Ñòüþäåíòà tα ......................................................89
Ïðèëîæåíèå Â.  Êâàíòåëè ðàñïðåäåëåíèÿ Êîõðåíà gn äëÿ óðîâíÿ 
äîñòîâåðíîñòè 95 %.......................................................................89
Ïðèëîæåíèå Ã.  Êâàíòåëè ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà äëÿ óðîâíÿ 
äîñòîâåðíîñòè 95 %.......................................................................90
Ïðèëîæåíèå Ä. Êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 - Ïèðñîíà ......................................91
Ïðèëîæåíèå Å. Ïðèâåäåííàÿ ôóíêöèÿ Ëàïëàñà ...................................................93

Ëèòåðàòóðà ...................................................................................................................95

ПРЕДИСЛОВИЕ

Ïåðåõîä â âûñøåé øêîëå íà ñèñòåìó îáðàçîâàíèÿ ñ ïîäãîòîâêîé áà-
êàëàâðîâ è ìàãèñòðîâ äèêòóåò íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ ìåòîäè÷åñêîãî 
îáåñïå÷åíèÿ äëÿ ðàçðàáîòêè ìàãèñòåðñêèõ äèññåðòàöèé. Ñðåäè ðàçëè÷íûõ 
äèñöèïëèí, îáåñïå÷èâàþùèõ âûïîëíåíèå òàêîé çàäà÷è, âàæíîå ìåñòî 
ïðèíàäëåæèò ýêñïåðèìåíòàëüíûì èññëåäîâàíèÿì.
 ïðîöåññå îðãàíèçàöèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ðåøàåòñÿ 
øèðîêèé êðóã çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïîñòàíîâêîé èññëåäîâàíèÿ, ðàçðàáîò-
êîé ïðîãðàììû åãî ïðîâåäåíèÿ, îöåíêîé ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.  ðÿäå 
ñëó÷àåâ ýêñïåðèìåíòû âûïîëíÿþòñÿ â óñëîâèÿõ äåéñòâèÿ ñëó÷àéíûõ ôàê-
òîðîâ, è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ òàêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ñâÿçàíà ñ èñïîëüçî-
âàíèåì ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
Ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííûé îáúåì ìåòîäè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ ïî âîïðî-
ñó ðàçðàáîòêè ìàãèñòåðñêîé äèññåðòàöèè, àâòîðû ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ 
ïðèäåðæèâàëèñü òî÷êè çðåíèÿ, ÷òî èçëàãàåìûé ìàòåðèàë äîëæåí áûòü íà-
ïèñàí êðàòêî, ÿñíî, äîñòóïíî äëÿ ïîíèìàíèÿ, à íåîáõîäèìûå òåîðåòè÷å-
ñêèå âûêëàäêè ïîäêðåïëåíû ðåøåíèåì çàäà÷ èç îáëàñòè ýëåêòðîýíåðãåòè-
êè è ýëåêòðîòåõíèêè.
Îñíîâíîå òåîðåòè÷åñêîå ñîäåðæàíèå ïîñîáèÿ ñîñòàâëÿþò âîïðîñû, 
ñâÿçàííûå ñ îöåíêîé ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé, ïëàíèðîâàíèåì ýêñïåðè-
ìåíòîâ, îáðàáîòêîé ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.
 ïîñîáèè äàþòñÿ ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî îöåíêå ïîãðåøíî-
ñòè ïðÿìûõ è êîñâåííûõ èçìåðåíèé.
Âíåäðåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ ïî-
çâîëÿåò â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè èñêëþ÷èòü èíòóèòèâíûé, âîëåâîé ïîäõîä 
è çàìåíèòü åãî íàó÷íîîáîñíîâàííîé ïðîãðàììîé ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, ñîäåðæàùåé îáúåêòèâíóþ îöåíêó ïîëó÷åííûõ 
ðåçóëüòàòîâ. Ïðè ýòîì îñóùåñòâëÿåòñÿ óïðàâëåíèå ïðîöåññàìè ïðîâåäå-
íèÿ ýêñïåðèìåíòà ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì îïûòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ìåòîäû 
ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ áàçèðóþòñÿ íà òåîðåòè÷åñêèõ ïîëîæåíèÿõ 
êîððåëÿöèîííî-ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà. Èñïîëüçîâàíèå òàêîãî ïîäõîäà 
â êíèãå äîâåäåíî äî ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ èç îáëàñòè ýëåêòðî-
ýíåðãåòèêè è ýëåêòðîòåõíèêè.
Ïîñîáèå ñîäåðæèò òàêæå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíî-
ñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, ïîçâîëÿþùèå ñòóäåíòó êâàëèôèöèðî-
âàííî ïðîâîäèòü îáðàáîòêó ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.
Àâòîðû íàäåþòñÿ, ÷òî ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè, èçëîæåííûå â 
äàííîì ïîñîáèè, áóäóò òàêæå ïîëåçíû ñòóäåíòàì è àñïèðàíòàì äðóãèõ 
íàïðàâëåíèé, ðàáîòàþùèì íàä ìàãèñòåðñêèìè è êàíäèäàòñêèìè äèññåð-
òàöèÿìè.

