Теория тепломассообмена

К 150-летию Научно-учебного комплекса 
«Энергомашиностроение»

Техническая физика  
и энергомашиностроение

А.А. Александров 
председатель, доктор технических наук
A.А. Жердев 
 
зам. председателя, доктор технических наук
B.Л. Бондаренко  
доктор технических наук
A.Ю. Вараксин 
 
доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН
К.Е. Демихов 
 
доктор технических наук
Ю.Г. Драгунов 
 
доктор технических наук, член-корреспондент РАН
B.И. Крылов 
 
кандидат технических наук
М.К. Марахтанов 
доктор технических наук
B.А. Марков 
 
доктор технических наук
C.Е. Семёнов 
 
кандидат технических наук
В.И. Хвесюк 
 
доктор технических наук
Д.А. Ягодников  
доктор технических наук

Редакционный совет

Теория

тепломассообмена

Под редакцией академика РАН А.И. Леонтьева

Учебник для студентов машиностроительных специальностей  

высших учебных заведений

3-е издание, исправленное и дополненное

С.И. Исаев, И.А. Кожинов, В.И. Кофанов, А.И. Леонтьев, Б.М. Миронов, 
В.М. Никитин, Г.Б. Петражицкий, В.И. Хвостов, А.Г. Чукаев, 
Е.В. Шишов, В.В. Школа 

 
 Теория тепломассообмена : учебник для вузов / [С. И. Исаев и др.] ; под 
ред. А. И. Леонтьева. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 462, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4527-1

Рассмотрены основы теории переноса теплоты и вещества в неподвижной и 
движущейся среде, а также перенос теплоты радиацией. Изложены современ-
ные методы рас чета процессов тепло- и массообмена применительно к различ-
ным техническим приложениям, особенно для областей новой техники (авиа-
ционной, космической, атом ной энергетики и т. п.).
Для студентов высших учебных заведений машиностроительных специаль-
ностей, аспирантов и научных работников.

 
УДК 536.24+66.015.23
 
ББК 31.31+35.113
 

УДК 536.24+66.015.23
ББК 31.31+35.113
 
Т33

Рецензент В.В. Ягов

Авторы:

© Оформление. Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018

Т33

ISBN 978-5-7038-4527-1

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебника

Оглавление

Предисловие председателя редакционного совета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
От авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Основные понятия и определения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Раздел I. Теплопроводность  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Глава 1. Общие положения теории теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.1. Температурное поле, градиент температуры и закон Фурье . . . . . . . . . . . .13
1.2. Теплопроводность веществ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.4. Условия однозначности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Глава 2. Стационарная теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.1. Теплопроводность тел простой формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2. Интенсификация теплопередачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
2.2.1. Теплопроводность стержня постоянного поперечного сечения (35) 2.2.2. Тем- 
пературное поле круглого ребра постоянной толщины (37) 2.2.3. Теплопроводность 
прямого ребра переменного поперечного сечения (38)
2.3. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты . . . . . .40
2.3.1. Неограниченная пластина (40) 2.3.2. Цилиндрическая стенка (42)
2.4. Температурное поле полуограниченной пластины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
2.5. Температурное поле пористой пластины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Глава 3. Нестационарные процессы теплопроводности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
3.1. Основные методы решения уравнения теплопроводности  
при нестационарном режиме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
3.2. Температурное поле полуограниченного тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3.3. Нестационарные процессы теплопроводности в неограниченной  
пластине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
3.4. Теплопроводность тел, образованных пересечением двух пластин . . . . . .70
3.5. Температурное поле пластины с внутренними источниками теплоты . . .73
3.6. Нестационарное температурное поле бесконечно длинного цилиндра . .74
3.7. Нестационарное температурное поле шара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
3.8. Регулярный режим процессов теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
3.9. Периодические тепловые процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
3.10. Численные методы решения задач теплопроводности  . . . . . . . . . . . . . . .89
Раздел II. Конвективный тепломассообмен  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
Глава 4. Основные положения учения о конвективном теплообмене . . . . . . . . .95
4.1. Основные понятия и определения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
4.2. Дифференциальные уравнения теории конвективного теплообмена  . . .97
4.3. Условия однозначности для процессов конвективного теплообмена . . .108
Глава 5. Основы теории подобия и размерностей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.1. Значение теории подобия для теории теплообмена . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.2. Понятие о подобии физических величин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
5.3. Условия подобия физических явлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
5.4. Критерии подобия и уравнения подобия конвективного теплообмена . .119
5.5. Метод анализа размерностей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
5.6. Моделирование  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
5.7. Определяющие размер и температура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

