Основы расчетов прочностной надежности. В 2 частях. Часть 2

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Л. П. Вязкова
Л. В. Мальцев
С. В. Парышев

ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ 
ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ

В 2 частях

Часть 2

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся
по направлениям подготовки:
14.05.02 — Атомные станции: проектирование,
эксплуатация и инжиниринг;
13.03.02 — Электроэнергетика и электротехника;
13.03.01 — Теплоэнергетика и теплотехника

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

УДК 539.3(075.8)
ББК 22.251я73
          В99
Рецензенты:
кафедра «Технология металлов и ремонт машин» Уральского государственно-
го аграрного университета (завкафедрой доц., канд. техн. наук В. А. Александров);
проф., канд. техн. наук Э. А. Бубнов (Уральский государственный архитектурно-
художественный университет)

Научный редактор доц., канд. техн. наук В. П. Новоселов

 
Вязкова, Л. П.
В99    Основы расчетов прочностной надежности. В 2 частях. Часть 2 : учебное посо-
бие / Л. П. Вязкова, Л. В. Мальцев, С. В. Парышев ; Мин-во науки и высшего об-
разования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 176 с.

ISBN 978-5-7996-2787-4 (ч. 2)
ISBN 978-5-7996-2785-0

Издание представляет собой вторую часть учебного пособия, в которую вошли такие 
темы, как плоский поперечный изгиб, теория прочности, сложное сопротивление. Посо-
бие соответствует программам обучения и требованиям государственных образовательных 
стандартов, а также программам курсов «Механика», «Детали машин и основы конструиро-
вания», «Техническая механика», «Прикладная механика». Предназначено для студентов, 
выполняющих курсовые проекты, курсовые работы, расчетно-графические работы и домаш-
ние задания по разделам «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов» назван-
ных курсов. Приведены билеты для подготовки к сдаче зачетов и экзаменов.

Библиогр.: 11 назв. Табл. 11. Рис. 59.
УДК 539.3(075.8)
ББК 22.251я73

Учебное издание

Вязкова Людмила Павловна, Мальцев Лев Витальевич, Парышев Сергей Владимирович

ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ

В 2 частях

Часть 2

Редактор И. В. Коршунова
Верстка О. П. Игнатьевой

Подписано в печать 11.11.2019. Формат 70×100/16. Бумага офсетная. Цифровая печать. Усл. печ. л. 14,2.
Уч.-изд. л. 8,30. Тираж 40 экз. Заказ 327.

Издательство Уральского университета. Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5. Тел.: +7 (343) 375-48-25, 375-46-85, 374-19-41. E-mail: rio@urfu.ru

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4. Тел.: +7 (343) 358-93-06, 350-58-20, 350-90-13. Факс: +7 (343) 358-93-06
http://print.urfu.ru

ISBN 978-5-7996-2787-4 (ч. 2) 
© Уральский федеральный 
ISBN 978-5-7996-2785-0 
     университет, 2019

Оглавление

Предисловие ................................................................................ 5

5. Плоский поперечный изгиб ..................................................... 6
5.1. Общие положения ........................................................... 6
5.2. Внутренние силовые факторы при изгибе ..................... 9
5.3. Напряжения при чистом изгибе ................................... 14
5.4. Осевые моменты инерции и моменты  
        сопротивления .............................................................. 20
5.5. Расчет на прочность при чистом изгибе ...................... 23
5.6. Расчет на прочность при поперечном изгибе .............. 24
5.7. Деформации при изгибе и расчеты балок 
        на жесткость .................................................................. 26
Задания для самопроверки .................................................. 40

6. Напряженное и деформированное состояние в точке. 
      Теория прочности .................................................................. 42

6.1. Напряженное и деформированное состояние  
        в точке ........................................................................... 42
6.2. Потенциальная энергия деформации .......................... 47
6.3. Теория прочности ......................................................... 48

7. Сложное сопротивление. Изгиб с кручением ......................... 53
Задание для самопроверки .................................................. 76

8. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях ..... 78
Задание для самопроверки .................................................104

Оглавление

Задания .....................................................................................105
1. Плоский поперечный изгиб ................................................105
2. Сложное сопротивление. Изгиб с кручением .....................121
3. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях 138

Билеты для текущего контроля знаний .....................................146
Плоский поперечный изгиб ....................................................146

