Компьютерное моделирование линейных электрических цепей постоянного тока

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации

Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Э. П. Макаров

КоМПьютерное МоДеЛИроВАнИе 
ЛИнеЙнЫХ ЭЛеКтрИЧеСКИХ ЦеПеЙ 

ПоСтоЯнноГо тоКА

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся
по направлению подготовки 
14.05.02 «Атомные станции: проектирование, 
эксплуатация и инжиниринг»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2021

УДК 621.3.011.7(075.8)
ББК 31.211.51я73
          М15

Рецензенты:
кафедра математики и информатики ФГБОУ ВО «Уральский институт го‑
сударственной противопожарной службы МЧС России» (профессор, д‑р 
физ.‑мат. наук И. А. Кайбичев);
ведущий научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН 
д‑р физ.‑мат. наук, проф. А. Н. Сесекин

Научный редактор — д‑р техн. наук, проф. С. Е. Щеклеин

 
Макаров, Э. П.
М15    Компьютерное моделирование линейных электрических цепей посто‑
янного тока : учебное пособие / Э. П. Макаров ; М‑во науки и высш. обр. 
РФ. — Екатеринбург : Изд‑во Урал. ун‑та, 2021. — 242 с.

ISBN 978‑5‑7996‑3329‑5

Пособие включает теоретические сведения, алгоритмы и примеры для освое‑
ния процедур решения задач анализа электрических цепей постоянного тока на ос‑
нове новых информационных технологий математического моделирования и схе‑
мотехнического проектирования. Дидактический материал в пособии достаточно 
структурирован и иллюстрирован, содержит необходимую справочную информа‑
цию по актуальным версиям пакетов программ.
Работа предназначена для студентов всех форм обучения по дисциплине «Элек‑
тротехника».

Библиогр.: 5 назв. Рис. 69. Табл. 3. Прил. 1.

УДК 621.3.011.7(075.8)
ББК 31.211.51я73

ISBN 978‑5‑7996‑3329‑5 
© Уральский федеральный

 
     университет, 2021

Введение

Н

овые информационно‑коммуникационные технологии 
становятся эффективным инструментом интенсифика‑
ции учебного процесса, достижения студентами некоторо‑
го уровня профессиональной компетенции в области компьютерного 
моделирования электротехнических устройств. В учебном пособии из‑
ложен дидактический материал для формирования у студента необхо‑
димых знаний основных принципов и законов, а также методов анали‑
за линейных электрических цепей постоянного тока (ЭЦ) в процессе 
обучения в учебной аудитории, а также дистанционно с использова‑
нием персональной ЭВМ. Для текущего самоконтроля студентом до‑
стигнутого уровня знаний в пособие включены контрольные вопро‑
сы по математическому описанию процессов и методам анализа ЭЦ, 
на которые даны ответы со ссылками на страницы пособия.
Эффективность применения ЭВМ в учебном процессе не может 
быть достигнута на основе только компьютеризации расчетов ЭЦ 
с помощью методов и средств «электротехнического калькулятора». 
Современные информационные технологии на основе программных 
средств математического моделирования и схемотехнического про‑
ектирования как инструментов учебного процесса создали техноло‑
гическую основу для перехода к использованию в учебном процессе 
методов компьютерного информационного моделирования (ИМ). 
Технология компьютерного ИМ — системный метод создания и ис‑
пользования компьютерных информационных моделей в учебном 
процессе.
В учебном пособии рассматриваются вопросы компьютерного ИМ 
объектов и процессов ЭЦ постоянного тока как метод решения зада‑
чи анализа в курсе «Электротехника» по программе неэлектрическо‑
го профиля подготовки специалистов. Все методы анализа основаны 
на понятиях о компонентных и топологических матрицах и уравнени‑
ях, обобщенном законе Ома и законах Кирхгофа в матричной форме. 

