Отдельные вопросы механики сплошной среды

С. АА. Дон

Отдельные вопросы механики 
сплошной среды

нских,

Москв
Берли

2020

В. Н. С

ва 
ин 
0 

Сёминн 

УДК 622.24.026.3.001.5(022)
ББК 33.131 
        Д67 

Донских, С. А. 

Д67 
 
Отдельные вопросы механики сплошной среды / С. А. Донских, 
В. Н. Сёмин.  — 2-е изд. — Москва ;   Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 
95 с. 

ISBN 978-5-4499-1200-8 

В книге с единых позиций механики сплошных сред, термодинамики и 
физической кинетики рассмотрены механические процессы в твёрдых, жидких и 
порошковых системах. Особый упор сделан на вопросы кинетики спекания и 
припекания порошковых слоёв в связи с существующими технологиями нанесения 
на детали машин защитных покрытий. Показана роль и взаимодействие 
активирующих спекание факторов. 
Книга предназначена для научных и научно-технических работников, 
занимающихся вопросами повышения надёжности и долговечности машин, а также 
может 
использоваться 
как 
учебное 
пособие 
для 
студентов 
физических 
специальностей вузов.  

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 622.24.026.3.001.5(022)
ББК 33.131

ISBN  978-5-4499-1200-8 
© Донских С. А., Сёмин В. Н., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
5 
ГЛАВА 1 
6 
§1. Тензор деформаций. Его инварианты. Разложение на девиаторную и 
шаровую компоненты 
6 
§2. Тензор напряжений. Инварианты тензора напряжений. Уравнения 
равновесия сплошного тела 
8 
§3. Термодинамические состояния для деформированного сплошного тела. 
Обобщённый закон Гука 
10 
§4. Однородные деформации стержня. Коэффициент Пуассона 
13 
§5. Диаграмма деформирования. Пластическая деформация 
14 
§6. Вязкость. Диссипативная функция. Тензор вязких напряжений 
16 
§7. Дислокации в реальных кристаллах и связанные с ними явления 
19 
§8. Высокотемпературная ползучесть чистых металлов и сплавов 
23 
§9. Уравнение движения сплошной среды. Состояния упругости и вязкого 
течения особенности поведения пористых систем 
25 
ГЛАВА 2 
28 
Уравнения движения жидкости 
28 
§1. Уравнение движения идеальной жидкости 
28 
§2. Уравнение движения вязкой жидкости 
33 
§3. Механическое и тепловое равновесие жидкости 
37 
§4. Диссипация энергии в потоке вязкой жидкости 
39 
§5. Движение вязкой жидкости в трубе 
40 
§6. Элементы теории подобия 
43 
§7. Эффективная вязкость суспензий 
45 
ГЛАВА 3 
50 
§1. Основные положения теории термодинамики необратимых процессов 50 
§2. Феноменологическое описание потоков 
55 
§3. Диффузионные процессы 
59 
ГЛАВА 4 
65 
§1. Спекание и припекание металлических порошков в модели вязкой 
пористой среды, рассматриваемой как сплошная. Коэффициент объёмной 
вязкости пористой среды 
65 
§2. Кинетика уплотнения порошковых систем в модели вязкого течения 
пористого тела 
68 
§3. Уравнения движения пористой системы в цилиндрических координа- 
тах. Кинетика уплотнения порошковых слоёв в условиях центробежного 
припекания 
73 

§4. Теория электроконтактного припекания порошковых слоев 
81 
§5. Активирование процессов спекания и припекания малыми добавками 
85 
ЛИТЕРАТУРА 
91 

ПРЕДИСЛОВИЕ

В сравнительно небольшой по объёму книге излагаются отдельные про-

блемы физики деформируемых твёрдых тел: их упругое и неупругое поведение, 
термодинамика деформирования, дислокации и связанные с ними явления, вы-
сокотемпературная ползучесть материалов и её механизмы. В модели сплош-
ной деформируемой среды рассматриваются простые системы, изменение объ-
ёма которых обусловлено изменением пористости при постоянном объёме мо-
нолитной части системы.

Рассмотрены также некоторые вопросы гидродинамики вязкой жидкости, 

причём проанализирована проблема влияния твёрдых включений на коэффици-
ент вязкости суспензий. Применительно к проблеме спекания и припекания ме-
таллических порошков рассмотрена термодинамическая теория активирующих 
спекание факторов. На основании общих принципов термодинамики необрати-
мых процессов обоснована возможность моделирования процессов спекания и 
припекания посредством теории вязкого течения сплошной среды с некоторы-
ми эффективными коэффициентами сдвиговой и объёмной вязкости, величины 
которых определяются коэффициентами диффузии в частицах порошка и 
структурой частиц (размеры зёрен, плотность дислокаций и т.п.).

