Расчет пластин методом конечных элементов

Ìîñêâà

Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà

2008

Äîïóùåíî Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îáúåäèíåíèåì âóçîâ
ïî óíèâåðñèòåòñêîìó ïîëèòåõíè÷åñêîìó îáðàçîâàíèþ

â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ

âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,îáó÷àþùèõñÿ
ïî íàïðàâëåíèþ
Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà
«
»

«
»
ñïåöèàëüíîñòè
Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ìàøèí

À.Å. Áåëêèí,Ñ.Ñ. Ãàâðþøèí

Ðàñ÷åò ïëàñòèí

ìåòîäîì
êîíå÷íûõ
ýëåìåíòîâ

УДК 539.3(075.8) 
ББК  22.251  
          Б43 
 
 
Рецензенты: 
кафедра «Динамика и прочность машин» Московского  
энергетического института (технического университета)  
(заведующий каф. д-р техн. наук, проф. В.П. Чирков);  
д-р техн. наук, проф. Б.Г. Попов 

 Белкин А.Е., Гаврюшин С.С. 
Расчет пластин методом конечных элементов: Учеб. по-
собие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.  –  232 с. 

  ISBN 978-5-7038-3072-7 

В пособии приведены краткие сведения о теоретических  
основах расчета пластин при изгибе по моделям Кирхгофа и  
Тимошенко – Миндлина. Рассмотрены различные вариационные 
формулировки задачи изгиба пластин, служащие основой конечно-
элементного анализа. Подробно описано построение ряда наиболее 
известных конечных элементов пластин. Рассмотрены элементы 
метода перемещений, элементы смешанного типа и гибридные эле-
менты. Приведены результаты сравнительного анализа различных 
конечных элементов, используемых для расчета пластин.  
Для студентов специальности «Динамика и прочность ма-
шин», изучающих дисциплины «Строительная механика машин» 
и «Вычислительная механика». 
 

                                     УДК 539.3(075.8)  
                                                                                                   ББК 22.251  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Белкин А.Е., Гаврюшин С.С., 2008 
ISBN 978-5-7038-3072-7                                    © Оформление. Издательство МГТУ 
                                                                                  им. Н.Э. Баумана, 2008 

Б43 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение.....................................................................................................  
5 
1. Основные соотношения теории изгиба пластин ...........................  
9 
1.1. Теория Кирхгофа...........................................................................  10 
1.2. Вариационные формулировки теории Кирхгофа.......................  14 
1.3. Теория Тимошенко – Миндлина..................................................  24 
2. Процедуры метода конечных элементов при расчете пластин..  31  
2.1. Основные процедуры метода конечных элементов...................  31 
2.2. Вариационный метод построения матрицы жесткости  
       конечного элемента.......................................................................  35 
2.3. Условия сходимости конечно-элементных аппроксимаций...........  40 
3. Конечные элементы тонких пластин, рассчитываемых  
     по теории Кирхгофа. Построение матриц жесткости  
     и векторов узловых сил.....................................................................  43  
3.1. Треугольный элемент с шестью степенями свободы (элемент 
       Морли) ...........................................................................................  44 
3.2.Треугольный элемент с девятью степенями свободы (элемент 
      BCIZ)...............................................................................................  57 
3.3. Треугольный элемент с дискретным наложением гипотезы  
       Кирхгофа (элемент DKT) .............................................................  77 
3.4. Четырехугольный элемент дискретной теории Кирхгофа  
       (элемент DKQ)...............................................................................  86 
3.5. Треугольный элемент метода перемещений с принудительной  
       совместностью наклонов нормали...............................................  98 
3.6. Треугольный элемент гибридного метода напряжений  
       (элемент HSM)...............................................................................  108  
3.7. Элементы смешанного типа.........................................................  120  
3.8. Тестовые примеры и сравнительный анализ конечных  
       элементов теории Кирхгофа.........................................................  134 
4. Конечные элементы пластин средней толщины, построенные  
     на основе гипотезы Тимошенко – Миндлина ...............................  143 
4.1. Построение матрицы жесткости конечного элемента на основе 
       принципа минимума полной потенциальной энергии ...............  143 
4.2. Изопараметрическое представление матрицы жесткости  
       конечного элемента.......................................................................  147 

