Математическая обработка результатов инженерного эксперимента

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации
Уральский федеральный университет имени
первого Президента России Б. Н. Ельцина

В. Б. Пономарев
А. Б. Лошкарев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ 
ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся
по направлениям подготовки
08.03.01, 08.04.01 — Строительство,
18.03.01 — Химическая технология

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

УДК 666.965:543.08(075.8)
ББК 35.41-01я73
          П56
Рецензенты:
кафедра горной механики Уральского государственного горного универ-
ситета (д-р техн. наук проф. кафедры В. Я. Потапов);
директор ООО Предприятие «Техника метрологии для энергетики, Екате-
ринбург» Ю. И. Сычев

 
Пономарев, В. Б.
П56    Математическая обработка результатов инженерного эксперимента : 
учебное пособие / В. Б. Пономарев, А. Б. Лошкарев ; Мин-во науки и выс-
шего образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 104 с.

ISBN 978-5-7996-2784-3

Пособие знакомит студентов бакалавриата и магистратуры с проведением ин-
женерных экспериментов, моделированием технологических процессов и оборудо-
вания. В работе приводятся математические основы обработки результатов экспе-
риментов, методы учета инструментальных и случайных погрешностей измерений. 
Теоретические выкладки закрепляются практическими методиками и примерами.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Математическое моделирование 
технологических процессов» и «Математическое моделирование».

Библиогр.: 21 назв. Рис. 29. Табл. 10.
УДК 666.965:543.08(075.8)
ББК 35.41-01я73

ISBN 978-5-7996-2784-3 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2019

Оглавление

ГлаВа 1. Теоретические основы математической 
                    обработки результатов измерений ................................5
1.1. Ошибки при измерениях ......................................................6

1.1.1. Виды ошибок ...............................................................6
1.1.2. Случайные ошибки .....................................................8
1.1.3. Свойства случайных погрешностей ............................8
1.1.4. Среднеарифметическое значение измеряемой 
           величины ....................................................................10
1.1.5. Вероятнейшие ошибки ..............................................11
1.2. Оценка точности измерений ..............................................12

1.2.1. Критерии точности измерений .................................12
1.2.2. Сводная таблица критериев точности ......................20

1.3. Правила округления чисел ..................................................22
1.4. Вычисление ошибок функции измеренных величин ........25

1.4.1. Операции сложения и вычитания 
           для приближенных чисел ..........................................25
1.4.2. Перемножение и возведение в степень 
           приближенных чисел .................................................26
1.4.3. Вывод общей формулы для предельной 
           относительной ошибки функции .............................28
1.4.4. Средняя квадратичная ошибка функции .................30
1.4.5. Погрешности средств измерений .............................32

1.5. Обработка результатов измерений .....................................34
Регрессионный анализ ........................................................34
1.6. Инженерный эксперимент .................................................46
1.7. Численные методы решения инженерных задач ...............51

1.7.1. Вычислительные алгоритмы .....................................51
1.7.2. Нахождение корня непрерывной функции ..............53
1.7.3. Методы Рунге — Кутты .............................................56

1.8. Контрольные вопросы ........................................................59

Оглавление

ГлаВа 2. Методы решения инженерных задач ..........................60
2.1. Методика определения предельной относительной 
        ошибки функции на примере математического 
        маятника ..............................................................................60

2.1.1. Выполнение измерений ............................................62
2.1.2. Обработка результатов измерений ............................63
2.1.3. Определение величины ускорения свободного 
            падения......................................................................69

2.2. Методика определения погрешностей вычисления 
        коэффициентов уравнения регрессии для функции 
        фракционного разделения сыпучих материалов ...............70

2.2.1. Основы теории фракционирования сыпучих 
           материалов .................................................................70
2.2.2. Методика проведения эксперимента .......................72
2.2.3. Регрессионный анализ по методу наименьших 
           квадратов ....................................................................77

2.3. Применение метода наименьших квадратов 
        для аналитического описания дисперсного состава 
        измельченных материалов ..................................................80

2.3.1. Основы теории ...........................................................80
2.3.2. Методика расчета ......................................................82

2.4. Имитационное моделирование траектории падения 
        шарообразных частиц с наклонной поверхности ..............88

2.4.1. Основы теории ...........................................................88
2.4.2. Выполнение имитационного эксперимента ............94

2.5. Контрольные вопросы ........................................................98

Библиографический список.........................................................99

ГЛАВА 1.  
Теоретические основы  
математической обработки  
результатов измерений

Н

аучные исследования относятся к сфере человеческой деятельности, 
направленной на выработку и систематизацию 
достоверных знаний о действительности [1].
Цель научного исследования — выявление новых закономерностей 
изучаемого процесса, получение дополнительных знаний о действительности.

