Дополнительные главы теории матриц

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА 
 
 
 
 
 
 
А. Я. Овсянников 
 
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 
ТЕОРИИ МАТРИЦ 
 
Учебное пособие 
 
Рекомендовано 
методическим советом Уральского федерального университета 
в качестве учебного пособия для студентов вуза, обучающихся 
по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика», 
01.03.03 «Механика и математическое моделирование», 
02.03.01 «Математика и компьютерные науки», 
02.03.02 «Фундаментальная информатика 
и информационные технологии» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Екатеринбург 
Издательство Уральского университета 
2020 

УДК 512.643(075.8) 
         О345 

 
 

Рецензенты: 

кафедра высшей математики и методики обучения математике  
Уральского государственного педагогического университета 
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, 

доцент В. Ю. Бодряков); 

Е. А. Перминов, доктор педагогических наук, кандидат физико-

математических наук (Российский государственный 

профессионально-педагогический университет) 

 

Научный редактор 

доктор физико-математических наук Б. М. Верников 

 
 
 
 
   Овсянников, А. Я. 

О345      Дополнительные главы теории матриц : учеб. пособие /  

А. Я. Овсянников ; науч. ред. Б. М. Верников ; Министер-
ство науки и высшего образования Российской Федерации, 
Уральский федеральный университет. – Екатеринбург : 
Изд-во Урал. ун-та, 2020. – 107 с. – 30 экз. – ISBN 978-5-
7996-2947-2. – Текст : непосредственный. 

ISBN 978-5-7996-2947-2 
Учебное пособие содержит изложение некоторых важных 

разделов теории матриц, которые обычно недостаточно освеща-
ются в стандартных курсах линейной алгебры. 

Для студентов и преподавателей математических специаль-

ностей и направлений. 

УДК 512.643(075.8) 

 
 
 
 
 
 
 
 

ISBN 978-5-7996-2947-2 
© Уральский федеральный университет, 2020 

 

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Определители, связанные с матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§ 1.1. Формула Бине–Коши и ее приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§ 1.2. О решениях матричных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
§ 1.3. Ассоциированная матрица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
§ 1.4. Выражение миноров обратной матрицы через миноры
исходной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§ 1.5. Псевдообратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
Глава 2. Алгоритм Гаусса и его приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.1. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.2. Детерминантное тождество Сильвестра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 2.3. Разложение в произведение треугольных матриц . . . . . . . . . . . . 29
§ 2.4. Блочные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Глава 3. Многочленные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§ 3.1. Элементарные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§ 3.2. Делители миноров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§ 3.3. Элементарные делители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
Глава 4. Подобие матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 4.1. Матричные многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 4.2. Скалярная эквивалентность. Критерий подобия . . . . . . . . . . . . . 59
§ 4.3. Нормальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§ 4.4. Диагонализируемые матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§ 4.5. Матрицы, перестановочные с данной матрицей . . . . . . . . . . . . . . 69
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

Оглавление

Глава 5. Характеристический и минимальный многочлены
матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 5.1. Характеристический многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 5.2. Метод Д. К. Фаддеева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§ 5.3. Минимальный многочлен. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
Глава 6. Прямое произведение матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
§ 6.1. Определение и свойства прямого произведения матриц. . . . . . 84
§ 6.2. Составные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Глава 7. Функции от матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
§ 7.1. Определение функции от матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 7.2. Компоненты матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 7.3. Последовательности и ряды матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

Предисловие

Учебное пособие посвящено изложению некоторых разделов тео-
рии матриц, которые обычно не освещаются в курсах линейной
алгебры для студентов-бакалавров математических, физических и
экономических специальностей. Однако эти разделы весьма инте-
ресны и важны для формирования у студентов полноценного пред-
ставления о линейной алгебре и теории матриц. Пособие включает
информацию о минорах матриц, приложения метода Гаусса, тео-
рию многочленных матриц, критерий подобия матриц, понятия о
прямом произведении матриц и функциях от матриц. Наряду с
теоретическим материалом пособие содержит задачи для самосто-
ятельного решения. Оно может служить основой односеместрового
спецкурса для студентов 3-го или 4-го курса.

