Теория движения полноприводных колесных машин

Допущено УМО вузов РФ по образованию
в области транспортных машин
и транспортно-технологических комплексов
в качестве учебника для студентов,обучающихся по специальности
Автомобиле- и тракторостроение
«
»

Теория движения
полноприводных
колесных
машин

Москва 2010

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

В.В. Ларин

1. Прямолинейное качение колесного движителя по твердой опорной поверхности

© Ларин В.В., 2010
© Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-3389-6
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

УДК 629.1.02 (075.8)
ББК 39.33-01
Л25

Р е ц е н з е н т ы:
 кафедра «Автомобили» Московского автомобильно-дорожного института
(Государственного технического университета);
д-р техн. наук, проф. В.Н. Наумов

Ларин В. В.
Теория движения полноприводных колесных машин : учебник / В. В. Ларин. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. 391, [1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3389-6

Рассмотрены теоретические основы и законы движения колесной машины
как механической системы, позволяющие оценить и прогнозировать ее эксплуатационные 
свойства при движении по твердым и деформируемым опорным 
поверхностям. Представлены оценочные показатели эксплуатационных
свойств и влияние на них конструктивных и эксплуатационных параметров колесной 
машины.
Содержание учебника соответствует программам и курсам лекций, которые
автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Автомобиле- и тракторостроение». 
Может быть полезен аспирантам, преподавателям и работникам
промышленных предприятий.

УДК 629.1.02 (075.8)
ББК 39.33-01

Л25

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1. Прямолинейное качение колесного движителя по твердой опорной
поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1. Основные характеристики, уравнения движения
и безразмерные показатели колесного движителя  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Геометрические и силовые параметры колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Кинематические параметры колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Уравнения движения колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Безразмерные показатели колеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Сопротивление качению колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Сцепление колеса с опорной поверхностью  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Прямолинейное движение колесной машины по твердой плоской
опорной поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1. Расчетная схема и внешние силы, действующие на колесную машину  . . . 30
2.2. Внутренние силы и моменты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Уравнения прямолинейного движения колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Тягово-скоростные свойства колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5. Распределение нормальных реакций по колесам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6. Распределение крутящих моментов и окружных сил по колесам  . . . . . . . . 50
2.7. Топливная экономичность колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8. Тягово-скоростные свойства колесной машины с гидродинамической
передачей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9. Параметры колесной машины, обеспечивающие оптимальные
тягово-скоростные свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Массогабаритные параметры  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Параметры силовой установки  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Параметры трансмиссии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Выбор схемы привода колес  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3. Криволинейное движение колесной машины по твердой плоской
опорной поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1. Способы поворота и условия поворотливости колесной машины  . . . . . . . 82
3.2. Кинематические и силовые параметры колесного движителя
при криволинейном движении и действии боковой силы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1. Прямолинейное качение колесного движителя по твердой опорной поверхности

3.3. Кинематические параметры, характеризующие
криволинейное движение колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
3.4. Силовые параметры и уравнения криволинейного движения
колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.5. Распределение крутящих моментов, продольных и боковых реакций
при повороте колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
3.6. Основные факторы, влияющие на силы и реакции при криволинейном
движении колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.7. Поворот сочлененных колесных машин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
3.8. Влияние конструктивных и эксплуатационных факторов
на поворотливость колесных машин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129

4. Устойчивость колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

4.1. Виды и показатели устойчивости колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . .
131
4.2. Курсовая и траекторная устойчивость, занос колесной машины  . . . . . . .
132
Курсовая и траекторная устойчивость КМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
Занос КМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
4.3. Стабилизация и колебания управляемых колес  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
Стабилизация управляемых колес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
Колебания управляемых колес относительно шкворней  . . . . . . . . . . . . .
147
4.4. Опрокидывание колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
4.5. Влияние конструктивных и эксплуатационных параметров
на устойчивость  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165

5. Управляемость колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167

5.1. Определения и показатели управляемости колесной машины  . . . . . . . . .
167
5.2. Переходные процессы при управлении колесной машины  . . . . . . . . . . .
169
5.3. Оценочные показатели управляемости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182