Оглавление

Глава 6. Конвективный теплообмен при вынужденном течении жидкости . . .136
6.1. Основы теории пограничного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
6.1.1. Особенности течения вязкой жидкости при больших числах Re. Пограничный 
слой (136) 6.1.2. Дифференциальные уравнения динамического и теплового по-
граничных слоев (137) 6.1.3. Система уравнений плоского сжимаемого погранич-
ного слоя с учетом диффузии и химических реакций (140) 6.1.4. Тройная аналогия 
(147) 6.1.5. Интегральные соотношения импульсов, энергии и диффузии (148)
6.2. Вынужденная конвекция при ламинарном режиме течения . . . . . . . . . .154
6.2.1. Тепло- и массообмен при обтекании пластины потоком несжимаемой жидкос- 
ти (154) 6.2.2. Автомодельные решения уравнений динамического, теплового и 
диффузионного пограничных слоев (162) 6.2.3. Теплообмен на криволинейной 
поверхности (167) 6.2.4. Теплообмен при сверхзвуковых скоростях течения газа 
(171) 6.2.5. Точные решения уравнения энергии для пограничного слоя сжимаемо-
го газа при ∂p/∂x = 0 (175) 6.2.6. Приближенный метод решения с помощью интег-
рального соотношения энергии (179) 6.2.7. Трение и теплообмен на проницаемой 
поверхности (180) 6.2.8. Теплообмен при наличии химических реакций (187)
6.3. Вынужденная конвекция при турбулентном течении жидкости . . . . . . .194
6.3.1. Возникновение турбулентного течения (194) 6.3.2. Уравнения турбулентного 
пограничного слоя (196) 6.3.3. Турбулентное касательное напряжение, тепловой  
и диффузионный потоки (197) 6.3.4. Некоторые результаты экспериментального 
исследования турбулентного пограничного слоя (198) 6.3.5. Полуэмпирические 
теории турбулентного переноса (200) 6.3.6. Распределение скоростей, температур 
и концентраций в пристенной части плоского турбулентного пограничного слоя 
(211) 6.3.7. Законы трения, тепло- и массообмена (216) 6.3.8. Влияние сжимае-
мости газа и неизотермичности на законы трения, тепло- и массообмена в турбу-
лентном пограничном слое (220) 6.3.9. Влияние поперечного потока вещества на 
законы трения, тепло- и массообмена (222)
6.4. Методы расчета теплообмена в турбулентном пограничном слое . . . . . .225
6.4.1. Решение уравнения энергии турбулентного пограничного слоя на непрони-
цаемой поверхности (225) 6.4.2. Решение уравнения энергии турбулентного по-
граничного слоя на проницаемой поверхности (228)
6.5. Теплообмен при вынужденном течении жидкости в трубах . . . . . . . . . . .229
6.5.1. Течение в каналах (229) 6.5.2. Теплообмен при вынужденном ламинарном 
течении жидкости в трубах (233) 6.5.3. Теплообмен при турбулентном течении 
жидкости в трубах (255)
6.6. Теплообмен при поперечном обтекании труб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273
6.7. Методы тепловой защиты тел от воздействия высокоэнтальпийного  
потока газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278
6.7.1. Конвективный теплообмен при наличии газовых завес (278) 6.7.2. Пористое 
охлаждение (289)
6.8. Теплообмен при течении разреженных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291
Глава 7. Теплообмен при естественной конвекции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299
7.1. Теплообмен при естественной конвекции в большом объеме . . . . . . . . .299
7.1.1. Общие положения (299) 7.1.2. Вертикальная пластина (300) 7.1.3. Горизонтальный 
цилиндр (310)
7.2. Теплообмен при свободном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312
7.2.1. Общие положения (312) 7.2.2. Длинные горизонтальные слои (313) 7.2.3. Вертикальные 
слои (316)