1.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Àáñòðàêòíîå ïîíÿòèå «ñîáûòèå» îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðîèñõî-
äèò èëè íå ïðîèñõîäèò íåêîòîðîå ÿâëåíèå. Ïîíÿòèÿ «ñëó÷àéíîñòü», 
«âåðîÿòíîñòü» çàèìñòâîâàíû èç âíåøíåãî ìèðà. Ñëó÷àéíîñòü – ñëó-
÷àé, âåðîÿòíîñòü – âåðà.  ýòîì ñëó÷àå òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ 
ïðèêëàäíîé íàóêîé, îíà ðàáîòàåò ñ îêðóæàþùèì ìèðîì. Ïðè ýòîì 
ñëó÷àéíîñòü – ýòî ÿâëåíèå, à âåðîÿòíîñòü – ýòî ñðåäñòâî åãî êîëè÷å-
ñòâåííîãî îïèñàíèÿ, ìåðà âîçìîæíîñòè åãî íàñòóïëåíèÿ â áóäóùåì.
Èòàê, âåðîÿòíîñòü – ýòî ÷èñëåííàÿ ìåðà âîçìîæíîñòè ïîÿâëåíèÿ 
èëè íåïîÿâëåíèÿ èçó÷àåìîãî ñîáûòèÿ, íàïðèìåð, ïðè ïðîèçâîäñòâå èñ-
ïûòàíèé åþ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ èñ-
ïûòàíèé ê îáùåìó ÷èñëó ïðîâåäåííûõ èñïûòàíèé. 
Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

 
N
m
)
A
(
P
=
,  
 (1.1)
ãäå m – ÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ, N – îáùåå ÷èñëî èñõîäîâ.
Ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ äîñòî-
âåðíûì ñîáûòèåì, ò.å. òàêèì ñîáûòèåì, êîòîðîå â ðåçóëüòàòå îïûòà 
îáÿçàòåëüíî ïðîèçîéäåò. Ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà íóëþ, 
íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì ñîáûòèåì. Ñëó÷àéíûì íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, 
êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè ïðè îïðåäåëåííûõ çà-
äàííûõ óñëîâèÿõ.
Ïðåäñêàçàòü êàæäîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå íåâîçìîæíî. Îäíàêî áîëü-
øîå ÷èñëî îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïîä÷èíÿåòñÿ îïðåäåëåí-
íûì âåðîÿòíîñòíûì çàêîíîìåðíîñòÿì. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé çàíèìà-
åòñÿ èçó÷åíèåì ýòèõ çàêîíîìåðíîñòåé.
Ïðè îäíîâðåìåííîì èçó÷åíèè äâóõ èëè íåñêîëüêèõ ñîáûòèé ðàç-
ëè÷àþò íåçàâèñèìûå è çàâèñèìûå, ñîâìåñòíûå è íåñîâìåñòíûå ñî-
áûòèÿ. Åñëè âåðîÿòíîñòü îäíîãî ñîáûòèÿ íå èçìåíÿåòñÿ îò òîãî, 
ïðîèçîøëî èëè íå ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå, òî òàêèå ñîáûòèÿ íà-
çûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Åñëè æå âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ îäíîãî ñî-
áûòèÿ çàâèñèò îò òîãî, ïðîèçîøëî èëè íå ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå, 
òî òàêèå ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ çàâèñèìûìè ñîáûòèÿìè. Èìïóëüñíûå 