6. Торможение колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184

6.1. Системы и виды торможения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
6.2. Уравнения движения колесной машины при торможении  . . . . . . . . . . . .
185
6.3. Оптимальное распределение тормозных сил  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
6.4. Регуляторы тормозных сил и антиблокировочные системы  . . . . . . . . . . .
194
6.5. Особенности торможения автопоезда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
6.6. Торможение с неполным использованием сил сцепления  . . . . . . . . . . . .
205
6.7. Устойчивость при торможении  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
6.8. Нормативы и методы оценки тормозных свойств  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215

7. Плавность хода колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217

7.1. Определения, элементарные параметры и зависимости  . . . . . . . . . . . . . .
217

Оглавление

7.2. Свободные колебания двухосной колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . .
224
Свободные колебания КМ без учета неподрессоренных масс
и затухания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
Свободные колебания КМ с учетом неподрессоренных масс
и без учета затухания  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
Свободные колебания КМ с учетом неподрессоренных масс
и затухания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
7.3. Вынужденные колебания колесной машины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
7.4. Особенности колебаний многоосных колесных машин  . . . . . . . . . . . . . .
243
Продольно-угловые колебания многоосной КМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
Поперечно-угловые колебания КМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
7.5. Продольные колебания и дополнительное сопротивление
движению колесной машины, вызванное неровностями поверхности  . . . . .
256
7.6. Неровности опорной поверхности и колебания машин
на поверхностях со случайным микропрофилем  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
7.7. Показатели оценки плавности хода колесных машин  . . . . . . . . . . . . . . . .
267
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271

8. Проходимость колесных машин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272

8.1. Общие сведения о проходимости колесных машин  . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
Недеформируемые препятствия местности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
Деформируемые опорные поверхности местности  . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
8.2. Профильная проходимость колесных машин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
Вписываемость в заданную полосу движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
Преодоление уклонов в продольной и поперечной плоскостях  . . . . . . .
282
Преодоление отдельных барьерных препятствий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
Показатели профильной проходимости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
8.3. Деформируемость опорной поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
Вертикальная деформация ОП под нагрузкой  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
295
Горизонтальная деформация ОП под нагрузкой  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
Дополнительные факторы, влияющие на деформацию грунта  . . . . . . . .
305
Механические свойства деформируемых ОП  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
308
Несвязанные и связанные грунты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
308
Торфяные грунты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310
Снег  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
8.4. Опорная проходимость колеса при прямолинейном движении  . . . . . . . .
313
Опорная проходимость первого колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
Определение параметров зоны контакта  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
Расчет нормальных давлений и касательных напряжений  . . . . . . . . . . . .
317
Уравнения движения колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320
Определение параметров движения колеса при наличии грунтозацепов  .
322
Расчет параметров опорной проходимости колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
Опорная проходимость последующих колес  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329

Оглавление

1. Прямолинейное качение колесного движителя по твердой опорной поверхности

8.5. Опорная проходимость колес при криволинейном движении  . . . . . . . . .
334
Опорная проходимость первого колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
Опорная проходимость последующих колес  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
8.6. Опорная проходимость колесной машины при прямолинейном
движении  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345
8.7. Опорная проходимость колесной машины при криволинейном
движении  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352
8.8. Влияние конструктивных и эксплуатационных параметров
на показатели опорной проходимости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
359
Прямолинейное движение колеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
359
Прямолинейное движение КМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
364
Криволинейное движение КМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370
8.9. Водная проходимость колесных машин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
384
Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
Предметный указатель  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
388