Рекомендуемый библиографический список .............................176

Предисловие

У

чебное пособие составлено в соответствии с программами 
дисциплин «Механика», «Детали машин и основы конструирования», «
Техническая механика», «Прикладная механика» 
для студентов технологических специальностей всех форм обучения.
Пособие может быть использовано при изучении теоретических 
курсов, а также при выполнении курсовых работ и проектов.
Опыт преподавания по данным дисциплинам показывает, что наибольшие 
затруднения у студентов связаны с решением задач. Следует 
заметить, что именно выполнение практической работы помогает 
студентам глубже и прочнее усвоить основные теоретические положения, 
разобраться в методах расчета конструкций, работающих при 
различных видах нагружений.
Для лучшего усвоения материала приведены теоретические предпосылки 
решения задач по основным темам курса.
Примеры решения предложены в том виде, в каком они должны 
быть представлены в студенческих работах.
Особая методическая составляющая приведена в дополнительном 
тексте, в котором для самостоятельной работы в системе самоконтроля 
размещены задания по темам: равновесие тела под действием плоской 
системы сил, растяжение и сжатие, кручение, плоский поперечный 
изгиб, сложное сопротивление и прочность при циклически изме-
няющихся напряжениях — и билеты для текущего контроля знаний.

5. Плоский поперечный изгиб

5.1. Общие положения

В

ид деформации бруса, при котором в поперечных сечениях 
возникают изгибающие моменты, называют изгибом.
Теория изгиба построена на следующих допущениях:
· геометрическая ось бруса — прямая линия;
· нагрузки на расчетной схеме сводятся к сосредоточенным си-
лам F, сосредоточенным моментам M, распределенным нагруз-
кам интенсивностью q на длине действия распределенной на-
грузки;
· внешние силы (нагрузки), изгибающие брус, лежат в одной пло-
скости, проходящей через геометрическую ось бруса. Все нагруз-
ки перпендикулярны к геометрической оси бруса. Искривление 
оси происходит в той же плоскости;
· поперечные сечения бруса, плоские до деформации изгиба, оста-
ются плоскими и после деформации;
· деформации бруса невелики по сравнению с размерами бруса.
На рис. 5.1 показан прямой брус, зафиксированный в опоре и нагру-
женный системой внешних сил, лежащих в одной плоскости. Внеш-
няя нагрузка перпендикулярна к продольной оси бруса X и располо-
жена в плоскости XY.
Брус, испытывающий деформацию изгиба, в дальнейшем будем на-
зывать балкой.
Для системы координат, показанной на рис. 5.1, изгибающий мо-
мент от нагрузок, расположенных в плоскости XY, действует относи-
тельно оси Z, а перерезывающая сила — по направлению оси Y.
В результате действия внешних силовых факторов в поперечных 
сечениях бруса возникают следующие внутренние силовые факто-
ры: поперечная сила Q и изгибающий момент Мz относительно оси Z.

5.1. Общие положения

Y

X

Z

q

F

Рис. 5.1

Чистый изгиб имеет место при нагружении балки двумя равными 
противоположно направленными моментами, приложенными к торцам 
балки (рис. 5.2, а). В этом случае в поперечных сечениях балки возника-
ет только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент Мz.
Если в поперечных сечениях балки одновременно с изгибающим 
моментом действует также поперечная сила, то изгиб называют по-
перечным (рис. 5.2, б).
На рис. 5.3 показаны возможные поперечные сечения балок, рабо-
тающих на изгиб. Оси X, Y — центральные, проходящие через центр 
тяжести фигур. Поперечные сечения балок имеют одну (или две) ось 
симметрии.
В тех случаях, когда нагрузка (моменты, сосредоточенные и рас-
пределенные силы) расположена в одной плоскости, изгиб называ-
ется плоским.
Если поперечная нагрузка действует так, что плоскость ее действия 
совпадает с плоскостью, содержащей одну из главных центральных 
осей инерции сечений, то изгиб называется прямым. В противном слу-
чае изгиб называют косым.
Для балок с формами поперечного сечения в виде прямоугольника 
и двутавра (рис. 5.3, а, г) изгиб является прямым, если плоскость на-
гружения совпадает с осями Z и Y. 

5. Плоский поперечный изгиб

M
M

F

2
F

2
F

а

б

Рис. 5.2

Y
Y
Y
Y

Y
Y

Z
Z

Z
Z
Z
Z

а
б
в

д
е

г

Рис. 5.3

5.2. Внутренние силовые факторы при изгибе

Для балок таврового сечения (рис. 5.3, в) и сечения типа швел-
лер (рис. 5.3, е) изгиб будет прямым только в том случае, если пло-
скость нагружения совпадает с осью Y. Круглое и кольцевое сечения 
(рис. 5.3, б, д) симметричны относительно любой центральной оси. 
Если плоскость нагружения проходит через центр тяжести сечения, 
изгиб является прямым.
В настоящем пособии рассматривается изгиб плоский попереч-
ный прямой.