Теория эксперимента — наука, занимающаяся вопросами правильной 
организации экспериментальных исследований, которая включает 
три основных направления:

1. Моделирование и подобие — определяет, как должен проводиться 
эксперимент, какие величины, характеризующие исследуемый объект 
или процесс, должны измеряться при экспериментальных исследованиях, 
и как обрабатывать результаты исследований, чтобы полученные 
закономерности были справедливы как для данного объекта 
(процесса), так и для группы ему подобных.

2. Планирование эксперимента — совокупность методов и процедур, 
применение которых при организации и проведении эксперимента 
позволяет получить искомые зависимости с минимальными времен-
ными и материальными затратами.

3. Статистическая обработка экспериментальных данных — со-
вокупность методик, позволяющих получить достоверные результа-
ты на основе данных, содержащих погрешности.

Глава 1. Теоретические основы математической обработки результатов измерений   

1.1. Ошибки при измерениях

Любые научные исследования включают в себя физические изме-
рения, в результате которых получаются числовые значения физиче-
ских величин. От правильности математической обработки этих ре-
зультатов зависят выводы и получаемые аналитические зависимости. 
Различают прямые и косвенные измерения.
При прямом сравнении измеряемой величины со своей единицей 
меры измерения называют непосредственными (прямыми). Напри-
мер, чтобы узнать длину поверхности, ее измеряют рулеткой, диаметр 
отверстия — штангенциркулем и т. д.
Косвенные измерения производятся не над физическим объектом, 
а над другими физическими величинами, с которыми измеряемая ве-
личина связана определенными математическими формулами. Напри-
мер, истинную плотность твердых сыпучих частиц измеряют делени-
ем массы частиц на объем вытесненной этими частицами жидкости. 
При этом как масса, так и объем жидкости определяются с определен-
ными погрешностями, величина которых зависит от чувствительно-
сти (точности) приборов.

1.1.1. Виды ошибок

При непосредственных измерениях получаются приближенные зна-
чения физических величин, которые отклоняются от истинных вели-
чин. Такие отклонения результатов измерений называют погрешно-
стями измерений, обусловленных различными причинами.
Различают три основных типа ошибок:
1) грубые;
2) систематические;
3) случайные.
Грубые ошибки (промахи) значительно превышают ожидаемую по-
грешность и появляются вследствие неправильных записей результатов 
отсчетов по шкале измерительного прибора, нарушения технологии из-
мерений и т. п. Устраняются такие погрешности повторными замерами.
Систематическими ошибками называются такие, когда при последо-
вательных параллельных замерах среднее значение измеряемой вели-

1.1. Ошибки при измерениях

чины отклоняется от ожидаемого на некоторую постоянную величину. 
Как правило, такие погрешности связаны с тарировкой измеритель-
ных инструментов и называются инструментальными. Бывают систе-
матические ошибки, обусловленные другими причинами, например, 
температурные расширения металлических конструкций и др.
Кумулятивная систематическая погрешность в рамках одного экс-
перимента будет либо увеличивать, либо уменьшать правильный ре-
зультат.
Выделяют четыре группы систематических ошибок.
1. Ошибки известной природы и их величины могут быть определе-
ны. Для устранения этих ошибок вводятся соответствующе поправки. 
Например, при измерениях длины латунной детали стальной линейкой 
возникает погрешность изменения длины детали и линейки при из-
менении температуры окружающей среды. Деталь длиной 100 мм уве-
личится в размере на 0,047 мм при повышении температуры на 25 °C, 
а стальная линейка той же длины — на 0,027 мм. Такая поправка воз-
можна в связи с применением закона теплового расширения металлов.

2. Ошибки известной природы, но неизвестной величины. Это, на-
пример, погрешность измерительных приборов, определяемая клас-
сом точности.

3. Ошибки неизвестной природы. Так, вычисляя плотность тела, 
зная его массу и объем, при наличии внутренних пустот появляется 
грубая погрешность, устранить которую можно, лишь измеряя требу-
емую характеристику тела другим способом.