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

Колесные машины (КМ) безрельсовых транспортных средств имеют ог-
ромное значение для народного хозяйства и обороны страны. Они обеспечи-
вают транспортировку пассажиров, грузов и оборудования (автомобили); их
используют при строительных и дорожных работах (строительно-дорожные
машины), а также в агропромышленном секторе (сельскохозяйственные ма-
шины). Их объединяет только то, что движение по местности обеспечивается
колесным движителем. При этом в связи с различными выполняемыми зада-
чами они существенно отличаются. Данная книга посвящена изучению воп-
росов, связанных с движением одного из видов КМ автомобилей.
Главной целью изучения теории движения КМ является установление ос-
новных принципов рациональной разработки, конструирования, оценки и вы-
бора КМ для обеспечения их соответствия различным эксплуатационным тре-
бованиям.
Колесная машина даже с одной ведущей осью представляет собой слож-
ную динамическую систему, которая изменяется с увеличением числа веду-
щих осей (многоосные КМ).
Поскольку КМ является частью системы водительмашинасреда, ее свой-
ства проявляются во взаимодействии этих элементов.
Любая КМ характеризуется надежностью, экономичностью, экологичнос-
тью, эстетичностью, эксплуатационными и другими свойствами. Из всего этого 
многообразия в данном курсе рассматриваются только эксплуатационные
свойства, определяющие степень приспособленности машины к эксплуатации
и обеспечивающие ее прямо- и криволинейное движение в различных дорожно-
эксплуатационных условиях на ровных и неровных, твердых и деформируемых 
опорных поверхностях (ОП). В связи с этим принято рассматривать тягово-
скоростные и тормозные эксплуатационные свойства, топливную экономичность, 
поворотливость, маневренность, устойчивость, управляемость,
плавность хода и проходимость КМ.
Задачей курса является изучение законов движения КМ в различных условиях 
и определение перечисленных выше эксплуатационных свойств.
Отдельные вопросы теории эксплуатационных свойств КМ решали одновременно 
с созданием первых машин. Одним из первых исследователей законов 
движения КМ (автомобилей) был профессор Н.Е. Жуковский, который
уже в 1917 г. дал стройное изложение теории движения КМ. Оформление тео-

1. Прямолинейное качение колесного движителя по твердой опорной поверхности

рии КМ как науки принадлежит академику Е.А. Чудакову, среди многочисленных 
трудов которого важнейшее место занимает выпущенный впервые в мире
большим тиражом учебник «Теория автомобиля» (1935), выдержавший несколько 
изданий. В тот же период значительный вклад в развитие теории КМ внесли 
профессора Г.В. Зимелев, Б.С. Фалькевич, Я.М. Певзнер, Р.В. Ротенберг,
Н.А. Яковлев.
Из наиболее значительных учебников по теории движения КМ, выпущенных 
в последние десятилетия, следует отметить работы профессоров Г.А. Смирнова, 
А.С. Литвинова и Я.Е. Фаробина, Д.А. Антонова.
Современный этап развития теории движения КМ характеризуется углубленным 
изучением отдельных особенностей эксплуатационных свойств, оценкой 
их в комплексе, оптимизацией показателей и технических параметров КМ.
Значительную роль при этом играет вычислительная техника, позволяющая
упростить решение различных задач и отследить сложные процессы, происходящие 
внутри КМ и в зонах контакта колесных движителей с ОП.
Для лучшего понимания основных процессов, происходящих при движении 
КМ, рациональнее (нагляднее и доступнее) рассматривать сначала частные, 
но простые модели, а уже затем переходить к более сложным. Поэтому в
разных разделах книги использованы различные модели. В зависимости от
цели исследования процесса принимают допущения, причем учтены лишь главные 
движения системы для рассматриваемого случая.
Знание законов движения КМ позволяет обосновывать технические требования 
на проектирование; рассчитывать и выбирать при проектировании оптимальные 
основные конструктивные параметры; отбирать из существующих
те КМ, которые обеспечат лучшую эффективность при выполнении поставленных 
транспортных народно-хозяйственных и оборонных задач.

