Курс теоретической механики

T E R R A  M E C H A N I C A

КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 
МЕХАНИКИ

5-е издание, исправленное

Рекомендовано Научно-методическим советом по механике
Министерства образования и науки Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по машиностроительным направлениям подготовки и специальностям

Под редакцией К.С. Колесникова, В.В. Дубинина

ISBN 978-5-7038-4568-4

© Оформление. Издательство
     МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

УДК 531.8 (075.8)
ББК 22.21
 
К93

Авторы:
В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин, К.С. Колесников, 
В.А. Космодемьянский, Б.П. Назаренко, А.А. Панкратов, П.Г. Русанов,
Ю.С. Саратов, Ю.М. Степанчук, Г.М. Тушева, П.М. Шкапов

Рецензенты:
кафедра теоретической механики Московского государственного 
авиационного института (Государственного технического университета); 
д-р физ.-мат. наук В.В. Сазонов

Курс теоретической механики : учебник для вузов / [В. И. Дронг,  
В. В. Дубинин, М. М. Ильин и др.] ; под ред. К. С. Колесникова, В. В. Ду-
бинина. — 5-е изд., испр. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Бау-
мана, 2017. — 580 [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4568-4

Изложены кинематика, статика, динамика точки, твердого тела и меха-
нической системы; аналитическая механика; теория колебаний; теория уда-
ра; введение в динамику тел переменной массы; основы небесной механики. 
Приведены примеры решения задач.
Содержание учебника соответствует программе и курсу лекций, которые 
авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана. 
Для студентов машиностроительных вузов и технических университетов. 
Может быть полезен аспирантам и преподавателям, а также специалистам в 
области статики и динамики механических систем.

УДК 531.8(075.8)
ББК 22.21

К93

Предисловие

Учебник является результатом многолетней преподавательской деятель-
ности авторов в МГТУ им. Н.Э. Баумана, выпускающем инженеров-кон-
структоров и исследователей, которые специализируются в области маши-
но- и приборостроения. Ему предшествовали учебники, написанные также 
преподавателями университета В.В. Добронравовым, А.Л. Дворниковым, 
Н.Н. Никитиным, которые переиздавались несколько раз и сыграли большую 
роль в обучении студентов.
Переход к университетскому инженерному образованию потребовал рас-
ширения содержания курса, более полной физической трактовки ряда вопро-
сов и естественного усложнения используемого математического аппарата.  
С этой целью в разделе «Кинематика» более полно изложен материал главы 
«Общий случай движения твердого тела». 
Статика излагается как самостоятельный раздел, поскольку такие пред-
меты, как сопротивление материалов, теория механизмов и механика машин, 
детали машин, предметы инженерного проектирования, требуют от студента 
четкого представления о способах преобразования и передачи силовых взаи-
модействий в механизмах машины.
Значительные дополнения сделаны к разделу «Динамика». Здесь введе-
ны интегральные вариационные принципы, элементы небесной механики; 
более полно изложены теория колебаний, теория удара и некоторые другие 
вопросы. 
Материал в учебнике распределен между авторами следующим образом: 
Предисловие, Введение, гл. 8–12 написаны К.С. Колесниковым (примеры в гл. 
8–12 составлены В.И. Дронгом); В2.1–В2.6, В2.8, гл. 6 — Г.М. Тушевой; В2.7, 4.2,  
гл. 5, 16.2 и 16.3 — П.Г. Русановым; гл. 1, 2, 7, 16.1 — П.М. Шкаповым; гл. 3, 4 —  
Б.П. Назаренко;     гл. 13, 19.10  —   Ю.С. Саратовым;      гл. 14, 15, 20   —   В.В. Дубининым;  
15.6, 15.7 — Ю.М. Степанчуком;   гл. 17, 18 — В.И. Дронгом; 18.6 — В.А. Космоде-
мьянским; гл. 19 — М.М. Ильиным;  гл. 21 и 22 — А.А. Панкратовым.
Основная переработка материала учебника была осуществлена при подго-
товке четвертого издания (2011). В настоящее издание внесено несколько не-
значительных изменений и устранены замеченные погрешности и опечатки.
Авторы будут благодарны читателям, приславшим замечания и поже-
лания по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская, 5, Издательство МГТУ  
им. Н.Э. Баумана.