Оглавление

Глава 8. Теплоотдача при изменении агрегатного состояния вещества . . . . . . .319
8.1. Теплоотдача при конденсации паров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319
8.1.1. Общие сведения о процессе (319) 8.1.2. Теплообмен при пленочной конденсации 
неподвижного пара при ламинарном течении пленки по вертикальной пластине (
323) 8.1.3. Турбулентное течение пленки конденсата (329) 8.1.4. Теплообмен 
при пленочной конденсации на горизонтальной трубе (332) 8.1.5. Теплообмен 
при пленочной конденсации движущегося пара (334) 8.1.6. Теплоотдача при 
конденсации пара внутри трубы (339) 8.1.7. Теплообмен при конденсации пара в 
условиях ослабленной гравитации (340) 8.1.8. Конденсация пара из парогазовой 
смеси (341) 8.1.9. Конденсация на резьбовидной поверхности (348) 8.1.10. Капельная 
конденсация (350) 8.1.11. Методы интенсификации теплообмена при 
конденсации (352)
8.2. Теплообмен при кипении жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353
8.2.1. Основные понятия (353) 
8.2.2. Возникновение активной паровой фа- 
зы (357) 8.2.3. Механизм процесса теплообмена при пузырьковом кипении жидкости 
в условиях свободной конвекции (359) 8.2.4. Пузырьковое кипение при 
вынужденной конвекции (365) 8.2.5. Теплоотдача при пленочном режиме кипения 
(369) 8.2.6. Критические плотности теплового потока (373) 8.2.7. Теплообмен при 
кипении жидких металлов и криогенных жидкостей (377)
Глава 9. Теплообмен излучением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381
9.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381
9.2. Законы теплового излучения черного тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385
9.3. Радиационный теплообмен между твердыми телами,  
разделенными диатермичной средой  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392
9.3.1. Задача о двух параллельных пластинах (392) 9.3.2. Радиационный теплообмен 
между телом и оболочкой (395) 9.3.3. Защитные экраны (396) 9.3.4. Радиационный 
теплообмен между произвольно расположенными элементами поверхностей 
нагрева (398)
9.4. Солнечное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
9.5. Радиационный теплообмен в полупрозрачных средах . . . . . . . . . . . . . . . .404
9.5.1. Особенности излучения полупрозрачных сред (404) 9.5.2. Характеристики 
объемного излучения, поглощения и рассеяния энергии (407) 9.5.3. Уравнение 
переноса энергии излучения в полупрозрачной среде (409) 9.5.4. Степень черноты 
и поглощательная способность газового объема (411) 9.5.5. Интегральные характеристики 
излучения и поглощения полупрозрачного объема (414) 9.5.6. Радиационный 
теплообмен между газом и оболочкой (418) 9.5.7. Излучение пламе- 
ни. Особенности расчета радиационного теплообмена в камерах сгорания (419)  
9.5.8. Сложный теплообмен (422)
Глава 10. Теплообменные аппараты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425
10.1. Классификация теплообменных аппаратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425
10.2. Основы теплового расчета рекуперативных теплообменных  
аппаратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426
10.3. Основы теплового расчета регенеративных теплообменных  
аппаратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .440
10.4. Сравнение рекуператоров и регенераторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .448
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .450

