Линейная алгебра

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

Е. А. Голикова

Линейная аЛгебра

Уч е б н о е  п о со бие 

Рекомендовано методическим советом  
Уральского федерального университета для студентов вуза,  
обучающихся по направлениям подготовки  
09.03.01 — Информатика и вычислительная техника, 
09.03.03 — Прикладная информатика, 
09.03.04 — Программная инженерия, 
11.03.01 — Радиотехника, 11.03.02 — Информационные  
технологии и системы связи, 
11.03.03 — Конструирование и технология электронных средств, 
27.03.04 — Управление в технологических системах

Екатеринбург 
Издательство Уральского университета
2021 

УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.143я73 
          Г60 

Ре ц е н з е н ты :
завотделом алгебры и топологии ИММ УрО РАН канд. физ.-мат. 
наук, доц. И. Н. Белоусов;
канд. пед. наук, доц. кафедры высшей математики О. В. Куликова 
(Уральский государственный университет путей сообщения)

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р  — канд. физ.-мат. наук, доц. Н. В. Чуксина

Г60
Голикова, Е. А.
Линейная алгебра : учебное пособие / Е. А. Голикова ; М-во  
науки и высш. обр. РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 
2021. — 104 с.
ISBN 978-5-7996-3193-2

Учебное пособие подготовлено на основе лекций и практических занятий по ча-
сти «Линейная алгебра» дисциплины «Математика» для студентов всех специаль-
ностей Института радиотехники и информационных технологий. В каждом разде-
ле пособия приведены формулировки необходимых определений и теорем, а также 
разобраны основные типы задач. Каждая глава заканчивается подборкой вопросов 
для самоконтроля.
Библиогр.: 11 назв. Рис. 6.
УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.143я73

ISBN 978-5-7996-3193-2
© Уральский федеральный  
     университет, 2021

Список обозначений
𝑥 ∈ 𝐴 – 𝑥 является элементом множества 𝐴
𝑥 /∈ 𝐴 – 𝑥 не является элементом множества 𝐴
𝐴 ⊆ 𝐵 – 𝐴 подмножество множества 𝐵
𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 & 𝑥 /∈ 𝐵} – разность множеств 𝐴 и 𝐵
𝐴 ( или ¬𝐴)– высказывание «не 𝐴»
𝐴 ∧ 𝐵 (или 𝐴&𝐵) – высказывание «𝐴 и 𝐵»
𝐴 ∨ 𝐵 – высказывание «𝐴 или 𝐵»
𝐴 ⇒ 𝐵 – высказывание «если 𝐴, то 𝐵»
𝐴 ⇔ 𝐵 – высказывание «𝐴 равносильно 𝐵»
∀𝐴 – высказывание «для любого 𝐴»
∃𝐴 – высказывание «существует 𝐴»
Rg(𝐴) – ранг матрицы 𝐴
𝑋 – операция покомпонентного комплексного сопряжения матрицы 𝑋

diag(𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑛) =

⎛

⎜
⎜
⎝

𝜆1
0
. . .
0
0
𝜆2 . . .
0
. . .
0
0
. . . 𝜆𝑛

⎞

⎟
⎟
⎠ – диагональная матрица

3

ВВЕДЕНИЕ

В университетском курсе алгебры изучаются различные алгебраические
структуры (точнее, алгебры). Как правило, это аксиоматически определяемые
объекты, т. е. множества с определенными свойствами. При этом природа эле-
ментов множества-носителя не имеет значения. Например, мы можем рассмот-
реть в качестве основного множества (носителя) — действительные числа вме-
сте с операцией сложения этих чисел. Но можем рассмотреть в качестве но-
сителя — множество действительных функций, определенных на отрезке [0, 1],
вместе с операцией их сложения. Понятно, что свойства операции сложения как
чисел, так и функций одинаковы. Это перестановочность (коммутативность),
сочетательный закон (ассоциативность), наличие специального элемента, игра-
ющего роль нуля (число 0 или тождественно нулевая функция) и т. д. Таким об-
разом, можно заметить, что природа элементов носителя не влияет на свойства
операции сложения в приведенном примере. С точки зрения алгебры, сложение
на множестве действительных чисел порождает ту же алгебраическую струк-
туру, что и сложение на множестве действительных функций (это — группа).
Алгебра абстрактно изучает аксиоматические структуры, а точнее, свойства
операций на произвольных множествах.
Во введении мы более четко определим упомянутые понятия, такие как опе-
рация, свойства операций, алгебра. Будут приведены аксиоматические опреде-
ления некоторых алгебраических структур (полугруппа, группа, поле). Основ-
ные разделы посвящены теории линейных пространств (частный, но важный
пример алгебраической структуры). Выводы этой теории широко применяются
в самых разных разделах математики: теория дифференциальных уравнений,
теория рядов, уравнения математической физики и т. д.
Определение
В1.
Алгебраической
операцией
𝑛-местной
или
𝑛-арной на непустом множестве 𝐴 называется функция 𝑛 переменных,
определенная на 𝐴.
Пример. 1. Бинарная операция сложения целых чисел отображает Z в Z,
она паре целых чисел 𝑎, 𝑏 ставит в соответствие целое число 𝑎 + 𝑏.
2. Унарная операция обращения целых чисел отображает Z в Z, она одному