ГЛАВА 1
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
6

ïåðåíàïðÿæåíèÿ â ýëåêòðè÷åñêèõ ñåòÿõ âîçíèêàþò íåçàâèñèìî îò òåõ-
íè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýòèõ ñåòåé (íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ), è â òî æå 
âðåìÿ îòêàç îäíîãî èç ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè ìîæåò ïðèâåñòè 
ê îòêàçó äðóãèõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðîóñòàíîâêè (çàâèñèìûå ñîáûòèÿ). 
Ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè íèêàêèå äâà èç íèõ íå ìî-
ãóò ïîÿâèòüñÿ âìåñòå è, íàîáîðîò, ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ ñîâìåñòíûìè, 
åñëè îíè ìîãóò ïîÿâèòüñÿ îäíîâðåìåííî.
Âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ åñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, çà-
êëþ÷åííîå ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé 0 ≤ Ð(À) ≤ 1.
Ïîíÿòèåì, âåñüìà áëèçêèì ê ïîíÿòèþ âåðîÿòíîñòè, ÿâëÿåòñÿ îò-
íîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñîáûòèé, èëè ÷àñòîñòü. ×àñòîñòü îïðåäåëÿåòñÿ 
ïî ôîðìóëå
 
ω(A) = ω/N 
(1.2)
ãäå ω – ÷èñëî ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèé â èñïûòàíèÿõ.
Ðàçíèöà ìåæäó âåðîÿòíîñòüþ è ÷àñòîñòüþ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî 
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîñòè òðåáóåòñÿ ïðîâåäåíèå èñïûòàíèé, à äëÿ 
îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îíè íå òðåáóþòñÿ.
Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé Õ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ â äàííîì 
êîíêðåòíîì îïûòå ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî èç ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ 
çíà÷åíèé, ïðè÷åì çàðàíåå íåèçâåñòíî, êàêîå èìåííî. Ñëó÷àéíûå 
âåëè÷èíû ìîãóò áûòü äèñêðåòíûìè èëè íåïðåðûâíûìè.  êà÷åñòâå 
äèñêðåòíûõ âåëè÷èí ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ÷èñëî àâàðèéíûõ çàÿâîê 
íà îáñëóæèâàíèå ýëåêòðîóñòàíîâîê, êîëè÷åñòâî ïîñòóïèâøèõ â ðå-
ìîíò ýëåêòðîäâèãàòåëåé è äð. Íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé 
ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ âûíóæäåííîãî ïðîñòîÿ ýëåêòðîóñòàíîâêè èç-çà àâà-
ðèéíîé ñèòóàöèè, äëèòåëüíîñòü ãðîçîâûõ ïåðåíàïðÿæåíèé è ò.ä.
Äëÿ îïèñàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íóæíî çíàòü âåðîÿòíîñòè ïðè-
íÿòèÿ åþ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé. Èñ÷åðïûâàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé 
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ çàêîí åå ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîä êîòîðûì 
ïîíèìàåòñÿ ñâÿçü ìåæäó âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû è ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðîÿòíîñòÿìè [5].
Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò çàäàâàòüñÿ â âèäå 
òàáëèö, ãðàôèêîâ, àíàëèòè÷åñêè. Íàïðèìåð, äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü çàäàí â âèäå òàáëèöû, 
ïåðâàÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîäåðæèò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé 
âåëè÷èíû, à âòîðàÿ – ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè èõ ïîÿâëåíèÿ 
(òàáë. 1.1).
Òàáëèöà 1.1
 Òàáëè÷íàÿ ôîðìà çàäàíèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ

õ1
õ2
…
õn

Ð1
Ð2
…
Ðn

Ñóììà âåðîÿòíîñòåé âñåõ âîç-
ìîæíûõ ñîáûòèé ðàâíà åäèíèöå:

Ð1 + Ð2 + … + Ðn = 1.        (1.3) 

Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåò-
íîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò çà-
äàâàòüñÿ â âèäå ãðàôèêà (ðèñ. 1.1), 
ãäå êàæäîìó çíà÷åíèþ Õ = õi ñîîò-
âåòñòâóåò âåðîÿòíîñòü Ði.

1.2. ЧИСЛОВЫЕ 
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ 
ВЕЛИЧИН

Âìåñòî ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â âèäå çàêîíà 
ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ ÷àñòî èñïîëüçóþò ÷èñëîâûå õà-
ðàêòåðèñòèêè, íàçûâàåìûå ìîìåíòàìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íàèáî-
ëåå ÷àñòî íà ïðàêòèêå â êà÷åñòâå ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê èñïîëüçó-
þòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ì(õ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû – 
ñóììà ïðîèçâåäåíèé âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 
íà âåðîÿòíîñòü ýòèõ çíà÷åíèé. Åñëè çàäàí ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî-
ÿòíîñòåé Ði äëÿ çíà÷åíèé õi äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ, òî 
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

 
Ì(õ) = mx = Σ 

n
 õi Ði. 
(1.4)

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: ìàòåìàòè÷åñêîå 
îæèäàíèå ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó çíà÷å-
íèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (÷åì áîëüøå ÷èñëî èñïûòàíèé, òåì òî÷-
íåå ýòî òîæäåñòâî), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû 
ðàâíî ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå.
Ïîêàçàòåëåì, õàðàêòåðèçóþùèì ñòåïåíü ðàññåÿíèÿ ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû îêîëî ñâîåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ÿâëÿåòñÿ äèñïåðñèÿ 
(ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 
îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ):

 
D(X) = M[X – D(X)]2. 
(1.5)

Êîðåíü êâàäðàòíûé èç äèñïåðñèè íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷å-
ñêèì îòêëîíåíèåì:
 
 
)
X
(
D
x =
σ
. 
(1.6)

1.2. Числовые характеристики случайных величин

Pi

Х=х

Ðèñ. 1.1.  Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ 
äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
8

Òàê êàê äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íåâîçìîæíî ïåðå-
÷èñëèòü âñå èõ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, òî äëÿ òàêèõ âåëè÷èí ïîëüçó-
þòñÿ íå âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ P (X = xi), à âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ 
P (X < xi). Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè P (X < xi) îò õ íàçûâàåòñÿ ôóíê-
öèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû F(x):

 
 
).
x
X
(
P
)
x
(
F
<
=
 
(1.7)
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ – ñàìàÿ óíèâåðñàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà 
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îíà ñóùåñòâóåò äëÿ âñåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, 
êàê äèñêðåòíûõ, òàêè íåïðåðûâíûõ.
Êðîìå èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) â ïðàêòèêå ïðî-
âåäåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóåòñÿ òàêàÿ õàðàêòåðèñòè-
êà, êàê ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 
(äèôôåðåíöèàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè ÷èíû):

 
 

.
dx
)
x
(
dF
)
x
(
f
=
 
(1.8)

Ôóíêöèè F(x) è f(x) îáëàäàþò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:

• F(–∞) = 0, F(+∞) = 1;

• F(x1) ≥ F(x2) ïðè õ1≥ x2;

• ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíà ñëåâà, ò.å. F(x) = F(x – 0);

• ∫

∞

∞
−
= 1
dx
)
x
(
f
;

• f(x) ≥ 0.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àé-
íûõ âåëè÷èí îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì

 
∫

∞

∞
−
=
dx
)
x
(
xf
mx
, 
(1.9)

 
 
(
)
[
]
(
)
∫

∞

∞
−
−
=
−
=
dx
)
x
(
f
m
x
m
X
M
)
x
(
D
2
x
2
x
. 
(1.10)