Введение

В1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Теоретическая механика (классическая механика Галилея – Ньютона) есть 
наука об общих законах механического движения и взаимодействия матери-
альных тел. Будучи по существу одним из разделов физики, теоретическая ме-
ханика выделилась в самостоятельную дисциплину и получила широкое раз-
витие благодаря своим обширным и важным приложениям в естествознании 
и технике, одной из основ которой она является. Беря свое начало от техники 
и развиваясь вместе с ней, теоретическая механика особенно тесно связана 
с техническими науками, в которых законы и методы механики широко ис-
пользуются как при обосновании ряда исходных положений, так и при про-
ведении многочисленных конкретных инженерных расчетов.
Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, есть форма су-
ществования материи и охватывает все происходящие во Вселенной изменения 
и процессы. В теоретической механике изучается одна из форм движения — 
механическое, состоящее в том, что тело изменяет с течением времени свое 
положение в пространстве по отношению к другим телам.
Для учета меры механического взаимодействия между телами в классиче-
ской механике, основание которой положили Галилео Галилей (1564–1642) и 
Исаак Ньютон (1643–1727), вводится понятие о силе. Для данного тела сила 
является внешним фактором, изменяющим его движение. Характер движе-
ния зависит как от силы, так и от степени инертности тела. Чем больше инерт-
ность тела, тем медленнее изменяется его движение под действием данной 
силы, и наоборот. Мерой инертности тела является его масса. Таким образом, 
понятиями, лежащими в основе классической механики, являются: движу-
щаяся материя (материальные тела), пространство и время как формы суще-
ствования движущейся материи, масса как мера инертности материальных 
тел и сила как мера механического взаимодействия между телами.
В классической механике Галилея – Ньютона пространство считается 
трехмерным евклидовым, свойства которого не зависят от движущихся в нем 
материальных объектов. Положение точки в таком пространстве относительно 
какой-либо системы отсчета определяется тремя независимыми параметрами, 
или координатами точки. Время в классической механике универсально. Оно не 
связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах 
отсчета, движущихся друг относительно друга, оно протекает одинаково. Массы 
материальных объектов не зависят от скорости их движения.

После Г. Галилея и И. Ньютона (Галилей опубликовал «Беседы о науках» 

в 1638 г., Ньютон — «Математические принципы натуральной философии»  
в 1687 г.) методы механики начали быстро совершенствоваться благодаря 
применению мощного математического аппарата — анализа бесконечно 

В1. Классическая механика

малых. Основная заслуга в приложении этих методов к решению задач динамики 
принадлежит великому математику и механику Леонарду Эйлеру 
(1707–1783), являвшемуся с 1727 г. действительным членом молодой тогда 
Российской академии наук и прожившему в Петербурге 31 год. Л. Эйлер раз-
работал аналитические методы решения задач динамики путем составления и 
интегрирования дифференциальных уравнений. Аналитическое направление 
в развитии механики достигло наиболее широких обобщений в капитальном 
сочинении «Аналитическая механика» крупнейшего французского ученого 
Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813), вышедшем в 1788 г.