Введение

В формулах определения численного значения величин сопротивле‑
ния, напряжения, тока, мощности все переменные имеют размерность.
Моделями в курсе «Электротехника» являются эквивалентные схе‑
мы замещения ЭЦ постоянного тока и ее элементы: источники элек‑
трической энергии (напряжения, тока), резисторы.
Учебное пособие ориентировано на применение пакетов при‑
кладных программ Mathcad 15 и NI Multisim 14.0 для проведения 
компьютерного ИМ. Математическое моделирование эквивалент‑
ной схемы замещения ЭЦ выполняется в пакете Mathcad 15, а в па‑
кете NI Multisim 14.0 — экспериментальная проверка правильности 
расчетов на собранной схеме модели ЭЦ (виртуальный лаборатор‑
ный практикум).
В состав Mathcad 15 (Mathcad) входит несколько интегрированных 
между собой программных компонентов, сочетание которых создает 
удобную среду для компьютерного математического моделирования:
• 
мощный текстовый редактор для ввода математических выра‑
жений, правки как формул, так и текста;
• 
вычислительный процессор для проведения математических 
расчетов с использованием встроенных численных методов;
• 
графический редактор для визуализации результатов мате‑
матического моделирования в виде встроенных в докумен‑
ты графиков и диаграмм различных типов с возможностями 
форматирования, не уступающий по многим параметрам спе‑
циализированным программам;
• 
подготовка отчетов работы в виде печатных документов.
В пакете NI Multisim 14.0 (Multisim) предоставляется инструмент 
для виртуального лабораторного практикума и проверки на практике 
правильности результатов анализа ЭЦ, полученных методом математи‑
ческого моделирования в среде Mathcad. В виртуальном лабораторном 
практикуме выполняется следующая последовательность операций:
• 
осуществляется сборка электрической схемы замещения в вир‑
туальном наборном поле на основе принципиальной схемы 
моделируемого устройства с помощью встроенного редактора 
(нужные компоненты копируются с инструментальных пане‑
лей компонентов на наборное поле и соединяются проводни‑
ками);
• 
устанавливаются значения параметров компонентов электри‑
ческой схемы (резисторов, источников энергии);

• 
подключаются пиктограммы измерительных инструментов 
(индикаторов, виртуальных приборов), на лицевых панелях 
которых отображаются результаты измерений;
• 
программа Multisim запускается в режиме моделирования;
• 
регистрируются результаты анализа ЭЦ по показаниям вир‑
туальных измерительных индикаторов и приборов, графикам 
вольтамперных характеристик элементов цепи, которые мож‑
но сохранить для документирования.
Программные продукты Mathcad и Multisim доступны для свобод‑
ного скачивания на срок до 30 дней для студентов и преподавателей 
университетов на сайтах фирм (www.PTS.com и www.ni.com).
Учебное пособие написано автором на основании опыта препода‑
вания учебной дисциплины «Электротехника и электроника» в Ураль‑
ском федеральном университете имени первого Президента Рос‑
сии Б. Н. Ельцина.
Учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения 
по направлениям подготовки специалитета 14.05.02 «Атомные стан‑
ции: проектирование, эксплуатация и инжиниринг» специализации 
«Проектирование и эксплуатация атомных станций»; бакалавриата 
13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» и может быть исполь‑
зовано для самостоятельной работы в программных средах Mathcad 
15 и Multisim 14.0 в учебной аудитории, а также на персональном ком‑
пьютере студента в процессе дистанционного обучения.
Автор выражает глубокую благодарность научному редактору про‑
фессору С. Е. Щеклеину за ряд полезных замечаний, которые были 
учтены.

Глава 1.  
Элементы и параметры  
линейных электрических цепей

1.1. Основные понятия и определения

1.1.1. Электрическая цепь. Схема электрической цепи
Э

лектрическая цепь (ЭЦ) — это совокупность соединенных 
друг с другом устройств и объектов, образующих путь для 
электрического тока, электромагнитные процессы в которых 
могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, 
электрическом токе и электрическом напряжении [2, с. 15]. Термины 
и определения основных понятий в области электротехники установ‑
лены ГОСТ Р 52002–2003 и являются обязательными для всех видов 
документации по электротехнике*.
Электрическая цепь предназначена для передачи, преобразования 
и использования электрического тока в электрических и информаци‑
онных системах. ЭЦ состоит из двух составных элементов: источника 
электрической энергии и приемника, которые выполняют определен‑
ные функции. Источники энергии (активные элементы), например, 
аккумуляторы, гальванические элементы и др. преобразуют различ‑
ные виды энергии в электрическую.
Преобразование электрической энергии в другие виды: тепловую 
(нагрев элементов), механическую (электрические двигатели) про‑
исходит в приемниках электрической энергии (пассивные элементы). 
Совместная работа источника и приемника электрической энергии 

* ГОСТ Р 52002‑20031 «Электротехника. Термины и определения основных по‑
нятий». — М. : Госстандарт России, 2003.

