Теория вероятностей и математическая статистика

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2018

Е. А. Трофимова, Н. В. Кисляк, Д. В. Гилёв

ТЕОРИЯ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Рекомендовано

методическим советом Уральского федерального университета

в качестве учебного пособия для студентов вуза,

обучающихся по направлениям подготовки

38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73-1
        Т761

© Уральский федеральный университет, 2018

В учебном пособии представлен блок теоретического материала и задачи,

как подробно разобранные, так и предназначенные для самостоятельного реше-
ния. Каждому математическому понятию дается экономическая интерпретация.

Для студентов, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и матема-

тическая статистика».

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73-1

Трофимова, Е. А.

Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.

пособие / Е. А. Трофимова, Н. В. Кисляк, Д. В. Гилёв ; [под общ.
ред. Е. А. Трофимовой] ; М-во образования и науки Рос. Феде-
рации, Урал. федер. ун-т. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та,
2018. – 160 с.

ISBN 978-5-7996-2317-3

Т761

ISBN 978-5-7996-2317-3

Р е ц е н з е н т ы:

М. Ю. Хачай, доктор физико-математических наук,

заведующий отделом математического программирования

(Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН);

А. И. Кривоногов, кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры прикладной математики

(Уральский государственный архитектурно-художественный университет)

П о д  о б щ е й  р е д а к ц и е й

Е. А. Трофимовой

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ............................................................................................................ 5

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ................................................................................. 6

1.1. Предмет теории вероятностей .................................................................. 6
1.2. Пространство элементарных исходов ..................................................... 8
1.3. Операции над событиями и их свойства ................................................ 10
1.4. Классическое определение вероятности ................................................ 12
1.5. Правила и формулы комбинаторики ...................................................... 14
1.6. Подсчет классической вероятности

с помощью правил комбинаторики ....................................................... 17

1.7. Статистическая и геометрическая вероятности .................................. 19
1.8. Задачи ............................................................................................................. 21

2. ТЕОРЕМЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ......................................................................... 25

2.1. Теоремы о произведении и сумме событий ....................................... 25
2.2. Формула Бернулли .................................................................................... 27
2.3. Полная вероятность .................................................................................. 29
2.4. Формула Байеса .......................................................................................... 31
2.5. Задачи ........................................................................................................... 32

3. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ .............................................. 42

3.1. Понятие случайной величины ................................................................ 42
3.2. Определение и примеры дискретной случайной величины ............ 42
3.3. Арифметические операции двух случайных величин ....................... 46
3.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины .......... 47
3.5. Числовые характеристики

некоторых дискретных случайных величин .......................................... 50

3.6. Непрерывные случайные величины ..................................................... 51
3.7. Числовые характеристики непрерывных случайных величин ......... 54
3.8. Основные распределения непрерывных случайных величин .......... 61
3.9. Задачи ........................................................................................................... 71

4. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ .......................................... 80

4.1. Функция распределения многомерной случайной величины ........ 80
4.2. Двумерное дискретное распределение ................................................ 82
4.3. Условное математическое ожидание

в условных законах распределения ........................................................ 83

4.4. Двумерная непрерывная случайная величина ................................... 88
4.5. Многомерное нормальное распределение ......................................... 89
4.6. Задачи ........................................................................................................... 90

5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ............................................... 94

5.1. Закон больших чисел ................................................................................ 94
5.2. Центральная предельная теорема .......................................................... 98
5.3. Задачи ........................................................................................................... 99

6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ......................................................... 101

6.1. Выборочный метод математической статистики ............................... 101
6.2. Применение математической статистики ............................................ 103
6.3. Вариационные ряды и их характеристики ........................................... 105
6.4. Оценивание распределения случайных величин ................................ 112
6.5. Свойства статистических оценок ............................................................ 118
6.6. Общая схема проверки статистических гипотез ................................ 124
6.7. Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины ... 126
6.8. Проверка нормальности из графического анализа гистограмм .... 129
6.9. Задачи .......................................................................................................... 138

Приложение ......................................................................................................... 145

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие написано в соответствии с требованиями 
государственных образовательных стандартов третьего
поколения по экономическим специальностям. Включает в себя
кратко, но всесторонне изложенный теоретический материал с разобранными 
на каждую тему практическими заданиями, с объяснением 
экономического смысла каждого введенного понятия, а также 
задачи для самостоятельного решения. Данное пособие может
быть использовано в качестве основной литературы для проведе-
ния лекций и практических занятий.