1.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Èçâåñòíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ 
âåëè÷èí. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå èç íèõ.
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ 
îïèñàíèÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îí ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü 
âåðîÿòíîñòü Ðk(t) íàñòóïëåíèÿ ðîâíî k ñîáûòèé çà ïðîìåæóòîê âðå-
ìåíè t:
 
a
k

k
e
!
k
a
)t(
P
−
=
, 
(1.11)

ãäå a – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ñîáûòèé çà âðåìÿ t.
Îò çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû à çàâèñèò âèä êðèâûõ ðàñïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 1.2).

1.3. Законы распределения случайных величин

Ïðèìåð 1.1. Ñðåäíèé âûõîä îñâåòèòåëüíûõ ïðèáîðîâ â ðåìîíòíîé 
ìàñòåðñêîé çà âðåìÿ T = 1000 ÷ ñîñòàâèë 20 øò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü 
òîãî, ÷òî çà âðåìÿ 100 ÷ âîçíèêíåò 3 îòêàçà?
Ð å ø å í è å. 1. Òàê êàê îòêàçû íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà è 
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû âî âðåìåíè, ÷èñëî îòêàçîâ çà âðåìÿ 100 ÷ 
ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî çàêîíó Ïóàññîíà. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà 
îòêàçîâ çà âðåìÿ 100 ÷ à îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:

λ = n
T  = 20
1000 = 0,02  è à = λt = 0,02×100 = 2.

2. Âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ òðåõ îòêàçîâ

 

18
,0
е
3
2
1
2
е
!
k
а
Р
2
3
а
k

3
k
=
⋅
⋅
=
=
−
−
=
.

Íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàíè-
ìàåò îñîáóþ ðîëü â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ìíîæåñòâî ñîáûòèé ïðî-
èñõîäèò ñëó÷àéíî âñëåäñòâèå âîçäåéñòâèÿ íà íèõ áîëüøîãî ÷èñëà íå-
çàâèñèìûõ (èëè ñëàáî çàâèñèìûõ) âîçìóùåíèé, è ó òàêèõ ÿâëåíèé 
çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ áëèçîê ê íîðìàëüíîìó. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëå-
íèå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ íà ïðàêòèêå è òåîðåòè÷åñêè íàèáîëåå 
ïîëíî ðàçðàáîòàíî. Îñíîâíàÿ îñîáåííîñòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî 
îí ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì çàêîíîì, ê êîòîðîìó ïðèáëèæàþòñÿ äðóãèå 
çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ.
Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåííîé 
ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó, åñëè åå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä

 

 
(
)

⎟
⎟
⎠

⎞

⎜
⎜
⎝

⎛

σ
−
−
σ
π
=
2

2
x

x
x
2
m
x
exp
2
1
)
x
(
f
, 
(1.12)

ãäå mx è σx – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû Õ.

Ðèñ. 1.2. Âèä êðèâûõ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà 
ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ à

Pk(t)

k

0,5
а = 0,5

а = 3,5

а = 1

а = 2
0,25

0
1
2
3
4
5
6
7
8

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
10

Ãðàôèê ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. ðèñ. 1.3) íà-
çûâàåòñÿ íîðìàëüíîé êðèâîé èëè êðèâîé Ãàóññà.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íîðìàëüíîì çàêîíå ðàâíà

 
(
)
dx
2
m
x
2
1
)
x
(
F 
2

2
x
x

x
x
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛

σ
−
−
σ
π
=
∫
∞
−

. 
(1.13)

Ïðè íîðìàëüíîé êðèâîé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ 
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû õ â èíòåðâàë (α, β) ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîð-
ìóëå
 
⎟⎟
⎠

⎞

⎜⎜
⎝

⎛
σ
α
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
σ
β
=
β
<
<
α

x

x

x

x
m
Ф
m
Ф
)
x
(
P
, 
(1.14)

