Динамика механических систем

С.А. Харитонов, А.А. Ципилев

Динамика 
механических систем

Учебное пособие

УДК 629.021 
ББК 39.336 
 
X20 
 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/175/book1675.html 
Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Многоцелевые гусеничные машины и мобильные роботы» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Харитонов, С. А. 
Х20  
Динамика механических систем : учебное пособие / С. А. Харитонов, 
А. А. Ципилев. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2017. — 198, [2] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4711-4 

Рассмотрены вопросы исследования колебаний в механических системах. Представлены 
методики определения параметров движения колебательных систем с одной 
степенью свободы, с конечным числом степеней свободы, а также систем с распределенными 
параметрами. Уделено внимание вопросам устойчивости колебательных процессов 
механических систем, приведены критерии устойчивости, рассмотрены типовые 
схемы нагружения узлов и конструкций транспортных машин. Изложены методы исследования 
вибрационных воздействий и способы борьбы с вибрациями. Даны реко-
мендации по конструированию виброзащитных механизмов.  
Для студентов, обучающихся по специальностям «Транспортные средства специ-
ального назначения», «Наземные транспортно-технологические средства». 
 
 
 
УДК 629.021 
  
ББК 39.336 
  
 
 
 
  
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4711-4 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 

Предисловие 

«Динамика механических систем» — один из фундаментальных курсов 
программы подготовки специалистов по специальностям 190110, 23.05.02 
«Транспортные средства специального назначения», 23.05.01 «Наземные 
транспортно-технологические средства». Эта дисциплина включает лекции и 
лабораторные работы. Лекционные занятия посвящены колебаниям в меха-
нических системах, при этом внимание акцентируется на общих подходах к 
решению задач и закономерностях колебаний механических систем. В рамках 
лабораторных работ изучаются основы расчета деталей и узлов транспортных 
средств с использованием программной среды ANSYS. 
В предлагаемом учебном пособии вопросы рассматриваются в соответ-
ствии с лекционным освещением материала, который расположен в порядке 
возрастания сложности обсуждаемых процессов, чтобы читателям было легче 
его усвоить. В ходе изложения приведены примеры решения наиболее харак-
терных задач. В конце каждой главы даны контрольные вопросы и задачи для 
самостоятельного решения. 
Цель изучения дисциплины состоит в получении представлений об ос-
новных положениях динамики механических систем при детерминированном 
возмущении, особенностях и закономерностях динамических процессов в 
различных механических системах.  
Качественное освоение дисциплины студентами способствует формиро-
ванию у выпускников знаний, умений и навыков, позволяющих успешно ра-
ботать в области создания, внедрения и сопровождения новых конструкций 
специальных гусеничных машин и мобильных роботов в различных сферах 
машиностроения, на транспорте, в сельском хозяйстве, приборостроении, 
в областях науки, техники и образования, обладать универсальными и пред-
метно-специализированными компетенциями, способствующими их соци-
альной мобильности и устойчивости на рынке труда.  
 

Основные обозначения 

a 
— обобщенная масса системы 
b  
— обобщенный коэффициент трения 
C1, C2 — постоянные интегрирования 
с  
— обобщенный коэффициент жесткости; обобщенная жесткость 
cп  
— жесткость пружины 
E  
— модуль Юнга 
F  
— восстанавливающая сила 
Fij 
— j-я сила, приложенная к i-й массе системы 
g 
— ускорение свободного падения 
i, j 
— номера обобщенных координат системы 
I 
— осевой момент инерции сечения стержня 
I(m) 
— интеграл Эйлера второго рода 
Iр 
— полярный момент инерции сечения вала 
J 
— момент инерции 
k 
— собственная частота системы 
k1 
— частота затухающих колебаний системы с вязким трением 
k* 
— частота свободных колебаний нелинейной консервативной системы 
l 
— длина подвеса маятника; длина стержня, балки 
m 
— масса груза 
q 
— обобщенная координата 
q  
— обобщенная скорость 
q 
— обобщенное ускорение  
P(t) 
— вынуждающая сила 
P0 
— амплитуда вынуждающей силы  
p 
— частота изменения вынуждающей силы 
R 
— сила трения 
S 
— осевая сила  
T 
— кинетическая энергия системы; период колебаний 
t 
— время 
U 
— потенциальная энергия системы 
Q 
— обобщенная сила, действующая на систему 
xст 
— статическое перемещение массы 
Г(m) — гамма-функция 
δ 
— логарифмический декремент затухания 
φ 
— угол отклонения системы от положения равновесия 