Из наших соотечественников М.В. Остроградскому (1801–1861) при-
надлежит ряд существенных результатов в развитии теоретической механи-
ки по аналитическому пути, в частности, им дан вариационный принцип ди-
намики, который называется принципом Остроградского – Гамильтона, так 
как независимо от М.В. Остроградского в несколько менее общем виде он 
одновременно был сформулирован ирландским математиком Уильямом Га-
мильтоном (1805–1865). К двум случаям, когда движение твердого тела во-
круг неподвижной точки можно аналитически изучить до конца, С.В. Ко-
валевская (1850–1891) добавила третий. Работы А.М. Ляпунова (1857–1918) 
об устойчивости движения до сих пор в мировой науке являются непре-
взойденными. И.В. Мещерский (1859–1935) впервые дал уравнение дви-
жения точки переменной массы. Н.Е. Жуковский (1847–1921) создал себе 
мировую известность работами в области аэродинамики. Он значительно 
расширил границы механики и разработал прочную теоретическую базу 
для ряда разделов техники. Для него механика была не разделом приклад-
ной математики, а подлинной наукой о природе, использующей все сред-
ства математики, но во всех стадиях своего развития опирающейся на экс-
перимент. Н.Е. Жуковский в 1878 г. организовал первую в России кафедру 
теоретической механики в ИМТУ (МВТУ им. Н.Э. Баумана) и заведовал ею  
в течение 43 лет до конца своей жизни. С 2012 года кафедра носит его имя. 

Успехи физики в начале ХХ в., ознаменовавшиеся новыми исследовани-
ями в области электродинамики и строения материи, показали, что законы 
классической механики Галилея – Ньютона применимы только к движению 
тел, размеры которых значительно больше размеров атома, а скорости — зна-
чительно меньше скорости света. Для тел очень малых размеров и для очень 
больших скоростей выводы классической механики теряют свою силу.
В теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном (1879–
1955), свойства пространства зависят от материальных объектов и их движения; 
пространство и время связаны между собой, они рассматриваются как единое 
четырехмерное пространство – время; время при этом зависит от того, в какой 
системе отсчета оно изменяется. Теория относительности внесла довольно су-
щественные изменения в основы механики и показала ограниченность нью-
тоновских представлений о пространстве, времени и материи, вследствие че-
го стало возможным дать теоретическое обоснование ряду явлений, которые 
не могли быть объяснены с точки зрения классической механики. Кроме того, 
классическая механика оказалась неприменимой к теории строения атома,  
и это обстоятельство явилось причиной возникновения квантовой механики.
Несмотря на это, классическая механика Галилея – Ньютона про-
должает сохранять свою огромную ценность как мощное орудие научного 

Введение
8

исследования различных вопросов естествознания и техники, а ее законы 
дают при этом вполне достаточную для практики точность. Она явилась ос-
новой для создания многих прикладных направлений, получивших большое 
развитие. Это механика жидкости и газа, механика деформируемого твердого 
тела, теория колебаний, динамика и прочность машин, гироскопия, теория 
полета и управления, навигация и др. Классическая механика замечательна 
тем, что наряду со строгостью изложения имеет широкое инженерное при-
ложение. Все разнообразные технические сооружения и все современные 
расчеты, связанные с космическими полетами, построены на основе законов 
классической механики и, как показывает опыт, с успехом выполняют свое 
назначение. Поправки и изменения, вносимые в законы классической меха-
ники теорией относительности и квантовой механикой, исчезающе малы в 
обычных условиях и становятся заметными только при больших скоростях, 
близких к скорости света, и для тел, размеры которых имеют порядок раз-
меров атома. Поэтому классическая механика Галилея – Ньютона никогда не 
потеряет своего научного значения и практической ценности.

В2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ

В2.1. Скалярные и векторные величины. Единичные векторы

В теоретической механике широко применяются методы векторного ис-
числения, имеющие большое преимущество перед координатным методом 
благодаря компактности и физической наглядности векторных формул.
Главным преимуществом этих методов является независимость вектор-
ных формул от выбора системы координат.
В математической физике встречаются два типа величин: скалярные и 
векторные.
Скаляром называется величина, которая не имеет направления, но вы-
ражается числовым значением, не зависящим от выбора системы координат.
Вектором называется количественная характеристика, имеющая как 
числовое значение, так и направление, и не связанная с выбором системы ко-
ординат. Геометрический образ вектора — это направленный отрезок прямой, 
определенным образом ориентированный в евклидовом пространстве. 
Точки A и B, ограничивающие вектор AB  (рис. В1), называют его началом 
и концом. Длина отрезка AB представляет собой модуль вектора AB:

|
|
.
AB
AB
=

Часто вектор обозначают одной буквой с чертой над 
ней:

A
AB
=
,

а его модуль — символом

|
|
.
A
A
=
Рис. В1

В2. Некоторые сведения из теории векторов

Если вектор не связан с какой-либо определенной линией или точкой, он 
называется свободным. Вектор, связанный с прямой, по которой он направ-
лен, называется скользящим. Если же вектор связан с точкой своего приложе-
ния, он называется приложенным.
Рассмотрим далее основы векторного исчисления для свободных векторов. 
Векторы, расположенные в одной плоскости, называются компланарными.
Если A
B
| |
,  то векторы называются параллельными, или коллинеарными; 
эти векторы могут быть одинаково или противоположно направленными. Два 
вектора A  и B  называются равными, если они равны по модулю и направлены 
вдоль параллельных прямых в одну сторону: если A
B
=
,   A
B
↑↑ , то A
B
=
.

Если два вектора равны по модулю, но проти-
воположно направлены, т. е. A
B
=
,  A
B
↑↓ , то 

A
B
= − .

Единичным вектором, или ортом, данного век-
тора A  называется вектор a0,  по направлению со-
впадающий с данным вектором A,  а по модулю 
равный единице (рис. В2). Тогда

A
Aa
=
0,  или a
A A
0 =
.                (В1)

Умножая вектор A  на скаляр m, получаем но-
вый вектор

B
m A
m Aa
=
=
0,

направленный в ту же или противоположную сторону в зависимости от знака 
скаляра m.

В2.2.  Проекции вектора на ось и плоскость

Осью называется прямая, на которой установлено положительное на-
правление отсчета.
Ортогональной проекцией вектора A
AB
=
 на ось l (рис. В.3) называется от-
резок
′ ′
A B , заключенный между ортогональными проекциями на эту ось на-
чала и конца вектора AB,  или алгебраическая величина, равная произведению 
модуля вектора на косинус угла между направле-
нием вектора A  и положительным направлением 
оси l:

(
)
cos(
, )
|
|,
AB
AB
AB l
A B
l =
= ±
′ ′

∧

или

A
A
A l
l =

∧
cos(
, ).                     (В2)

Рис. В2

Рис. В3

10
Введение
10

Проекцией вектора A
AB
=
 на пло-
скость П называется вектор A B
1
1,  соединя-
ющий проекции начала и конца вектора 
AB  на эту плоскость (рис. В4). Модуль век-
тора AП  определяется равенством

|
|
|
|
cos ,
A
A
A B
A
П
П
=
=
=
1
1
ϕ

где ϕ — угол между векторами A  и AП.

В2.3. Координаты вектора. Аналитическое задание вектора.  
Радиус-вектор точки 

Вектор A
OM
=
 (рис. В5) считается заданным, если известны его модуль 
A и направление прямой, на которой он лежит, т. е. направляющие косинусы 
углов α,  β  и γ,  образуемых этой прямой с осями прямоугольной системы 
координат Oxyz:

cos
cos( ,
),
α =
x OM
 

 cos
cos( ,
),
β =
y OM
 

 cos
cos( ,
).
γ =
z OM
 
          (В3)

Поскольку направляющие косинусы углов α,  β  и γ  связаны между со-
бой известным соотношением cos
cos
cos
,
2
2
2
1
α
β
γ
+
+
=
 то вектор однозначно 
определяется тремя независимыми величинами, называемыми координатами 
вектора. Удобнее всего принять за координаты вектора его проекции на оси 
декартовой прямоугольной системы координат:

A
A
A
A
A
A
x
y
z
=
=
=
cos
;
cos ;
cos .
α
β
γ
  
  
                         (В4)

Рис. В4

Рис. В5