Введение

Линейная алгебра представляет собой фундаментальную мате-
матическую дисцилину для математиков, физиков и экономистов.
Одной из основных ветвей линейной алгебры является теория мат-
риц, которой посвящено большое количество монографий и учеб-
ников. Но в курсах линейной алгебры для студентов-бакалавров
многие важные разделы теории матриц не могут быть изложены
ввиду ограниченности объема этих курсов. В данном пособии пред-
ставлены некоторые такие разделы. При его составлении были ис-
пользованы монографии Р. Беллмана, Ф. Р. Гантмахера, П. Ланка-
стера, Р. Хорна и Ч. Джонсона, а также университетские учебники
А. И. Мальцева и И. В. Проскурякова∗.
В
пособии
рассматриваются
матрицы
над
ассоциативно-
коммутативными кольцами. При необходимости кольца заменяют-
ся полями или даже полями действительных или комплексных чи-
сел. Матрицы записываются жирным шрифтом и обозначаются с
помощью круглых скобок.
Определитель квадратной матрицы A обозначается через |A|, а
ее след – через tr(A). Ранг произвольной матрицы A обозначается
через r(A).
Для матрицы A
=
(aij)m×n
через Ai•
обозначается ее
i-я строка, а через A•j – j-й столбец: Ai•
=
(ai1ai2 . . . ain),

∗Беллман Р. Основы теории матриц. М. : Наука, 1969; Гантмахер Ф. Р.
Теория матриц. 4-е изд., доп. М. : Наука, 2010; Ланкастер П. Теория матриц.
М. : Наука, 1978; Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М. : Наука, 1985;
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М. : БИНОМ, 2005.
(Классический университетский учебник); Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный
анализ. М. : Мир, 1989.

Введение
7

A•j = (a1ja2j . . . amj)⊤. Элемент aij матрицы A будем иногда обозначать 
через A[i, j].
Диагональную матрицу порядка n с элементами a1, a2, . . . , an на
главной диагонали будем обозначать через [a1, a2, . . . , an].
Нумерация утверждений (теорем, предложений, лемм и следствий) 
сплошная. Формулы нумеруются в пределах параграфа.
Каждая глава завершается набором примеров вычислительного
характера для самостоятельного решения.

Глава 1

Определители, связанные
с матрицей

§ 1.1. Формула Бине–Коши и ее приложения

Зафиксируем матрицу размеров m × n:

A =

⎛

⎜
⎜
⎝

a11
a12
. . .
a1n
a21
a22
. . .
a2n
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
am1
am2
. . .
amn

⎞

⎟
⎟
⎠
(1)

над ассоциативно-коммутативным кольцом F. Пусть k – натуральное 
число, 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ m, 1 ≤ j1, . . . , jk ≤ n. Для матрицы A из
равенства (1) обозначим через

A
i1
i2
. . .
ik
j1
j2
. . .
jk

=

ai1j1
ai1j2
. . .
ai1jk
ai2j1
ai2j2
. . .
ai2jk
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
ai1jk
ai2jk
. . .
aikjk

определитель порядка k, составленный из элементов матрицы A.
Здесь индексы i1, . . . , ik или j1, . . . , jk не обязательно идут
в порядке возрастания и среди них могут встретиться одина-

§ 1.1. Формула Бине–Коши и ее приложения
9

ковые числа. В частности, при k
>
m или k
>
n всегда

A
i1
i2
. . .
ik
j1
j2
. . .
jk

= 0.

Наблюдение
1. При 1
≤
i1
<
i2
<
. . .
<
ik
≤
m и

1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ n определитель A
i1
i2
. . .
ik
j1
j2
. . .
jk

яв-

ляется минором порядка k матрицы A.