Введение 

Динамика механических систем является частью области научного зна-
ния, посвященной анализу поведения систем, параметры которых изменяют-
ся во времени по некоторому закону.  
Согласно терминологии таких классических курсов как «Теоретическая 
механика» или «Теория механизмов и машин», под термином «динамика» 
подразумевают изучение законов изменения внешних и внутренних сил, дей-
ствующих на какую-либо механическую систему при ее работе. В общем 
случае термин «динамика» имеет более широкий смысл и означает изменение 
во времени любого параметра, характеризующего состояние того или иного 
физического тела. Процессы, происходящие вокруг нас, носят динамический 
характер, так как развиваются во времени, поэтому практически в любой 
науке имеются разделы, в которых изучается развитие тех или иных процес-
сов во времени, т. е. их динамика. В курсе «Динамика механических систем» 
круг решаемых задач значительно ýже, так как в нем рассматриваются коле-
бания только механических систем. 
Среди процессов, протекающих в природе и технике, колебания занимают 
особое место, и транспортные машины не являются здесь исключением.  
В них выделяют несколько форм колебаний, требующих пристального изучения. 
Это, прежде всего, колебания корпуса машины, возникающие при ее 
движении. Весьма опасны и так называемые крутильные колебания валов 
двигателя и агрегатов трансмиссии, вызываемые неравномерностью работы 
двигателя и перематыванием гусеничного обвода. Подробно эти вопросы 
рассматриваются в специальных дисциплинах, в то время как курс «Динамика 
механических систем» относится к фундаментальным. В нем изучаются 
наиболее общие подходы к решению задач и закономерностей колебаний механических 
систем. 
Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся простоту названия курса, 
теория колебаний механических систем включает достаточно много разделов, 
в которых изучаются различные формы колебаний. В каждом из них решаются, 
как правило, три главные задачи: 
1) определение максимальных отклонений системы от положения равновесия; 

2) определение частоты колебаний системы; 
3) анализ устойчивости колебательного процесса той или иной механиче-
ской системы. 

Первые две задачи позволяют перейти в дальнейшем к расчету конструкции 
на прочность, поскольку дают возможность определить максимальные 
напряжения и число циклов нагружения, а третья задача помогает ответить 
на вопрос о работоспособности конструкции с точки зрения ее функционального 
назначения. 
В теории колебаний механических систем выделяют два достаточно 
больших и самостоятельных раздела: свободные колебания и вынужденные 
колебания. Кроме того, отдельно рассматривают, как правило, разделы, посвященные 
параметрическим колебаниям и автоколебаниям. 
В разделе, посвященном свободным колебаниям, изучается движение системы 
под действием только внутренних сил, которые определяются параметрами 
ее движения. В общем случае к ним можно отнести силы инерции, 
восстанавливающие силы, диссипативные силы. 
Если все перечисленные силы линейно зависят от параметров движения, 
то система называется линейной. Если хотя бы одна из сил имеет нелинейную 
зависимость, то система будет нелинейной. В общем случае практически 
все механические системы являются нелинейными. Однако принятие 
ряда допущений позволяет многие из них рассматривать как линейные 
(рис. В1).  