1.1. Основные понятия и определения

возможна при наличии движения заряда между ними в соединитель‑
ных проводах.
Для подключения к остальной части цепи каждый элемент цепи 
имеет два внешних вывода (зажимы, полюса). Двухполюсник — это уча‑
сток электрической цепи, состоящий из одного или нескольких эле‑
ментов и подключенный к остальной части цепи двумя проводами 
[1, с. 61]. ЭЦ содержит разнообразные двухполюсные элементы: ис‑
точники питания (генерирующие электромагнитную энергию); рези‑
стивные элементы (приемники, преобразующие электромагнитную 
энергию в другие формы), измерительные приборы. Двухполюсник, 
который не содержит источников электрической энергии, относится 
к пассивным источникам. Если на участке ЭЦ имеется источник элек‑
трической энергии, то такой двухполюсник относится к активным. 
Каждый элемент ЭЦ полностью характеризуется зависимостью на‑
пряжения от тока на его зажимах (вольтамперной характеристикой).
Электрические цепи принято изображать в виде электрических 
схем. Схема ЭЦ — это ее графическое изображение, содержащее услов‑
ные обозначения элементов цепи и показывающее соединение этих 
элементов (рис. 1.1) [2, с. 19].

! 
a

b

Uab 

I

E

r
R 

RV
 
RA

A

V

S

+

ꟷ
Ac

                                             а                                                   б

Рис. 1.1. Схемы электрической цепи постоянного тока

Принципиальная схема ЭЦ (виртуальная схема) — это графическое 
изображение реальной электрической цепи, на котором с помощью 
условных изображений показаны все электрические элементы, изме‑
рительные устройства и их соединения, как изображено на рис. 1.1, а. 
Элементы на схеме изображаются в виде условных графических обо‑
значений, установленных в стандартах ЕСКД, и имеют буквенно‑циф‑

Глава 1. Элементы и параметры линейных электрических цепей  

ровые позиционные обозначения. В учебном пособии виртуальные 
схемы используются в компьютерном схемотехническом моделировании 
и анализе ЭЦ в программной среде Multisim.
При анализе ЭЦ ее заменяют схемой замещения (рис. 1.1, б). Схема 
замещения ЭЦ — это графическое изображение, в котором реальные 
элементы ЭЦ заменены в рамках решаемой задачи расчетно-математическими 
моделями и исключены все вспомогательные элементы, 
не влияющие на результаты расчета (измерительные приборы, выклю‑
чатели, разъемы, предохранители и т. п.). При этом реальные элемен‑
ты заменяются их упрощенными моделями (идеализированными эле‑
ментами). Процессы, которые имеют место внутри идеализированных 
элементов, не рассматриваются [2, с. 19].
Схема замещения (см. рис. 1.1, б) содержит идеализированные активные 
элементы (источники напряжения (ИН) и источники тока (ИТ)) 
и пассивные (резистивные (R)). Схема замещения ЭЦ непосредствен‑
но рассматривается как информационная модель. Если параметры всех 
элементов схемы замещения известны, то, применив законы электро‑
техники, можно использовать математическое моделирование и информационные 
технологии для анализа электромагнитных процессов 
на ЭВМ. В учебном пособии расчетно‑математические модели ЭЦ 
используются в компьютерном математическом моделировании ЭЦ 
в программной среде Mathcad.
Резистивной цепью называется ЭЦ, которая содержит источники 
постоянного напряжения и тока. Рассматриваются различные вари‑
анты соединения элементов ЭЦ: последовательное, параллельное, смешанное. 
При этом в структуре схемы замещения ЭЦ образуются узловые 
точки (узлы) и замкнутые контуры. Токи и напряжения резистивной 
цепи с источниками постоянного напряжения и тока будем обозна‑
чать прописными латинскими буквами I и U.

1.1.2. Величины, характеризующие состояние ЭЦ постоянного тока

Электрический ток проводимости (ток переноса) представляет на‑
правленное движение свободных носителей электрических зарядов 
под действием электрического поля. Прохождение электрического 
тока в цепи обусловлено потреблением энергии источника электриче‑
ской энергии, которая передается движущимся зарядам [2, с. 15–16].