Предисловие председателя редакционного совета

Процессы тепло- и массообмена играют важную, а во многих случаях опреде-
ляющую роль в различных областях техники и науки. В авиационной и ракетно-
космической технике оптимизация этих процессов приводит к снижению мате-
риалоемкости, экономии топлива и увеличению срока службы конструкций.
Исследование тепломассообмена имеет принципиальное значение при разра-
ботке современных энергетических установок и контроле рабочих процессов 
в металлургических и других производствах. В биологии и медицине процессы 
тепломассообмена важны для поддержания жизнедеятельности организмов, а 
в ряде случаев локальные тепловые воздействия являются необходимым средством 
лечения опасных заболеваний.
Тепловые процессы в атмосфере определяют погоду и климат на планете, 
а исследование процесса переноса различных примесей позволяет делать важные 
практические экологические прогнозы.
Интенсификация тепломассообмена позволяет получить значительную эко-
номию энергии в энергетических установках малой энергетики, предназначенных 
для индивидуального обеспечения теплом и электрической энергией объектов 
малоэтажного строительства, в различных сферах жилищно-коммунального хо-
зяйства, например при проектировании оптимальных систем отопления зданий 
и сооружений. В настоящее время тепловые и массообменные расчеты являются 
составной частью подавляющего большинства современных конструкторских и 
технологических разработок. Очевидно, что решение указанных выше задач не-
возможно без специалистов, обладающих соответствующими знаниями в области 
тепломассообмена.
Теория тепломассообмена представляет собой один из важнейших разделов 
технической физики и базируется на таких дисциплинах, как физика, термоди-
намика, механика жидкости и газа и др. Существенный вклад в ее развитие вне-
сли отечественные ученые: М.В. Кирпичёв, М.А. Михеев, А.А. Гухман, Г.Н. Кру-
жилин, С.С. Кутателадзе, А.В. Лыков, Б.С. Петухов, Д.А. Лабунцов, А.И. Леон-
тьев, В.М. Иевлев, В.С Авдуевский, В.И. Субботин и многие другие.
В 2018 году исполняется 150 лет факультету «Энергомашиностроение» МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, и все эти годы на факультете и в НИИ «Энергомашиностроение» 
проводились научно-исследовательские работы по изучению тепловых и массо-
обменных явлений в различных тепловых машинах и технологических процессах. 
При этом почти все направления подготовки на факультете связаны с тепловыми 
машинами: ракетные двигатели, поршневые двигатели, газотурбинные установки, 
плазменные энергетические установки, ядерные реакторы и установки, холодиль-
ные машины. Основными дисциплинами при обучении студентов по этим на-
правлениям являются: «Термодинамика», «Механика жидкости и газа», «Управ-
ление техническими системами» и «Теория тепломассообмена» — одна из важ-
нейших дисциплин. Третье издание настоящего учебника соответствует содержа-
нию программ по дисциплинам: «Теория тепломассообмена», «Основы теории 
тепломассообмена», «Термодинамика и теплопередача» и др. 
Учебник предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриатуре и магистратуре, 
а также для аспирантов, инженеров и научных работников и является 
одной из книг серии учебников, монографий, сборников статей, подготовленных 
научными и педагогическими школами НУК «Энергомашиностроение» к знаменательной 
дате в жизни Университета. 

От авторов

Вниманию читателей предлагается третье издание учебника «Теория тепло-
массообмена», подготовленного преподавателями и сотрудниками Московского 
государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. В новом издании 
нашли отражение результаты, полученные в области теплообмена за последние 
20 лет, прошедшие с момента второго издания учебника. Обновлен список использованной 
литературы. В новом издании учтены замечания, полученные от 
читателей, за что авторы выражают им свою признательность.
Материал книги распределен между авторами следующим образом: гл. 1, 2.1, 
2.5, гл. 4, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.7, 6.3.9, 6.4.1, 6.4.2, 6.6–6.8, 8.1.7, 8.2.2–8.2.4 написаны 
академиком РАН А.И. Леонтьевым; гл. 2 (кроме  2.1, 2.5) и гл. 3 (кроме 3.10, 
3.11) – кандидатом технических наук, доцентом И.А. Кожиновым; гл. 5 — кан-
дидатом технических наук, профессором С.И. Исаевым; 5.1, 6.2.1, 6.2.4, 6.2.5, 
6.3.1–6.3.4, 6.3.6 — доктором технических наук, профессором Е.В. Шишовым, 
6.3.5 — совместно доктором технических наук, профессором Е.В. Шишовым и 
доктором технических наук, доцентом, А.Г. Чукаевым; 6.2.6, 6.2.8, 6.3.7, 6.3.8 — 
совместно академиком РАН А.И. Леонтьевым и доктором технических наук, 
профессором Е.В. Шишовым; гл. 7, 3.10, 3.11 — доктором технических наук, 
профессором Г.Б. Петражицким; 8.1.1, 8.1.2 — совместно кандидатом технических 
наук, доцентом В.М. Никитиным и кандидатом технических наук, доцентом 
В.В. Школой; 8.1.3–8.1.6, 8.1.10 — кандидатом технических наук, доцентом 
В.М. Никитиным; 7.1.9, 8.1.11 — кандидатом технических наук, доцентом 
В.В. Школой; 8.1.8 — совместно академиком РАН А.И. Леонтьевым и кандидатом 
технических наук, доцентом  В.В. Школой; 8.2.1, 8.2.5–8.2.7 и гл. 9 (кроме 9.5) — 
кандидатом технических наук, доцентом Б.М. Мироновым; 9.5 — кандидатом 
технических наук, доцентом В.И. Хвостовым; гл. 10, 6.5 — кандидатом технических 
наук, доцентом В.И. Кофановым.
Авторы также выражают признательность доктору технических наук, профес-
сору В.Н. Афанасьеву, кандидату технических наук, доценту К.С. Егорову, 
С.И. Каськову и кандидату технических наук, доценту А.М. Пылаеву, принявшим 
активное участие в подготовке данного издания к публикации.