 
Рис. В1. Примеры механических систем с одной степенью 
  
свободы, совершающих свободные колебания:  
а — груз на пружине с демпфером; б — математический маятник;  
в — массивный маховик на упругом валу (c — обобщенная жест-
кость; b — обобщенный коэффициент трения; m — масса груза;  
  
l — длина подвеса маятника; J — момент инерции диска) 
 
В разделе, посвященном вынужденным колебаниям, изучаются колеба-
ния механических систем, вызываемые и поддерживаемые вынуждающими, 
т. е. внешними, силами, заданными в виде явных функций времени и не зави-
сящими от параметров движения системы (рис. В2). 
В рамках изучения вынужденных колебаний систем в теории механиче-
ских колебаний рассматриваются и колебания механических систем при слу-
чайном воздействии на них. Очевидно, что к этому подразделу относятся и 
задачи расчета колебаний корпуса машины, движущейся по профилю со слу-
чайными параметрами. Кроме того, имеется подраздел, посвященный пове-
дению механической системы при ударном воздействии на нее. 

В разделе, где анализируются параметрические колебания, изучается 
движение систем, параметры которых заданным образом периодически изме-
няются во времени (рис. В3). 

 
Рис. 
В2. 
Пример 
вынужденных 
  колебаний механической системы: 
c — обобщенная жесткость; b — обоб-
щенный коэффициент трения; P — вы-
нуждающая сила; P0 — амплитуда вы-
нуждающей силы; p — частота вы- 
  
нуждающей силы; t — время 

 
Рис. В3. Пример параметрических колеба- 
 
ний механической системы: 
l — длина подвеса; l0 — амплитудное значение 
длины подвеса; p — частота изменения длины 
  
подвеса; t — время 
 
Ярким примером параметрических колебаний можно считать раскачива-
ние качелей, которое происходит вследствие периодического изменения по-
ложения центра масс системы. Следует отметить, что необходимым условием 
для возникновения параметрических колебаний является наличие хотя бы 
малейшего отклонения системы от положения равновесия. Если такого не 
будет, то никакое изменение параметров системы не приведет к возникнове-
нию колебаний. Главной задачей, решаемой при исследовании параметриче-
ских колебаний, является определение условий, при которых колебания ста-
новятся неустойчивыми. 
Под автоколебаниями подразумевают незатухающие колебания, поддерживаемые 
за счет энергии, подводимой к системе от источников неколе-
бательного характера. Классическим примером 
автоколебательной системы может служить 
груз, находящийся на транспортере 
(рис. В4). При этом трение между грузом и 
лентой транспортера должно быть близким к 
сухому. 
Еще одним примером автоколебательной 
системы могут служить механические часы: 
там к маятнику постоянно подводится энергия 
упругой пружины. Кроме того, самый 
простой и наглядный пример автоколебаний — 
колебания веток деревьев под действием 
ветра. 

 
Рис. В4. Пример автоколеба- 
 
тельной системы: 
c — обобщенная жесткость; m — 
масса груза; ω — частота вращения 
ведущего барабана транс- 
 
портера   

Помимо того, в курсе теории колебаний механических систем эти системы 
изучают по признаку числа степеней свободы. 
1. Системы с одной степенью свободы (рис. В5). 
2. Системы с конечным числом степеней свободы (рис. В6). 

 
Рис. В5. Примеры систем с одной сте- 
  
пенью свободы: 
а — груз на пружине с демпфером; б — математический 
маятник (c — обобщенная жест-
кость; b — обобщенный коэффициент трения;  
m — масса груза; x — отклонение массы от по-
ложения равновесия; l — длина подвеса маят-
ника; φ — угол отклонения системы от поло- 
  
жения равновесия) 

 
Рис. В6. Пример колебательной сис- 
  темы с двумя степенями свободы: 
c1, с2 — обобщенные жесткости; b1 — 
обобщенный коэффициент трения; m1, 
m2 — массы грузов; x1, x2 — отклонения 
 
масс от положения равновесия 
 
3. Системы с бесконечным числом сте-
пеней свободы, или системы с распределен-
ными параметрами (рис. В7). 
В учебном пособии последовательно 
рассмотрены:  
• колебания с одной степенью свободы; 
• параметрические колебания; 
• колебания с конечным числом степеней 
свободы; 
• колебания с распределенными параметрами; 
• виброизоляция. 
В каждой из глав, за исключением последней, в полной мере освещены 
все три главные задачи теории механических колебаний, обозначенные  
выше.  