Предисловие

1. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КАЧЕНИЕ КОЛЕСНОГО ДВИЖИТЕЛЯ
ПО ТВЕРДОЙ ОПОРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

1.1. Основные характеристики, уравнения движения
и безразмерные показатели колесного движителя

Геометрические и силовые параметры колеса

Одним из основных узлов КМ является колесный движитель, главные функции 
которого следующие:
передача нагрузок от массы КМ на ОП;
сглаживание воздействия неровностей ОП на КМ;
обеспечение тяговых сил, необходимых для движения и торможения КМ;
обеспечение управляемости и устойчивости КМ.
В общем случае колесный движитель всей КМ состоит из одиночных колесных 
движителей, представляющих собой жесткий обод и эластичную оболочку (
шину). Их количество в КМ зависит от числа осей и ошиновки (одинарная 
или двойная).
Эластичные колесные движители (будем называть их просто колеса)
различаются по конструктивному исполнению. Эффективно выполнять на КМ
свои функции в настоящее время может колесо с пневматической шиной. Поэтому 
изучение механики пневматических шин является весьма важным для
понимания рабочего процесса и эксплуатационных характеристик КМ.
Хотя по конструктивному исполнению пневматические 
шины различных типов (диагональные, 
радиальные, опоясанные, тороидные, широкопрофильные, 
низкопрофильные, арочные, пнев-
мокатки и т. д.) различаются между собой, для них
характерны общие основные проблемы и расчетные 
зависимости.
Несмотря на кажущуюся простоту, колесо является 
сложным устройством, работу которого в
зависимости от поставленной цели и степени точности 
можно изображать и описывать с помощью
различных моделей.
Колесо характеризуется следующими основными 
геометрическими параметрами (рис. 1.1): сво-

Рис. 1.1. Геометрические параметры 
колеса

1. Прямолинейное качение колесного движителя по твердой опорной поверхности

бодным радиусом ,
r
 высотой 
H
 и шириной 
B  профиля, радиусом r
 и
шириной 
B
 обода, шириной 
b
 и высотой 
h
 стрелы прогиба беговой
дорожки.
В результате действия на обод колеса различных сил и моментов шина
деформируется в радиальном, тангенциальном и боковом направлениях. В связи
с этим происходит изменение равновесной формы профиля шины и искривление 
ее радиальных и поперечных сечений.
При упрощенной схеме нагружения
(рис. 1.2) на обод колеса, наклоненный на
угол развала 
y
γ
 и вращающийся с угловой
скоростью 
,
ω
 в центре обода 
O  действуют 
вертикальная (нормальная) 
,
z
P  продольная 

x
P  и боковая 
y
P  силы. Кроме того, на
обод действуют крутящий момент 
,
M
 опрокидывающий 
,

x
M
 поворачивающий 
z
M
и приведенный к ободу момент сопротивления 
качению 
.
y
M
Вертикальная проекция центра 
O′  обода 
смещается относительно центра 
O  контакта 
шины с ОП в продольном и боковом
(на величину 
)
y
h
 направлениях. В зоне контакта 
действуют реакции 
, , .
x y z
R
 Центр 
O
обода колеса движется с линейной скорос-
тью 
,
v
 отклоненной от плоскости его вра-
щения на угол увода .δ
На все виды деформаций расходуется
значительная энергия. Одна ее часть, затра-
чиваемая на трение в материале шины и зоне контакта, переходит в теплоту и
рассеивается, а другая, определяемая упругим сопротивлением шины, возвра-
щается при обратном деформировании.
Поскольку в этой главе рассмотрено только прямолинейное движение ко-
леса, в дальнейшем будем пользоваться упрощенной схемой колеса в плоско-
сти его симметрии 
XO Z  (рис. 1.3).
Нормальные элементарные реакции 
z
dR  состоят из элементарных сил 
z
dR
упругого сопротивления, зависящих лишь от степени деформации и жесткос-
ти элементов шины, и элементарных сил 
z
dR
 неупругого сопротивления,
обусловленных скоростью деформирования и демпфирующими свойствами.
При нагружении нормальной силой 
z
P  некатящегося колеса 
(
0,
M
=

0)
ω =
 (см. рис. 1.3, а) элементы профиля шины деформируются симмет-
рично относительно центральной поперечной плоскости (центра контакта