Основные понятия и определения

Теория теплообмена — наука о самопроизвольных необратимых процессах 
распространения теплоты в пространстве. Теплота передается в пространстве 
тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением.
Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты в сплошной 
среде. Этот процесс возникает при неравномерном распределении температур в 
среде. В этом случае теплота передается путем непосредственного соприкоснове-
ния частиц, имеющих различную скорость, что приводит к обмену энергией 
между молекулами, атомами или свободными электронами.
Конвекцией называют перенос теплоты при перемещении объемов газа или 
жидкости в пространстве. Теплообмен между жидкостью или газом и поверхностью 
твердого тела называют конвективным теплообменом.
Тепловое излучение — процесс распространения теплоты электромагнитными 
волнами. Этот вид передачи теплоты обусловлен превращением вну трен ней энер-
гии тела в энергию излучения, переносом энергии излучения с помощью элек-
тромагнитных волн и поглощением ее другими телами.
Теплообмен, обусловленный совместным переносом теплоты излучением, 
теплопроводностью и конвекцией, называется радиационно-конвективным. Если 
теплота передается теплопроводностью и излучением, то такой вид теплообмена 
является радиационно-кондуктивным. Процесс теплообмена между двумя тепло-
носителями, разделенными твердой стенкой, называется теплопередачей.
В природе и технике многие процессы теплообмена усложняются процессами 
массообмена, фазовыми переходами, химическими реакциями на поверхности 
тела и в самом теплоносителе. Изложение основ современной теории тепломас-
сообмена и ее практических приложений в технике является главной задачей 
настоящего учебника.

Раздел I 
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Глава 1  
 
Общие положения теории теплопроводности

1.1. Температурное поле, градиент температуры 
и закон Фурье

Температурным полем тела (или системы тел) называется совокупность зна-
чений температуры, взятая по его объему в любой рассматриваемый мо мент 
времени. Математически поле температур может быть выражено в форме урав-
нения F (t, x, y, z, t) = 0.
В инженерной практике приходится иметь дело и с нестационарным, и со 
стационарным температурными полями. Первое из этих полей изменяется по 
пространству и времени, а второе является функцией только координат. Темпе-
ратурное поле обладает всеми свойствами непрерывного скалярного поля.
Изменение температурного поля по пространству наблюдается лишь в направ-
лениях, пересекающих поверхности одинаковой температуры (изотермические 
поверхности), причем наиболее резкое изменение имеет место в направлении 
нормали к изотермической поверхности (рис. 1.1).
Предел

 
lim
grad
∆ →

∆
∆
∂
∂
n
n
t
n
0
t
n
t
=
⋅
=

 
(1.1)

в теории теплообмена называется градиентом температуры. В выражении (1.1) 
n  — единичный вектор нормали; n — нормаль к изотермической поверхности. 
Градиент температуры представляет собой вектор, направленный по нормали к 
изотермической поверхности и численно равный частной производной от тем-
пературы по этому направлению.
По определению,

 
grad
,
t
t
x i
t
y j
t
z k
=
+
+
∂
∂

∂
∂

∂
∂





 
(1.2)

где 

  
i
j k
, ,
 — единичные векторы.
Количество проходящей в единицу времени 
t теплоты, отнесенное к единице площади 
изотермической поверхности S, называется 
плотностью теплового потока q  и является 
вектором, направление которого противоположно 
температурному градиенту (см. рис. 1.1):

 
q
n dQ

d
S
= −
(
)
.


τ

1  
(1.3)

Проекция вектора q  на любое направление 
l есть вектор ℓq ,  скалярное значение которого 
равно q cos (n, l ).

Рис. 1.1. К определению градиента 
температуры и формулировке закона 
Фурье