В последней, 4-й, главе книги с позиций предыдущих 3-х глав излагаются 

избранные вопросы кинетики спекания и припекания порошковых систем, свя-
занные с некоторыми конкретными технологиями нанесения порошковых за-
щитных покрытий на детали машин, показано вполне удовлетворительное со-
гласование разработанных теоретических моделей с экспериментальными ис-
следованиями

В книге нашли отражение исследования авторов по проблемам физики 

спекания металлических порошков и получения защитных порошковых покры-
тий.

Авторы надеются, что настоящая монография окажется полезной для 

научных работников и инженеров, работающих в области порошковой метал-
лургии, защитных покрытий, а также для аспирантов, студентов технических 
вузов и студентов физических специальностей университетов и педвузов.

ГЛАВА 1

Напряженно деформированное состояние сплошной среды. Упругость. 

Неупругие свойства. Уравнения движения твёрдых деформируемых тел, жид-
костей, простых систем.

§1. Тензор деформаций. Его инварианты. Разложение на девиатор-

ную и шаровую компоненты

Под воздействием приложенных сил твердые тела, рассматриваемые или 

сплошные среды, деформируется, изменяют свою форму и объем. Для матема-
тического описания деформаций привлекается вектор деформации [1], компо-
ненты которого можно записать как 

 
 
a
a
a
U
X – X


.
(1.1)

Здесь полагается, что положение каждой точки тела можно описать ради-

ус-вектором r с компонентами X , причём  = 1, 2, 3, а положение смещенной 
вследствие деформаций точки описываются радиус-вектором r' с компонента-
ми X’ . координаты X’ являются функциями X , а потому функциями X’ яв-
ляются и компоненты U .

Можно сказать, что задание величин U как функций X полностью опре-

деляет деформация тела.

Если до деформации две бесконечно близкие точки тела различались на 

вектор dX , а после деформации на dX’ то можно оценить разность расстояний 
между этими точками, обусловленную деформацией тела.

Имея в виду известное правило для записи сумм, можно написать:

2
2
2
2
2
1
2
3

2
2
2
2
2
1
2
3

d l
dX
dX
dX
dX

d l'
dX '
dX '
dX '
dX '

















.
(1.2)

Но у нас согласно (1.1) имеет место соотношение 

 
 
a
a
a
dX
dX – dU
 
,
(1.3)

причём

U
dU
dX
X







 
,
(1.4)

а потому

2
2
U
U
U
dX '
dX
2
dX dX
dX dX
X
X
X























.
(1.5)

Выражение (1.5) может быть записано следующим образом:

 
 
2
2
ab
a
b
dl
– dl
2e dX dX


,
(1.6)

где введён тензор деформации сплошного тела [1 – 3]:

U
U
U
U
1
2
X
X
X
X






























.
(1.7)

Величина  является тензором 2-го ранга в силу того обстоятельства, 

что величины (dX , dX – векторы), а двойная сумма в (1.7) справа – скаляр. Из 

структуры тензора  видно, что он симметричен:  =  .

Здесь и ниже будут рассматриваться малые деформации среды, а потому 

третье слагаемое в (1.7) можно опустить. Имеем тогда:

U
U
1
2
X
X





















.                                    (1.8)

Симметричный тензор  в каждой точке тела линейным преобразовани-

ем координат в этой точке можно привести к главным осям, в которых отлич-
ными от нуля будут только диагональные компоненты 
1 , 
2 , 
3 .

Имеем в этих осях вместо (1.6):

2
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
dl'
dl
2
dX
2
dX
2
dX







.                 
(1.9)

Иначе говоря, можно записать:

dX '
1
2
dX
(1
)dX











,  = 1, 2, 3.              (1.10)

Таким образом, относительные удлинения сторон элементарного парал-

лелепипеда, построенного на главных осях в данной точке суть:

dX '
dX
dX








,  = 1, 2, 3.                            (1.11)

отметим выражения для элемента объема dV’ деформированного тела, которое 
вытекает из соотношения (1.10):

1
2
3
dV'
(1
)(1
)(1
)dV







.
(1.12)

С точностью до линейных по 

членов, имеем:

1
2
3
dV '
dV
inv
dV











.                      (1.13)

Мы получили важный для дальнейшего инвариант  и его физический 

смысл. Отметим так же, что в силу (1.8)

U
divU
X









.                                    (1.14)

приведём значение компонент тензора деформаций в цилиндрических r, , z ко-
ординатах; имеем:

r
z
rr
zz

z
r
z
z
rz

r
r

U
U
U
U
1
,
,U
,
r
r
r
z
U
U
U
U
1
2
,2
,
r
z
z
r
U
U
U
1
2
r
r
r
































































.                       (1.15)

В сферических координатах r, ,  имеем:

r
r
r
rr

r
r

r
r

U
U
U
U
U
U
1
1
,
,
ctg
,
r
r
r
r sin
r
r

U
U
U
U
U
1
1
1
2
U ctg
,2
,
r
r sin
r
r
r

U
U
U
1
2
r sin
r
r




























































































. (1.17)

выполним разложение тензора  на две компоненты – ’ и ” , причём 

первая из них ответственна за сдвиговые деформации (’ = 0) и называется 

девиатор деформации, а вторая – ” – шаровой тензор деформаций, ответ-

ственный за всестороннее сжатие или растяжение 

"
divU




.

Имеем:

1
1
'
"
divU
divU
3
3

















.               (1.18)

Отметим инвариант:

'
'
inv





.                                            (1.19)

§2. Тензор напряжений. Инварианты тензора напряжений. Уравнения 
равновесия сплошного тела

Выделим в сплошном теле элементарную призму 

(рис. 1.1) с вершиной в точке М и рассмотрим силы, с 
которыми окружающая призму сплошная среда воздействует 
на нее. Эти силы 
1
2
3
df ,df ,df


и ( df

) приложены 

соответственно к граням АМВ, ВМС, АМС и АВС. 
Условия равновесия призмы требуют, в частности, чтобы 


3

1
df
( df )
0

 
 


, т.е. можно записать:

3

1
df
df


 

.                                          (1.20)

Если ввести выражения

df

dS






,
(1.21)

где dS – вектор площадки 
ABC
dS
dS

,  (1.20) можно записать в виде:

df = dS .                                          (1.22)

Здесь  – индекс суммирования (немой индекс). Т.к. df и dS – векторы, 

то согласно известной теореме тензорной алгебры  – тензор 2-го ранга, тензор 
напряжений.

Выделяя в сплошной среде конечный элемент объёма V, ограниченный 

конечной поверхностью S, имеем для полной силы, действующей на этот элемент 
со стороны окружающей его среды:

S
V
dS
dV
X

















.    
(1.23)

При написании (1.23) использовано обобщение теоремы Гаусса. Из (1.23) 

следует, что величина 
X









(дивергенция тензора 2-го ранга) суть сила f, дей-

ствующая на м3 сплошной среды, обусловленная воздействием на элемент dV
окружающей его среды через поверхность S.

Рассмотрим теперь момент этих сил. Момент силы f, отнесенный к м3

среды суть fX – fX, а на объём V




V
M
f X
f X
dV









.                                  (1.24)

Очевидно, в силу природы сил f, этот момент должен в конечном итоге 

представляться интегралом, взятым по поверхности S. Имеем:







V
V

V

X
X
M
X
X
dV
dV
X
X
X

dV
























 
 


































.        (1.25)

Здесь вместо производных вида 
X
X







введем единичный тензор . Пер-

вый из интегралов, очевидно, преобразуется в поверхностный интеграл, а вто-
рой сводится к интегралу 



V
dV








и должен тождественно равняться ну-

лю, что будет иметь место, если 

 = ,
(1.26)

т.е. тензор напряжений симметричен.

Отметим, что при равномерном всестороннем сжатии тела тензор напря-

жений имеет вид:

 = – р ,
(1.27)

где р – давление, направленное везде по нормали к поверхности внутрь тела. 
Инвариантами тензора напряжений являются  и 2 . если имеет место рав-
новесие в деформированном теле f = 0 и мы имеем уравнение равновесия

0
Х









.                                               (1.28)

Следует отметить, что при этом мы положили равным нулю массовые 

(объёмные) силы, действующие на сплошную среду со стороны внешних полей 
(гравитация, силы электромагнитной природы и т.п.). Внешние же силы, при-
ложенные непосредственно к поверхности тела, за счет которых возникает 
напряженно деформированное состояние тела, учитываются граничными усло-
виями. Если 
( l )
Р
– вектор внешней силы, отнесенный к м2 поверхности тела, то 