5.2. Внутренние силовые факторы при изгибе

Для расчета прочностной надежности (расчета на прочность и жесткость) 
необходимо определить внутренние силовые факторы.
На расчетной схеме балку принято заменять ее осью. Все силы должны 
быть приведены к оси балки. Силовая плоскость действия нагрузок 
должна совпадать с плоскостью чертежа.
Изгибающий момент Мz и поперечная сила Q определяются методом 
сечений.
Изгибающий момент Мz в произвольном поперечном сечении бруса 
численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил 
и пар сил, действующих справа или слева от сечения относительно 
центра данного сечения.
Изгибающий момент в рассматриваемом сечении будем считать положительным, 
если алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, 
расположенных слева от сечения, дает равнодействующий момент, направленный 
по движению часовой стрелки (или алгебраическая сумма 
моментов всех внешних сил, расположенных справа от сечения, 
дает равнодействующий момент, направленный против движения часовой 
стрелки). То есть изгибающий момент считается положительным, 
если он изгибает балку выпуклостью вниз. В противном случае 
момент отрицателен (рис. 5.4).
Изгибающий момент Ми считается положительным, если элемент 
балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. его сжатые волокна расположены 
в верхней части. На рис. 5.4 представлены направления Ми, 
принятые за положительные и отрицательные.

5. Плоский поперечный изгиб

M
M
M
M

Рис. 5.4

Продольные волокна на выпуклой части балки удлиняются, на вогнутой 
части — укорачиваются.
Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, 
называется нейтральным слоем.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного 
сечения называется нейтральной осью (линией) сечения.
Графики, показывающие закон изменения Q и М по длине балки, 
называются эпюрами.
Поперечные силы Q и изгибающие моменты Ми изображаются графически 
в виде эпюр. При плоском поперечном изгибе балки ее ось 
располагается в силовой плоскости. Для изгиба характерны два вида 
деформаций:
· искривление продольной оси бруса X, соответствующее перемещениям 
точек оси бруса в направлении Y;
· поворот в пространстве одного поперечного сечения относительно 
другого, то есть поворот сечения относительно оси Z в плоскости 
XY.
Поперечная сила — внутренняя сила, перпендикулярная оси балки 
и численно равная сумме внешних сил, действующих по одну сторону 
от рассматриваемого сечения.
Поперечная сила в произвольном сечении балки численно равна алгебраической 
сумме проекций всех внешних сил, действующих справа 
или слева от данного сечения на ось Y, нормальную к продольной 
оси балки.
Для поперечных сил принято следующее правило знаков (рис. 5.4):
· поперечная сила в рассматриваемом сечении балки считается 
положительной, если равнодействующая всех внешних сил, расположенных 
слева от сечения, направлена вверх (или равнодействующая 
всех внешних сил, расположенных справа от сечения, 
направлена вниз);

5.2. Внутренние силовые факторы при изгибе

· в противном случае поперечная сила в рассматриваемом сечении 
отрицательна.
Правило знаков для Q и Ми носит условный характер.
Поперечные силы Q считаются положительными, если они стремятся 
повернуть элемент балки по часовой стрелке. На рис. 5.5 показаны 
положительные и отрицательные направления Q.

F

F

F

F

Q

Q

Q

Q

Рис. 5.5

Рассмотрим двухопорную балку, нагруженную произвольной системой 
сил (рис. 5.6, а).
Обозначим левую шарнирно-подвижную опору А, правую — В. Выберем 
систему ортогональных координат. Начало системы координат 
совместим с левой опорой А.
Направим ось X вдоль продольной оси балки.
На основании гипотезы освобождаемости от связей отбросим опоры 
и заменим их реакциями (рис. 5.6, б).
Из условия статического равновесия определим реакции Ay и By. Реакция 
Ax = 0, так как ∑Fxi = 0.

Разобьем балку на участки I… IV, приняв за границы участков сечения, 
в которых:
· приложены сосредоточенные силы или моменты;
· начинается либо заканчивается действие распределенной нагрузки.

Участок I имеет границы 0 ≤ x < a, участок II — 0 ≤ x < a + b и т. д.
В пределах каждого из участков внутренние силы изменяются 
по единому закону.

5. Плоский поперечный изгиб

Рис. 5.6

Внутренние силовые факторы определяются методом сечений.
Мысленно рассечем балку на расстоянии x от ее левого конца 
на участке I (рис. 5.6, в), отбросим правую часть и рассмотрим равно-