Предпосылками написания данного пособия являлась необходимость 
систематизировать накопленный материал при многолетнем 
прочтении лекций и проведении практических занятий у авторов 
данного пособия, а также для возможности иметь полностью
укомплектованный, учитывающий новые разработки комплект,
обеспечивающий дисциплину «Теория вероятностей и математическая 
статистика». При написании пособия были учтены современные 
требования и компетенции, предъявляемые к бакалавру экономики. 
Материал был подобран так, чтобы не только можно было
уловить суть предмета, но и понять его назначение в современном
мире. Особый уклон был сделан на экономические приложения.
Содержание данного пособия не только целиком соответствует рабочей 
программе по дисциплине, но охватывает даже больше необходимого 
минимума. Некоторые темы приведены для самостоятельного 
разбора студентами.

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» 
является важнейшей частью модуля «Математические методы
анализа». Ее прикладная значимость в экономике достаточно велика. 
На ней зиждется эконометрика, многомерный статистический 
анализ, нейронные сети, распознавание образов и многие другие 
научные области. Современный экономист должен уметь использовать 
аппарат математической статистики на высоком уровне.

1.  СЛУЧАЙНЫЕ  СОБЫТИЯ

1.1. Предмет теории вероятностей

Можно сказать, что жизнь человека, да и в целом вся окружающая 
среда состоит из череды некоторых событий. Хотелось бы
все эти события не только отслеживать, но и пытаться прогнозировать. 
При этом стоит понимать, что многие события или, другими 
словами, явления – случайные, т. е. они могут наступить, а могут 
не наступить. Например, выиграть в лотерею автомобиль –
событие случайное.

Задача любой науки, в том числе и экономической, состоит

в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются 
реальные процессы. Найденные закономерности, относящиеся 
к экономике, имеют не только теоретическую ценность, но и широко 
применяются на практике.

Выше был приведен пример лотереи. Можно задаться вопросом: 
зачем нужно изучать степень возможности наступления выигрыша 
в лотерее автомобиля? Возможно, обычному обывателю
и не стоит ничего изучать, а вот организаторам без этого не обойтись. 
Ведь лотереи проводятся не просто так, а с целью извлечения
выгоды (прибыли), а значит, заинтересованность большая. Важно
установить, по какой цене нужно продавать билеты лотереи, чтобы 
получить планируемый доход. Аналогично, страховым компаниям 
важно понимать степень наступления страхового случая, чтобы 
сформировать верное страховое вознаграждение (по сути, прибыль 
компании). Ведь, если завысить страховое вознаграждение,
то можно потерять определенную долю рынка, что крайне нежелательно, 
а если занизить – можно остаться банкротом. То есть
смело можно заявить, что теория вероятностей необходима экономистам, 
чтобы обезопасить себя от экономических рисков.

Таким образом, очевидно, что необходимо уметь исследовать

случайные явления и находить их закономерности. Этим как раз
и занимается теория вероятностей.

При этом в названии пособия есть еще «математическая статистика» – 
что же это такое и где она применяется? Давайте для начала 
приведем определения, а затем уже поймем принципиальную разницу 
между теорией вероятностей и математической статистикой.

Т е о р и я  в е р о я т н о с т е й  –  это математическая наука,

изучающая закономерности случайных явлений.

С л у ч а й н о е  я в л е н и е  –  это явление с неопределенным

исходом, происходящее при неоднократном воспроизведении определенного 
комплекса условий.

Стоит отметить, что в природе, технике и экономике в каждом

явлении присутствует случайность: в спросе на товар, в погодных
условиях и прочем.