4

целому числу 𝑎 ставит в соответствие целое число −𝑎.
3. Особую роль играют 0-арные операции, то есть константы. Например,
числа 1 и 0 играют особую роль в теории целых чисел, их можно рассматривать
как значения соответствующих 0-арных операций.
Определение В2. Алгеброй (универсальной алгеброй) называется
упорядоченная пара 𝒜 = ⟨𝐴, ℱ⟩, где 𝐴 – некоторое непустое множество, на-
зываемое носителем алгебры 𝒜, и ℱ – множество операций, определенных
на 𝐴, называемое сигнатурой алгебры 𝒜.
Ниже в табличной форме собраны примеры алгебр с соответствующими на-
борами операций. Во втором столбце черта «
⃒⃒» отделяет операции. Например,
«+
⃒⃒ 0» означает, что на данном носителе определена бинарная операция + и
0-арная операция 0. Далее табличную форму постепенно заполним.

Носитель
Сигнатура (операции) Свойства операций Тип алгебры

N
+

N
·
⃒⃒ 1

Z
+
⃒⃒ 0

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ ·
⃒⃒ 1

R
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ ·
⃒⃒ 1

C
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ ·
⃒⃒ 1

𝑀2×2
+
⃒⃒ 02×2
⃒⃒ ·
⃒⃒ 𝐸2×2

Пусть * и ∘ — бинарные операции из множества ℱ алгебры
𝒜 = ⟨𝐴, ℱ⟩ и 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴. Отметим некоторые часто встречающиеся
свойства бинарных операций.
1. Ассоциативность * : ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 (𝑎 * 𝑏) * 𝑐 = 𝑎 * (𝑏 * 𝑐).
2. Коммутативность * : ∀𝑎, 𝑏, ∈ 𝐴 𝑎 * 𝑏 = 𝑏 * 𝑎.
3. Дистрибутивность ∘ относительно * слева:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 ∘ (𝑏 * 𝑐) = (𝑎 ∘ 𝑏) * (𝑎 ∘ 𝑐).
4. Дистрибутивность ∘ относительно * справа:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 (𝑎 * 𝑏) ∘ 𝑐 = (𝑎 ∘ 𝑐) * (𝑏 ∘ 𝑐).
Важное свойство 0-арной операции 𝑒 — быть нейтральным (нулевым, еди-
ничным) элементом для бинарной операции * запишем под номером 5.
5. ∃𝑒 ∈ 𝐴: ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑥 = 𝑥.
Отметим также под номером 6 унарную операцию обращения для бинарной
операции * с нейтральным (нулевым, единичным) элементом 𝑒.
6. ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃˜𝑥 : 𝑥 * ˜𝑥 = ˜𝑥 * 𝑥 = 𝑒.
Продолжая заполнять форму, перечислим по номерам те свойства операций,
которые выполняются в данной алгебре. При этом отмечен тот единичный эле-

5

мент 𝑒 в данном носителе, для которого выполняется свойство 5 (например,
𝑒 = 0, 5). Заметим, что здесь также использованы стандартные обозначения из
алгебры матриц: 𝐸2×2 — единичная матрица размерности 2 × 2; 02×2 — нулевая
матрица размерности 2 × 2.