В частности, для квадратной матрицы A порядка n

|A| = A
1
2
. . .
n
1
2
. . .
n

.

Через adA
i1
i2
. . .
ik
j1
j2
. . .
jk

обозначим алгебраическое до-

полнение
в
квадратной
матрице
A
порядка
n
к
минору

A
i1
i2
. . .
ik
j1
j2
. . .
jk

(k < n) . Тогда имеет место формула

adA
i1
i2
. . .
ik
j1
j2
. . .
jk

=

= (−1)
k
t=1(it+jt)A
i′
1
i′
2
. . .
i′
n−k
j′
1
j′
2
. . .
j′
n−k

,
(2)

где 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n вместе с 1 ≤ i′
1 < i′
2 < . . . < i′
n−k ≤ n
и 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ n вместе с 1 ≤ j′
1 < j′
2 < . . . < j′
n−k ≤ n
образуют полную систему индексов {1, 2, . . . , n}.
Напомним, что через F k×n обозначается кольцо матриц разме-
ров k × n над кольцом F. В следующем утверждении доказывается
важная формула Бине–Коши.

Теорема 1. Пусть A ∈ F m×n, B ∈ F n×m и C = A · B. Тогда

|C| =
1≤k1<k2<...<km≤n
A
1
2
. . .
m
k1
k2
. . .
km

B
k1
k2
. . .
km
1
2
. . .
m

.
(3)

Согласно формуле Бине–Коши, при m < n определитель мат-
рицы C равен сумме произведений всевозможных миноров макси-
мального (m-го) порядка матрицы A на соответствующие миноры
того же порядка матрицы B; при m > n в правой части формулы

Глава 1. Определители, связанные с матрицей

Бине–Коши получается нуль. При m = n формула Бине–Коши да-
ет новое доказательство того, что определитель произведения двух
квадратных матриц равен произведению их определителей.
Доказательство. Пусть A = (aij), B = (bij). Запишем по
определению

|C| =

n
t1=1 a1t1bt11
n
t2=1 a1t2bt22
. . .
n
tm=1 a1tmbtmm
n
t1=1 a2t1bt11
n
t2=1 a2t2bt22
. . .
n
tm=1 a2tmbtmm
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
n
t1=1 amt1bt11
n
t2=1 amt2bt22
. . .
n
tm=1 amtmbtmm

.

Раскладываем последний определитель в сумму по каждому
столбцу и из каждого столбца выносим множитель btij:

|C| =

n
t1,t2,...,tm=1
A
1
2
. . .
m
t1
t2
. . .
tm

bt11bt22 . . . btmm.
(4)

Если m > n, то при любых t1, t2, . . . , tm ∈ {1, 2, . . . , n} справед-

ливо A
1
2
. . .
m
t1
t2
. . .
tm

= 0, и формула доказана.

Пусть m ≤ n. Сумма в правой части (4) после отбрасывания
нулевых слагаемых, возникающих, когда ti = tj при i ̸= j, превращается 
в сумму
1≤k1<k2<...<km≤n({t1,t2,...,tm}={k1,t2,...,km} A
1
2
. . .
m
t1
t2
. . .
tm

·

·bt11bt22 . . . btmm).
Пусть
I(t1, t2, . . . , tm)
–
число
инверсий
в
перестановке
(
t1, t2, . . . , tm).
Тогда
при
{t1, t2, . . . , tm}
=
=
{k1, k2, . . . , km} и 1
≤
k1
<
k2
<
. . .
<
km
≤
n

в
силу
свойств
определителей
A
1
2
. . .
m
t1
t2
. . .
tm

=

= (−1)I(t1,t2,...,tm)A
1
2
. . .
m
k1
k2
. . .
km

.