ãäå Ô(õ) – òàáóëèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ Ëàïëàñà.
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå 
îáëàäàåò äâóìÿ çàìå÷àòåëüíû-
ìè ñâîéñòâàìè:
1. Ñîãëàñíî ïðàâèëó òðåõ 
ñèãì  âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ 
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áîëåå ÷åì 
íà 3σ íè÷òîæíî ìàëà (0,0027). 
Ñ ó÷åòîì ïðàâèëà 3σ ìîæíî 
óñòàíîâèòü íàëè÷èå ïðîìàõà 
â ðåçóëüòàòå îòäåëüíîãî èç-
ìåðåíèÿ, à çíà÷èò, îòáðîñèòü 
åãî, åñëè ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ 
áîëåå ÷åì íà 3σ îòëè÷àåòñÿ îò 
èçìåðåííîãî ñðåäíåãî çíà÷å-
íèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
2. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè-
÷èíà Õ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé 
ñóììó áîëüøîãî ÷èñëà âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, 
âëèÿíèå êîòîðûõ íà âñþ ñóììó ìàëî, òî âåëè÷èíà Õ èìååò íîðìàëü-
íîå ðàñïðåäåëåíèå. Çàêîíîìåðíîñòü òàêîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç 
öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû Ëÿïóíîâà.
Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ 
âåëè÷èí, ïîä÷èíÿþùèõñÿ çàêîíó Âåéáóëëà, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

 
f(t) = βαtα–1exp(–βαtα), 
(1.15)

ãäå β è α – ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, β – ïàðàìåòð ìàñøòàáà, α – 
ïàðàìåòð ôîðìû êðèâîé.
Êðèâàÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû, ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Âåéáóëëà, ïîêàçàíà íà ðèñ. 1.4.

Ðèñ. 1.3. Ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî 
ðàñïðåäåëåíèÿ

f(X)

t

σ1

σ1 < σ2 < σ3

σ2

σ3

mx

1.3. Законы распределения случайных величин

Ìîäåëü Âåéáóëëà ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ìîäåëüþ, õàðàêòåðèçóþ-
ùåé íàäåæíîñòü ýëåêòðîîáîðóäîâàíèÿ. Íàäåæíîñòü ýëåêòðîîáîðóäî-
âàíèÿ íà ó÷àñòêå ïðèðàáîòêè âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îïèñûâàåòñÿ òàêèì 
çàêîíîì ñ α < 1, â ïåðèîä ñòàðåíèÿ ñ α > 1, à â ïåðèîä äëèòåëüíîé 
ýêñïëóàòàöèè ñ α = 1.
Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ïðè-
ìåíèòåëüíî, íàïðèìåð, ê íàäåæíîñòè îïèñûâàåò íàäåæíîñòü íå-
ñòàðåþùèõ ýëåìåíòîâ. Ýòîò çàêîí îïðåäåëÿåòñÿ âñåãî ëèøü îäíèì 
ïàðàìåòðîì λ(t) = const. Ïðè ðàñ÷åòàõ íàäåæíîñòè ýòîò ïàðàìåòð 
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ 
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì 
ðàñïðåäåëåíèåì îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì

 
 

t
e
)t(
f
λ
−
λ
=
. 
(1.16)

Ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðàëüíûé çàêîí ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì ðàñ-
ïðåäåëåíèè ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåí â ñëåäóþùåì âèäå:

              
.
e
1
)t(
F
t
λ
−
−
=
     (1.17)

Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ýêñïî-
íåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî-
êàçàíà íà ðèñ. 1.5.
Ðàñïðåäåëåíèå χ2 èãðàåò áîëü-
øóþ ðîëü ïðè îáðàáîòêå ñòàòè-
ñòè÷åñêèõ äàííûõ, ïîëó÷àåìûõ 
â ðåçóëüòàòå ýêñïëóàòàöèè èëè 
îïûòîâ.

f(t)

t

0,5

1,0

0
1
2
3
4

Ðèñ. 1.4. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà

F(t)

1,0

0,632

t
m

Ðèñ. 1.5. Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ 
ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

α = 2,0

α = 1,5

α =1,0

α = 0,5