Носитель
Сигнатура (операции) Свойства операций Тип алгебры

N
+
1, 2

N
·
⃒⃒ 1
1, 2, 𝑒 = 1, 5

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6

·
⃒⃒ 1
1, 2, 𝑒 = 1, 5

+
⃒⃒ ·
3, 4

R
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6

+
⃒⃒ ·
3, 4

C
+
⃒⃒ 0
⃒⃒𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6

+
⃒⃒ ·
3, 4

𝑀2×2
+
⃒⃒ 02×2
⃒⃒ − 𝐴
1, 2, 𝑒 = 02×2, 5, 6

·
⃒⃒ 𝐸2×2
2, 𝑒 = 𝐸2×2, 5

+
⃒⃒ ·
3, 4

Различные типы алгебр определяются набором операций и их свойств (дру-
гими словами – аксиомами). Приведем определения некоторых алгебр.
Определение В3. Пусть 𝐴 – некоторое непустое множество, * – бинар-
ная операция, определенная на этом множестве. Алгебра ⟨𝐴, {*}⟩ называется
полугруппой, если операция является ассоциативной:
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 * 𝑦) * 𝑧 = 𝑥 * (𝑦 * 𝑧).
Определение В4. Пусть 𝐴 – некоторое непустое множество, * – би-
нарная операция, определенная на этом множестве, 𝑒 – 0-местная операция
на 𝐴, то есть 𝑒 – некоторый элемент из 𝐴, называемый нейтральным
(единичным). Алгебра ⟨𝐴, {*, 𝑒}⟩ называется группой, если выполняются
следующие утверждения ( аксиомы группы):
1) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 * 𝑦) * 𝑧 = 𝑥 * (𝑦 * 𝑧) – аксиома ассоциативности;
2) ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑥 = 𝑥 – аксиома существования нейтрального элемента;
3) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃˜𝑥 : 𝑥 * ˜𝑥 = ˜𝑥 * 𝑥 = 𝑒 – аксиома существования обратного элемента.

Определение В5. Группа называется абелевой, если в ней выполняется
аксиома коммутативности.

6

Выделим по свойствам операций в заполняемой таблице с примерами, группы
и полугруппы.
Таблица В1

Носитель
Сигнатура (операции) Свойства операций
Тип алгебры

N
+
1, 2
полугруппа

N
·
⃒⃒ 1
1, 2, 𝑒 = 1, 5
полугруппа

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
группа

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨Z, +⟩– группа

·
⃒⃒ 1
1, 𝑒 = 1, 5
⟨Z, ·⟩– полугруппа

3, 4

R
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨R, +⟩– группа

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6
⟨R, ·⟩– группа

3, 4

C
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨C, +⟩– группа

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6
⟨C, ·⟩– группа

3, 4

𝑀2×2
+
⃒⃒ 02×2
⃒⃒ − 𝐴
1, 2, 𝑒 = 02×2, 5, 6
⟨𝑀2×2, +⟩– группа

·
⃒⃒ 𝐸2×2
2, 𝑒 = 𝐸2×2, 5
⟨𝑀2×2, ·⟩– полугруппа

3, 4

В приведенной табл. В1 на всех носителях определены две бинарные операции,
но они удовлетворяют разным наборам свойств (аксиом). Соответственно фор-
мируются различные алгебры. Далее рассмотрим определения кольца и поля —
алгебр с двумя бинарными операциями.
Определение В6. Пусть 𝐴 — непустое множество, +, · — операции на
множестве 𝐴 и
0 — элемент множества 𝐴. Алгебра ⟨𝐴, {+, ·, 0}⟩ называ-
ется кольцом тогда и только тогда, когда выполняются следующие утвер-
ждения (аксиомы кольца):
1) ⟨𝐴, {+, 0}⟩ — абелева (коммутативная) группа;

2) ⟨𝐴∖{0}, {·}⟩ — полугруппа;

3) 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 и (𝑏 + 𝑐) · 𝑎 = 𝑏 · 𝑎 + 𝑐 · 𝑎 — дистрибутивность.

При этом группа ⟨𝐴, {+, 0}⟩ называется аддитивной группой кольца.
⟨𝐴∖{0}, {·}⟩ называется мультипликативной группой кольца.
Определение В7. Пусть 𝐴 — непустое множество, +, · — операции на
множестве 𝐴 и
0, 1 — элементы множества 𝐴. Алгебра ⟨𝐴, {+, ·, 0, 1}⟩ на-
зывается полем тогда и только тогда, когда выполняются следующие утвер-
ждения (аксиомы поля):

7

1) ⟨𝐴, {+, 0}⟩ — абелева (коммутативная) группа;

2) ⟨𝐴∖{0}, {·, 1}⟩ — абелева (коммутативная) группа;

3) 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 и (𝑏 + 𝑐) · 𝑎 = 𝑏 · 𝑎 + 𝑐 · 𝑎 — дистрибутивность.

При этом группа ⟨𝐴, {+, 0}⟩ называется аддитивной
группой
поля.
⟨𝐴∖{0}, {·, 1}⟩ называется мультипликативной группой поля.
Возвращаясь к примерам, приведенным в табл. В1, выделим среди них но-
сители с двумя бинарными операциями. По набору свойств этих операций и
наличию дистрибутивности делаем выводы о типе алгебры. Запись в табл. В2
«3=4» означает, что левая и правая дистрибутивность, в случае коммутативной
операции «·», совпадают.