).
O
 Нормальные элементарные реакции 
,
z
dR
 расположенные на одинако-
вом расстоянии от центра контакта 
,
O
 равны. При нагружении нормаль-

Рис. 1.2. Упрощенная схема нагру-
жения колеса:
1 сечение обода в плоскости сим-
метрии шины; 2 сечение шины
в плоскости симметрии

ные элементарные реакции равны сумме элементарных сил сопротивлений:

,
z
z
z
dR
dR
dR
=
+
 а при разгрузке их разности: 
.
z
z
z
dR
dR
dR
=
−
В результате нагружения и разгрузки кривые зависимостей 
(
)
z
z
P
h
 и 
(
)
z
z
P
h
не совпадают при одинаковых значениях 
zi
h  (см. рис. 1.3, в). Площадь между
этими кривыми характеризует потерю энергии в процессе нагружениеразгруз-
ка. Образуется так называемая петля упругого гистерезиса.
При любых видах нагружения деформации элементов шины по длине
окружности различны. Верхняя часть шины практически не деформируется,
а в нижней части деформация увеличивается с приближением к ОП. Не рав-
ны деформации и в зоне контакта. Распределение нормальных элементар-
ных реакций 
z
dR  по длине контакта, представленное на рис. 1.3, б, носит
приближенный характер и служит только для иллюстрации процесса нагру-
жения колеса.
При качении колеса (см. рис. 1.3, б) с угловой 
ω  и линейной x
v
 скорос-
тями характер его деформирования несколько изменяется. В упрощенной плос-
кой модели можно принять, что контакт осуществляется по отрезку длины
контакта. Нормальные элементарные реакции в передней зоне контакта ха-
рактеризуют нагружение элементов шины и равны 
,
z
z
z
dR
dR
dR
=
+
 а в
задней части их разгрузку и равны 
.
z
z
z
dR
dR
dR
=
−
 В результате точка
приложения нормальной реакции 
z
R  смещается вперед относительно центра
контакта 
.
O
 Такое смещение всегда присуще катящемуся колесу и характе-
ризует его внутренние потери.
В свободном режиме качения (рис. 1.4, а) продольная сила на оси 
0.
x
P =
Равнодействующая 
z
R  нормальных элементарных реакций смещается отно-
сительно центра контакта 
O
 вперед на расстояние 
,
a
 называемое плечом
сноса нормальной реакции.

Рис. 1.3. Силы, действующие на некатящееся (а) и катящееся (б) колесо, а также
зависимость нормальной деформации колеса от нагрузки (в) при нагружении (1) и
разгрузке (2)

1.1. Основные характеристики, уравнения движения и безразмерные показатели

1. Прямолинейное качение колесного движителя по твердой опорной поверхности

Это смещение характеризуется двумя составляющими: 
,
a
a
a
=
+
 первая 
из которых обусловлена внутренними гистерезисными потерями в шине
на качение, вторая потерями на проскальзывание элементов шины относительно 
ОП в зоне контакта. Для обеспечения равномерного качения колеса к
нему должен быть приложен крутящий момент 
,
M
 равный моменту сопротивления 
качению 
.
f
z
M
R a
=
При наличии продольной силы (
0)
x
P ≠
 дополнительно происходит тангенциальная 
деформация шины и увеличение проскальзывания в зоне контакта 
в направлении действия силы 
x
P  (рис. 1.4, б). В результате искривления
радиальных сечений шины и несимметричности ее упругих деформаций проекция 
оси обода 
O′  смещается относительно центра контакта 
O
 на расстояние .