1.1. Основные понятия и определения

Постоянный электрический ток (принято обозначать I) это неиз‑
менное и однонаправленное движение заряженных частиц (зарядов) 
в соединительных проводниках и внешних выводах (зажимах) элемен‑
тов ЭЦ. При постоянном токе в течение каждого одинакового проме‑
жутка времени Δt под действием электрического поля через какую‑то 
поверхность (поперечное сечение проводника) при неизменных па‑
раметрах ЭЦ переносится одинаковое количество заряда Δq. Количе‑
ственно ток равен отношению суммарного заряда, перенесенного за про‑
межуток времени длительности t через поперечное сечение участка ЭЦ: 
I = q/t. В системе единиц (СИ) единица измерения тока — ампер (А).
Электрический ток является скалярной алгебраической величиной, 
каждое значение которой может быть выражено одним числом (дей‑
ствительным или комплексным). Знак величины тока зависит от направления 
движения условно принятого положительного заряда (противо‑
положно направлению движения электронов). Если такое направление 
неизвестно, то для однозначного определения тока в любой ветви 
во внешней от источника электрической энергии цепи достаточно 
произвольно выбрать одно из двух возможных направлений, считать 
его положительным направлением и отметить стрелкой на схеме заме‑
щения ЭЦ (см. рис. 1.1, б). Токи в некоторых ветвях могут получиться 
отрицательными после расчета цепи по постоянному току. Это озна‑
чает, что действительное направление тока в ветви противоположно 
выбранному произвольно.
Электродвижущая сила (ЭДС) — это характеристика источника 
электрической энергии. ЭДС может быть определена как работа сторонних 
сил, которая затрачивается на перемещение единичного положительного 
заряда внутри источника от зажима с меньшим потенци‑
алом к зажиму с большим потенциалом. При этом сторонними силами 
создается электрическое поле с напряженностью Е, которое действу‑
ет на заряженные частицы, разделяя их таким образом, что на одном 
зажиме (положительном, обозначаемом знаком «+») источника ска‑
пливаются положительные заряды, а на другом (отрицательном, обо‑
значаемом знаком «–») — отрицательные. Источником энергии для 
получения ЭДС могут быть различные физические явления, обуслов‑
ленные неэлектромагнитными при макроскопическом рассмотрении 
процессами, например электрохимическими в гальванических элемен‑
тах. Энергия процессов, вызывающих эти сторонние силы, преобразу‑
ется в электрическую энергию. Носители положительного заряда через 

Глава 1. Элементы и параметры линейных электрических цепей  

источник энергии перемещаются в направлении противоположном на‑
правлению действия сил электрического поля — от зажима источника 
с более низким потенциалом к зажиму с более высоким потенциалом.
ЭДС (обозначаемая Е) — скалярная величина, направление кото‑
рой совпадает с направлением перемещения положительных зарядов 
внутри источника, т. е. с направлением тока. Это направление указы‑
вают стрелкой в условном изображении источника энергии на схеме 
замещения (см. рис. 1.1, б).
ЭДС численно равна работе (энергии) W в джоулях (Дж), которая 
затрачивается электрическим полем на перемещение единичного за‑
ряда (1 Кл) из одной точки поля в другую. В системе единиц (СИ) еди‑
ница измерения ЭДС — В (вольт):

 
[E] = [W]/[q] = Дж/Кл = (В · А · с)/(А · с) = В.

Независимо от природы сторонних сил ЭДС источника энергии 
численно равна электрическому напряжению между зажимами ис‑
точника при отсутствии в нем тока (режим холостого хода) [2, с. 18].
Потенциал электрический (ja) отдельной точки (a) равен работе 
по перемещению единичного положительного заряда (1 Кл) из дан‑
ной точки в бесконечность, где нет электрического поля.
Напряженность (вектор) электрического поля (E), численно рав‑
на отношению силы, действующей на заряженную частицу к значе‑
нию ее заряда. Из этого определения получают единицу напряженно‑
сти в системе единиц (СИ):

 
[H]/[Кл] = (В · А · с/м)/(А · с) = В/м.

Разность потенциалов (электрическое напряжение) между двумя 
точками a и b всегда можно определить, если принять потенциал од‑
ной из точек (b) за точку отсчета, т. е. нуль.
Для характеристики электрического напряжения вдоль некоторо‑
го участка ЭЦ употребляют термин падение напряжения. Единицей на‑
пряжения U потенциала ja в системе единиц (СИ) является вольт (В) 
[2, с. 17].
Электрическое напряжение — это работа, затрачиваемая на то, что‑
бы перенести единицу заряда (1 Кл) из данной точки a в точку b поля 

с напряженностью E по произвольному пути ab (
)
E

a

b

dl
∫
.