4.3. Анализ и пределы применимости конечных элементов теории 
      Тимошенко – Миндлина................................................................  149  
4.4. Элементы семейства MITC (элементы метода двойной  
       аппроксимации деформаций).......................................................  155 
4.5. Элементы смешанного типа. Независимые перемещения  
       и внутренние силы .........................................................................  162 
4.6. Элементы смешанного типа. Независимые перемещения  
       и деформации .................................................................................  175 
Заключение................................................................................................  182 
Приложения...............................................................................................  183 
П1. Естественные координаты треугольного элемента.....................  183 
П2. Локальные нормированные координаты  
       треугольного элемента...................................................................  189 
П3. Интерполяционные формулы Лагранжа и Эрмита......................  191 
П4. Гомеоморфные конформные отображения. Техника  
       изопараметрического анализа.......................................................  196 
П5. Численное интегрирование ...........................................................  201 
П6. Программа расчета пластин по теории Кирхгофа  
       с использованием элемента DKT..................................................  207 
П7. Подпрограммы формирование матрицы жесткости  
       гибридного элемента HSM............................................................  219 
П8. Подпрограммы формирования матрицы жесткости элемента 
       MITC4..............................................................................................  220 

Список литературы..................................................................................  225 
  

 

ВВЕДЕНИЕ 

Расчет тонкостенных конструкций является одним из наиболее 
сложных приложений метода конечных элементов (МКЭ) в меха-
нике деформируемого твердого тела. Несмотря на наличие боль-
шого числа публикаций по этому вопросу, построение эффектив-
ных конечно-элементных аппроксимаций для пластин и оболочек 
отнюдь не завершено. Продолжаются интенсивные разработки 
улучшенных схем формирования конечных элементов для этих 
объектов, о чем можно судить по современным публикациям в ве-
дущих научных журналах.  
В этих условиях молодые специалисты испытывают опреде-
ленные трудности в понимании разнообразных принципов созда-
ния конечных элементов для тонкостенных конструкций, в пра-
вильном выборе элементов при расчетах. Цель пособия состоит в 
том, чтобы помочь начинающим расчетчикам правильно ориенти-
роваться среди многочисленных научных предложений. В пособии 
изложены основы применения МКЭ к анализу наиболее простого 
тонкостенного объекта – пластины, описан ряд эффективных ко-
нечных элементов для решения задачи изгиба пластин. 
Сложность построения конечных элементов для изгибаемых 
пластин объясняется следующими причинами. В теории изгиба 
пластин изначально заложена проекционная идея сведения трех-
мерной задачи теории упругости к двумерной задаче. Поставлен-
ная цель достигается введением дополнительных гипотез, однако 
ценой снижения размерности становится повышение порядка про-
изводных искомых функций в базовом функционале теории. Для 
МКЭ в форме метода перемещений таким функционалом является 
полная потенциальная энергия системы.  
Повышение порядка производных в функционале энергии вле-
чет за собой более жесткие требования к создаваемым конечным 
элементам. Известно [10, 11], что для обеспечения сходимости ко-
нечно-элементные аппроксимации должны удовлетворять опреде-
ленным критериям. При построении конечных элементов широкое 

распространение получили так называемые достаточные условия 
сходимости (см. гл. 2). Подчеркнем, что эти требования оказыва-
ются строже, чем необходимые. Поэтому существует возможность 
построения некоторого промежуточного класса элементов, кото-
рые хотя и не удовлетворяют достаточным условиям, но тем не 
менее обеспечивают сходимость конечно-элементного решения. 
Элементы, удовлетворяющие достаточным условиям, принято 
называть конформными элементами, а элементы, не удовлетво-
ряющие этим требованиям, – неконформными. 
В теории тонких пластин Кирхгофа удовлетворение достаточ-
ным условиям сходимости МКЭ представляет собой весьма слож-
ную проблему. В этой теории функционал энергии деформаций 
зависит от вторых производных искомой функции прогиба. По-
этому для построения конформных элементов необходимо исполь-
зовать интерполяционные функции С1-непрерывности. С позиций 
гладкости в совместных конечных элементах требуется обеспе-
чить непрерывность функции прогибов и ее первых производных 
(углов поворота нормали) при переходе через границы элементов. 
Для удовлетворения условиям совместности элементов прихо-
дится идти на существенные усложнения, связанные с удержанием в 
узлах сетки дополнительных степеней свободы, и находить ориги-
нальные приемы конструирования элементов либо использовать 
специальные методы для ослабления вышеупомянутых требований. 
Альтернативой элементам, построенным на основе классической 
теории Кирхгофа, являются конечные элементы, созданные с ис-
пользованием сдвиговых теорий пластин. Такие теории изначально 
разрабатывались для расчета толстых пластин, пластин средней 
толщины и многослойных пластин. С позиций конечно-элементного 
анализа основное достоинство сдвиговых теорий пластин состоит в 
том, что в этих теориях за счет введения дополнительных гипотез не 
повышается порядок производных перемещений в функционале 
энергии. Следствием являются не столь жесткие как для теории 
Кирхгофа требования к гладкости интерполяционных функций, которые 
должны удовлетворять условиям лишь С0-непрерывности. 
К наиболее известным сдвиговым теориям следует отнести 
теорию, основанную на гипотезе о линейном распределении перемещений 
по толщине пластины. Нынешнее состояние этой теории 
базируется на трудах таких известных ученых, как С.П. Тимошенко, 
Э. Рейсснер, Р. Миндлин, опубликованных в разное время. За 