4. Ошибки, связанные со свойствами измеряемого объекта. Так, из-
мерение диаметра округлой частицы может привести к ошибке вви-
ду овальности ее поверхности. Уменьшение погрешности возможно 
при измерениях размера частицы при различных положениях штан-
генциркуля относительно ее поверхности.
Для исключения систематических погрешностей необходимо по-
вторить эксперимент другим методом при других условиях. Если по-
лученные результаты совпадают, имеется некоторая гарантия их пра-
вильности.
Даже в случае учета всех систематических и инструментальных оши-
бок при измерениях могут оказаться случайные погрешности, обуслов-
ленные случайными факторами, такими как колебания напряжения 
или температуры, движение воздуха и др. При этом, если случайная 
погрешность меньше систематической, необходимо устранить систе-

Глава 1. Теоретические основы математической обработки результатов измерений   

матическую ошибку. В противном случае, заняться устранением слу-
чайной погрешности.
Случайные ошибки обусловлены множеством обстоятельств, поэто-
му при многократных измерениях одной и той же физической вели-
чины каждый раз получается новое значение.

1.1.2. Случайные ошибки

Если обозначить X истинное значение измеряемой величины, при 
одном измерении получим не число X, а некоторое число a, обычно 
близкое к X. Разность Х – а называют истинной абсолютной ошибкой 
одного измерения x.
 
х = Х – а. 
 (1.1)

Из равенства (1.1) видно, что если Х > а, то случайная ошибка име-
ет знак плюс; если Х < а — знак минус, при Х = а равна нулю.
Если повторить измерения n раз, то получим серию (ряд) чисел 
a1, a2,.., an, которые называются результатами измерений.
При этом измерения называют равноточными, если они выполнены 
в одинаковых условиях, одним экспериментатором, одними и теми же 
приборами.
Совокупность чисел a1, a2, …, an называют рядом равноточных из-
мерений. В данной работе речь пойдет только об ошибках равноточ-
ных измерений.
Если серия случайных ошибок состоит из большого их количества, 
то легко увидеть закон, которому они подчиняются. Такие законы на-
зывают законами больших чисел или статистическими законами.

1.1.3. Свойства случайных погрешностей

Из анализа большого количества измерений были выявлены свой-
ства для случайных ошибок [2]:
· количество ошибок со знаком плюс почти равно числу ошибок 
со знаком минус, причем это правило выполняется тем лучше, 
чем больше произведено измерений;
· крупные ошибки встречаются реже мелких;

1.1. Ошибки при измерениях

· величина наиболее крупных ошибок не превышает некоторой 
определенной величины, зависящей от точности измерений. 
Максимальная ошибка в данном ряду равноточных измерений 
называется предельной ошибкой;
· для большой выборки измерений справедливо приближенное ра-
венство

 
x
x
x
n

n
1
2
0
+
+
+
»

. 
 (1.2)

Свойства случайных ошибок показывают, что частота P появления 
случайной погрешности величиной x будет тем меньше, чем больше 
сама эта ошибка. Иначе, частота или вероятность появления случайных 
ошибок есть убывающая функция их величины. Эта функция имеет вид

 
P
c e
xc
=
-

p

2. 
 (1.3)

Здесь с — некоторая константа, называемая мерой точности измерений.
Формулу (1.3) называют формулой случайных ошибок, или кривой 
Гаусса. Это закон распределения случайных ошибок, являющийся ос-
новной формулой в теории погрешностей [2].
Если по уравнению (1.3) построить график в осях x и P, то для дан-
ного значения константы c получится кривая вероятностей (рис. 1.1).

P

c

c1

+x
–x
0

Рис. 1.1. Кривая Гаусса с1 > с

Глава 1. Теоретические основы математической обработки результатов измерений   

Из рисунка видно, что кривая ошибок для с1 получается более уз-
кая, чем для c. Такой ряд будет более точный.

