Механика сплошных сред

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Учебник
УрФУ

В. Г. Черняк, П. Е. Суетин

МЕХАНИКА 
СПЛОШНЫХ СРЕД

Учебник

Рекомендовано методическим советом 

Уральского федерального университета в качестве учебника 

для студентов вуза, обучающ ихся по направлению подготовки 

03.03.02 «Физика»

Екатеринбург

Издательство Уральского университета 

2021

УДК

ББК

531(075.8)

22.3я73-1

Ч49

Серия «Учебник УрФУ» основана в 2017 году

Редакционная коллегия серии: 
кандидат технических наук Е. В. Вострецова, 
кандидат химических наук Е. С. Буянова,
И. Ю. Плотникова (ответственный секретарь серии)

Под редакцией В. Г. Черняка 

Рецензенты:
В. Е. Сидоров, доктор физико-математических наук, профессор, 
профессор кафедры физики, технологии и методики обучения физике и технологии 
(Уральский государственный педагогический университет);
Г. Ш. Болтачев, доктор физико-математических наук 
(Институт электрофизики УрО РАН)

Черняк, В. Г.

Ч49 
Механика сплош ных сред : учебник / В. Г. Черняк, П. Е. Суетин ; под ред. 

В. Г. Черняка ; М инистерство науки и высшего образования Российской Федера-

ции, Уральский федеральный университет. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 

2021. — 600 с. : ил. — (Учебник УрФУ). — Библиогр. в конце глав. — 40 экз. — ISBN 

978-5-7996-3226-7. — Текст : непосредственный.

ISBN 978-5-7996-3226-7

В учебнике представлены физико-математические модели и методы механики сплош-
ных сред, рассмотрены элементы теории упругости. Подробно изложена гидродина-
мика идеальной и вязкой жидкости, включая такие разделы, как пограничный слой, 
ламинарное и турбулентное течение, а также магнитная гидродинамика. Освещены 
вопросы газодинамики, в том числе теория ударных волн. В конце глав даны вопросы 
для самоконтроля и примеры решения задач, которые помогут лучше усвоить теоре-
тический материал.
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Физика», 
а также по некоторым техническим специальностям.

УДК 531(075.8) 

ББК 22.3я73-1

ISBN 978-5-7996-3226-7
© Уральский федеральный университет, 2021

Предисловие

Учебник написан на основе курса лекций, прочитанных авторами в раз-
ные годы студентам Уральского политехнического института и Ураль-
ского государственного университета (ныне УрФУ). Его основная цель 
состоит в том, чтобы дать студентам общее представление о моделях и 
методах описания движений сплошной среды.
Дисциплина «Механика сплошных сред» является обязательной при 
подготовке физиков. Первая часть курса, в которой изучаются модели 
сплошной среды с элементами теории упругости, входит в модуль «Тео-
ретическая физика» базовой части учебного плана бакалавриата по на-
правлению подготовки «Физика» и изучается в пятом семестре. Вторая 
часть, «Гидродинамика», входит в вариативную часть учебного плана 
и изучается в шестом семестре.
Учебник включает разделы, связанные с кинематикой сплошной сре-
ды, физико-математическими моделями сплошной среды, элементами 
теории упругости (термодинамика деформирования, закон Гука, растя-
жение-сжатие стержня, изгиб и кручение стержня), гидродинамикой 
идеальной и вязкой жидкости, газодинамикой (особенности сверхзву-
кового движения газа, ударные волны) и магнитной гидродинамикой. 
Материал отобран так, чтобы заложить основу для изучения таких дис-
циплин, как физика твердого тела, теплофизика, термодинамика необ-
ратимых процессов, кинетическая теория газов, физика аэрозолей и др.
За последние годы несколько раз поменялись образовательные стан-
дарты и, соответственно, учебные планы. Появились новые направле-
ния подготовки. Поэтому по содержанию учебник отличается от издан-
ного ранее учебного пособия В. Г. Черняка и П. Е. Суетина «Механи-
ка сплошных сред» (М., 2006). Добавлена вводная глава с элементами 
векторного и тензорного анализа, который составляет основу матема-
тического аппарата механики сплошных сред. Включена также новая 
глава «Гидродинамика разреженного газа». Это продиктовано необхо-
димостью расширить представления студентов о возможностях исполь-
зования методов гидродинамики для описания закономерностей движе-
ния тел в газах при пониженных давлениях, в частности, летательных 
аппаратов на больших высотах и мелких частиц в нижних слоях ат-
мосферы. Кроме того, глава «Элементы теории упругости» дополнена 
параграфами «Кручение стержня», «Изгиб стержня» и соответствую-

3

тттими задачами. Внесены изменения в методику изложения материала.
Учебник обладает выверенной логической структурой, имеет много 
наглядных и понятных иллюстраций. Приведено большое количество 
задач с подробными решениями, что способствует лучшему усвоению 
теоретического материала и приобретению навыков решения приклад-
ных задач механики сплошных сред.
Учебник предназначен для студентов, обучающихся на физических 
и математико-механических направлениях подготовки, а также на неко-
торых инженерных специальностях. Часть материала доступна студен-
там младших курсов и может быть использована при изучении соот-
ветствующих разделов общей физики. Книга будет полезна также ма-
гистрантам и аспирантам, желающим освоить или освежить в памяти 
модели и методы механики сплошных сред.

В. Г. Черняк

Глава 1

О скалярах, векторах и 
тензорах

Материал этой главы не претендует на полноту и математическую стро-
гость. Ее цель — дать (или напомнить) читателю минимальные сведения 
о скалярах, векторах и тензорах, необходимые для успешного усвоения 
курса.