c
 За положительное направление силы 
,
x
P  совершающей полезную работу 
по перемещению корпуса КМ, принято направление, противоположное
вектору линейной скорости центра обода.
В зависимости от направлений действия продольной силы 
x
P  и крутящего
момента 
,
M
 принято различать следующие  режимы силового нагружения
колеса (рис. 1.5, а).
1. Ведомый режим качения (рис. 1.5, б), когда колесо приводится во вращение 
продольной силой 
0,
x
P <
 а 
0;
M
=
 в таком режиме колесо называется
ведомым.
2. Свободный режим качения (рис. 1.5, в), при котором к оси приложен
крутящий положительный момент 
0,
M
>
 а 
0;
x
P =
 в таком режиме колесо
называется свободным.
3. Ведущий режим качения (рис. 1.5, г), когда положительный крутящий
момент 
0
M
>
 создает положительную продольную силу 
0;
x
P >
 в этом случае 
колесо называется ведущим.
4. Нейтральный режим качения (рис. 1.5, д), при котором колесо приводится 
во вращение положительным моментом 
0,
M
>
 отрицательной продольной 
силой 
0
x
P <
 и называется нейтральным.

Рис. 1.4. Схемы качения колеса в свободном (а) и ведущем (б) режимах качения

5. Тормозной режим качения (рис. 1.5, е), когда колесо приводится во вращение 
продольной силой 
0,
x
P <
 нагружено отрицательным крутящим моментом 
0
M
<
 и называется тормозным.

Кинематические параметры колеса

Для записи уравнений и описания движения колеса используют следующие 
понятия о его радиусах и скоростях.
Свободный радиус rсв колеса равен половине диаметра наибольшего окружного 
сечения беговой дорожки колеса при отсутствии его контакта с опор-
ной поверхностью. При известной длине 
L
 наибольшей окружности беговой 
дорожки

0,5
.
r
L
=
π

Статический радиус r
 колеса это расстояние от центра неподвижного 
колеса 
(
0,
ω =
 
0),
x
v
=
 на которое действует только нормальная сила
0,
z
P >
 до ОП. Он определяется нормальной деформацией шины 
:
z
h

.
z
r
r
h
=
−

Рис. 1.5. Зависимость продольной силы от крутящего момента (а) и схемы силового
нагружения колеса, соответствующие характерным точкам (зонам) 15, при ведомом (б),
свободном (в), ведущем (г), нейтральном (д) и тормозном (е) режимах качения

1.1. Основные характеристики, уравнения движения и безразмерные показатели

1. Прямолинейное качение колесного движителя по твердой опорной поверхности

Динамический радиус 
r  колеса то же расстояние, что и 
,
r
 но при
движущемся колесе 
(
0,
ω >
 
0).
x
v
>
 Этот радиус незначительно отличается
от r
 и зависит от режима силового нагружения и скорости движения.
Кинематический радиус r  колеса чисто математическая величина, определяющая 
радиус условного жесткого колеса, которое за один оборот проходит 
путь, равный пути, проходимому эластичным колесом:

.
x
r
v
=
ω
 (1.1)

Значение r  зависит окружной (тангенциальной) упругой деформации бе-
говой дорожки шины и ее скольжения относительно опорной поверхности.
При положительных значениях 
M  и 
x
P  часть шины, приближающаяся к зоне
контакта, сжимается и длина окружности беговой дорожки уменьшается, а
при отрицательных значениях 
M  и 
x
P  эта часть шины растягивается и дли-
на беговой дорожки увеличивается.
Изменение кинематического радиуса колеса в зависимости от силовых па-
раметров, тангенциальной эластичности и сцепных свойств беговой дорожки
шины с ОП показано на рис. 1.6.
При малых значениях 
M  и 
x
P  интегральное значение скорости скольже-
ния 
sv  в пятне контакта близко к нулю и изменение радиуса качения опреде-
ляется только упругой окружной деформацией беговой дорожки. Для боль-
шинства шин изменение r  от силовых параметров близко к линейной зависи-
мости. Эту упругую деформацию иногда называют упругим скольжением.
Изменение r  при отсутствии непосредственного скольжения (
0)
sv =
 опреде-
ляется радиусом чистого качения .
r
Исходя из простоты экспериментального и теоретического определения,
базовыми точками при определении rк 0 являются значения радиуса 
r
 в
ведомом режиме качения 
(
0)
M
=
 и 
r
 в свободном режиме качения
(
0).
x
P =

Рис. 1.6. Зависимость радиуса качения колеса от си-
ловых параметров:
 I зона буксования; II зона юза