Итак, при фиксированных индексах 1 ≤ k1 < k2 < . . . < km ≤ n
имеем
{t1,t2,...,tm}={k1,t2,...,km}
A
1
2
. . .
m
t1
t2
. . .
tm

bt11bt22 . . . btmm =

§ 1.1. Формула Бине–Коши и ее приложения
11

= A
1
2
. . .
m
k1
k2
. . .
km

·

· {t1,t2,...,tm}={k1,t2,...,km}(−1)I(t1,t2,...,tm)bt11bt22 . . . btmm =

= A
1
2
. . .
m
k1
k2
. . .
km

B
k1
k2
. . .
km
1
2
. . .
m

.

Этим доказательство завершается.
Рассмотрим примеры.
1. Из матричного равенства
a1c1 + a2c2 + . . . + ancn
a1d1 + a2d2 + . . . + andn
b1c1 + b2c2 + . . . + bncn
b1d1 + b2d2 + . . . + bndn

=

=
a1
a2
. . .
an
b1
b2
. . .
bn

·

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

c1
d1
c2
d2
·
·
·
·
cn
dn

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

получается тождество Коши
a1c1 + a2c2 + . . . + ancn
a1d1 + a2d2 + . . . + andn
b1c1 + b2c2 + . . . + bncn
b1d1 + b2d2 + . . . + bndn

=

= 1≤i<k≤n

ai
ak
bi
bk

ci
di
ck
dk

.

2. Так как

⎛

⎜
⎜
⎝

a1c1 + b1d1
a1c2 + b1d2
. . .
a1cn + b1dn
a2c1 + b2d1
a2c2 + b2d2
. . .
a2cn + b2dn
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
anc1 + bnd1
anc2 + bnd2
. . .
ancn + bndn

⎞

⎟
⎟
⎠ =

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

a1
b1
a2
b2
·
·
·
·
an
bn

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
·
c1
c2
. . .
cn
d1
d2
. . .
dn

,

при n > 2 справедливо равенство
a1c1 + b1d1
a1c2 + b1d2
. . .
a1cn + b1dn
a2c1 + b2d1
a2c2 + b2d2
. . .
a2cn + b2dn
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
anc1 + bnd1
anc2 + bnd2
. . .
ancn + bndn

= 0.

Формула Бине–Коши дает возможность выразить миноры произведения 
двух матриц через миноры матриц-сомножителей. Пусть

Глава 1. Определители, связанные с матрицей

C
=
A · B, где A
=
(aij)m×n, B
=
(bjk)n×ℓ. Рассмотрим 
произвольный минор матрицы C: C
i1
i2
. . .
ip
j1
j2
. . .
jp

, где

1 ≤ i1 < i2 < . . . < ip ≤ m, 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jp ≤ ℓ.
Матрица, составленная из элементов этого минора, является
произведением подматрицы матрицы A и подматрицы матрицы B:
⎛

⎝
ai11
ai12
. . .
ai1n
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
aip1
aip2
. . .
aipn

⎞

⎠ ·

⎛

⎜
⎜
⎝

b1j1
· · ·
b1jp
b2j1
· · ·
b2jp
· · ·
· · ·
· · ·
bnj1
· · ·
bnjp

⎞

⎟
⎟
⎠.

Применяя формулу Бине–Коши, получаем

C
i1
i2
. . .
ip
j1
j2
. . .
jp

=
(5)

=
1≤k1<k2<...<km≤n
A
i1
i2
. . .
ip
k1
k2
. . .
kp

×

×B
k1
k2
. . .
kp
j1
j2
. . .
jp

.

При p = 1 получается формула для элемента произведения матриц.


При p > n (в случае, когда m, ℓ > n) C
i1
i2
. . .
ip
j1
j2
. . .
jp

= 0.

§ 1.2. О решениях матричных уравнений

В этом параграфе рассматриваются матрицы над полем. Применяя 
определение ранга матрицы по минорам, с помощью формулы
(5) получаем новое доказательство известного утверждения.

Теорема 2. Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга
каждой из них.

Для матричных уравнений вида A · X = C справедлива следующая


Теорема 3. Пусть матрицы Am×n и Cm×ℓ таковы, что матричное 
уравнение A · X = C имеет решение. Тогда это уравнение