 
Рис. В7. Пример колебательной 
системы 
с 
распределенными 
  
параметрами: 
  
m — масса балки 
 

1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 

1.1. Составление физической модели 

Любая реальная механическая система состоит из бесконечного числа 
материальных точек. Поскольку связи между ними не являются абсолютно 
жесткими, то число степеней свободы такой системы бесконечно велико. Од-
нако в зависимости от постановки задачи и требуемой точности решения 
число учитываемых степеней свободы можно ограничить, выбрав в качестве 
расчетной схемы реальной механической системы систему, обладающую не-
сколькими или даже одной степенью свободы. В реальных конструкциях ча-
сто можно выделить массивные элементы, деформацией которых можно пре-
небречь, и упругие элементы, массу которых можно не учитывать. В этом 
случае расчетная схема представляется рядом жестких массивных тел, соеди-
ненных упругими связями. 
Так, в качестве примера рассмотрим массивную балку, опирающуюся на 
две шарнирные опоры (рис. 1.1). 
В первом приближении при исследовании ее можно представить в виде 
одномассовой системы с одной степенью свободы (рис. 1.2). 

 
Рис. 1.1. Массивная балка на шарнир- 
  
ных опорах: 
 
m — масса балки 
 

 
Рис. 1.2. Представление балки в виде 
  
одномассовой модели: 
c — обобщенная жесткость; m — масса балки 
 
В этом случае вся масса балки сосредоточена в одной точке и балка со-
единена с шарнирными опорами посредством невесомых пружин. Подобное 
представление является весьма грубым, однако неоспоримое достоинство 
такого моделирования — простота дальнейшего решения. Правда, результат 
будет не очень точным, но позволит приближенно оценить параметры коле-
бательного движения балки. 
Более точный результат можно получить, если представить балку как 
многомассовую систему с несколькими степенями свободы (рис. 1.3). 
Полученное решение будет ближе к точному. Но здесь возникают свои 
сложности: неясно, как разбить массу балки. 

Рис. 1.3. Представление балки в виде многомас-
совой (в данном случае — двухмассовой) 
  
системы: 

c1, с2, с3 — обобщенные жесткости; m1, m2 — массы  
 
Еще более точное решение можно получить, если представить балку как 
систему с распределенными по всей длине параметрами (см. рис. 1.1). Но 
в этом случае решение задачи усложняется. 
Таким образом, выбор расчетной схемы и есть процесс составления фи-
зической модели. 

1.2. Составление математической модели 

Следующий шаг в решении задачи — составление математической моде-
ли, т. е. уравнений, описывающих движение системы в любой момент времени. 
Наиболее универсальным средством для этого является применение 
уравнения Лагранжа II рода, которое для системы с i степенями свободы име-
ет вид 

,




 










i
i
i
i
d
T
T
U
Q
dt
q
q
q
  

где t — текущее время; Т — кинетическая энергия системы, определяемая как 
обобщенными координатами, так и обобщенными скоростями; U — потенци-
альная энергия системы, определяемая только обобщенными координатами; 
qi, 
iq  — обобщенные координаты и скорости системы; Qi — обобщенная си-
ла, действующая в направлении обобщенной координаты и определяемая 
обобщенными координатами, скоростями и временем. 
Иногда для получения математической модели используют квазистати-
ческие методы, основанные на использовании принципа Д’Аламбера. В этом 
случае рассматривают равновесие системы с приложенными к ней силами 
инерции: 

1
,





i

i
i
ij
j
m q
F
  

где mi — масса; 
iq  — обобщенное ускорение i-й массы системы; Fij —  
j-я сила, приложенная к i-й массе системы. 
Отметим, что квазистатические методы следует применять только в тех 
случаях, когда известны абсолютно все силы, действующие на систему. 

Пример 1.1. Для системы, представленной на рис. 1.4, составьте дифференциальное 
уравнение движения (трением в системе пренебречь).