рубежом эту теории принято называть теорией Миндлина, мы будем 
придерживаться названия теории Тимошенко – Миндлина. 
Все основные функционалы теории Тимошенко – Миндлина могут 
быть получены из функционалов трехмерной теории упругости, 
содержащих производные перемещений только первого порядка. 
Это обстоятельство позволяет применить для расчета пластин практически 
весь спектр конечно-элементных построений, изначально 
использовавшихся для решения плоских задач теории упругости. 
Вместе с тем следует отметить, что первые попытки применить 
конечные элементы теории Тимошенко – Миндлина к расчету тонких 
пластин привели к неудовлетворительным результатам. Возникающие 
трудности являются следствием асимптотической непоследовательности 
самой теории. Для элементов, построенных на  
базе гипотез Тимошенко – Миндлина, при уменьшении толщины 
пластины решение должно асимптотически стремиться к решению 
Кирхгофа, т. е. в пределе при уменьшении толщины поперечно-
сдвиговая жесткость элементов должна стремиться к бесконечности, 
а энергия поперечных сдвигов – к нулю. К сожалению, этого не 
происходит. Поэтому свойства конечных элементов теории Тимошенко – 
Миндлина по мере уменьшения толщины пластины резко 
ухудшаются, что приводит к плохой обусловленности разрешающих 
уравнений и к неверным результатам. Нежелательный эффект, 
присущий этим элементам, получил в литературе специальное название: 
эффект запирания, или заклинивания (the locking effect). 
Чтобы подправить решение, прибегают к искусственному завышению 
поперечно-сдвиговой жесткости элементов посредством 
использования формул усеченного интегрирования и некоторых 
других приемов, что позволяет распространить область примене-
ния конечных элементов теории Тимошенко – Миндлина на рас-
чет тонких пластин. 
Пособие состоит из четырех глав и приложения. 
В первой главе кратко изложены основные соотношения двух 
теорий изгиба пластин: теории Кирхгофа и теории Тимошенко – 
Миндлина. Основное внимание здесь уделено вариационным фор-
мулировкам задачи. 
Во второй главе описаны общие процедуры конечно-элемент-
ного анализа, ориентированные, главным образом, на применение 
метода перемещений. 
В третьей главе подробно изложено построение ряда наиболее 
известных конечных элементов пластин Кирхгофа. Рассмотрены 

элементы метода перемещений, элементы смешанного типа, а 
также гибридные элементы. 
Четвертая глава посвящена описанию наиболее простых ко-
нечных элементов сдвиговой теории Тимошенко – Миндлина. 
Приложение содержит необходимые сведения о вспомогатель-
ных процедурах МКЭ и тексты вычислительных программ. 
Материал в пособии распределен следующим образом: § 1.1, 
1.2, 4.4 – 4.6, глава 3 и приложения 1, 2, 6–8 написаны А.Е. Белки-
ным; § 1.3, 4.1 – 4.3, глава 2, приложения 3–5 и заключение –  
С.С. Гаврюшиным. 
 

 

 

Глава 1  

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ  
ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИН 

Теория изгиба пластин подробно изложена во многих учебных 
и научных изданиях [1, 2, 9, 19, 20], поэтому ниже приведены 
лишь краткие сведения, необходимые для построения конечных 
элементов. Основное внимание уделено вариационным формули-
ровкам задачи. 
Рассматриваемая теория относится к однородным и неодно-
родным пластинам, обладающим симметрией упругих свойств от-
носительно срединной плоскости. У таких пластин искривления 
срединной плоскости при малых прогибах происходят без дефор-
мации расположенных в ней элементов, т. е. срединная плоскость 
является нейтральной. Точки срединной плоскости получают пе-
ремещения только в направлении нормали к ней. 