1.1.4. Среднеарифметическое значение измеряемой величины

Проведение измерений направлено на поиск неизвестного истин-
ного значения X физической величины.
Допустим, что сделано n равноточных измерений, при этом одни 
измерения больше X, другие меньше X, может быть имеются даже рав-
ные X, но какие неизвестно. Если из всех этих чисел составить функ-
цию f
a
a
an
1
1
2
,
,
 
 ..., 
(
), то величина ее будет равна определенному числу b1:

 
b
f
a
a
an
1
1
1
2
=
(
)
,
,
 
 ..., 
,  
 (1.4)

которая будет отличаться от X на некоторую величину Db1:

 
Db
X
b
1
1
=
- , 
 (1.5)

Если составим другую функцию f2, то она будет равняться другому 
числу b2, отличающемуся от X на величину Db2.
Таким образом, можно найти такое число a в виде функции от чи-
сел a1, a2, …, an, которое отличается от X меньше, чем любое из выше-
упомянутых чисел b1, b2, …, bn.
Это число a называют наиболее вероятным значением измеряемой 
величины и принимают за значение искомого X.
На основе формулы Гаусса и с помощью теории вероятности дока-
зывается, что функция a = f (a1, a2, …, an) имеет вид

 
a
a
a
a
n

n
=
+
+
1
2
...+
, 
 (1.6)

т. е. наиболее вероятностное значение измеряемой величины равно 
среднеарифметическому из результатов измерений.
Отклонение среднеарифметического a от истинного значения X 
называют истинной абсолютной ошибкой или истинной абсолютной 
погрешностью
 
X
a
x
-
= ± . 
 (1.7)

Одна из задач математической обработки результатов измерений 
состоит в том, чтобы определить те границы, в которых лежит истин-
ная абсолютная ошибка x среднего арифметического.

1.1. Ошибки при измерениях

Для оценки качества измерения часто определяют относительную 
погрешность e.

 
e = ± x
a или e = ± x
a100 %.  
 (1.8)

Если относительная погрешность при измерении составляет более 
10 %, можно говорить только об оценке измеряемой величины. Для 
инженерных расчетов рекомендуется проводить измерения с относи-
тельной погрешностью менее 10 %.

1.1.5. Вероятнейшие ошибки

Пусть имеется ряд равноточных измерений a1, a2, …, an. Подсчи-
таем его арифметическую середину a и составим разности (а – a1),  
(а – a2), ..., (а – an). Каждую из этих разностей называют отклонени-
ем отдельного измерения от арифметической середины и обознача-
ют буквой v:

 
v
a
a
v
a
a
v
a
a
n
n
1
1
2
2
=
-
(
)
=
-
=
-
;
(
); ...;
(
)
 
 
. 
 (1.9)

Вероятнейшие ошибки обладают интересным свойством. Сложим 
равенства почленно:

 
v
v
v
na
a
a
a
n
n
1
2
1
2
+
+
+
=
-
+
+
+
...
(
)

. 
 (1.10)

На основании равенства (1.6) видно, что правая часть равна нулю 
при любом числе измерений n, таким образом,

 
v
v
vn
1
2
0
+
+
+
=

. 
 (1.11)

Из (1.11) видно, что алгебраическое сложение вероятнейших оши-
бок для любого количества измерений дает нулевой результат.
Случайные (истинные) ошибки не обладают этим свойством!

Глава 1. Теоретические основы математической обработки результатов измерений   

1.2. Оценка точности измерений

1.2.1. Критерии точности измерений

Вероятнейшие ошибки v
v
vn
1
2
,
,
,
 
 
 

 составляют основу математиче-
ской обработки результатов измерений, только по ним определяют 
предельную абсолютную ошибку Da среднеарифметического a для 
оценки точности итогового результата измерений.
В общем случае, точность измерений оценивают по ряду критериев 
точности. Рассмотрим их.

Средняя ошибка отдельного измерения
Если арифметическую сумму всех случайных ошибок x
x
xn
1
2
+
+
+

 
разделим на число всех этих ошибок n, то получим число h, которое 
называют средней случайной ошибкой, или средним отклонением отдельного 
измерения от истинного значения измеряемой величины

 
h
x
x
x
n

n
=
+
+
+
1
2

. 
 (1.12)

Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения
Если сумму квадратов всех случайных ошибок разделить на общее 
количество ошибок, получим средний квадрат случайной ошибки

 
S
x
x
x
n

n
n
2
1
2

2
2
2

=
+
+
+

. 
 (1.13)

Корень квадратный из этой величины называют средней квадратич‑
ной ошибкой отдельного измерения

 
S
x
x
x

n

n
n
= ±
+
+
+
1
2
2
2
2

. 
 (1.14)

Средняя квадратичная ошибка лучше показывает точность, чем 
средняя ошибка, так как крупные ошибки особенно резко сказываются 
при возведении в квадрат.
Поскольку истинное значение X измеряемой величины неизвестно, 
то остаются неизвестными истинные ошибки xi и, следовательно, 
формулой (1.14) пользоваться нельзя. В математической теории слу-