Существует два подхода к изучению явлений: «детерминистский» 
и «вероятностный». При первом подходе выделяют основные 
факторы, характеризующие явление, а при втором – учитывают, 
помимо основных факторов, второстепенные, которые, если их
не учесть, как раз и приводят к случайным возмущениям и искажениям 
результата.

М а т е м а т и ч е с к а я  с т а т и с т и к а  –  это раздел математики, 
изучающий математические методы сбора, систематизации, 
обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью
выявления статистических закономерностей.

Таким образом, теория вероятностей изучает закономерности

случайных явлений на основе абстрактного описания, а матема-
тическая статистика уже на основе этого описания оперирует не-
посредственно результатами конкретных наблюдений. Можно
сказать, что теория вероятностей – это базис, фундаментальная
надстройка математической статистики, которая уже применя-
ется в реальной жизни. В связи с этим план изучения таков: сна-
чала понять основные моменты теории вероятностей, а затем
на их основе уже рассмотреть инструментарий математической
статистики.

Как уже стало понятно, теория вероятностей позволяет нахо-

дить степень объективной возможности наступления (вероятность)
«сложных» событий через «простые», а математическая статис-
тика по наблюдаемым значениям оценивает эту степень либо осу-
ществляет проверку предположений (гипотез) относительно этой
степени. Так или иначе, все завязано на событиях, поэтому сейчас
настало время перейти к изучению их свойств и операций над ними.

1.2. Пространство элементарных исходов

С л у ч а й н ы м  (возможным) называется событие, которое

в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти
или не произойти.

П р и м е р ы  с о б ы т и й
1. Появление герба при подбрасывании монеты.
2. Выигрыш квартиры по билету лотереи.
3. Выход бракованного изделия с конвейера предприятия.

При этом стоит понимать, что событие – это не какое-то про-

исшествие, а возможный исход. События, которыми может закон-
читься опыт, также называют исходами.

Принято обозначать события большими латинскими буквами:

A, B, C.

Буквой  обозначается множество всех возможных исходов

испытания. Оно бывает конечным или бесконечным (счетным
или несчетным). При этом если оно конечное или конечное, но
счетное, то множество исходов является дискретным, в случае
несчетного – множество исходов непрерывное.

Если при каждом испытании, при котором происходит со-

бытие А, происходит и событие В, то говорят, что А  в л е ч е т
з а  с о б о й  В  (т. е. А содержится в В). Обозначается этот факт
так: А В.

П р и м е р
Если А = {выпало «2» на кубике}; В = {выпало четное число

на кубике}, то  А В.

Если А В и В А, то А и В называются  р а в н о с и л ь н ы -

м и  с о б ы т и я м и. Обозначается: А = В.

События называются  н е с о в м е с т н ы м и,  если наступ-

ление одного из них исключает наступление любого другого. В про-
тивном случае события называются  с о в м е с т н ы м и.

П р и м е р ы
1. Выигрыш по одному билету двух призов в лотерее – события

несовместные, а выигрыш двух призов по двум билетам – события
совместные.

2. Получение «5» и «4» одновременно за один и тот же экзамен –

события несовместные.

Событие называется  д о с т о в е р н ы м,  если в результате

испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется  н е в о з м о ж н ы м,  если в результате

испытания оно вообще не может произойти. Обозначается такое
событие так: .

События называются  р а в н о в о з м о ж н ы м и,  если в результате 
испытания ни одно из этих событий не является объективно 
более возможным.

П р и м е р
Появление герба или решки при подбрасывании монеты – события 
равновозможные, если монета «правильная» (т. е. выполнена симметрично).


Несколько событий называются  е д и н с т в е н н о  в о з -

м о ж н ы м и,  если в результате испытания обязательно должно
произойти хотя бы одно из них.

П р и м е р
Имеются три события, состоящие в том, что в семье из двух детей: 
А = {2 мальчика}, В = {2 девочки}, С = {1 мальчик, 1 девочка}. Эти
три события являются единственно возможными.