Таблица В2

Носитель
Сигнатура
Свойства операций
Тип алгебры

N
+
1, 2
полугруппа

N
·
⃒⃒ 1
1, 2 , 𝑒 = 1, 5
абелева полугруппа

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
абелева группа

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨Z, +⟩ – абелева группа

·
⃒⃒ 1
1, 2, 𝑒 = 1, 5
⟨Z, ·⟩ – полугруппа

1, . . . 3, 4 (3 = 4)
⟨Z, +, ·⟩ – кольцо

R
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨R, +⟩ – абелева группа

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6
⟨R, ·⟩ – абелева группа

1, . . . 3, 4 (3 = 4)
⟨R, +, ·⟩– поле

C
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨C, +⟩ – абелева группа

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6
⟨C, ·⟩ – абелева группа

1, . . . 3, 4 (3 = 4)
⟨C, +, ·⟩– поле

𝑀2×2
+
⃒⃒ 02×2
⃒⃒𝐴
1, 2, 𝑒 = 02×2, 5, 6
⟨𝑀2×2, +⟩ абелева группа

·
⃒⃒ 𝐸2×2
2, 𝑒 = 𝐸2×2, 5
⟨𝑀2×2, ·⟩ полугруппа

1, . . . 3, 4 (3 ̸= 4)
⟨𝑀2×2, +, ·⟩ – кольцо

Как видно из табл. В2, среди приведенных примеров имеется два примера
поля — числовые множества R и C. В этих множествах возможно как склады-
вать числа, так и вычитать, как умножать, так и делить. Именно поля будут
фигурировать в определении линейного пространства. Формулируя в следую-
щем разделе аксиоматическое определение линейного пространства «над полем
𝐾», будем иметь в виду любое поле. Это может быть R или C, но, в конечном
счете, важны лишь свойства операций. Выполнение соответствующих свойств
(аксиом) позволяет создать общую теорию такой алгебраической структуры,

8

как линейное пространство, вне зависимости от природы элементов линейного
пространства или от конкретного вида поля, над которым оно рассматривается.
В заключение введения приведем развернутое определение поля, состоящее
из 7 аксиом и не содержащее понятия «группа».
Определение В8. Пусть 𝐴 — непустое множество, +, · — операции на
множестве 𝐴 и
0, 1 — элементы множества 𝐴. Алгебра ⟨𝐴, {+, ·, 0, 1}⟩ на-
зывается полем тогда и только тогда, когда выполняются следующие утвер-
ждения (аксиомы поля):

1) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) ;

2) ∃0 ∈ 𝐴 : ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 ;

3) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃˜𝑥 = −𝑥 : 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0;

4) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) · 𝑧 = 𝑥 · (𝑦 · 𝑧) ;

5) ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 · 1 = 1 · 𝑥 = 𝑥 ;

6) ∀𝑥 ∈ 𝐴∖{0} ∃˜𝑥 = 𝑥−1 : 𝑥 · 𝑥−1 = 𝑥−1 · 𝑥 = 1;

7) 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 и (𝑏 + 𝑐) · 𝑎 = 𝑏 · 𝑎 + 𝑐 · 𝑎 – дистрибутивность.

9

Глава 1

Линейные пространства

1.1. Основные понятия

1.1.1. Определение и примеры линейного пространства

Определение 1.1.1. Линейное пространство над полем 𝐾 — это мно-
жество 𝑈 (его элементы называются векторами), на котором определена
бинарная операция + сложения векторов и унарные операции 𝜆·
умножения
векторов на числа 𝜆, для каждого 𝜆 из поля 𝐾, причем выполняются следу-
ющие 8 аксиом линейного пространства (свойства указанных операций):

1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 : 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (коммутативность);

2) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑈 : (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) (ассоциативность);

3) ∃𝛩 ∈ 𝑈 ∀𝑥 ∈ 𝑈 : 𝑥 + 𝛩 = 𝑥 (существование нулевого вектора 𝛩);

4) ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃(−𝑥) ∈ 𝑈 : 𝑥 + (−𝑥) = 𝛩 (существование обращения векторов);

5) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈, ∀𝜆 ∈ 𝐾 : 𝜆 · (𝑥 + 𝑦) = 𝜆 · 𝑥 + 𝜆 · 𝑦 (дистрибутивность);

6) ∀𝑥 ∈ 𝑈, ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾 : (𝜆 + 𝜇) · 𝑥 = 𝜆 · 𝑥 + 𝜇 · 𝑥 (дистрибутивность);

7) ∀𝑥 ∈ 𝑈, ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾 : (𝜆 · 𝜇) · 𝑥 = 𝜆 · (𝜇 · 𝑥);

8) если 1 — единичный элемент поля 𝐾, то ∀𝑥 ∈ 𝑈 1 · 𝑥 = 𝑥.

Можно заметить, что, согласно определению В5 на с. 6, множество векторов
𝑈 образует абелеву группу относительно операции сложения. Второй сорт опе-
раций на множестве векторов 𝑈 — умножение на «числа», т. е. элементы произ-
вольного поля 𝐾, также подчиняется определенным аксиомам. Далее приведем
уже хорошо известные примеры линейных пространств, проверяя по опреде-
лению выполнение аксиом линейного пространства. В дальнейшем изложении
будем писать ЛП вместо «линейное пространство».

10