Рис. 1.1. Пластина произвольного очертания, нагруженная   
распределенными внешними силами p 
 
Для формулировки уравнений изгиба будем рассматривать 
пластину в декартовой системе координат, расположив оси ,x y  в 
срединной плоскости и направив ось z по нормали к этой плоско-
сти (рис.1.1). 

1.1. Теория Кирхгофа 

Теория тонких пластин построена на основе кинематической и 
статической гипотез Кирхгофа. Согласно кинематической гипоте-
зе, линейные элементы пластины, первоначально нормальные к ее 
срединной плоскости, остаются прямыми и нормальными к де-
формированной срединной поверхности и не меняют длины. Из 
этого следует, что углы поворота 
нормали θ , θ
x
y  равны углам накло-

на касательных к искривленной сре-
динной поверхности (рис. 1.2), кото-
рые определяются как частные про-
изводные нормального перемещения 
( ,
)
w x y  точек срединной плоскости: 

                 θ
, ;
x
x
w
=
 θ
, .
y
y
w
=
       (1.1) 

Здесь и далее в основном тексте ис-
пользуется сокращенное обозначе-
ние производных. Дифференцирова-

ние функций обозначается запятой с последующим указанием ар-
гументов. Например, 

, ;
, .
x
y
w
w
w
w
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
 

Тангенциальные перемещения точек пластины распределены 
по ее толщине по линейному закону 

 
θ ;
x
u
z
= −
     
θ ,
y
v
z
= −
   
(1.2) 

нормальные перемещения не зависят от координаты ,z  т. е. для 
всех точек одной нормали они одинаковы и совпадают с переме-
щением точки срединной плоскости: 

 
( ,
).
w
w x y
=
     
                      (1.3) 

Перемещениям (1.2), (1.3) соответствуют деформации 

   
ε
,
,
; ε
,
,
; γ
,
,
2
,
;

ε
,
0; γ
,
,
0; γ
,
,
0.

x
x
xx
y
y
yy
xy
y
x
xy

z
z
xz
z
x
yz
z
y

u
zw
v
zw
u
v
zw

w
u
w
v
w

=
= −
=
= −
=
+
= −

=
=
=
+
=
=
+
=
(1.4)  

Рис. 1.2. Иллюстрация кинема-
  тической гипотезы Кирхгофа 

Введя вектор (матрицу-столбец) деформаций 

 
 { }
{ε
ε
γ
}
x
y
xy
=
ε
              
           (1.5) 

и вектор кривизн изогнутой срединной поверхности 

  
{ }
{χ
χ
2χ
}
x
y
xy
=
χ
     
                   (1.6) 

с компонентами 

 
χ
,
;
x
xx
w
=
χ
,
;
y
yy
w
=
χ
,
,
xy
xy
w
=
    
         (1.7) 

представим деформационные соотношения (1.4) в виде 

   
{ }
{ }.
z
= −
ε
χ
                
         (1.8) 

Связь напряжений с деформациями устанавливается с привлече-
нием статической гипотезы о малости нормального напряжения σz  
в площадках, параллельных срединной плоскости пластины. Для 
пластины из упругого материала, подчиняющегося закону Гука, 

 
{ }
[ ]{ }
[ ]{ },
z
=
= −
σ
E ε
E χ
            
    (1.9) 

где { }
{σ
σ
τ
}
x
y
xy
=
σ
 – вектор напряжений в слое, отстоящем 

на расстоянии z от срединной плоскости; [ ]
E  – матрица коэффи-

циентов упругости для плоского напряженного состояния. 
В случае изотропного материала 

 
2

1
0
[ ]
1
0
,
1
μ
0
0
(1
μ)/2

E
μ
⎡
⎤

⎢
⎥
=
μ
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦

E
 
      (1.10) 

где E  – модуль Юнга; μ  – коэффициент Пуассона. 
Действующие в пластине напряжения приводятся к ее средин-
ной плоскости, т. е. заменяются статически эквивалентными уси-
лиями и моментами (рис.1.3). 

Рис. 1.3. Напряжения, действующие по граням элемента пласти-
ны (а), и статически эквивалентные им погонные моменты  
                                                  и силы (б) 

Напряжениям { }
{σ
σ
τ
}
x
y
xy
=
σ
 эквивалентны моменты 

{
}
{
},
x
y
xy
M
M
M
=
M
 определяемые по формуле 

 

/ 2

/ 2
{
}
{ } d .

h

h

z
z

−
= − ∫
M
σ
 
                  (1.11) 

С учетом соотношений упругости (1.9) 

 
{
}
[ ]{ },
=
M
D χ
     
                  (1.12)