Несколько событий образуют  п о л н у ю  г р у п п у  (п о л -

н у ю  с и с т е м у)   с о б ы т и й,   если они являются единственно
возможными и несовместными исходами испытания. Это означает,

что в результате испытания обязательно должно произойти одно
и только одно из этих событий.

Два несовместных события, из которых одно должно обязательно 
произойти, называются  п р о т и в о п о л о ж н ы м и.  Событие, 
противоположное исходному событию А, будем обозначать А.

Стоит отметить, что противоположные события – это частный 
случай событий, образующих полную группу.

1.3. Операции над событиями и их свойства

Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое 
событие А + В (или: А  В), состоящее в появлении хотя бы
одного из событий А или В в данном опыте.

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется 
новое событие АВ (или: А  В), состоящее в совместном появлении 
А и В в данном опыте.

Для наглядного понимания представленных двух операций

обычно используют так называемые диаграммы Эйлера – Венна.

На рис. 1 изображена диаграмма Эйлера – Венна, прямоугольник 
на которой – это множество всех исходов, кругами представлены 
события А и В, а заштрихованная часть – сумма этих событий.

Рис. 1

А
В

На рис. 2 также изображена диаграмма Эйлера – Венна, но

заштрихованная часть – произведение событий А и В.

Далее предлагаем ознакомиться со свойствами операций над

произвольными событиями А, В, С:

1) АВ  А + В;
2) АА   ;
3) А
А

 ;

4) А + В = В + А (коммутативность суммы);
5) АВ = ВА (коммутативность произведения);
6) А(ВС) = (АВ)С = АВС (ассоциативность произведения);
7) А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С;
8) (А + В)С = АС + ВС (дистрибутивность суммы);
9) АВ + С = (А + С) (В + С) (дистрибутивность произведения);
10) А + А = АА = А (идемпотентность);
11) А
А

 (закон двойного дополнения);

12) А
В
АВ


 (закон де Моргана);

13) АВ
А
В


 (закон де Моргана).

Данные утверждения очевидно выполняются, если для каждого 
из них изобразить диаграмму Эйлера – Венна. Безусловно, самые
старательные читатели могут доказать данные утверждения аналитически, 
особенно если знакомы с теорией множеств.

В связи с введенными операциями можем переформулировать

определение полной группы событий следующим образом.

События А1, А2, …, Аn образуют  п о л н у ю  г р у п п у  с о -

б ы т и й,  если:

1) они несовместны, т. е. АiAj =  для любых i = 1, …, n,

j = 1, …, n, i  j;

Рис. 2

А
В

2) в результате испытания произойдет обязательно одно из событий, 
т. е. А1 + А2 + … + Аn= .

Теперь, когда мы познакомились с событиями, операциями

над ними и основными их свойствами, то можем перейти к более
важному вопросу, а именно, к определению степени возможности
наступления события.

1.4. Классическое определение вероятности

Как было сказано ранее, для практической деятельности важно 
уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. 
Например, «выигрыш по одному билету» и «выигрыш по каждому 
из десяти приобретенных билетов» лотереи обладают разной 
степенью возможности их наступления.

Численная мера степени объективной возможности наступления 
события называется  в е р о я т н о с т ь ю  события.

Чтобы измерить эту «вероятность», используют несколько подходов. 
Начнем с классического.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу

событий и равновозможны, т. е. единственно возможны, несовместны 
и равновозможны. Такие исходы называют  э л е м е н -
т а р н ы м и  и с х о д а м и,  случаями или шансами. При этом
говорят, что испытание сводится к  с х е м е  с л у ч а е в.

Случай называется благоприятным событию А, если появление 
этого случая ведет за собой появление события А.

Согласно  к л а с с и ч е с к о м у  о п р е д е л е н и ю  вероятность 
события А равна отношению числа случаев, благоприятных 
ему, к общему числу случаев, т. е.:

( )
,
m
р А
n


где  р(А) – вероятность события А (другое обозначение: Pr(A) – от англ.
probability);

m – число случаев, благоприятных событию А;
n – общее число случаев.