1.1. 
Скаляры

Величины, которые полностью характеризуются одним числом (поло-
жительным или отрицательным), называются скалярами. В физике ска-
лярами являются масса тела, расстояние между телами, время, давле-
ние, температура, электрический заряд и т. д.
Различают два типа скалярных величин: истинные скаляры и псев-
доскаляры.
Истинные скаляры определяются числом, не зависящим от выбора 
системы координат. Другими словами, истинные скаляры инвариант-
ны по отношению к преобразованиям координат. Примерами истинных 
скаляров могут служить масса, длина, давление.
Псевдоскаляры, как и истинные скаляры, определяются одним чис-
лом, модуль которого не зависит от выбора системы координат. Одна-
ко знак этого числа зависит от направления одной из координатных 
осей. Таким образом, псевдоскаляр — величина, не изменяющаяся при 
переносе и повороте координатных осей, но изменяющая свой знак при

5

замене направления одной оси на противоположное. Простейшими при-
мерами псевдоскаляров являются проекции векторов перемещения или 
скорости движения материальной точки на координатную ось. При из-
менении направления оси на противоположное изменяется и знак про-
екции вектора. Момент инерции также является псевдоскаляром.
Учитывая, что математические действия над истинными скалярами 
и псевдоскалярами подчиняются одним и тем же законам, мы в даль-
нейшем для простоты будем использовать один термин — «скаляр».

1.2. 
Векторы

Вектором называется величина, которая характеризуется не только чис-
ловым значением, но и направлением в пространстве. Примеры из фи-
зики хорошо известны: сила, скорость, перемещение, напряженность 
электрического поля и т. д.
Векторы считаются одинаковыми, если имеют одинаковую длину и 
одинаково направлены.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллель-
ных или совпадающих прямых.
Три вектора называются компланарными, если их можно уложить 
на одну плоскость.
Введем декартовую систему координат, оси которой обозначим x 1,x 2,x3. 
Пусть e i, е2, е3 — единичные векторы в направлениях координатных 
осей. Их называют базисными векторами (рис. 1.1).

Рис. 1.1

6

Произвольный вектор а, исходящий из начала координат, называет-
ся радиус-вектором.
Три вектора а1е1, а2е2, а3е3 называют составляющими вектора а, а 
числа а1,а2,а3 — проекциями вектора а на координатные оси x1,x2,x 3 
соответственно.
Вектор а может быть представлен в виде суммы составляющих век-
торов или, как говорят, разложен на три составляющих вектора:

а =  aiei + а2е  +  а3е3.

Длина вектора а определяется по теореме Пифагора суммой квад-
ратов его проекций:

а — 'у а2 + а2 + а3.

Напомним действия с векторами.

Сложение векторов

Чтобы найти сумму двух векторов c — а +  b, используют одно из 
двух правил:
— правило параллелограмма: векторы а и b перемещают в простран-
стве параллельно самим себе, пока их начала не окажутся в одной точ-
ке, сумма этих векторов определяется как диагональ параллелограмма, 
построенного на векторах а и b (рис. 1.2);
— правило треугольника: начало второго слагаемого совмещается с 
концом первого слагаемого, вектор c, проведенный из начала первого 
слагаемого к концу второго слагаемого, будет суммой векторов а и b 
(рис. 1.3).
Правило многоугольника используется при сложении более двух век-
торов, например, при определении результирующей нескольких сил, 
приложенных к телу. Начало каждого последующего слагаемого сов-
мещается с концом предыдущего слагаемого. Результирующий вектор 
начинается в начале первого слагаемого и оканчивается в конце последнего 
слагаемого. Сумма трех векторов d — а + b + c показана на рис. 1.4.

7

Рис. 1.2
Рис. 1.3

Рис. 1.4

Вычитание векторов

Из вектора а вычесть вектор b — то же самое, что вектор а сложить 
с вектором — b:
c =  а — b = а + (—b).

Операция вычитания векторов с использованием правила параллелограмма 
сложения векторов а и — b представлена на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Таким образом, разность векторов а и b — это вектор с, начало которого 
совмещено с концом вычитаемого вектора b, а конец — с концом 
уменьшаемого вектора а.

8

Умножение вектора на скаляр

Результатом умножения вектора а на скаляр к будет вектор b = ka, 
длина которого в к раз отличается от длины вектора а, а направление 
такое же, как у вектора а, если к > 0, и противоположное, если к < 0.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, 
равное произведению длин этих векторов на косинус угла а между ними:
(
a, b) = | a | ■ | b | ■ cos а.

Например, работа силы F на перемещении S материальной точки 
определяется скалярным произведением (F, S).
Если угол между векторами острый, то (a, b) > 0; если тупой, то 
(a, b) < 0; если прямой, то (a, b) =  0.
Если известны проекции векторов на координатные оси, то скаляр-
ное произведение этих векторов можно вычислить как сумму произве-
дений их соответствующих проекций на координатные оси, т. е.

(a, b) = aibi + а2^2 + a3b3.

Заметим, что в литературе используются разные обозначения ска-
лярного произведения векторов. Мы будем использовать принятое вы-
ше обозначение — векторы заключаются в круглые скобки и разделя-
ются запятой.

Векторное произведение векторов

В отличие от скалярного произведения результатом векторного про-
изведения векторов является вектор. Векторное произведение векторов 
a и b будем обозначать так: [ a, b ], т. е. векторы-сомножители заклю-
чаются в квадратные скобки и разделяются запятой.
Векторным произведением векторов a и b называется вектор c = 
[ a, b ], который: имеет длину, равную площади параллелограмма, по-
строенного на векторах-сомножителях, т. е. | c | =  | a | ■ | b | ■ sin а; лежит 
на прямой, перпендикулярной площади параллелограмма (рис. 1.6).
Направление вектора c определяется по любому из следующих трех 
правил.

9