для каждого элемента dS поверхности границы должно иметь место условие:

( l )
P
dS
dS
0





 .     
(1.29)

Но у нас dS = ndS, где n – единичный вектор внешней нормали, а пото-

му вместо (1.29) имеем:

( l )
n
P





.                                               (1.30)

Для дальнейшего изложения будет весьма полезно выражение для сред-

него значения по объему тела V инварианта  ; имеем для случая равновесия 
(1.28):

V
V
V

S
V

(
X )
X
X dV
dV
dV
X
X
X

Х
X dS
dV
0, т.к.
Х






























































.                  (1.31)

Полагая dS = ndS и учитывая, (1.30) из (1.31) получим



( l )
( l )

S
S

1
1
P
X dS
P
r dS
V
V













.                  
(1.32)

Здесь положено для среднего по объёму тела:

V

1
dV
V






  
.                                        (1.33)

§3. Термодинамические состояния для деформированного сплошного 

тела. Обобщенный закон Гука

Выведем выражение для работы деформирования сплошного тела в м3. 

Полагая, что величина этой работы обусловлена изменением вектора U , име-
ем для малой величины работы 

A
U
X









 
.                                                 (1.34)

Для всего объёма тела тогда будем иметь:

V
V
S
V

U
AdV
U dV
U dS
dV
X
X





























.               (1.35)

Полагая среду неограниченной и устремляя границу к бесконечности, на 

которой можно принять () = 0, получим из (1.35)

V
V

U
U
AdV
dV
X
X







 




 











.
(1.36)

Сопоставляя подынтегральные выражения, находим:

А = – .                                               (1.37)

Далее мы рассматриваем достаточно малые деформации такие, которые 

исчезают при прекращении действия внешних сил (упругие деформации), процессы 
деформирования тел будем полагать обратимыми, для которых имеет 
место основное термодинамическое тождество:

TdS = dU + dA.                                              (1.38)

Величины, входящие в (1.38) отнесены к м3 тела в его недеформированном 
состоянии, причём U – внутренняя энергия, S – энтропия. Имея в виду, что 
U = F + TS’, где F – свободная энергия м3 тела, получим из (1.38):

dF = – SdT + d.                                       (1.39)

Отсюда следует, что компоненты тензора напряжений суть:

T

F









 







.   
(1.40)

Если определить термодинамический потенциал Гиббса согласно

Ф = U – TS – ,
(1.41)

то можно получить из (1.41) и (1.39) выражение:

dФ = – SdT – d,
(1.41)

откуда находим компоненты тензора деформаций:

Т

Ф








 







.                                               (1.43)

В адиабатном процессе деформирования (S = const) из (1.38) имеем

S

U









 







.                                                (1.44)

Для получения зависимости тензора  от тензора  можно воспользоваться 
термодинамическими соотношениями, если сконструировать в рамках 

определенных модельных представлений величину свободной энергии F
сплошной среды. 

Мы будем представлять ниже сплошное тело изотропным, деформации 

малыми и такими, что при  = 0 компоненты  = 0. Из этих соображений 

следует, что в разложении свободной энергии по компонентам тензора 

должны отсутствовать линейные члены, т.к. производные 

0

0

T

F
0


















. 

Свободная энергия – скаляр, а потому естественно построить её как линейную 
комбинацию 2-х независимых инвариантов тензора деформаций, причем один 
из них относится к девиаторной части (сдвиг), а второй – к шаровой компоненте (
всестороннее сжатие).

Имеем тогда для той части свободной энергии, которая связана с деформациями:


2
2
1
K
F
G
3
2


















.                                (1.45)

Функция может иметь минимум при  = 0, если

G > 0, K > 0.            
(1.46)

Здесь G – модуль сдвига, K – модуль всестороннего сжатия. Легко доказать, 
что

1
dF
K
d
2G
d
3

1
2G
K
d
3

























































.                      (1.47)

Тогда, в силу (1.4), имеем:

F
1
2G
K
3


























.                      (1.48)

Мы получили обобщённый закон Гука.
Полагая в (1.48)  =  и суммируя (свертка тензора), имеем:

1
3К





.                                          (1.49)

Учитывая (1.49), находим из (1.48):

1
1
1
2G
3
9K







 
 










.                        (1.50)

В случае всестороннего сжатия тела  = – р и 

p
divU
К



 
.                                        (1.51)